2024-2025学年人教版初中下学期八年级开学摸底考数学试卷（含答案）

2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无

效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

1.二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵

和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作

品，其中是轴对称图形的是（）

2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（)

222

A.x+3x=x（x+3）B.(%+y)(x-y)—x-y

C.，+2孙+『-1=（x+y）2-1D.6xy—3x*2y

3.下列计算正确的是（）

A.（J）B.a*a—a^C.a-2ra—aD.(3〃)2=6tz2

1

4.要使分式有意义，则X需满足的条件是（）

A.xW2B.xW-2C.九W±2D.%W0

5.如图，在四边形ABC。中，AC为对角线，AB=DC,如果要证得△ABC与△CD4全等，那么可以添加

的条件是（）

A.AD//BCB.NB=NDC.NB=NACDD.ZACB=ZCAD=90°

6.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是NACB的平分线，BD,CE交于点F.若NAEC=

80°,NB尸C=128°,则NABC的度数是（）

7.如图，为估计池塘岸边A,B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O,测得OA=14〃z,OB=

9m,则点A,8间的距离不可能是（）

A.5mB.10mC.15mD.2Qm

m_2

8.若关于x的方程泊「一彳石】的解为负数，则机的取值范围是（）

A.m<2B.m<3C.相<2且D.m<3且

9.如图，将AABC沿着DE翻折，使2点与夕点重合，若Nl+N2=80°,则的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

10.如图，直线展/2表示一条河的两岸，且现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到

村庄8的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（）

将点A向上平移d得到4;连接AB交（于点M；②过点

②连接A3交于点③M作交于点

过点M作交办于点N.AW即桥的位置.

N,即桥的位置.

A.唯方案一可行B.唯方案二可行

C.方案一、二均可行D.方案一、二均不可行

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

如图，若乙4=70°,ZACD=130°，则N2=

12.在平面直角坐标系中，若点P（2,n）与点。（m,-3）关于y轴对称，则《?+〃=

13.分解因式：2（x-3）+x（3-尤）=.

14.如果整式J+妨匕+16”是一个完全平方式，那么常数上的值为.

15.分式X-212G的值为0,则x的值是.

16.如图，ZB=ZC=90°,点E是8c的中点，OE平分/AOC,若/D4B=60°,CD=3,则AD的

长度为.

AB

三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分4分）（12。4-8a3+4a2）+（2a）2.

包=1，

（本小题满分4分）解方程：x-22-X

^~2）^~2-----

（本小题满分6分）先化简，再求值：a*--l—+1a'-2a+l,其中。=3.

20.（本小题满分6分）已知：如图，NB=/ADB=NADE,ZC=ZE.求证：AC^AE.

B

21.（本小题满分8分）如图，ZsABC三个顶点的坐标分别为A（1,1）,B（4,2）,C（3,4）.

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△4B1C1；

（2）写出△4与G各顶点坐标；

（3）试在x轴上求作一点P,使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点,并写出点P的坐

标

22.（本小题满分10分）列方程解应用题：

港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁

大国走向桥梁强国的里程碑之作.开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠

澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时

J.

间仅为原来路程行驶完全程时间的百，求港珠澳大桥的设计时速是多少.

23.（本小题满分10分）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片.甲种纸片是边长为a

的正方形，乙种纸片是边长为人的正方形，丙种纸片是长为b、宽为。的长方形.

【观察发现】

用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形.观察图（2）的面积关

系，写出正确的等式：.

【操作探究】

若要拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的长方形，则需要甲种纸片张，乙种纸片张，

丙种纸片张.（所拼图形不重叠无缝隙）

【拓展延伸】

两个正方形ABC。、AEFG如图（3）摆放，边长分别为x,y,连接CE,DF.若，+丁=52,DG=2,

求图中阴影部分的面积.

24.（本小题满分12分）阅读材料，并解决问题：

我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”.类

似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，

我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x+1,X+1这

3_2l_7_小（即塔带

样的分式就是假分式;再如GT,x；：+i这样的分式就是真分式.假分数W可以化成

分数的形式，类似的,假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式.

Q=2x+2-5=2(x+l)q上

如：x+1x+1x+1x+1'x+1\

a"+3a'-1+4a“T4

再如：a^-1a^-1a2T1

解决问题:

（l）分式x+2是；（填“真分式”或“假分式”）

2a2+7

（2）将分式a2+1化成带分式；

2a2+7

（3）当。为何值时，分式a'+l有最大值？最大值是多少？

25.（本小题满分12分）在△A2C中，

（1）如图①所示，如果NA=60°，NABC和么ACB的平分线相交于点P,那么N2PC

1

（2）如图②所示，NABC和NAC。的平分线相交于点尸，试说明

（3）如图③所示，NC2L（和NBCE的平分线相交于点尸，猜想/2PC与NA的关系并证明你的猜想.

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参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

题号12345678g10

答案BAACDCADCA

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.60

12.-5

13.（%-3）（2-x）

14.±8

15.-2

16.12

三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应

写出文字说明，证明过程或演算步骤）

*（4分）解：原式=（12。"-8〃3+4Q2）;4J

=3Q2-2a+l

18.（4分）解：原方程去分母得：3-x=x-2+1,

解得：x=2,

检验：当x=2时，x-2=0,

则x=2是分式方程的增根，

故原方程无解

乂-2a+1

2a+2+a~l(a-1).

(a+1)(&T)(a+l)

(ajH)2(aT)?

(a+1)(a*l)»a(a+l)

3-12

当〃=3时，原式=3=3

20.（6分）证明：

..AB^AD,

在△ABC和△ADE中

rzc=ZE

JZB=ZADE

IAB=AD,

.".AABC^AADE(AAS),

：.AC^AE

21.(8分)解：(1)如图，△AiBCi即为所求.

(2)由图可得，Ai(1,-1),Bi(4,-2),Ci(3,-4).

(3)如图，连接4避，交x轴于点尸，连接AP,

此时PA+PB^PAi+PB^AiB,为最小值，

则点尸即为所求.

由图可得，点P的坐标为(2,0).

故答案为：(2,0).

22.(10分)解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是(x-40)千米/

时.

50_1t180

依题意，得

解方程，得x=100.

经检验：尤=100是原方程的解，且符合题意.

答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米.

23.(10分)解：【观察发现】

观察图形可知：图(2)的面积为：a~+b"+2ab,还可以表不为：(a+b)

正确的等式为：a2+2ab+b2=(a+b)

故答案为：(r+2.ab+b^=(a+b)?；

【操作探究】

(a+b)(a+2b)

a'+lab+ab+lb2'

=a+3ab+2b,

，需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张,

故答案为：1,2,3；

【拓展延伸】

'.'DG^AD-AG^2,AD^x,AG=y,

■•X-y=2,

(x-y)2=4,

77

x+y-2孙=4,

52-2xy=4,

2xy=48,

xy—24,

,/(x+y)2=x2+y2+2Ay=52+48=100,

...x+y=10或-10(不合题意，舍去)，

・•・阴影部分的面积

_x2-y2-4-x2y--x(x-y)

一z.

_(r*y)(x-y)-y-J-x(x-y)

10X2~y-^-x>2

=2

=10x2-y-x

=10x2-(x+y)

=20-10

=10.

24.（12分）解：（1）■,■）分式x+2的分子和分母的次数都是1,

此分式是假分式，

故答案为：假分式；

2a2+7

（2）a2+l

2a2+2,5

=-+1a2+l

2（f+i）5

5

2a2+7~5

(3)由(2)可得：a2+la2+l,

'.'a2>0,

「.J+Gl,

5

...当J+]=i时，a“+l最大，

2a2+7

...当。=0时，a"+l有最大值，最大值为：2+5=7.

25.解：(1);BP、CP分别为/ABC,NACB的平分线,

：2ABC=2』PBC,2ACB=22PCB.

,.,ZA=180°-(ZABC+ZACB),

/.ZA=180°-2(ZPBC+ZPCB),

/.ZA=180°-2(180°-ZBPC),

.'.ZA=-180°+2ZBPC,

.,.2N3PC=180°+NA,

21

ZBPC=90°+2ZA=90°+7x60°=120°,

故答案为：120。；

(2),「8尸是NABC的角平分线，

；.NPBC=2NABC.

又.「CP是NACO的平分线，

J.

：.APCD=?AACD,

'：AACD=AA+ZABC,2PCD=NBPC+/PBC,

2

：.£BPC=NA；

I

(3)90°-'NA.

证明：：8尸、CP分别是NABC与NACB的外角平分线，

_i2

ZCBP=2ZCBD,匕BCP=2Z.BCE,

.'.Z.CBP+/-BCP

I1

=：2CBD+-Z.BCE

=(NCBD+ZBCE)

1

=~2(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=二(180°+ZA),

.■.ZBPC=180°-(ZCBP+ZBCP)

2

=180°-2(180°+ZA)

1

=90°-NA.

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数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无

效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

1.二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵

和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作

品，其中是轴对称图形的是（）

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图

形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：A,C,D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

2选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所

以是轴对称图形.

故选：B.

2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A.x'+'ix—x（尤+3）B.（x+y）（x-y）—x-y2

C.f+2孙+y2-1=（x+y）2-1D.6xj2=3x*2y2

【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解

因

式，据此进行判断即可.

【解答】解：，+3x=x（x+3）符合因式分解的定义，则A符合题意；

（W）（x-y）是乘法运算，则2不符合题意；

2

，+2盯+『-1=(x+y)-1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意；

6x『=3x・2/中6孙?是单项式，则。不符合题意；

故选：A.

3.下列计算正确的是()

A/2、4_8n5_2_10c6.2_3n、2—乙2

A.\Cl)—Clo.(19CL-ClC..Cl~CL—ClD.\3d)—067

【分析】根据同底数塞的乘除法、哥的乘方与积的乘方法则进行解题即可.

【解答】解：4(/)4=。8,故该项正确，符合题意；

B、a'a=a,故该项不正确，不符合题意；

C、/+°2=04,故该项不正确，不符合题意；

D、(3a)2=9a2,故该项不正确，不符合题意；

故选:A.

]

4.要使分式x"-4有意义，则X需满足的条件是()

A.xW2B.x#-2C.x#±2D.xWO

【分析】分式的分母不为零，即/-4W0.

【解答】解：由分式有意义的条件可知：尤2-4W0,

：.x^±2,

故选：C.

5.如图，在四边形ABC。中，AC为对角线，AB=DC,如果要证得△ABC与全等，那么可以添加

的条件是()

A.AD//BCB.NB=ND

C.ZB=ZACDD.ZACB=ZCAD=90°

【分析】对于选项4根据得/ACB=NCA。，由于AB=r)C,AC=CA,不

符

合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项B,由于AB=DC,AC=CA,NB=

ZD不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项C,由于AB=DC,AC=

CA,不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项D,根据

ZACB=ZCAD=90°得△ABC和△C/M均为直角三角形，由于AB=DC,AC=CA符合全等三角形

的判定条件，进而可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案.

【解答】解：对于选项A,

,JAD//BC,

：.ZACB=ZCAD,

根据AB=Z)C,AC=CA,ZACB=ZCAD,不能判定△ABC与全等，

故选项A不符合题意；

对于选项B,

根据AB=£)C,AC=CA,ZB=ZD,不能判定△ABC与△CZM全等，

故选项2不符合题意；

对于选项C,

根据AB=£)C,AC=CA,ZB=ZACD,不能判定△ABC与△CZM全等，

故选项C不符合题意；

对于选项D,

VZACB=ZCAD=90°,

△ABC和△CZM均为直角三角形，

在RtAABC和RtACDA中,

fAB=DC

lAC=CA,

.,.RtAABC^RtACDA(HL),

故选。符合题意，

故选：D.

6.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是NACB的平分线，BD,CE交于点F.若NAEC=

80°,ZBFC=128°,则/ABC的度数是()

A

A.28°B.38°C.42°D.62°

【分析】根据/BBC的度数以及BOLAC,可求出NACE度数，进而得出/ACS度数，再结合/AEC

度数，求出/A度数，最后利用三角形的内角和定理即可解题.

【解答】解：因为80是AC边上的高，

所以/B£>C=90°.

又NBFC=128°,

所以/ACE=128°-90°=38°,

又乙4EC=80°,

则乙4=62°.

又CE是/ACB的平分线，

所以NAC3=2NACE=76°.

故NABC=180°-62°-76°=42°.

故选：C.

【点评】本题考查角平分线的定义及三角形的内角和定理，利用外角求出NACE的度数是解题的关

键.

7.如图，为估计池塘岸边A,2两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点。，测得04=14机，0B=

9m,则点A,2间的距离不可能是（）

A.5mB.10mC.15mD.20m

【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到

5<AB<23,即可得到答案.

【解答】解：由三角形三边关系定理得：14-9<48<14+9,

：.5<AB<23,

/.A,B间的距离不可能是5%.

故选：A.

m2_

8.若关于x的方程斤一二无】的解为负数，则机的取值范围是（）

A.m<2B.m<3C.相<2且D.m<3且

【分析】先银分式方程求得解为x=m-3,再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即

可.

m_2

【解答】解：X+1X+1,m-2=x+l,x=m-3,

；原方程解为负数，

：・m-3<0,

•・3+iwo,

-3+1WO,

••

.".m<3且

故选：D.

9.如图，将△ABC沿着OE翻折，使3点与夕点重合，若Nl+N2=80°,则的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【分析】根据翻折的性质可得48即=/2'£。，ZBDE=ZB'DE,结合平角的定义可求解

ZBED+ZBDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求解的度数.

【解答】解：由翻折可知：ZBED=ZB'ED,ZBDE=ZB'DE,

VZ1+ZBED+ZB'ED=1SO°,Z2+ZBDE+ZB'DE=180°,

AZ1+2ZBED+Z2+2ZBDE=36Q°,

VZ1+Z2=8O°,

：.2NBED+2NBDE=280°,

：.ZBED+ZBDE=140°,

VZBED+ZBDE+ZB=180°,

AZB=180°-140°=40°.

故选：C.

10.如图，直线11、/2表示一条河的两岸，且现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到

村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（）

方案二:

•H

MJ

©

将点A向上平移d得到A'；连接AB交/1于点M；②过点

②连接A'B交/1于点③M作MNJJi，交/2于点

过点M作MNL/i，交2于点N.即桥的位置.

N,MN即桥的位置.

A.唯方案一可行B.唯方案二可行

C.方案一、二均可行D.方案一、二均不可行

【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可

利用平移解决问题.

【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄2的路程最短，只要A7V+3M最短即可.

：44,垂直于河岸6，44'—d,

连接B4',与另一条河岸相交于作直线小

由平移的性质，知跖V〃A4'，且=d,MA'=NA,

根据“两点之间线段最短"，BA'最短，即A7V+2M最短.

故方案一符合题意，

故选：A.

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

11.如图，若NA=70°,ZACD=130°，则60

D

【解答】解：,/ZA=70o,ZACD=130°,

：.ZB=130°-70°=60°.

故答案为：60.

12.在平面直角坐标系中，若点尸(2,〃)与点Q(m,-3)关于y轴对称，则机+〃-5

【解答】解：,••点尸(2,〃)与点。5,-3)关于y轴对称，

m--2,n—~3.

m+n—-2+(~3)—-5.

故答案为：-5.

13.分解因式：2(x-3)(3-x)—(x-3)(2-x).

【解答】解：2(x-3)+x(3-x)

=2(x-3)-x(x-3)

=(x-3)(2-x),

故答案为：(x-3)(2-x).

14.如果整式J+Z6+16川是一个完全平方式，那么常数％的值为±8.

【解答】解：a2+kab+\6b2=(〃±4b)2=a2±8aZH-16/?2,

.".kab=+Sab,

：.k=+S,

故答案为：±8.

x+2

15.分式x-2025的值为0,则X的值是-2.

【解答】解：由题可知，

x+2=0且x-2025W0,

解得x=-2.

故答案为：-2.

16.如图，NB=/C=90°,点E是BC的中点，DE平分/ADC,若/D4B=60°CD=3,则AD的

长度为12.

【解答】解：延长。区A3交于B

VZABC=ZC=90°,

AZEBF=ZC=90°,

・・,点E是3C的中点，

；.BE=CE,

在ABE/和△CED中，

rZEBF=ZC

<BE=CE

ZBEF=ZCED,

:.ABEF经ACED(SAS)，

：.BF^CD=3fEF=ED,

\9CD//AB,ZDAB=60°,

AZADC=180°-ZDAB=120°,

•・・£)E平分NADC,

_1

AZADE=2ZADC=60°,

AZF=ZDAF=ZADF=60°,

VZEBF=90°,NBEF=90°-ZF=30°,

；・ED=EF=2BF=6,

：.AD=DF=2ED=12,

故答案为：12.

三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分4分)(12〃4-8〃3+4〃2)-T-(2〃)2.

【解答】解：原式=（12〃4-8/+4。2）

=3〃-2〃+1

3-x.I

------1--------

18.（本小题满分4分）解方程：x-22-x.

【解答】解：原方程去分母得：3-x=x-2+1,

解得：x=2,

检验：当x=2时，x-2=0,

则x=2是分式方程的增根，

故原方程无解

(警■”)子¥^-

19.(本小题满分6分)先化简，再求值：a"-la'-2a+l,其中°=3

(擎

【解答】解：a'-la-2a+l

2a+2+a“-l(a-1)”

=(a+1)(a~l),a(,a+1)

(a+1)”(a-1)”

=(a+1)(,a~l),a(a+1)

aT

二a,

3-12

当。=3时，原式=3=3

20.(本小题满分6分)已知：如图，ZB=ZADB=ZADE,ZC=ZE.求证：AC=AE.

BD

【解答】证明：VZB=ZADB,：.AB=AD,

在△ABC和△AQE中

rZC=ZE

<ZB=ZADE

AB=AD,

?.AABC^AADE(AAS),

：.AC=AE

21.(本小题满分8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),8(4,2),C(3,4).

(1)请画出△ABC关于无轴对称的△4与G；

(2)写出△AbBiCi各顶点坐标；

(3)试在x轴上求作一点P,使点P到A、B两点的距离和最小，请标出尸点，并写出点P的坐

标•

【解答】解：（1）如图，△4与。即为所求.

（2）由图可得，Ai（1,-1）,Bi（4,-2）,Ci（3,-4）.

（3）如图，连接42,交无轴于点尸，连接AP,

此时PA+PB=PAl+PB=AiB,为最小值，

则点P即为所求.

由图可得，点P的坐标为（2,0）.

故答案为：（2,0）.

22.（本小题满分10分）列方程解应用题：

港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁

大国走向桥梁强国的里程碑之作.开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠

澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时

间仅为原来路程行驶完全程时间的%,求港珠澳大桥的设计时速是多少.

【解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x-40）千米/

时.

501180

依题意，得刀下二一如.

解方程，得尤=100.

经检验：x=100是原方程的解，且符合题意.

答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米.

23.（本小题满分10分）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片.甲种纸片是边长为a

的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为仄宽为。的长方形.

【观察发现】

用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形.观察图（2）的面积关

系,写出正确的等式：.

【操作探究】

若要拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的长方形，则需要甲种纸片张，乙种纸片张，

丙种纸片张.（所拼图形不重叠无缝隙）

【拓展延伸】

两个正方形ABC。、AEFGM(3)摆放，边长分别为x,y,连接CE,DF.若无2+尸=52,DG=2,

求图中阴影部分的面积.

【解答】解：【观察发现】

观察图形可知：图(2)的面积为：a'+b^+2ab,还可以表不为：(.a+b)”

.•.正确的等式为：a+2ab+b2=(a+b)2,

故答案为：a^+lab+b^=(a+6))；

【操作探究】

(a+b)(a+2b)

=a+2ab+ab+2b

77

=a+3〃。+2。，

・,・需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张，

故答案为：1,2,3；

【拓展延伸】

,

：DG=AD-AG=2fAD=x,AG=y,

••x—y2,

(x-y)2=4,

x+y-2孙=4,

52-2移=4,

2xy—48,

xy—24,

：(x+y)2=x1+yZ+2xy=52+48=100,

；.x+y=10或-10(不合题意，舍去)，

...阴影部分的面积

x2-y2-4-x2y-；x(x-y)

=x2-y2-ryx2+yxy

=(x+y)(x-y)-y-yx(x-y)

10X2-y—^-x>2

二2

=10X2-y-x

=10X2-(x+y)

=20-10

=10.

24.（本小题满分12分）阅读材料，并解决问题：

我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”.类

似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，