2024-2025学年辽宁省高二年级上册11月期中数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年辽宁省高二上学期11月期中数学检测试卷

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.

1.已知正方体ABCD—481Goi的棱长为1,则直线4°与AC所成角的正弦值为()

£V2

A.0B.2C.2D.2

【正确答案】D

【分析】由正方体可得4。"8。，可得/gcz是异面直线直线4。与NC所成的角，进而

求解即可.

在正方体中，可得CD,A{B{=AB=CD

所以四边形481co是平行四边形，所以4。"B[C,

所以f是异面直线直线4。与NC所成的角,

又易得△与C"是等边三角形,所以/与口=60。

sinZJ81G4=—An——

所以2,所以直线4"与NC所成角的正弦值为2.

故选：D.

2.在空间直角坐标系°师中,已知a=(1/,0)力=(0,1,1),c=(2,1,z),若a,ac共面,则

z的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【正确答案】A

【分析】由空间向量共面定理代入计算，即可得到结果.

由空间向量共面定理可得存在实数X/,使得£=口+,，

1

x=­

2

,1

l=2y]y=2

T=x+yz=_[

即（l,l,0）=（0,x,x）+（2y,y/z）,所以|o=x+yz,解得

故选：A

3.直线gx+3>+4=°的倾斜角为。

A.150°B.120。c60°D.30°

【正确答案】A

【分析】求出斜率，进而可得倾斜角

__立_i

由直线后+3〉+4=0得7—_7》一§

故直线的斜率为3,又倾斜角范围为[°」80）

所以倾斜角为150°.

故选：A.

4,圆x2+V+2x-4y+l=0和圆x2+j?_4x-2y+l=0的公切线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【正确答案】B

【分析】将圆的一般方程转化成标准方程，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解.

由题意得，圆x2+V+2xf+l=0=（x+l）2+d）2=22,即以G（T2）为圆心,

6=2为半径的圆，

圆/+/-4—>1=0=（一）2+&一1）2:22,即以=（2,1）为圆心，4=2为

半径的圆,

故0=2-2<|C]G]<2+2=4

因此两圆相交，则有2条公切线.

故选：B.

5,已知x，"R且/+「=i,则4x-3y的最大值为（）

A.1B.疗C.叵D,5

【正确答案】D

【分析】由三角换元代入计算，结合正弦型函数的值域，即可得到结果.

人x=cos0,y=sin0,0e[0,2^1

,_3

则4x—3y=4sin8—3cose=5sin（9—0）其中匕“0=^

因为sin（"9）e[Tl],则5single[-5,5],

所以4x-3丁的最大值为5.

故选：D

二+广=1立

6.若椭圆2m的离心率为2,则加=（）

A.1B.4C.1或4D,以上都不

对

【正确答案】C

【分析】分焦点在1轴和焦点在y轴两种情况分别计算.

d2—mV2

e---------------

当焦点在X轴上时，亚2,解得m=l；

V2

yejm—_—_2____—

当焦点在歹轴上时，品2,解得冽=4.

故选：C

7.已知大，月是椭圆的两个焦点，过片且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于48两点，若

是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）

无在包

A.3B.3c.2D.2

【正确答案】A

【分析】由正三角形特点信片用。表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率.

・•/BF■•-MF2|=^|F1F2|=^C

・“"%是正三角形，33

AFX\=2\AF2\=^-C,\AFX\+\AF2|=2V3c=2a

故选.A

本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆的椭圆的定义；关键是能够利用正三角形的特

点求出㈤M盟］

8.曲线卜一^二『I团所围成图形的面积为（）

3兀

A.2B.2拒C.4D.2

【正确答案】A

【分析】根据题意,分类讨论去掉绝对值符号，然后画出图形，结合图形即可求得结果.

x=-lA

产；(f-l)

由,2一4=1-3可得1T即仅归1,所以T<y<i,

又1=卜2一”+回斗2一了+”=12卜必，即_]0<],

当>€[°，1]且/—>“°时，则方程为》2—了+>=1,即》2=1,所以x=±l,

_x2+l

当》‘[0,1]且―一”。时，则方程为了――+^=1,即'2,

_x2-l

当ye[T°)时，则》2-y〉0,所以方程为Y-yr=l,即'2,

画出如图所示图像，其中弓形48与弓形°相等，

由割补法可知，围成图形的面积为2x1=2.

故选：A

二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知xj/eR且/+/+丫=i,则(％—1)2+(y―i)2+Q_2)2的值可能是。

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】CD

【分析】由(X—1)2+3—1)2+(2—2)2的几何意义可求得其范围，即可得答案.

因/+/+22=1,则(/HZ)表示以原点为球心，半径为1的球表面上的点.

则(x-I)2+3-1)2+(Z-2)2表示(xJ,Z)到(1,1,2)距离的平方.

类比点到圆上距离的范围，可得

(X-1)2+(J-1)2+(Z-2)2<^/12+12+22+1J=7+2指

(X-1)2+(J-1)2+(Z-2)2>^/12+12+22+1J=7-276

结合力a1.414,6a1.732,可得指“2.449,则7+2后711.898,7-276«2.102

故2<(x—Ip+(了一厅+(2—2)2<12,则只有CD满足条件.

故选：CD

10.在空间直角坐标系Oxyz中，己知〃=(1」/)，点41，°，°),点尸(X)*),且p,o不

重合，P,A不重合，则()

A.若5口=1,则x,y,z满足：x+了+2=1

B.若万,屋则x,y,z满足：%+了+2=1

C.若屋则x,y,z满足：xT=J=z

D.若〈丽2〉=45°,贝人,y,z满足：X2+/+Z2-4XJ-4J；Z-4ZX=0

【正确答案】BCD

【分析】A由空间向量模长公式可判断选项正误；B由空间向量垂直坐标表示可判断选项正

误；C由空间向量共线坐标表示可判断选项正误；D由空间向量夹角坐标公式可判断选项正

误.

~AP-（x-AV7、LiP=1=>（x—1Y+V2+z2=1=>X2+V2+z2=2x

A由题，4〃一口因1|IJ,“，贝°A

错误；

B因石,"，则“尸,〃=x-l+y+z=°nx+y+z=l,故B正确；

x-1yz1

—»------=-=—^>x-l=y=z

C因4P//",则III,故C正确；

cos。，&=「:+Fy+/z）［l

一=正==

D因〈。尸,〃〉=45°,则V3jx2+/+z223（x+y+z）2.

2222222

sp3（x+y+z）=2（x+y+z）^x+y+z-4xy-4yz-4zx=0^故口正确.

故选：BCD.

II.现有圆锥顶点为尸，底面所在平面为母线PM与底面直径MN的长度都是2.点A是

PM的中点，平面厂经过点A与a所成二面角（锐角）为30°.已知平面厂与该圆锥侧面的交

线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（）

V33

A.2B.IC.2D.2

【正确答案】ABC

【分析】当平面与圆锥的旋转轴所成角度大于母线与旋转轴所成角度，小于直角时，圆锥被

平面所截得的截线形状为椭圆。本题中可以通过轴截面做出椭圆长轴长度的最大值和最小值,

从而确定答案.

如上图，做出过点A的轴截面尸73,由已知条件可知，平面用与轴截交得到的线段最短为

最长为NW,当平面厂与圆锥面所截得的椭圆的长轴落在平面R3内时，长轴长

/A----------------r-

2a="4或2a=2儿，根据已知的几何关系可以计算出'2,幺〃=43.当夕与圆锥

所截得的椭圆的长轴不在图中所作的轴截面尸"N内时，长轴长度满足."4<2"<“初

V3

对于A选项，长轴长度可以为2；

对于B选项，2,长轴长度可以为；

V33/T3

—<一<A/3一

对于C选项，22,长轴长度可以为2；

对于D选项，2〉行，长轴长度不可能为2.

故选：ABC

方法点睛：过A点做出轴截面可以得出椭圆长轴长度的取值范围，与选项进行对照求解即可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线经过点尸（L百）且与直线后一了+5=°垂直，则直线的方程是.

【正确答案】x+43y-4=0

【分析】先根据两直线垂直求出斜率，再写出点斜式方程.

直线Gx-y+5=°的斜率为6，所以直线的斜率为3,

所以的方程为：,一"——々"GT),即x+Kv—4=0.

故x+Cy-4=0

13.已知点/(5，°),点B,C是直线工=1与圆/+/=5的交点，则经过点A,B,C的圆

的方程是.

【正确答案】Y+V-5x=0

【分析】由题设圆的方程为：5+“XT)=0,代入2(5,0),即可求得方程.

因点B,C是直线x=l与圆X+y=5的交点，

则设过B,C的圆的方程为：”+-7+4(XT)=0,代入2(5,0),

则25—5+42=°n2=—5,则过过点A,B,C的圆的方程是：

J+「一5-5(1-1)=00/+/-51=0

故X?+丁-5%=0

c：《+J1

14.已知点〃在精圆'169上，点尸(-3,0)、0(3,0),则1叱1+也。1的取值范

围是.

【正确答案】【8,6拒］

2222

xyxy厂12/1

【分析】构造椭圆—189，椭圆2,167分别与椭圆,169有相同

的短轴和长轴，同时尸(一3，0)、°(3,°)是两椭圆的焦点，利用图形关系可求

四什也的取值范围.

C《+J1G：《+J1

由椭圆169与椭圆189有相同的短轴,

167有相同的长轴,

.--------1-------1-c­—+^—=1

又椭圆167与椭圆，，189有相同的焦点耳（一3,°），630）,

即点尸（一3,0）、0（3,0）,

c：^+£=1C］：^+£=1

由椭圆方程可知椭圆169在椭圆'189上及其内部,

C2Z+£=1U二+J1

椭圆一167在椭圆169上及其内部，

cZ+£=i厂

当点尸在-189］上时JW|+|Pg|=2a=6夜，

C:—+^=1C,：—+^=1

因椭圆方程可知椭圆169在椭圆189上及其内部，

所以也P+也Q国0不+1PF,\=6^2，当点在短轴的端点时取等号,

C工+、

当点尸在2167上时，|呷+叱|=2"8,

c2：^+/=1U二+片=1

因椭圆方程可知椭圆2167在椭圆169上及其内部，

所以也门+也。闺尸"+1%1=8,当点p在长轴的端点时取等号，

所以||+||的取值范围是［8,6行］.

故答案为.［8,6行］

关键点点睛：考查数形结合思想的应用，重点在于构知椭圆G，G与原椭圆分别共长轴与短

轴，并以p，0为焦点，利用椭圆的定义可求解.

四.解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知椭圆°的长轴端点是4一2亚，°）和8（2行,0）,离心率是2

（1）求椭圆°的方程；

（2）若点尸在椭圆°上，求点尸到点“（°』）的距离的取值范围.

22

工+2=1

【正确答案】（1）82

【分析】（1）利用已知条件可求得。力，进而可求得椭圆方程;

1PM空

（2）设尸（x，y）是椭圆上£为任意一点，利用两点间的距离公可得113

可求得点尸到点MQ1）的距离的取值范围.

【小问1详解】

a=2母

cV3

<—=---

a2a=2V2

<

a1=b2+c2解得.〔'=后

由题意得：、

x2匚1

---F

故椭圆C的方程为：82

【小问2详解】

设尸（X/）是椭圆上的任意:一点，所以一=8-4匕

r_1/1Y28

\PM\=^x2+（y-iy

V13J3,其中ye[-后,0].

所以

V2-1<|PM|<^

所以3

\/2—1,

故点P到点M（0J）的距离的取值范围是-

16.如图，正四棱锥P-48co中，AB=41,侧棱尸/与底面48C。所成的角为60°.

（1）求侧面尸4§与底面4BC。所成的二面角（锐角）的余弦值；

（2）在线段可上是否存在一点E,使得NE，PC?若存在，确定点£的位置；若不存在

说明理由.

V7

【正确答案】（1）7

—•1—.

BE=-BP

（2）在线段用上存在点£,点£满足3，使得4ELPC.

【分析】（1）设°为底面4SC。的中心，以点。为原点，°伐℃,0尸分别为无轴，歹轴，

z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设尸（°，。，”），利用侧棱总与底面

所成的角为60°,结合线面角的向量求法，求出参数力，再利用面面角的向量求法即

可求解.

（2）设BE=4BP,验证是否存在力使得NE•。尸=0.

【小问1详解】

设°为底面的中心，以点。为原点，°民℃,0/5分别为无轴，》轴，2轴正方向,

建立空间直角坐标系，如图所示.

ZJ

由题意知，/（°，一1，0），3（1，°，0），c（o,1，0）,

设P（0,0,/z）,其中〃〉0,贝/0=（0,1,〃），向量〃1=（°，°，1）是平面N8C。的法向量

AP-n

COS，尸,〃]x=cos30°

国,同

由题意得，，解得

设平面PAB的法向量为〃2=（%，乂,Z2）.

因为，尸=次=（1,1,0）,

__x2=-1

4P・〃2=。|^2+V3z2=0<也

所以〔而•心0,即%+%=。，令%=1,则卜=一丁

故侧面尸48与底面“BCD所成的二面角（锐角）的余弦值为7

【小问2详解】

由⑴知方=（1,1,0）,取=（-1，0,6）,

设砺=2而，则次=砺+屉=（1,1,0）+4。,0,6）=。-

丽=如1,6）

因为\,

若NECC,则冠丘=0T1，履)(OTG)=O

2=-

即—1+32=0,解得3,

—■1-.

BE=-BP

故在线段所上存在点E,点£满足3,使得NE,PC.

17.如图，在三棱柱4sC—481G中，点。是棱AC的中点.侧面底面ABC,底

面ABC是等边三角形，"B=AAI，4B_L4C.

B

（1）求证：4°，平面ABC；

（2）求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

3

(2)5

【分析】（1）由侧面N4GC，底面ABC结合面面垂直性质可证结论；

（2）.以点。为原点，°区℃,04分别为x轴歹轴Z轴正方向，建立空间直角坐标系

Oxyz,求出平面“448与平面℃目避法向量，后由空间向量知识可得答案.

【小问1详解】

连结OB.

B0=AC

在V/5C中，BA=BC,AO=OC,所以BO_L/C,且2

又因为所以ZCL平面43。.

从而

又因为平面^'C'C1平面ABC,AC是平面441cle与平面ABC的交线,

所以'平面ABC

B【小问2详解】

在90中，N&Q/=90°,44=240,所以“。二三幺。

设ZC=2,以点。为原点，°民℃,。4分别为X轴歹轴z轴正方向，建立空间直角坐标系

Oxyz,如图所示.

有Z(0,-l,0),5(V3,O,O),C(O,1,O)；4(0,0,V3),A5=(V3,1,0),CB=(V3,-1,0)；

数=函=(0,1,也)

设平面四稣8的法向量为〃1=G"1，Z1),平面的法向量为〃2=。2/2/2),

44]•耳=必+A/3ZJ=0BBX-«2=y2+V3z2=0

<__kk一

由题意得,4=Gx]+必=0CB-«2=V3X2—v2=0

则取平面池田田的法向量为〃1=(1,-6,1),平面℃48的法向量为〃2=(1,G,-1).

1-3-13

[cos%-H2|=

则一75x755

3

AABB

故平面''与平面CCiKB所成锐二面角平面角的余弦值是5

18.已知点尸（加，〃）与点Q（x。/。）关于直线3"对称.

（1）求点尸的坐标m,n（用x。/。表示）；

7373

y——x-\----

（2）若点P（加，〃）在曲线3X上，求点°（XJ）所在曲线的方程.

瓜0一%

【正确答案】（1）

22

土.匕=]

（2）62

【分析】（1）根据给定条件，利用对称特性列出方程组求解即得.

GV3

71——mH-------

（2）由（1）的结论，与3m联立消去犯〃即可得解.

【小问1详解】

y0+n=x0+m“瓜。-y°

依题意，1232,解得〔2

【小问2详解】

22

&__汽_]

(其中XO+K%)HO),

整理得：62

22

土—匕=1

所以点Q(x,y)所在曲线的方程为62.

19.在平面直角坐标系中，已知点片。期O,点尸满足后附日明.记尸的轨迹

为C.

(1)求°的方程；

(2)已知点“(1/)，设点M,N在°上，点M,N与点A不重合，且直线MN不与％轴垂

直，记配片2分别为直线AM,AN的斜率.

(i)对于给定的数值入九(XeR且无力1),若《色=',证明：直线MN经过定点;

(ii)记(i)中的定点为Q,求点°的轨迹方程.

【正确答案】(1)/+/=2

(2)(i)证明见解析，(ii)点。的轨迹方程为直线y=-x(除去点(L-D)

【分析】⑴根据/户用=卢闾，代入两点间距离公式即可求解；

1+2/71\

rL_；m=----(4+1)

(2)(i)联立直线“N与°的方程，结合々*2="