2024-2025学年九年级数学开学摸底考（北京专用）（解析版）

2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考

（北京专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：100分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版九年级上册全部。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列图形中是中心对称图形的是（）

【分析】利用中心对称图形的定义即可得出答案.

【解答】解：观察四个选项可知，只有C选项中的图形绕某一点旋转180。后能与自身重合，

因此C选项中的图形是中心对称图形，

故选：C.

【点评】本题考查中心对称图形的识别，掌握定义是解题的关键.平面内，如果把一个图形绕着某一点旋

转180。后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

2.二次函数y=-g(x-3)2-4图象的顶点坐标是()

A.(3,4)B.(-3,4)C.(-3,-4)D.(3,-4)

【答案】D

【分析】二次函数>=。&-〃)2+左(。*0)的顶点坐标是(瓦左)，据此解答即可.

【解答】解：根据二次函数》=-5a-3)2-4知，

函数的顶点坐标是：(3,-4).

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式.解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程

y=+左中的人、人所表示的意义.

3.已知x=-l是一元二次方程or2+6x+c=0(a#0)一个根，则下列等式正确的是()

A.Q+6+C=0B.-a+b+c=0C.a-b+c=0D.-a-b+c=0

【答案】C

【分析】把X=-1代入方程得到。、b、C的关系，从而可对各选项进行判断.

【解答】解：o-l是一元二次方程ox2+6x+c=0(aw0)一个根，

:.a-b+c=Q.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

4.已知关于x的方程ax?+bx+c=Q(a>0,b<0)有两个不相等的实数根，则抛物线〉=ax2+bx+c的顶点在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】由抛物线的解析式可求出顶点的横纵坐标，结合已知条件即可判断抛物线〉="2+法+。的顶点所

在象限.

【解答】解：.•・关于X的方程办2+加+。=0(。>0/<0)有两个不相等的实数根，

b2—4ac>0，

即b1>4ac，

b4QC—〃

・•・顶点的横坐标为一丁，纵坐标为，a>Q,b<Q,

2a4a

b4ac-b2八

----->0,-----------<0,

2a4a

.•.抛物线了=ax?++c的顶点在第四象限，

故选：D.

【点评】此题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程根的判别式和二次函数的顶点

坐标公式是解题的关键.

5.如图，在。。中，弦/C,5。相交于点尸，连接8C,AD.若NC=30。，则尸的大小为（）

A.30°B.43°C.53°D.77°

【答案】A

【分析】根据圆周角定理即可得到a4OP的度数.

【解答】解：•.・NC=30。，NC、/4DP所对弧都是叁，

NADP=ZC=30°.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.掌握圆周角定理是解题的关键.

6.如图，。。的半径为1,将。。的内接正六边形48CDEF绕点。顺时针旋转，第一次与自身重合时，点

7171

A.1B.-C.-D.17i

36

【答案】B

【分析】根据题意第一次与自身重合时旋转角是60。，然后根据弧长公式即可求得.

【解答】解：・・•正六边形绕中心。顺时针旋转第一次与自身重合时旋转角是60。，

点A运动的路径长=6,：：=.

1803

故选：B.

【点评】本题考查了旋转对称图形，也考查了学生的理解能力和计算能力，解此题的关键是求出第一次重

合的旋转角.

7.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共15个，这些球除颜色以外没有任何其他区别，从中任取1个

球，记下颜色后放回，摇匀.诚诚通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则袋子中红球的个

数最有可能是（）

A.1个B.2个C.3个D.12个

【答案】C

【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数.

【解答】解：由题意得，15x0.2=3（个），

•••袋子中红球的个数最有可能是3个，

故选：C.

【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解利用频率估计概率的原理.

8.如图，AABC中,AB=AC,0。是A42C的外接圆，5。的延长线交边NC于点。.若/。=2,

CD=3,则8c的长为（）

C.-V2D.272

3

【答案】B

【分析】连接/。并延长交3c于点”，由垂径定理得出=S，作/E//2C交8。的延长线于£.则

AJ7Ari7Af)AJ74

-=—=得出・=^77=:，设。8=3=4°,OH=3a,根据8/T=/夕一N/T=Ol-0/T,

BCDC3OHBH3

构建方程求出。即可解决问题.

【解答】解：连接并延长交8C于点X,

•/AB=AC,

AB=AC，

OHLBC,BH=CH,

:.BH=-BC,

2

作AE/IBC交BD的延长线于E.

•/AD=2,CD=3,

.AEAD_2

"5C-DC-3,

AQAr4

---=---=—,设OB=OA=4Q,OH=3a,

OHBH3

•••BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

/.25-49a2=16a2-9a2,

_572

=-----,

4

BC=2BH=—.

2

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握方程的思

想方法是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.将抛物线｝；=./+云+。向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式

为y=2(x+1)2,则b的值为12.

【答案】12.

【分析】根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理

成一般式即可.

【解答】解：根据题意可知将抛物线y=2(x+厅向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得

到抛物线y=ax~+bx+c,

原抛物线解析式为y=2(x+1+2>+3,

2

整理，得：y=2(x+3)+3,即y=+12x+21,

:.b=\2.

故答案为：12.

【点评】本题考查二次函数图象的平移，平移规律”上加下减，左加右减”.解题的关键是熟练掌握平移规

律.

10.如图，己知点2,E,C,尸在一条直线上，并且A45c三AD斯，那么这两个全等三角形属于全等变

换中的轴对称变换.

【解答】解：由图可知，这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换.

故答案为：轴对称变换.

【点评】本题考查了几何变换的类型，熟记常见的几何变换并准确识图是解题的关键.

o

11.如果关于X的方程依2-3%+1=0有两个实数根，那么左的取值范围是左(—且左/0.

一4——

9

【答案】《(二且左W0.

4

【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于人的不等式，解得即可,

同时还应注意二次项系数不能为0.

【解答】解：.•・关于x的方程小-3x+1=0有两个实数根，

△=62-4ac20且《中0,

BP9-4^0,

9

解得上（二，

4

9

：.k的取值范围为上（二且左w0.

4

9

故答案为：发（二且左wO.

4

【点评】本题考查了一元二次方程◎2+加+。=0（0工0）的根的判别式^=62-4M：当△＞（）,方程有两个

不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△＜（）,方程没有实数根.也考查了一元二次方

程的定义.

12.已知抛物线了=/+4》-8与直线/交（抛物线）于点/（-5,小），B（n,-3）（n＞0）.若点尸在抛物线上

且在直线/下方（不与点/,8重合），则点尸的纵坐标的取值范围为-12令-3.

【答案】-12令，＜-3.

【分析】分别求出点/,3坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解.

【解答】解：把x=-5代入y=x2+4x-8得y=（-5y+4x（-5）-8=-3,

m=—3,

把＞=-3代入了=/+4%一8得一3=/+4x-8,

解得〃=-5或〃=1,

.,.点/坐标为（-5,-3）,点8坐标为（1,-3）.

*.*y=x?+4x-8=（x+2）~-12,

抛物线开口向上，顶点坐标为（-2,-12）,

抛物线顶点在下方，

＜—3.

故答案为：-12令「＜-3.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，解题关键是熟练掌握二次函

数的性质.

13.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧蕊，点。是这段弧所在圆的圆心.C是叁上的点，0CL4B,

垂足为若48=10加，CM=1m,则0。的半径为13加.

【分析】设。。的半径为，,加，由垂径定理得===在RtAAOD中，由勾股定理得出方

程，解方程即可.

【解答】解：连接ON,如图所示：

设。。的半径为厂m,

■：OCLAB,AB=\Qm,

AM=BMAB=5(m),

在RtAAOD中，由勾股定理得：OA2=OM-+AM1,

即：r2=(r-1)2+52,

解得：r=13,

即。。的半径为13m.

故答案为：13.

【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解

题的关键.

14.如图，是。。的直径，/C是。。的弦，过点C的切线交N8的反向延长线于点。，若

/BAC=2/D,AC=4cm,则图中阴影部分的面积为24H迈加

3

【分析】由N8/C=2ND,推导出ND=N/CZ),则ND=/C=4c机，由切线的性质得NOCD=90。，可证

明ZAOC=NACO,贝I]OA=AC=OC=4cm,求得O。=ON+/。=8cm,ZAOC=60°,所以

CD=SD2—OC2=4辰m，则S阴影=s~二一S扇形/℃=24个一二加，于是得到问题的答案•

【解答】解：•;/BAC=2/D,S.ZBAC=ZD+ZACD,

:.2ZD=ZD+ZACD,

ZD=ZACD,

AD=AC=4cm,

・••CD与OO相切于点C,

CD1OC,

ZOCD=90°,

ZAOC+ZD=90°fZACO+ZACD=90°f

ZAOC=ZACO,

OA=ACf

•・•OA=OC,

OA=OC=AC=4cm,

...△/OC是等边三角形，。。=04+4。=4+4=8（。冽），

AAOC=60°,CD=JOO?—℃2=打一42=4瓜加),

224-^3-87r/2\

O171yl石60^-x4

•*,S阴影=S&CODS扇形zoo=5x4x4V3—3—[cm)

故答案为：24.-8晨病

3

【点评】此题重点考查切线的性质、扇形面积的计算等知识，推导出。/=。。=/。=4°入是解题的关键.

DF,/s-1

15.如图，在正方形/BCD中，点E在边上，且——=-——，过点£作EF///8交8C于点尸，在矩

AD2

形£FCD内部作正方形£G〃O,若矩形CFG”的面积为2,则正方形/BCD的面积为2亚+4

【答案】275+4.

【分析】设〃£=（退-1）。，则然后表示出G"、尸G的长，根据矩形的面积公式即可计算出力

的值，再根据正方形的面积公式计算即可.

:.设。£=(0-1)。，

则AD=2a,

••・四边形48co是正方形，

4B=AD=2a,NA=NB=90°,

EF11AB,

ZAEF=ZBFE=90°,

四边形/£F8是矩形，

EF=AB=2a,

••・四边形是正方形，

...GH=GE=DE=(V5-l)a,

FG=EF-GE=2a-(45-l)a=(3-V5)a,

•.•矩形CFG”的面积为2,

二(3-⑹a•(退-l)a=2,

解得力=在土2,

2

正方形ABCD的面积为(2a)2=4a2=4x乂乎=2遥+4,

故答案为：2石+4.

【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握这些几何图形的性质是解题的关键.

16.小明和小刚各有一枚硬币，小明在硬币的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签；小刚在硬币的正面

贴上蓝色标签，反面贴上红色标签，两人分别抛掷各自的硬币.求硬币落地后出现颜色相同的概率.

解：列表如下（请补充下表）.

小明小刚

篮红

黄（黄，蓝）

红

总共有一种可能的结果，每种结果出现的可能性—.其中硬币落地后出现颜色相同的结果有一种,

其概率为—.

【答案】补充表格见解答；4；相等；1；

【分析】根据题意补充表格即可；由表格可知，共有4种等可能的结果，其中硬币落地后出现颜色相同的

结果有1种，再利用概率公式可知，其概率为1.

【解答】解：列表如下：

小明小刚

篮红

黄（黄，蓝）（黄，红）

红（红，蓝）（红，红）

由表格可知，总共有4种可能的结果，每种结果出现的可能性相等.其中硬币落地后出现颜色相同的结果

有1种，其概率为J.

4

故答案为：4；相等；1；—.

4

【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分,

第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（5分）用公式法解方程：（x+2）（%+3）=20.

【分析】先把方程化为一般式，再计算出判别式的值，然后根据求根公式法解方程.

【解答】解：x2+5x-14=0,

△=52-4x（-14）=81,

-5±V81_-5±9

X=—，

22

所以再=一7,x2=2.

【点评】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

18.（5分）先化简，再求值：（加+3>-（加+1）（1）-2（2加+4）,其中加=-g.

【答案】2m+2,1.

【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算进行化简，然后将加的值代入原式即可求出答案.

【解答】解：原式=%，+6〃？+9-（加2-1）-4加-8

=m2+6m+9-m2+1—4m—8

=2m+2,

当加=--时，

2

原式二-2x：+

2

=—1+2

=1.

【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘法运算法则，本题

属于基础题型.

19.（5分）如图，在△NBC中，ZC=90°,AC=3,以/为旋转中心，分别将线段/C,48顺时针旋转

25。得到线段AD,AD交BC于点、F.若ND=20。，求/尸的长.

【答案】3行.

【分析】由旋转的性质以及三角形内角和很容易得到NC4尸=/。8-/胡。=45。，所以尸是等腰直

角三角形，进而即可得解.

【解答】解：：旋转，

△ACB=△AED,

NB=ND=20°,

•/ZC=90°,

/CAB=70°,

.・・旋转角度为25。，

ABAD=25°,

/.ZCAF=ZCAB-/BAD=45°,

△CAF是等腰直角三角形，

•••/C=3,

二.AF=3日

【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.

20.(6分)已知关于x的一元二次方程一+(m-l)x-m=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的一根为负数，求冽的取值范围.

【分析】(1)计算方程根的判别式，判断其符号即可；

(2)求方程两根，结合条件则可求得加的取值范围.

【解答】(1)证明：・.F=1,b=m-l,c=-m,

二.△=Z)2-4ac=(m-1)2-4xlx(-m)

=m2+2m+1

=(m+1)2.

••.对任意实数%,(〃?+l)2》0,

..•对任意实数机，方程总有两个实数根；

(2)解：.一±"2一4四=1-加±(机+1),

2。2x1

x=1,x=-m.

・.・方程的一根为负数，

/.-m<0,

:.m>0.

【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键.

21.(5分)数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究.

已知：如图，。。及。。外一点尸.求作：直线尸2,使网与。。相切于点2.

李华同学经过探索，想出了两种作法.具体如下（已知点8是直线0P上方一点）

作法一（如图1）:作法二（如图2）:

①连接0尸，作线段0P的垂直平分线，交。P于点/；②①连接0P,交。。于点过点〃作。P的垂

以点/为圆心，以的长为半径作。/,。/交。。于点线MN；②以点。为圆心，以。P的长为半径作

B；③作直线P8,则直线总是。。的切线.弧，交直线九W于点0；③连接交。。于

点、B；④作直线则直线尸2是。。的切线.

图1

图2

证明：如图1,PO为。/直径，证明：……

NPBO=90。.（直径所对的圆周角是直角）

PB1OB.

•・・。2是。。的半径，

直线尸3是。。的切线.

请仔细阅读，并完成相应的任务.

（1）“作法一”中的“依据”是指—.

（2）请写出“作法二”的证明过程.

【答案】（1）直径所对的圆周角是直角.

（2）见解答.

【分析】（1）根据圆周角定理可得答案.

（2）结合全等三角形的判定证明AO8尸三AOMQ,可得NO8P=NOMQ=90。，再结合切线的判定可得结论.

【解答】（1）解：由题意得，“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角.

故答案为：直径所对的圆周角是直角.

（2）证明：由作法可得，MNLOP,OP=OQ,

AOMQ=90°.

・：OB=OM,NBOP=NMOQ,

NOBP=AOMQ（SAS）.

ZOBP=ZOMQ=90°.

OBVPB.

•・・。3是。。的半径，

直线尸8是。。的切线.

【点评】本题考查作图一复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

22.（5分）第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中

国五千年的文化.为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上

讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义.

（1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为

（2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取.请利用画树状图或

列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率.

【答案】（1）7-

4

（2）—.

4

【分析】（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人抽到的卡片上是相同名称的结果数，再利用概率公式可得

出答案.

【解答】解：（1）.••共有四张卡片，且每张卡片被抽到可能性相同，

.••随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为。.

故答案为：—.

4

(2)将写有“梅、兰、竹、菊”的四张卡片分别记为N,B,C,D,

画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上是相同名称的结果有4种，

41

..•两人抽到的卡片上是相同名称的概率为二=：.

164

【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的

关键.

23.(5分)已知a,n,〃为正整数，m<n.设/(-加,0),2(%0),C(0,p),。为坐标原点.若

ZACB=90°,且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).

(1)求图象经过B,C三点的二次函数的解析式；

(2)点。是抛物线上的一动点，直线交线段3c于点Q,若A4C0,AABQ的面积见打。，S叔时满足

SMCQ:S^BQ=1:3，求此时点D的坐标•

【分析】(1)由勾股定理得到0405=OC?,即根〃=02,然后代入已知条件中得到加+-。=3,然后利用

一元二次方程根与系数的关系求得加与"的值，利用待定系数法求得二次函数的解析式；

(2)由已知和A48。的面积比得到CQ与。8的比，从而确定。点坐标，然后利用待定系数法求得直

线/。的解析式，然后联立方程组求点。坐标.

【解答】解：(1)■.-ZACB=90°,OC±AB,

OAOB=OC2,即mn=p2.

■：OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC),

m2+n2+p2=3(m+«+/?).

X*->m2+n2+p2=(m+n+p)2-2(mn+np+mp)

=(m+n+pY—2(/?2+np+mp)

=(m+n+?/-2p(m+〃+/?)

=(加+〃+p)(m+n—p),

:.m+n-p=3,即加+〃=p+3.

mn=p2,加+川=2+3,

，加，〃是关于工的一元二次方程-—(p+3)x+p2=0①的两个不相等的正整数根，

△=[―(2+3)]2—4/>0,解得—l<p<3.

又丁夕为正整数，故夕=1或夕=2.

当夕=1时，方程①为4x+l=0,没有整数解.

当夕=2时，方程①为炉_51+4=0,两根为加=1,〃=4.

综合知：m=l,〃=4,p=2,

设图象经过4,B,。三点的二次函数的解析式为〉=左(％+1)(工-4),

将点C(0,2)的坐标代入得2=左x1x(-4),解得左=一；.

113

「•图象经过4,B,C三点的二次函数的解析式为>=-2(x+l)(x-4)=-5/+2X+2.

13

・••图象经过4,B,C三点的二次函数的解析式为>=-9

由-S^BQ=1:3,得CQ:QB=1:3,

113

x=-OB=\,y=2——OC=~,

nQ4en42

3

••2(1,-)，

•・•4—1,0),

13c

V-..X2H----X+2

3322

AQ:y=-x+-,联立＜

4433

y=­x+—

消去V整理可得，2X2-3X-5=0,

由韦达定理：XAXD=，而1，

5

•，X。=/，

21

•••力=9，

二。点坐标为：.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、根与系数的关系、勾股定理及解方程组等知识点，

熟练掌握相关运算性质及方法并数形结合是解题的关键.

24.（6分）如图，已知四边形N8CD为正方形，AB=442,E为对角线/C上一个动点，连接过点

E作EFLDE,交BC于点、F,以DE,£尸为邻边作矩形。斯G,连接CG.

（1）求证：矩形。EFG是正方形（提示：过点E作瓦8c于点过点£作EN_LCD于点N）.

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析部分;

(2)8.

【分析】（1）作出辅助线，得到E"=£N,然后再判断=得到ADEN=AFEN,则有

DE=EF,即可判断矩形DEFG为正方形;

（2）由四边形/2CO为正方形，四边形。EFG是正方形可知AD=CD,DE=DG,故可得

NADE=NCDG,得到NE=CG,即可判断CE+CG=8,为定值.

【解答】（1）证明：如图所示，过£作£/工8c于M点，过E作ENLCD于N点,

••・四边形为正方形,

,ZBCD=90°,

•••EMVBC,EN1CD,

ZEMF=ZENC=/END=90°,

/MEN=90°,

•・•四边形Z)£FG为矩形，

/FED=90°,

/.AMEN-ZFEN=ZFED-ZFEN,即NMEF=/NED,

・・•E是正方形ABCD对角线的交点，

:.EN=EM,

在ADEN和AFW中，

AEMF:/END

<EM=EN,

ZMEF=/NED

,ADEN=AFEM(ASA),

ED=EF,

二.矩形。跖G为正方形.

(2)解：CE+CG的值为定值，

•.•矩形Z)£FG为正方形，

DE=DG,ZEDG=90°,

四边形ABCD是正方形，

AD=DC,ZADC=90°,

ZEDG-ZEDC=ZADC-ZEDC,即ZADE=ZCDG,

在和ACDG中，

AD=DG

<ZADE=ZCDG,

DE=DG

AADE=\CDG{SAS),

AE=CG,

:.CE+CG=CE+AE=AC=42AB=S>

，CE+CG=8是定值.

BMFCH

【点评】本题考查了正方形的性质，判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等.

25.（6分）如图，在。。中，直径于点£,连接NC,CB,过点。作OF//CB交。。于点尸，

过点F作。。的切线交AB的延长线于点G.

(1)求证：AC//FG；

(2)若4£=3,C£>=8,求FG的长.

A

【答案】（1）见解答；

、25

⑵T-

【分析】（1）先根据切线的性质得到/。尸G=90。，根据圆周角定理得到乙4c3=90。，再利用平行线的性

质得到NFOG=NABC,接着利用等角的余角相等得到ZA=ZG,然后根据平行线的判定方法得到结论；

（2）连接。C,如图，设。。的半径为厂，则OC=r,OE=r-3,先根据垂径定理得到=4,再

25

利用勾股定理计算出NC=5,在区地€^£中利用勾股定理得到&-3）2+42=*,解方程得到。尸=然

O

后证明\ACE^\GOF,最后利用相似比计算出GF的长.

【解答】（1）证明：・・・G/为O。的切线，

OFLFG,

ZOFG=90°,

,/AB为直径，

:.ZACB=90°,

\'OF//BC,

/FOG=/ABC,

-ZA+ZABC=90°,ZG+ZFOG=90°,

//=NG,

:.AC//FG；

(2)解：连接OC,如图，设OO的半径为，贝iJOC=尸，OE=-3,

OELCD,

:.CE^DE=-CE=4,

2

在RtAACE中，^C=V32+42=5>

在RtAOCE中，(r-3)2+42=r2,

解得r=一25，

6

25

：.OF=OC=——,

6

・・・N4=/G,ZAEC=ZGFO,

\ACE^\GOF,

25

AE:GF=CE:OF,即3:GP=4:——，

6

25

解得G/=M，

o

25

即GF的长为

o

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理、垂径定理和圆周

角定理.

26.（6分）在平面直角坐标系xQy中，,弘），N（x『%）是抛物线N=办2+6x+1（。＞0）上任意两点,

设抛物线的对称轴为直线x=t.

（1）若点（2,1）在该抛物线上，求/的值；

（2）当《0时，对于％＞2,都有必＜%,求网的取值范围.

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345x

一1-

一2-

-3-

-4-

-5-

【答案】(1)t=l；

(2)-2<玉(2.

【分析】(1)点(2,1)代入解析式求得b=-2。，进一步即可求得£=1；

(2)根据二次函数的性质即可得到玉的取值范围.

【解答】解：(1)・・•点(2,1)在该抛物线

4。+2b+1=1,

..b——2a,

..b

..1—---------二i;

2a

(2)・.・《0时，X2>2,

N(X2,y2)的对称点的横坐标x3<-2,

:抛物线>+区+1(。〉0)开口向上，必<%,

厂.—2(石〈2.

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键.

27.（7分）【问题提出】如图①，在AABC中，若AB=8,AC=4,求3c边上的中线4D的取值范围.

【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长/。到点使DE=4D,再连结BE（或将A4CD绕着点

。逆时针旋转180。得到把”、AC.2ND集中在A48E中，利用三角形三边的关系即可判断.由

此得出中线的取值范围是_2<AD<6_.

【应用】如图②，在A42c中，。为边3c的中点，已知AB=5,AC=3,AD=2,求5c的长.

【拓展】如图③，在A48c中，44=90。，点。是边8c的中点，点£在边N8上，过点。作"交

边NC于点尸，连结斯.已知2E=10,CF=U,则环的长为.

【答案】（1）2<AD<6,

（2）2万;

（3）2屈•

【分析】（1）证明AZMC三AD班得/。=即，再根据三角形三边关系求得/E的取值范围，进而得结论；

（2）延长/。到E,使得连接BE,证明AZX4C三AZ）匹得/。=班，再证明乙4匹=90。，由

勾股定理求得2。，进而得8C；

（3）延长尸。到G,使得。G=ED,连接BG,EG,证明AC。尸二A^OG,得BG=CF,

/DCF=/DBG,再证明/助G=90。，由勾股定理求得EG,由线段垂直平分线性质得斯.

【解答】解：（1）在AZMC和AZ）仍中，

AD=ED

</ADC=/EDB,

CD=BD

:.\DAC=\DEB{SAS）,

AC=EB=4,

•・•AB-BE<AE<AB+BE,45=8,

.•.4</£<U2,

/.2<AD<6,

故答案为：2<AD<6；

（2）延长4。到E,使得连接如图②，

在\DAC和\DEB中，

AD=ED

<NADC=/EDB,

CD=BD

:.\DAC=\DEB{SAS),

AC=EB=3,

•/AE=2AD=4,AB=5,

BE2+AE2=AB1，

:.NAEB=90。,

BD=ylBE2+DE2=A/32+22=V13，

BC=2BD=2V13;

(3)延长ED到G,使得。G=ED,连接8G,EG,如图③,

图③

在NBDG和KCDF中，

BD=CD

<4BDG=ZCDF,

DG=DF

NBDG=^CDF(SAS),

BG=CF=U,DG=DF,ZDBG=ZDCF,

■：DE1DF,

EG=EF,

■：NN=90°,

ZABC+ZACB=90°,

:.ZABC+ZDBG=90°,

EG=^BE2+BG2=V102+122=2府，

EF=2屈，

故答案为：2屈■

【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴

题.

28.(7分)如图，在平面直角坐标系中，已知。。的半径为2,且。。与y轴、x轴的正半轴分别交于

点/、8,点P是该坐标平面内一点，给出如下的定义：

①若在。。上存在一点。，使得P、。两点间的距离小于或等于1,则称点