2024-2025学年人教版八年级数学下册 第三章 图形的平移与旋转 单元重点综合测试（培优卷）（解析版）

第三草图形的平移与旋转（培优卷）

考试时间：120分钟，满分：120分

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功.在下列四个航天员简笔画中，可以由

图平移得到的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了生活中平移的现象."平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动

一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”.根据平移的意义即可求解.

【详解】

解：根据"平移"的定义可知，由题图经过平移得到的图形是

故选：B.

2.在平面直角坐标系中，如果点43,-2）与点3关于原点对称，那么点2的坐标是（）

A.(3,-2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(-3,2)

【答案】D

【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是根据两个点关于原点对称，那么这两个点

的坐标符号相反即可得出结果.

【详解】解：.•.两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，

.•.点(3,-2)关于原点对称的点的坐标是(-3,2).

故选：D.

3.一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是()

①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等.

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】B

【分析】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行,

但旋转后对应线段不平行.根据以上性质逐一分析即可.

【详解】解：平移后对应线段平行(或在同一直线上)；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小

没有发生变化.

旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化.

故选:B.

4.将点么(-3,-2)向右平移5个单位长度，得到点4,再把点4向上平移4个单位长度得到点4,则点4

的坐标为()

A.(-2,-2)B.(2,2)C.(-3,2)D.(3,2)

【答案】B

【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移.根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解

答.

【详解】解：将点/(T-2)向右平移5个单位长度，得到点4(-3+5,-2),即(2,-2),

再把点4向上平移4个单位长度得到点4,则点4的坐标为(2,-2+4),即(2,2).

故选：B.

5.如图，△/BC与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是()

H

A.OB=OBB.ZACB=AA'B'C'

C.点/的对称点是点4D.BC//B'C

【答案】B

【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质.根据中心对称的性质解决问题即可.

【详解】解：•・・△42C与△HCB'关于。成中心对称，

.•・08=02',44c3=点/的对称点是点/'，BC//B'C,

故A,C,D正确，

故选：B.

6.如图，△4BC中，NC=63。，将△4BC绕点A顺时针旋转后，得到且C'在边8C上，则48'C'B

的度数为（）

A.45°B.54°C.87°D.70°

【答案】B

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

利用旋转的性质可得/C'=/C,NACE=NC=63。,由等边对等角可得//C'C=NC=63。，然后根据

ZB'C'B=180°-ZAC'C-ZAC'B'即可求出AB'C'B的度数.

【详解】解：•••将△/BC绕点/顺时针旋转后，得到△NB'C',

.■.AC'^AC,ZAC'B'=NC=63。,

■.ZACC=ZC=63°,

ZB'C'B=180°-ZACC-ZAC'B'=180°-63°-63°=54°,

故选：B.

7.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形。43c绕点。顺时针旋转45。后得到正方形。4百

依此方式，绕点。连续旋转2024次得到正方形。4。2482024c2必，那么点4024的坐标是（）

B.(1,0)C.D.(0,1)

【答案】D

【分析】本题考查了坐标与图形变化一旋转及点的坐标规律变化，由题意可得每旋转八次点A的对应点重复

出现，结合2024+8=253即可得解，正确得出规律是解此题的关键.

【详解】解：•.-360°^45°=8,

每旋转八次点A的对应点重复出现,

•••2024+8=253,

二点4O24的坐标与点4的坐标相同,

,・•点4与点A重合，且点A的坐标为（0,1）,

.・•点/2024的坐标是(0,1),

故选：D.

8.如图，将三角形N3C平移得到三角形43'C',下列结论中，不一定成立的是（）

A.44，〃88'或与88'在同一条直线上

B.83'〃口7或与CC'在同一条直线上

C.AA'=BB'

D.BC=A'C

【答案】D

【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状

和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行且相等，对应角相

等.熟练掌握平移的性质是解题的关键.

【详解】解：A、由平移的性质可知或与88'在同一条直线上，故A正确；

B、由平移的性质可知A8'〃CC'或89与CC'在同一条直线上，故B正确；

C、由平移的性质可知=故C正确；

D、由平移的性质可知BC=8'C',但不一定等于4C',故D不一定正确，

故选：D.

9.如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区/8CZ）,长月8=60米，宽8C=24米，为方便游人观赏，公园

特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口/

到出口2所走的路线（图中虚线）长为（）

A.108米B.106米C.104米D.102米

【答案】C

【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键.根据已知可以得出此

图形可以分为横向与纵向分析，计算即可.

【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，

横向距离等于42,纵向距离等于（N〃-2）X2,

•.•长/5=60米，宽8C=24米，

故从出口/到出口5所走的路线长为：60+（24-2）x2=104（米），

故选C.

10.如图，ZUBC为等边三角形，以为边向△4BC外侧作使得乙〃用=120。，再以点C为旋

转中心把△C8D沿着顺时针旋转至AC/E,则下列结论：

①。、/、£三点共线；②ACDE为等边三角形；③。C平分N5ZM；@DC=DB+DA,其中正确的有

E

A

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】如图，由△NBC为等边三角形得到//2C=/A4C=//C8=60。，由乙4。8=120。得到

NABD+/BAD=60。,再根据旋转的性质得NNC8=60。，即旋转角等于60。，CD=CE,

NCAE=ZCBD=ZABD+60°,于是可计算出NDAE=180°,则可对①进行判断；由ZDCE=ZACB=60°,

CD=CE,根据等边三角形的判定可对②进行判断；由ACDE为等边三角形得//DC=60。，于是可得

NCDB=60。,则可对③进行判断；根据旋转的性质得/£根据等边三角形的性质得CD=DE,所以

CD=DE=DA+AE=DA+BD,则可对④进行判断.

【详解】解：・・・△/2C为等边三角形，

NABC=ABAC=AACB=60°,

■：ZADB=UQ°,

:.NABD+/BAD=60°,

♦•,点C为旋转中心把△CAD沿着顺时针旋转至AC4E,

：.ZACB=60°,即旋转角等于60。，CD=CE,ZCAE=ZCBD=ZABD+ZCBA=ZABD+60°,

NCAE+ZBAC+ABAD=ZABD+60°+60°+ABAD=180°,即NDAE=180°,

:.D、4E三点共线，所以①正确；

•/ZDCE=ZACB=60°,CD=CE,

“CDE为等边三角形,所以②正确；

•・・△CDE为等边三角形，

NADC=60°,

ZCDB=60°,

:.DC平分ZBDA,所以③正确；

,・,△CDE为等边三角形,

CD=DE,

而点C为旋转中心把△CB。沿着顺时针旋转至△0力£,

AE=DB,

/.DE=DA+AE=DA+BD,

DC^DB+DA,所以④正确.

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.下列现象中属于旋转的有(填序号)

①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆.

【答案】②④⑤

【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换:

把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换.

【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移；

②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆，属于旋转，

故答案为：②④⑤.

【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键.

12.在平面直角坐标系中，点/的坐标是(2,3),点3的坐标是(1,-2),若把线段N8平移，/的对应点为

A',坐标为则9的坐标为.

【答案】(-2,-1)

【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平

移相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.根据/点的坐标及对

应点的坐标可得线段43向左平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得"点的坐标.

【详解】解：••・”(2,3)平移后得到点H的坐标为(-1,4),

二向左平移3个单位，向上平移了1个单位，

二8(1,-2)的对应点坐标为(-2,-1).

故答案为：(-2,-1).

13.如图，太原方特大摆锤。工的长度为14米，当大摆锤。/绕点。顺时针旋转60。到时，点2到。/的

距离是米.

O

A

【答案】773

【分析】过8点作2。_L。/于点。，利用含30。角的直角三角形的性质求出。。=<。8=7,再利用勾股定

理即可求解.

【详解】过8点作5DLCM于点。，如图，

O

根据题意有：/-BOA=60°,CM=08=14,

•••BDLOA,

：.ZBDO=90°,

ZOBD=30°,即。。

2

••-08=14,

：.OD=LOB=I,

2

；.BD=NBC>2-OD?=7百(米)，

故答案为：7月.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30。角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含30。角的

直角三角形的性质，是解答本题的关键.

14.将点N(T-2)向平移个单位长度后得到的点与点8(1,3)关于了轴对称.

【答案】上5

【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点特征、点平移的特征，根据关于V轴对称的点的特征：纵坐标相同,

横坐标互为相反数，得出点8关于了轴对称的点，再根据点平移的特征：把一个点左右平移，则横坐标是左

减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减，即可得出结果.

【详解】解：根据关于坐标轴对称的点特征，可知：点8关于了轴对称的点为(-1,3),

又•.•点4-1,-2),

・2+5=3,

・••将点/向上平移5个单位长度后得到的点(-1,3).

故答案为：上；5.

15.如图，将RtZ\48C绕直角顶点C顺时针旋转90°,得连接48"若NWBN=25°,则22的大

小为•

【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据旋转的性质得

ZACB'=90°,AC=B'C,ZB'A'C=ZB,进而得出//8'C=45。，再根据=25。，可得/48'C,然

后根据直角三角形两个锐角互余得出ZB'A'C,即可得出答案.

【详解】解：根据旋转的性质得//C8'=90。，AC^B'C,ZB'A'C=ZB,

ZAB'C=45°.

•••ZA'B'A=25°,

ZA'B'C=20°,

ZB'A'C=70°,

:"B=NB'A'C=10。.

故答案为：70°.

三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.已知点2),5(-3,6),,根据下列条件分别求a,6的值.

(1)4,5两点关于x轴对称；

(2)A,5两点关于了轴对称；

(3)/,8两点关于坐标原点对称；

⑷〃了轴；

⑸5两点在第二，四象限的角平分线上.

【答案】⑴"=—3,b=-2

⑵Q=3,b=2

(3)Q=3,b=—2

(4)a=—3,bW2

⑸Q=—2,b=3

【分析】(1)关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此结合A,8两点的坐标可求出

a,b；

(2)关于了轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此结合A,3两点的坐标可求出。，b；

(3)关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此结合A,B两点的坐标可求出。，6；

(4)与了轴平行的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同，据此结合A,8两点的坐标可求出。，b；

(5)在第二、四象限两条坐标轴夹角的平行线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，据此结合A,3两点

的坐标可求出。，b.

【详解】(1)解：•••A,3关于x轴对称，则这两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，

**•a——31b——2.

(2)解：•:A、B关于了轴对称，则这两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，

又「次见2),3(-3力)

.,,<7=3,6=2.

(3)解：A、3关于原点对称，则这两点的横、纵坐标均互为相反数，

•••A(a,2),3(-3,b)

二a=3,b=—2.

(4)解：直线43〃y轴，则A、3两点的横坐标相等，纵坐标不相等，

•••A(a,2),

■■■a=-3,b大2.

(5)解：A、3在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上，则点A、点3的横坐标和纵坐标互为相反数,

•.•/(d2),5(-3,ft)

a——2,6=3.

【点睛】本题考查了关于X轴、了轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，熟记关于X轴对称的点的横

坐标相等，纵坐标互为相反数，关于了轴对称的点的纵坐标相等，横纵标互为相反数；关于原点对称的点的

横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题关键.

17.如图，在平面直角坐标系中，△/8。各顶点的坐标分别为/(-2,2),5(-5,-3),C(O,-1),将zUBC向

右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△44G.

⑴画出平移后的

(2)求△ABC的面积.

【答案】⑴见解析

(2)9.5

【分析】本题主要考查了平移变换、求三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键.

(1)先利用点平移的坐标规律确定对应点4、4、G，然后顺次连接即可；

(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可解答.

【详解】(1)解：如图：△48©即为所求.

18.如图，在平面直角坐标系中，△NBC的三个顶点都在格点上，点/（-5,2）,8（-1,1）,。（-3,5）,请根据题

⑴画出△/BC关于原点对称的△44G,并写出点片的坐标；

（2）画出4ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的“/g,并写出点G的坐标;

⑶线段池2的长度为.

【答案】（1）画图见解答；（1,T）

⑵画图见解答；（3,3）

⑶扃

【分析】

本题考查作图-旋转变换、勾股定理，熟练掌握中心对称的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键.

（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案；

(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案；

(3)利用勾股定理计算即可.

【详解】(1)解：如图所示：即为所求;

由图可得，点及的坐标为(L-1),

故答案为：(1,-1);

(2)解：如图所示：

由图可得，点C?的坐标为(3,3)；

故答案为：(3,3)；

(3)解：由(2)可知，”(-5.2),4(0,5)

22

AA2=^(0-5)+(5-2)=V34，

故答案为：V34.

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.在平面直角坐标系中，点43,0),点8(0,4),把△408绕原点。逆时针旋转，得△C。。，其中，点

C,。分别为点力,B旋转后的对应点，记旋转角为a(0°<a<360。).

(1)如图，当a=45。时，求点C的坐标；

(2)当CD〃x轴时，求点。的坐标(直接写出结果即可).

【答案】后,;0]

⑵满足条件的点°的坐标为或仁,-91

【分析】本题属于坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

(1)如图，过点C作CEL6M于瓦解直角三角形求出CE即可.

(2)分两种情形：CD在x轴上方时，设8交了轴于尸，过点。作轴于7.求出07,即可.当

CZ)在x轴下方时，同法可得.

【详解】(1)解：如图，过点。作CELCU于E.

・.Q=0C=3,

/COE=45。,

,-,EC=OE=^42,

••・呜立河;

(2)解：如图，CD在x轴上方时，设CD交了轴于尸，过点。作DTLx轴于7.

••.C0|x轴,

CDVOF,

•••08=00=4,OC=OA=3,

:.CD=yj0C2+0D2=A/32+42=5，

,/S=-ODOC=-CDOF,

MnDnCr22

CD5

当CD在x轴下方时，同法可得。［不,一不)

综上所述，满足条件的点。的坐标为或

20.在△NBC中，ZACB^135°,BC=1,NC=2,将ZUBC绕点A顺时针旋转90。得到△/££）,连接CD,

CE.

⑴求CD的长度.

⑵求ACDE的面积.

【答案】⑴2啦

(2)72

【分析】（1）由旋转的性质可得/O=/C=2,ACAD=90°,NADE=NACB=135°,DE=BCb于是

可证得A/CD是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求出。的长度；

(2)由(1)可知A/CD是等腰直角三角形，由等边对等角及三角形的内角和定理可得/2OC=45。，进而

可得NCDE=ZADE-ZADC=90°,然后利用三角形的面积公式即可求出ACDE的面积.

【详解】(1)解是△/BC旋转90。得到的，BC=\,AC=2,

：.4D=AC=2,ZCAD=90°,NADE=NACB=135。,DE=BC=1,

是等腰直角三角形，

在中，根据勾股定理可得：

AC2+AD2=CD2,

■CD=y]AC2+AD2=V22+22=2V2；

(2)解：•••//C8=135。，

由(1)可知，ZCAD=90°,N4DE=NACB=135。,DE=BC=l,A/CA是等腰直角三角形，CD=2^2,

ZADC=ZT1CD=1(180°-ZCAD)=45°,

ACDE=NADE-ZADC=90°,

：

.S△.cnF=—2CDxDE=—2x2V2x1=yp2.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式

等知识点，由旋转的性质得出A/CZ)是等腰直角三角形并证明ACOE是直角三角形是解题的关键.

21.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两

点次不，乂)、e(x2,力)的对称中心的坐标为(土尸，归”).

观察应用：

B>2

CO-X

AT

⑴如图，在平面直角坐标系中，若点4(0,-1)、名(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为—；

(2)另取两点3(-1.6,2.1)、C(-l,0).有一电子青蛙从点片处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即

第一次跳到点片关于点A的对称点鸟处,接着跳到点P2关于点B的对称点鸟处，第三次再跳到点P3关于点C

的对称点与处，第四次再跳到点心关于点A的对称点心处，…则点6、A的坐标分别为—、―.

拓展延伸：

⑶求出点取“的坐标，并直接写出在X轴上与点七”，点c构成等腰三角形的点的坐标.

【答案】⑴点A的坐标为(1,1)

(2)心、勺的坐标分别为(一5.2,1.2),(2,3)；

⑶时7(0=1);卜1-小,0)或(0T。)或(1,0)或(。,0).

【分析】(1)直接利用题目所给公式即可求出点/的坐标；

(2)根据题目所给公式求出4，P3,々的坐标，依此类推即可求出々的坐标；

(3)根据所求出的坐标可得6的坐标和《的坐标相同，片的坐标和6的坐标相同，即每6次为一个周期进

行循环，利用这个规律即可求出点纵"的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在x轴上与点

鸟37，点C构成等腰三角形的点的坐标.

【详解】(1)解：=¥===

二点A的坐标为(1,1)；

(2)解：：片(0,-1),

・•隹的横坐标为1义2-0=2,纵坐标为lx2-(-l)=3,即£(2,3),

•・.A的横坐标为-L6X2-2=-5.2,纵坐标为2.1X2-3=12,即4(-5.2,1.2),

・•・舄的横坐标为TX2-(-5.2)=3.2,纵坐标为0x27.2=—1.2,即4(3.2,-1.2),

同理可得：月㈢23.2),冗(-2,1),7^(0,-1),4(2,3),

即点吕、4的坐标分别为(-5.2,1.2),(2,3),

故答案为：(-5.2,1.2),(2,3)；

(3)解：•.•<((),-1)一5(2,3)一月(-5.2,1.2)f与(3.2,4(-1.2,3.2)f线(-2,

-l)f4(2,3)；

・•・〃的坐标和召的坐标相同，G的坐标和鸟的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，

•••2017+6=336…1,

■­•的坐标与耳的坐标相同，即^0.7（0,-1）；

22

••­C^O17=V1+1=V2,

设X轴上与点七"、点C构成等腰三角形的点为点。，

当C4I7=CO=近时，点。坐标为卜1-亚,0）或（后-1,0）；

当^2017=吕017。时>

1•,PimjO_LCD,

.-.OC=OD=l,点。坐标为（1,0）；

当2。"。=CD时，点。在啰。17的垂直平分线上，

二点。与原点重合，点。坐标为（0,0）；

综上，在X轴上与点以八点C构成等腰三角形的点的坐标为卜1-后,0）或（应-1,0）或（1,0）或（0,0）.

【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型一点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定

理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键.

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.

22.［探究证明］图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为“，竖直方向的边长均为与：

在图①中，将线段44向右平移1个单位长度到用与，得到封闭图形44层及（即阴影部分）

在图②中，将折线444向右平移I个单位长度到g与员，得到封闭图形4444反片（即阴影部分）.请

你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：$=_,s2=_.

［结论应用］在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封

闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积s,=_.

［联系拓展］如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单

位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的.

【答案】［探究证明］MT,ab-b

［结论应用］浦-b

［联系拓展］溺理由见解析

【分析】本题主要考查了平移的性质.

［探究证明］阴影部分的平行四边形的底是L高是6,即可得阴影面积，进而可答案；

［结论应用］可看成两个平行四边形，它们的底都是1,而两个平行四边形高的和为人，故可得阴影面积，即

得答案；

［联系拓展］考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为宽是6的长方形，进而得到草

地的面积.

【详解】解：［探究证明］:平行四边形的面积=底、高，

S[=ab—b,S2=ab-b,

故答案为：ab-b,ab-b；

［联系拓展］空白部分表示的草地面积是：ab-b,理由如下：

1、将"小路"沿着左右两个边界"剪去"；

2、将左侧的草地向右平移一个单位；

3、得到一个新的长方形.

在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是6.其水平方向的长变成了所以草地的面积就是：

b(a-l)=ab-b.

23.【探究发现】

(1)如图1,在ZUBC中，AB=AC.AHLBC,垂足为a,点。在上，连接3。，CD.则有下列

命题：①"BD="CD；②4BDH=LCDH,请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程.

【类比迁移】

(2)如图2,在△4BC中，AB=AC,/B/C=45。，点。在三角形的内部，过点。作8OLCD,且

BD=CD,连接AD.求证：AD=BD=CD.

【拓展提升】

(3)如图3.在USC中，/A4c=45。，BC=5,把线段绕点A顺时针方向旋转90。到NM,把线段NC

绕点A逆时针旋转90。到/N,分别连接MB,NC,MN,请直接写出面积的最大值.

【分析】(l)选择①△4aDg△月CD,先利用等腰三角形"三线合一"性质得到/B4D=/C4D,即可由SAS

证明△/灰)名AACD；选择②4BDHGCDH,先利用等腰三角形"三线合一"性质得到BH=CH,即可

由SAS证明ABDH名ACDH.

(2)过点A作/于先证明A,D,反三点共线，都在8C的垂直平分线上，从而得出

ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-x450=22.5°,NBDH=NCDH==NBDC=45。,继而得出RD=22.5。，贝ij

222

AD=BD,即可得出结论.

(3)延长NA交BM于E,由旋转得：AB=AM