2024-2025学年山东省聊城市高二年级上册第三次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省聊城市高二上学期第三次月考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.若直线/的方程为4也50。+>8$50。+2024=°,则直线/的倾斜角为（）

A.50。B.130。C.40。D.⑷。

2.直线ax+（"l）y+°=°（aeR）与圆一+/=4的位置关系是（）

A.相交B,相切C.相离D.与。的取值有关

-^-y2=l（a>0）2o

3.已知双曲线。的右焦点与抛物线>=8x的焦点重合，则此双曲线的渐

近线方程是（）

A.片±J5xB."5C,片±'3x口..3

4.从抛物线V=4x在第一象限内的一点尸引抛物线准线的垂线，垂足为M,从且

lPMl=4,设抛物线的焦点为F,则直线尸尸的斜率为（）

V3V3

A.3B.2C.A/3D.2出

22

匕+匕=1

5.如图所示，耳鸟分别为椭圆/b2的左、右焦点，点P在椭圆上，月是面

积为G的正三角形，则/的值为（）

p

A.V3B.2gc.36D.4人

6.己知点/（T°），3（0,3）,点p是圆（x-3）2+/=2上任意一点，则AP4B面积的最小值

为（）

9

A.2B.9C.5D.6

7.直角坐标系中直线缄+了=°上的横坐标分别为-2,1的两点A、B,沿x轴将

坐标平面X0折成大小为a的二面角，若折叠后A、8两点间的距离是6,则a的大

小为（）

兀2兀兀5兀

A.3B.3C.6D.6

22

口口-z彳—1（〃>0,6>0）口

8.如图所示，",鸟是双曲线0：/b2的左、右焦点，过々的直线

与C的左、右两支分别交于A,B两点.若所"|"8|=345,则双曲线的离心率为

B.岳

C,5

D.百

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知也是空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

7-Q+6+C,-a+b,一Q+C

A.b+c,a+c,a-bg22

Ca-b+c,a-b,a+cpb-c,a+b,a+c

10.己知耳巴分别是双曲线Ux2-r=1的左、右焦点，点尸是双曲线上异于双曲线顶

点的一点，且尸片,尸工二°,则下列结论正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为>=±xB.工的面积为1

C.片到双曲线的一条渐近线的距离为2D.双曲线的离心率为亚

II.如图，VMC内接于圆。，为圆。的直径，4B=4,BC=2,CDJ_平面/8C,

E为/。的中点，若三棱锥O-8EC的体积为2,则下列结论正确的有（）

D

E

V30

A.异面直线BE与/C所成角的余弦值为lo-

V6

B.直线BD与平面BCE所成的角的余弦值为4

C.点A到平面BCE的距离为V6

71

D.平面BCE与平面所成的角的大小为3

三、填空题（本大题共3小题）

X2■

12.己知双曲线C经过点（4,2）,且与双曲线2'?=1

具有相同的渐近线，则双曲线

C的标准方程为.

22

T-1口E——+=l（tz>Z7>0）

13.已知片，“2分别为椭圆/b2的两个焦点，尸是椭圆£上的点，

PFJPB,且陷|=2|*，则椭圆£的离心率为.

14.如图所示，已知抛物线C：产=8乂的焦点为产，准线/与x轴的交点为K,点N

在抛物线C上，且在x轴的上方，过点/作481/于5,|NK|=0|4F|,则△4FK

的面积为.

四、解答题（本大题共5小题）

15.己知圆心为。的圆经过,(U)和8(2,一2),且圆心C在直线/：x-y+l=。上.

(1)求圆C的方程：

(2)若直线2x+y=°与圆的交点为M，N两点，求可初.

16.如图，在四棱柱48cz)-4州?]2中，平面/BCD,4BLAD,AB//DC,

1.MN分别为叫瓦G的中点，

(1)求证：2N//平面。印w；

(2)求平面CBiM与平面88CC夹角余弦值；

⑶求点8到平面0与0的距离.

17.己知抛物线°：V=4x,坐标原点为°,焦点为/，直线/"=h+1

(1)若直线/与抛物线C只有一个公共点，求人的值；

(2)过点尸作斜率为1的直线交抛物线C于A,B两点，求△042的面积.

18.在平面直角坐标系xoy中，己知点M(-4,0),点N(4,o),动点尸(xj)满足：直线

_3

与直线PN的斜率之积是4.

(1)求动点尸的轨迹C的方程；

(2)直线/与(1)中轨迹。相交于A,B两点，若°(2,T)为线段N3的中点，求直线

/的方程；

(3)在(2)的条件下，求弦长M切、

/y2_

已知为坐标原点，双曲线勺一胃力>°)的离心率为石，且过点

19.019>°7

(1)求C的标准方程；

(2)过C的右焦点尸的直线4与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、3,点。是线

段的中点，过点尸且与4垂直的直线4交直线。。于M点，点N满足疝=疝+赢;

①证明：点M在一条定直线上;

②求四边形"NN"面积的最小值.

答案

1.【正确答案】B

【详解】设直线倾斜角为«,

sin50°

.uc。enoccc/ik=tana=------------=-tan50°=tan130°

直线xsm50o+ycos50o+2024=A0的斜率为cos50°,

又倾斜角的取值范围为快兀），所以直线的倾斜角«=130°.

故选：B.

2.【正确答案】A

【详解】由（T+°+I）"°=°知直线（x+y+D"y=°过（T，°）,而点（T°）在圆

一+「=4内，所以直线与圆相交.

故选：A.

3.【正确答案】D

-----/=1

【详解】一2=秋的焦点是（2,0）,...双曲线/的半焦距，=2,

又虚半轴长6=1且。＞0,；々=疗了=6，

_.V3

y=±—x

・・•双曲线的渐近线方程是3.

故选：D

4.【正确答案】C

【详解】解：设尸（X。，为）,

依题意可知抛物线准线久=-1,

xQ=4—1=3/.yQ=2-\/3

AP（3,2V3）F（l,0）

卜=巫=拒

，直线P尸的斜率为3-1,

故选C.

5.【正确答案】B

【详解】；△尸陷是面积为百的正三角形,

旦2m

4解得。=2.

代入椭圆方程可得/+乒,

与联立，解得62=28.

故选：B

6.【正确答案】D

【详解】由点'(T°)''(0’3),得直线“山、一〉+3=0,|/切=30,圆(x-3『+/=2的

ld=-j==3A/2

圆心C(3,0),半径厂=J2,点c到直线的距离C,

因此点P到直线N8距离的最小值为d-r=2亚,

-X3A/2X2A/2=6

所以AP/8面积的最小值为2

故选：D.

7.【正确答案】A

【详解】直线标+夕=°上的横坐标分别为-2,1的两点A、8的坐标分别为“(一2,6),

3(1,-3),

如图为折叠后的图形，作40,》轴于点0,作5。工无轴于点。，

贝l|C/、的夹角为又/C=6,BD=3,CD=3,

AB=AC+CD+75B=-CA+CI5+DB,CA-CD=CD-15B=Q,c5n5=i8cosa,

则IIV5十"十〃『=CA+CD+DB—2CA•CD—2CA•DB+2DB•CD

=36+9+9-36cosa=36,

171

cosa——ex,——

解得2,而0Va<7i,贝u3.

故选：A.

8.【正确答案】C

【分析】不妨令“冏=3,I即|=4,|/周=5,根据双曲线的定义可求得a=l,

NABF?=90’,再利用勾股定理可求得4c2=52,从而可求得双曲线的离心率.

［详解］力/邱飓。典卜345,不妨令|期=3,忸阊=4,|典|=5,

22

\AB|+\BF2|=|AF2/，...ZABF2=90。，

又由双曲线的定义得：网一叫=2。，=

.,1/周+3-4=5-|/周周=3.

.•・［纳卜忸局=3+3_412一

222

在RPF三中"取/=忸耳『+1BF21=6+4=52

又W与『=4",4c2=52,，c=ViX

e，=任

二双曲线的离心率。

故选;C

9.【正确答案】ABD

hc=（a+'c\-（a-h\------

【详解】对于A,因为+V）\人所以6+c，"+c，a-6共面，故A正确;

a+b+c=\—ci+b+—ci+c〃+3+。,—。+瓦—〃

因为人所以共面,

对于B,(2J1222故B正确;

对于c,假设存在加，〃，使得1打）=机（"办.+°=（加+"）"病+吟

m+n=\

<—m=—1

则卜=1,显然无解，所以。-书+工，4-&0+）不共面，故C错误；

对于D,因为j="+6一（”+c）,所以5-茄+“+2共面，故D正确.

故选：ABD.

10.【正确答案】ABD

【详解】对于A,由--廿=°得y=±x,所以双曲线C的渐近线方程为/=±》，所以

A正确；

对于B,由双曲线C：xf-，可得"=l/=l,c=0,则片（-"0）,用（加,0）,设

尸（羽夕），贝（］而］=（一亚一x,_y）,尸尸=（亚_%_歹），所以

2

PFt-PF2=（-V2-x）（V2-x）+（-j）=0；得一+/=2,因为点「在双曲线上，所以

221|y|=――ppp—|y|=—x2V2X=1

x-V=1,解得2,所以丁耳片的面积为J22,所以B正

确；

d二I一5I=］

对于C,耳（一四⑼到一条渐近线X->=°的距离为河，所以C错误；

对于D,由双曲线方程可知a=Lb=Lc=6,所以离心率一行，故D正确.

故选：ABD

11.【正确答案】AC

【详解】•.•"为圆。的直径，且N8=4,2c=2,,V/BC为直角三角形,

AC=2拒

设CD=h：

V=-V=-x-h--x2y/3x2=2

DBEECCDABC

由E为/。的中点可得-2"Me232,

解得力=2百，

以C为坐标原点，C4C8,C。所在直线分别为x，％z轴建立空间坐标系如下图所示:

C(0,0,0)/Q百,0,0)5(0,2,0)。9,0,2班)

Xy

E

BE=S，-2,拒)BD=(Q,-2,2s/3^CE=(j3,0,V3)

则

6V30

CA,BE=

2A/3XV10-10,

对于A,易知

A/30

所以异面直线8E与NC所成角的余弦值为10,选项A正确;

n-CE=0yfix+VJz=0

对于B,设平面8CE的法向量为n=(x,y,z)^18E=0,即A/3X-2y+V3z=0

取x=l,y=0,z=-l,”=(1,0,-1),

BD-ii2GV6

sind=|cos5Z),n|=

\BD\-\n\4-V2-4

设8。与平面BCE所成的角为e,则।।11,选项B不

正确；

\CA-n\=明而

d=J-------

\

对于C,点A到平面BCE的距离为n\.，选项C正确.

。)，

对于D,设平面的法向量为m=(a,6,c),DA=(273,0,-273),DB=(0,2,-2

2辰-26=0a-c=0

则［2b-26c=0

,即,一瓜=°,取c=l,6=VJ，a=l,

所=0,道,1),-,-=0)

所以平面BCE与平面的夹角大小为90°,选项D不正确.

故选：AC.

22

上一匕=1

12.【正确答案】84

X2

【详解】由题意设双曲线C的标准方程为万

代入点(4,2),得2，得2=4,

22

U1

所以双曲线c的标准方程为84.

22

上一匕=1

故84

13.【正确答案】3/3

【详解】

由椭圆定义得附㈤明=2。，又因为闸=2|叫,

4?

所以同匕“，匹卜丁,

又PFJPF、闺用=2c,结合勾股定理得

c2_5_c_V5

解得«2~9,贝1]6一0_3,

所以椭圆£的离心率为3.

V5

故答案为.§

14.【正确答案】8

【分析】

由抛物线方程确定焦点坐标、准线方程，设^(xo,yo)(yo>O),利用抛物线的定义、勾股

定理求出Xo,yo，进而求44bK的面积.

【详解】

由题意知，抛物线的焦点为尸(2,0),准线/为x=-2,

r.K(-2,0),设/(xojo)仇>0),

,•,过点A作ABU于B,

・•・8(—2jo),

・・・|4尸|=|45|=七一(-2)=玉+2,又出K|2=|ZK|2-M3|2,

••・工0=2,yo=4,即4(2,4),

4s.iM|」X4X4=8

:.4AFK的面积为22

故8

15.【正确答案】（l）（x+3>+（y+2）2=25

2A/^

⑵5

_1-（-2）_

【详解】（1）因为z（U）产（2,-2）,所以AB-12

I

所以弦的垂直平分线的斜率为3,又弦工5的中点坐标为122人

1_If3、

yH———x—

所以弦48的垂直平分线的方程为23（2）,即x-3y-3=0,

与直线，：x-y+l=°联立解得：x=-3/=-2,所以圆心C坐标为（-3,-2）所以圆的半径

r=\AC\=5,则圆C的方程为：。+3y+。+2）2=25；

^_|-6-2|_8^

（2）由（1）知，圆心C（T一2）到直线2x+y=0的距离为加5'

27305

r=5,：.\MN\=2ylr2-d2

；圆的半径5

16.【正确答案】（1）证明见解析

2屈

⑵11

2VH

⑶11

【详解】（1）取C4中点尸，连接NP,MP,

由N是4G的中点，故MB,且NP2CC,

由M是叫的中点，故。阳=产且MCG,

则有。阳//*、D、M=NP,

故四边形。也尸'是平行四边形，故D、NIIMP,

又Affu平面C8[M,D]N<z平面C81Af,

故AN//平面MM；

（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,

有力（0,0,0）、3（2,0,0）、J（2,0,2）、肛。」」）、c（l,l,0）、G（U，2）

则有两=0,-1,2）、07=（-1,0,1）^函=（0,0,2）,

设平面。8也与平面因CG的法向量分别为比=（占，必，4）、万=（>2，%*2）,

m-CB=%一%+2%=0iiCB[=Z-%+2z2=0

<x

则有[m-CM=-xt+Zl=0

n-BB、=2Z2=0

分别取玉=々=1,则有％=3

Z[=1%=1,z2=0

即成=(1,3,1)、元=(1,1,0),

m-n1+32722

cosm,n=

\m\-\n\Jl+9+1-Vl+111

则

2V22

故平面。鸟w与平面BBCG的夹角余弦值为一TT；

（3）由8sl=（°，°，2）,平面。8眼的法向量为成=（1,3,1）,

-m\2_2VH

则有\m\Jl+9+111

2V1T

即点B到平面的距离为11.

17.【正确答案】⑴左=。或后=1

（2）2®

y=kx+l]

2

y;_=4xy=—ky+1

【详解】（1）依题意，联立，消去x,得：4，即:

ky2—4y+4=0

①当斤=0时，有：-4y+4=0,显然方程只有一个解，满足条件；

②当《力0时，要使得直线/与抛物线C只有一个公共点，

则方程如2-4了+4=0只有一个解，

所以—（-盯-4x4左=0,解得：A=i；

综上所述，当％=°或左=1时，直线/与抛物线C只有一个公共点.

（2）由于抛物线。：必=4x的焦点尸的坐标为（1,0）,

所以过点尸且斜率为1的直线方程为：y=x-1,

设4(”),

y=x-l

<

2

联立〔「=4x,消去x,得：y-4y-4=0)

则由韦达定理得：乂+%=4,必%=-4,

所以I弘一%|=J(M+%)2-4为%=A/42-4x(-4)=472

所以"曰阴"』!…*

Wl(xw±4)

18.【正确答案】（1）1612

(2)3x-2,y-8=0

⑶3

O22

上.上=_3'+匕=i

【详解】（1）由题意x+4x-44,化简1612

又因为直线PA,P2的斜率存在，则xw±4.

—+—=l（x*±4）

故动点尸的轨迹C的方程为1612

（2）设“（“1必），巩孙力），由题意，显然再*工2,

22222222

五+"=1'21=1%f।%一%,o

则有1612-,1612-,两式作差可得1612’

（国+々）（%-%）,（%+%）（＞「%）「

-----------------------------1------------------------------=U

即有1612,

又°（2,T）为线段N3的中点，

左=21sA、

则有再+%=4,必+%=-2,代/即得直线/的斜率为X]-x22,

3

7）一（―1）=—（%—2）

:•直线/的方程为2,经检验此时该直线与椭圆有两交点,

《工2-.2=>3x—12x+4=0

土+匕=1

(3)[1612

4

设4(久1%),网町M),则再+%=4,玉％

45=J1+左2.+x)2-4XJX二、

22上加詈柠「平

f一匚1

19.【正确答案】(1)4

(2)①证明见解析；②6指

【分析】(1)根据双曲线过定点，结合离心率列方程组可得曲线方程;

(2)①由已知直线4斜率一定存在，可设直线4与％,联立直线4与双曲线，结合韦

达定理可得点°及直线°。方程，联立直线4与0°可得点M,进而得证；

②由已知结合弦长公式可得[4用，则面积,=\MF\-\AB\

e，=1+—=V5

【详解】(1)由已知双曲线离心率a\a2即〃=442,

f/1

则双曲线方程为/4/,

又曲线过点1A

J---L=1

即4a24/,解得/=1,

x2

即双曲线方程为4.

(2)

①由已知直线4的斜率后存在且左片0,

设直线4与=后6一石），4（久1%），B（久2，巧），且再无2<0,

y=kQ-曲）

联立直线与双曲线

得（4一左2卜2+2圆2工-5左2-4=0

A=9斯〃］一4（4一二）（一5〃-4）=64左2+64>0

恒成立,

2班F-5F-4

M+%2