2024-2025学年江西省上饶市横峰县高二年级上册第二次月考（12月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省上饶市横峰县高二上学期第二次月考（12月）

数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.直线龙=tanl20。的倾斜角是（）

A.30°B.90。C.120。D.不存在

江上-1

2.双曲线93的渐近线方程是（)

,V31

y=±—xy=±-x

A.3B.3

Qy=±V3x

D.y=±3x

3.圆台上、下底面半径分别是1,2,高为百，这个圆台的体积是（）

7G

B2\/37i

A.亍

75/3

---兀

后

C.7D.3

22

」+工=1

4.若方程2-机3+机表示焦点在X轴上的椭圆，则加的取值范围为（)

。11c

-3<m<————<m<2

A.2B.2

C.m<-3D.加>2

5.如图，空间四边形048C中，OA=£OB=&OC=,点M在刀上，且满足

-a--b+-c--a+-b+-c

A.232B.322

-a+-b--c-a+-b--c

C.222D.332

6.将7本不同的杂志分成3组，每组至少2本，则不同的分组方法数为（）

A.70B.84C.105D.210

7.若点'（T2）在圆*+j?_x+2y+2左=0的外部，则实数上的取值范围是（）

A.（-5，+切）B.S,-5）C.D.NO

C-^-2L=i

8.已知双曲线/b2，两焦点分别为耳，月，过右焦点工作直线/交右支于

____71

48点，且"8=3/居，若F、'=5,则双曲线C的离心率为（）

MVn叵叵

A.3B.3C.3D.3

二、多选题（本大题共3小题）

9.满足不等式A3一〃<7（〃eN+，〃23）的〃的值可为（）

A.3B.4C.5D.6

10.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.若空间向量3=0，°/），彼=（。，11）,则@在B上的投影向量为N

OP=-OA--OB+-OC

B.若对空间中任意一点。，有362,则尸，/,从C四点共面

C.若空间向量1,B满足展行>。，则行与B夹角为锐角

D.若直线/的方向向量为成=0,4,-2）,平面a的一个法向量为力=（-1,-2,1）,则

ILa

11.已知尸是抛物线U^=4x的焦点，43是抛物线C上的两点，°为坐标原点，则

（）

A.若A的纵坐标为2,贝尸上3

B.若直线过点尸，则恒目的最小值为4

C.若名•砺=-4,则直线恒过定点Q,0）

D.若88'垂直C的准线于点夕，且I网=2|明，则四边形。尸瓦T的周长为3+石

三、填空题（本大题共3小题）

12.若/>=C『，则m的值为

13.在三棱锥P-/8C中，尸/=尸8=尸0=6,/>4尸8,尸0两两垂直，且该三棱锥外接球

的表面积为.

14.加斯帕尔•蒙日是18〜19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意

两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为

22

rxy_/2八

C—T-H=1(。>6।々

“蒙日圆”.已知椭圆a6''，若直线/7：4Ax-3y+30=0n上存在点尸，过户可

作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知向量“=02-1),“=(2,0,1),求：

(1)。+彼；

⑵3"25；

a-(2a-b^

(3)•

16.如图，四棱锥P—4BCD中，底面4BCD是平行四边形，AD^BD,AB=2AD,

且尸。1底面ABCD.

(1)证明：平面尸平面PBC；

兀

(2)若二面角P—BC—D为%,求4P与平面PBC所成角的正弦值.

17.斜率为1的直线/经过抛物线/=©的焦点，且与抛物线相交于A,B两点.

(1)求线段的长.

(2)°为原点，求△0/8的面积.

18.如图，在四棱柱四G2中，平面48CD,AB±AD,AB//DC

4B=44]=2,AD=DC=1,分别为DDl,BlCl的中点，

⑴求证：RN〃平面5"；

(2)求平面与平面8片GC夹角余弦值；

(3)求点B到平面CqM的距离.

19.阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.

其内容为：若将直线4绕4与4的交点逆时针方向旋转到与直线4第一次重合时所转的

角为6,则称。为4到4的角，当直线4与‘2不垂直且斜率都存在时，

tand=h-J

1+秘2(其中占，网分别为直线4和4的斜率).结合阅读材料，回答下述问题：

22

己知椭圆氏/+瓦'(">">°)的左、右焦点分别为工''(一2，1)为椭圆上一点，

8(°，T),四边形"片8层的面积为26，。为坐标原点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)求的角平分线所在的直线/的方程；

(3)过点/且斜率分别为配心色”心)直线4,4分别与椭圆交于不同的两点，若点B到

直线44的距离相等，当左>°时，求4左+优的取值范围.

答案

1.【正确答案】B

【详解】由题意得，直线方程为尤=-百，直线与x轴垂直，

故直线的倾斜角为90°.

故选：B.

2.【正确答案】A

x2/.净

-----------1y=i----x

【详解】双曲线93的渐近线方程是‘3.

故选：A

3.【正确答案】D

【分析】直接代入圆台的体积公式计算即可.

V=-xV3xht+A/7IX47T+47t)=兀

【详解】由题意3173.

故选D.

4.【正确答案】A

c1

—3<加<—

【详解】由题意可得：0<3+〃?<2-加，解得2,

[-3,」]

所以加的取值范围为I'2人

故选：A.

5.【正确答案】B

MN=MA+AB+JN=-OA+OB-OA+-JC

【详解】由题意32

2——►1―-1―►

=——OA+OB+-OC——OB

322

2—►1—►1―►

=——OA+-OB+-OC

322,

又方=①砺==

—►21一1

:.MN=——a+-b+-c

322.

故选：B

6.【正确答案】C

【详解】依题意可得分组的本数分配只有1种，即2,2,3,

^C2=c^2=105

则不同的分组方法数为A2

故选：c

7.【正确答案】C

【详解】因为点尸(T2)在圆/+V-x+2y+2后=。的夕卜部,

J1+4+1+4+2左>05

所以(1+4-8%>0,解得-5<无<司

故选：C.

8.【正确答案】B

【详解】因为"3=3/眠,设|4尸2|=皿,则即=3加，此|=2加

因为M周一1，闻=2。,|明|-忸阊=2%

所以胤=2a+m,\BFi\=2a+2m寓阊=2c

3

2a=­m

(2c)=(2a+冽J+加22

(2a+加7+*冽7=(2Q+2冽了后

c=---m

因为4月，45,所以2

V17

---m

c2_

a3—

所以离心率为:2

故B.

9.【正确答案】AB

【详解】解：由

得，(«-l)(«-2)-n<7>即〃2_4"一5<0,

解得-1<〃<5,又〃eN+，〃23,

所以〃=3或”=4,

故选：AB

10.【正确答案】ABD

【分析】A投影向量定义求)在B上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C

由万，*同向共线即可判断；D由加=-23即可判断.

a-bb_111)

一_---h=—b=0,—,一

【详解】A：。在b上的投影向量为1*11^12I22人对；

—.2—►1—►1—.211

OP=-OA——OB+-OC------+—=1

B：在362中362，故尸，/,&C四点共面，对;

C：当*同向共线时限B>°也成立，但日与不夹角不为锐角，错；

D：由加=-2”，即正〃3,故/_La,对.

故选：ABD

11.【正确答案】BC

【详解】由题意得，P=2,砥1，°）,准线方程/：x=T.

A.由A的纵坐标为2得，/（1，2）,故M尸1=2,选项A错误.

B.如图，设直线方程为：X=叼+1,/（再,必），及%,%）,

（x=my+1

由1,2=4x得，y2-4my-4=0

.必+y=4机,项+马二次（必+歹2）+2=4加2+2

,,2，

2

^\AB\=Xl+x2+p=4m+4>4当加=。时，1481mhi=4,选项B正确.

C.如图，设直线方程为：x=my+tt"区,弘）,Rx2,%）,

\x=my+t

由I/=4x得，y2—Amy-4/=0

2

yty2=-4,X1X2=?玲=--=t

4416,

2

.OAOB=x1x2+y,y2=t-4t=-4>解得/=2,

；・直线"8方程为：x=my+2）恒过定点（2,0）,选项c正确.

D.如图，设点8在第四象限.

由题意得，3=1,则阿’|=2］。川=2.

由准线方程为x=T得，故8(1,-2),"(-1,-2),

.\BF\=2,\OB(^=/(-I)?+(-2)2=V5,

••・四边形。尸班'的周长为5+石，选项D错误.

故选：BC.

12.【正确答案】2或7

［详解］由C［=C；；"2,则%=2"?-2或机+2机-2=19,

解得机=2或S=7,经检验，符合题意.

故2或7.

13.【正确答案】9兀

【详解】由于"=尸8=尸仁「4尸瓦尸。两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图:

故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，

］222

_yP_A__+_PB__+_P_C—_6_P»A=_3

故该三棱锥外接球的半径为222.

故9兀

'275'

14.【正确答案】L'>

22

C:0+匕=G>6）

【详解】对于椭圆/6'）,

令x=o,可得尸土后，令v=o,可得》=±口

由、x=&,可知点（6，"）在，，蒙日圆，，上，

22

，+匕=1（42>6）~-

所以椭圆。6'）的“蒙日圆”的半径为,矿+6,

所以“蒙日圆”方程为/+尸=/+6,

因为点P在椭圆的“蒙日圆’'上，又因为点尸在直线上，

所以直线/：4x-3y+30=0和“蒙日圆,，有公共点.

即圆心（°”）到直线/：公-3尸30=0的距离不大于半径,

0<——<-

即5,所以/230,则a25,

所以椭圆离心率即椭圆离心率的取值范围是

「2右八

E.

故答案为.L5'>

15.【正确答案】⑴020)

⑵(-1,6,-5)

⑶11

【详解】(1)。+3=(1,2,T)+(2,0,1)=(3,2,0)

(2)31=(3,6,-3)-(4,0,2)=(-1,6,-5)

(3)2a-6=(2,4,-2)-(2,0,1)=(0,4,-3),

所以79£-彼)=(1,2,_1>(0,4,-3)=8+3=11

16.【正确答案】(1)见解析

V6

⑵4

【详解】(1)在平行四边形N8CO中，ADHBC,-.-ADVBD,:.BC1BD,

,.,PZ)_L平面43CD,BCu平面480,:.PDLBC,

;PDcBD=D,PD,BDu平面PDB,8CJ_平面PO8,

•••BCu平面尸5C,.•.平面尸四，平面尸8C.

(2)由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：

设/£>=1,贝04B=2,在RtAABD中，BD=\/AB2-AD2=6,

CB±PDB,尸8u平面PDB,CBVPB,

VBDVCB,尸8u平面P8C,8。<=平面/3。。，

71

/PBD=一

在二面角P-8C-D的平面角，即6,

在RIAPDB中，PD=BD-sinZPBD=1,

在平行四边形/BCD中，AD=BC=\,

则/(1,0,0),8«,后0),后0),尸(0,0,1),

2P=(-1,0,1)丽=(o,-6,1)岳=《,-百,1)

设平面尸8c的法向量为"=("/),

n-BP=0-Gy+z=0x=0

<___<

则屏屈=0,即卜-岛+z=0,化简可得［z=Gy,

令y=l,z=6解得平面尸5c的一个法向量”

设/P与平面尸BC的夹角为0,

号祠/0+0+网_./6

17.【正确答案】(1)8

(2)20

【详解】(1)•••抛物线V=4x的焦点坐标为(1,0),直线/的斜率为1,

・••直线/方程为>=xT,

[y2=4x

由[y=x-l,得/一61=0,

设A（xt,y）,B（x2,y2）,则阳+超=6,

则由抛物线焦点弦长公式得：b理=再+/+。=6+2=8.

d=

2

（2）点°到直线/：P=x-l的距离为

11历

S=-Ufi|-t/=-x8x—=25/2

则△A048的面积21122

18.【正确答案】（1）证明见解析

2后

（2）11

27n

（3）11

【详解】（1）取5中点P,连接NP,MP,

由N是4G的中点，故NP//CQ且杵=/G,

由河是世的中点，故=lDD'=2CCl,且ZW〃CG,

则有〃〃7/NP、D、M=NP,

故四边形是平行四边形，故D\N//MP,

又MPu平面08眼，O]N<Z平面C3也，

故"N//平面CB.M；

（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，

有力（0,0,0）、8（2,0,0）、与（2,0,2）、M（（W）、c（l,l,0）、G（M，2）

则有函=（1,一1,2）、CA7=（-1,0,1）^西=（0,0,2）,

设平面CBM与平面即cq的法向量分别为应=(国,九4)、万=&,%心),

-r>■

m-CB=x-y+2z=0n-CB=x—y+lz=0

<___X1llVX222

则有rh'CM=一再+Z[=0ri-=2z2=0

分别取X|=%=1,则有K=3、Z]=l、%=1,Z2=o；

即所=(1,3,1)、万=0,1,0),

__m-n1+32V22

cosm,n=1-j=一/一/==-----

则,同A/1+9+1-Vl+