2024-2025学年人教版七年级数学上册考点题型专练：一元一次方程（解析版）（类型）

专题05一元一次方程

思维导图

优质类型

【类型覆盖】

类型一、一元一次方程的相同解问题

【解惑】已知关于1的一元一次方程4x+2加=3x+l和3x+2加=6x+l的角星相同，则冽的值为（）

11

A.-B.1C.——D.-1

22

【答案】A

【分析】本题考查了解一元一次方程的知识.分别求出两方程的解，使它们相等,求机的值.

【详解】解：解方程4x+2加=3x+l,

得：x=1—2m,

解方程3x+2机=6x+l,

2m-1

得：x=,

八2m-1

贝U1_2m=---,

解得：加=；；

故选：A.

【融会贯通】

1.已知关于x的方程3x=9与-x=l-左的解相同，则上2-2左+1的值为()

A.25B.-25C.9D.-9

【答案】C

【分析】本题主要考查方程解的问题，代数式求值，题目简单细心计算，此类题目常考，应当熟练掌握.先

求出方程3x=9的角军x=3,然后把x=3代入一x=1-左求出左=4,把人=4代入左？一2左+1求出结果即可.

【详解】解：由3x=9得：x=3,

关于x的方程3x=9与一x=1-左的解相同，

二把x=3代入-x=1-左得：-3=l-k,

解得：k=4,

把人=4代入『-2左+1得：42-2x4+1=9,

故选：C.

2.如果关于x的方程3x-2=4和方程3-号"=1的解相同，那么。的值为.

【答案】3

【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先解出3x-2=4的x值，再代入

3_2a+x=1；即可解出。的值.

4

【详解】解：••・关于x的方程版-2=4和方程3-幺产=1的解相同，

4

.•.由3x-2=4,得x=2

』〜八、、c2a+xy

把x=2代入3-------=1,

4

整理得12-2"2=4

即-2。=4一12+2

则。=3

故答案为：3

3.已知方程二丁=：x-2与关于x的方程3a-8=2(x+a)-a的解相同.

⑴求a的值：

(2)若°、6在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求(a-b+l3c)改4的

值.

【答案】（1）4=6

（2）1

【分析】本题考查同解方程，有理数的乘方运算：

（1）先求出方程气一=：x-2的解，再把解代入方程3a-8=2（x+a）-。中，进行求解即可；

（2）易得。/互为相反数，c=T,然后根据有理数的运算法则进行计算即可.

3Y-13

【详解】⑴解：羊二方—2,

2（31）=151-20,

角牟得：x=2,

把x二2代入3。-8=2（x+〃）-Q,得：3。-8=2（2+Q）-〃，

解得：〃=6；

（2）•.a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，

:.b=-6,

■.-C是最大的负整数，

Ac=—1,

・•・（Q—b+13c）2°24=（6+6—13）2024=1.

类型二、一元一次方程的整数解

【解惑】已知关于X的一元一次方程3x+l=^+2的解为整数，且关于y的多项式即6-3/-8/为六次多

项式，则所有满足条件的整数。的和为（）

A.9B.16C.24D.48

【答案】B

2

【分析】本题考查了一元一次方程的解，多项式的项数和次数.解方程得出工=^一，根据解为整数得出Q

6-a

值，再根据多项式的项数和次数，进一步求出。值，再计算整数〃的和.

【详解】解：3x+l=9+2,

••・关于X的一元一次方程3x+l=y+2的解是整数,

.・.6-。=±1或6-。=±2,

解得：a=7或a=5或〃=8或a=4,

ay6-3y2-8y6=(a-8)y6-3y2

・•・关于y的多项式即6-3/一8/为六次多项式，

.,.。-8W0,解得：。二8,

.•・满足条件的整数。的值为5或7或4,

所有满足条件的整数。的值之和是5+7+4=16,

故选：B.

【融会贯通】

1.已知关于X的方程三三-一=1的解是整数，且人是正整数，则满足条件的所有左值的和为()

24

A.4B.5C.7D.8

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出X,根据题意可得殊-1是

5的约数，得出满足题意的所有左值，算出和即可.

【详解】解：先求解方程竺-—一=1,

24

解得：x=-7，

2K-1

•••X为整数，且人是正整数，

；.2左-1=1或者"-1=5

•次的值为1或3

所有左值的和为1+3=4,

故选：A.

2.若关于x的方程2"=(o+l)x+6的解为正整数，整数。的值是.

【答案】2或3或4或7

【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可.本题主要考查方程的解和解一元一次方

程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为L

【详解】解:2ax=(a+l)x+6,

移项得：2ax-(a+l)x=6,

合并同类项得：(aT)x=6,

系数化为1得：x=—＞，

■■关于X的方程2ax=(a+l)x+6的解为正整数，

，x=37为正整数，

a-\

.1。-1=1或。-1=2或。-1=3或。-1=6

。=2或。=3或。=4或a=7.

故答案为：2或3或4或7

3.对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对(。涉)与(c,d).我们规定：

(«,/,)♦(c,d)=ad—be.例如：(1,2)*(3,4)=lx4-2x3=-2.

根据上述规定解决下列问题：

⑴有理数对(2,-3)*(3,2)=；

(2)若有理数对(-3,2x-l)4(-l,x+l)=7,则x=；

⑶当满足等式(-3,2x-1)♦(匕x+左)=5-2后的x是整数时,求整数k的值.

【答案】(1)13

(2)-11

⑶k=-1,-2,1,-4

【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数.

(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)原式利用题中的新定义计算即可求出x的值；

(3)原式利用题中的新定义计算，求出整数左的值即可.

【详解】(1)根据题意得：原式=2x2-(-3)x3=13；

故答案为：13；

(2)根据题意化简得：-3(x+l)+lx(2x-l)=7,

解得：x=-ll；

故答案为：-11；

(3)•.•等式(-3,2%-1)♦的％+Q=5-2左的x是整数,

.，.一3(x+左)一(2x—1)左=5—2k,

-(2左+3)x=5,

5

..x—,

2k+3

・・•左是整数，

/.2左+3=±1或±5,

：.k=-1,-2,1,-4.

类型三、一元一次方程的新定义计算

【解惑】定义新运算△为：a^b=ab+2a+2b+2,$QMXA2A2A2A2A2=5118,贝ijx=()

A.1B.2C.3D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了定义新运算，合并同类项，解一元一次方程，根据题中定义新运算转化为一元一次方

程，然后解方程即可，读懂题意，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键.

【详解】解：=ab+2a+2b+2,

XA2A2A2A2A2

=(2x+2x+2x2+2^A2A2A2A2

=(4x+6)A2A2A2A2

=(8x+12+8x+12+4+2^A2A2A2

=(16x+30)A2A2A2

=(32x+60+32x+60+4+2^A2A2

=(64X+126)A2A2

=(128x+252+128%+252+4+2)A2

=(256X+510)A2

=512x+1020+512x+1020+4+2

=1024%+2046,

/.1024x+2046=5118

・•・x=3

故选：C.

【融会贯通】

1.定义新运算"X",规定：a^b=2a-b,则方程X※(-2)=6的解为()

A.x=—10B.x=—3C.x=2D.x=4

【答案】C

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据新定义得到2x-(-2)=6,再解方程即可得到答案.

【详解】解：门※(-2)=6,

2x-(-2)=6,

解得x=2,

故选：C.

2.定义一种新运算"※"，a^b=2a-\b-2\,例如5※(-3)=2x5-卜3-2|=5,则关于x的方程x※(-4)=5x-3

的解是.

【答案】x=-l

【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得出X※(-4)=2XT-4-2|=2X-6,即可得出关

于x的方程，解方程即可得出答案，理解新定义是解此题的关键.

【详解】解:■.-a^b=2a-\b-2\,

：.苫※(-4)=2x-4—2|=2x-6,

2x—6=5x—3,

解得：x=-\,

故答案为：x=-1.

3.定义M(a,b)=V^~,D[a,b)=\a-b\

例如：w(4,-2)=普刍=1,2)(4-2)=|4-(-2)|=6.

请完成下列问题:

（1）肛3,5）=,0（3,5）=.

（2）已知M（-3,x）+D（8,10）=5,求的值.

⑶当M（-1,5）+O（x,2）=7时，求〃［专1,6］的值.

【答案】（1）4；2

⑵10

9

⑶5或2

【分析】本题主要考查定义新运算，根据运算法则进行计算是解答本题的关键.

（1）根据定义新运算法则进行计算即可；

（2）根据定义新运算法则列出方程，求出x的值，再求屈（无,11）的值即可；

（3）根据定义新运算法则列出方程，求出x的值，再求加^?忑］的值即可.

【详解】（1）解：•.•屈（。,6）=等,D（a,b）=\a-b\,

...M（3,5）=T=4；

£＞（3,5）=|3-5|=|-2|=2；

故答案为：4；2；

（2）解：・・・M（—3户）+。（8,10）=5,

.-.^^+|8-10|=5,

解得，x=9,

9+ii

.•.Af（x,ll）=Af（9,ll）=^—=10；

（3）解：•.•M（-1,5）+D（x,2）=7

-1+5

+卜-2|=7,

2

.*.|x-2|=5,

.,-x-2=±5,

・•・x=7或x=-3,

当x=7时，M^^,6\=M^^,6\=M^i,6)='^-=^.

当x=-3时，==M(-2,6)=^^=2；

综上，的值为或2.

类型四、一元一次方程的的整体带入

【解惑】若关于x的一元一次方程盛x+8=2无+6的解为x=-3,则关于y的一元一次方程

圭(y+l)+8=2(y+l)+6的解为()

A.y=lB.y=-2C.y=-3D.y=-4

【答案】D

【分析】根据一元一次方程的整体替换即可解得.

【详解】

解：••・关于x的一元一次方程“x+8=2x+b的解为x=-3,

••・关于y的一元一次方程全(y+l)+8=2(y+l)+6中了+1=-3,

解得：y=-4,

故选：D.

【点睛】

此题考查了一元一次方程的的解，解题的关键是会用整体替换的思想.

【融会贯通】

YA

1.已知关于X的一元一次方程赤+a=2023x的解是x=2022,关于y的一元一次方程赤+2023c=-a

乙U乙J乙U乙J

的解是>=-2021(其中b和。是含有歹的代数式)，则下列结论符合条件的是()

A.b=-y-l,c=y+1B.b=l-y,c=y-1

C.b=y+\,c=-y-\D.b=y-\,c=\-y

【答案】B

【分析】根据x=2022,y=-2021得至!=得至ij1^+2。23(>-1)=-a的解为y=-2021,类比

上+2023c=-a得到答案.

2023

[W1••-x=2022,片_2021得至也=1-九

签+2023(y-1)=一。的解为了=一2021,

.•方程与+2023c=-。的解是>=-2021,

2023

：.b=\-y,c=y-\,

故选B.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关

键.

2.若关于x的方程(x+〃>+左=0(〃，4均为常数)的解是芭=一3,9=2,贝IJ关于〉的方程(x+/7-3f+左=0

的解是.

【答案】玉=。，％=5

【分析】此题考查了方程的解，解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键.

仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可.

【详解】解：.•・关于x的方程。+4+/=0(〃，上均为常数)的解是占=-3,%=2,

二.(x+〃-3)2+左=0的解是x-3=—3或x-3=2,即玉=0,x2=5.

故答案为：%=0,%=5.

3.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程例如：方程4x=8和

»1=0为“美好方程".

⑴请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2歹-了=3是否互为“美好方程”；

(2)若关于x的方程3X+7〃=0与方程4x-2=x+10是“美好方程"，求m的值；

⑶若关于x的一元一次方程/x+3=2x+左和贵x+1=0是"美好方程”，求关于y的一次方程

上(y+l)+3=2y+左+2的解.

【答案】⑴是

(2)m=9

(3)y—2022

【分析】(1)分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；

(2)分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于加的方程解答即可；

(3)求得方程圭x+l=0的解，利用“美好方程”的定义得到方程bx+3=2x+上的解，将关于y的方

程“(y+l)+3=2>+左+2变形，利用同解方程的定义即可得到>+1的值，从而求得方程的解.

【详解】(1)方程4x-(x+5)=l与方程-2、7=3是互为“美好方程”，理由：

解方程4工-(》+5)=1得：

x=2,

方程-2y-y=3的解为：

J=-l-

•：x+y=2-1=l,

方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是互为"美好方程"；

rn

(2)关于x的方程3x+加=0的解为：x=-y,

方程4x-2=x+10的解为：x=4,

••・关于龙的方程3x+加=0与方程4x-2=x+10是"美好方程"，

m41

・•・——+4=1,

3

•••m=9；

(3)方程-^x+l=°的解为：x=-2022,

2022

••・关于龙的方程x+1=0与-J-x+3=2x+人是"美好方程"，

二关于X的方程T^X+3=2X+上的解为：X=2023.

2022

••・关于》的方程焉(>+1)+3=2>+左+2就是：焉。+1)+3=2(尸1)+左，

乙\)乙乙乙U乙乙

y+\=x=2023,

y=2022.

••・关于y的方程/(y+l)+3=2y+左+2的解为：y=2022.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键,

本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键.

类型五、一元一次方程的应用一一电费与水费问题

【解惑】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立

方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.设小丽家每月用气

量为X立方米，应交煤气费为y元.

⑴若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？

（2）试写出了与x（x>50）间的表达式；

⑶若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？

【答案】（1）76元

（2）j=1.2x-20（x>50）

⑶90立方米

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，用代数式表示数量关系，

（1）根据题意，不超过部分的费用加上超过部分的费用即可；

（2）根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可；

（3）根据题意，可得小丽家4月份的煤气超过50立方米，把y=88代入（2）的式子计算即可.

【详解】（1）解：不超过50立方米，按每立方米0.8元收费，则此部分的费用为：50x0.8=40（元），超

过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，

,•・小丽家某月用煤气量为80立方米，

••・超过部分的费用为（80-50）x1.2=36（元），

•••丽家该月应交煤气费为40+36=76（元）；

（2）解：•.•每月用气量为xx>50立方米，应交煤气费为y元，

y=50x0.8+1.2（x-50）=1.2x-20（x>50）；

（3）解：:88>40,

•・・小丽家4月份的煤气超过50立方米，

把>=88代入（2）中的式子得，88=1.2x-20,

解得，x=90,

・••她家4月份所用煤气为90立方米.

【融会贯通】

1.2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过

15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元.

⑴小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是兀；如果路程是16公里，那么车费是

___________元.

(2)小丽打车去外婆家，行程x公里，(3<x<15),那么出租车的费用是多少元？(用含x的代数式表示)；

⑶如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？

【答案】(1)29,47.6

(2)2.5x+6.5

⑶18

【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识；

(1)利用支付的车费=起步价+超过3公里并且不超过15公里的费用+超过15公里的费用，代入数据计

算即可；

(2)利用支付的车费=起步价+超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可；

(3)根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可.

【详解】(1)解：路程是9公里，那么车费是：14+(9-3)x26=29(元)，

路程是16公里，那么车费是：14+(15-3)x2.5+(16-15)x3.6=47.6(元)，

故答案为：29,47.6；

(2)v3<x<15,

・・・出租车的费用=14+(x—3)x2.5=2.5x+6.5(元)，

答:出租车的费用是(2.5X+6.5)元；

(3)解：设小丽去外婆家的路程是x公里，

•当x=15,打车的费用=14+(15-3)x2.5=44<54.8,

x>15,贝I114+(15—3)x2.5+(x—15)x3.6=54.8,解得x=18,

答：小丽去外婆家的路程是18公里.

2.为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电"阶梯价格”收费制度.收费

标准如表：

居民每月用电量单价(元/度)

不超过50度的部分0.5

超过50度但不超过200度的部分0.6

超过200度的部分0.8

已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）

一月份二月份三月份四月份五月份六月份

-50+30-26-45+36+25

根据上述数据，解答下列问题：

⑴小智家用电量最多的是一月份，该月份应交纳电费元；

（2）若小智家七月份应交纳的电费199.8元，则他家七月份的用电量是多少？

【答案】⑴五，143.8；

（2）他家七月份的用电量是306度.

【分析】本题考查正数、负数的意义，一元一次方程的应用，理解分段计费的含义是正确解答的关键.

（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；

（2）判断出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可.

【详解】（1）解：五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度，

0.5x50+0.6x（200-150）+0.8x36=143.8元，

（2）解：•••0,5x50+0.6xl50=115<199.8,

.•用电量大于200度，

设用电量为x度，由题意得，

0.5x50+0.6x（200-150）+0.8（x-200）=199.8,

解得：x=306,

答：他家七月份的用电量是306度.

3.根据以下素材，探索未完成的任务.

水费、用水量是多少？

素材

为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年采用“阶梯收费

1

素材第一阶梯（用水量414t）：水费为4.3元/t,其中自来水为3.35元/t,污水处理费为0.95元/t.

2第二阶梯（14t<用水量W21t）：水费为5.97元/t,其中自来水为5.02元/t,污水处理费为0.95元

/t.

第三阶梯（用水量>21t）：水费为11元/t,其中自来水为10.05元/t,污水处理费为0.95元/t.

如某用户2024年2月份用水15t,则各种费用如下:

自来水费14x3.35+（15-14）x5.02=51.92（元）

污水处理费15x0.95=14.25（元）

水费14x4.3+（15-14）x5.97=66.17（元）

问题解决

任务1

确定水费

（1）某用户2024年4月用水a（14<a«21）t,则应缴水费一元（用含。的代数式表示）.

任务2

确定污水处理费

（2）已知某用户2024年5月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户5月份需缴污水处理费多少

元？

任务3

确定用水量

（3）如果该用户2024年6、7月份共用水42t（7月份用水量超过6月份用水量），共缴水费209.01元，则

该用户6、7月份各用水多少吨？

【答案】（1）（5.97.-23.38）；（2）该用户5月份需缴污水处理费为17.1元；（3）该户居民6、7月份各用水

20t和22t

【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程求解是关键；

（1）根据4月用水“14<aW21）t列代数式即可；

（2）先判断5月份用水量超过14t不超过21t,设该用户5月份的用水量为xt,再建立方程求解即可；

（3）由7月份用水量超过6月份用水量，设该用户6月份的用水量为xt,7月份的用水量为（42-x）t,再

分两种情况分别列方程求解即可.

【详解】解：(1)当14<q421时，应缴水费为14x4.3+5.97(a-14)=(5.97a-23.38)元；

(2)•1•3.35x14=46.9<66.98<3.35x14+7x5.02=82.04,

.•.5月份用水量超过14t不超过21t,

设该用户5月份的用水量为xt,

3.35xl4+5.02(x-14)=66.98,

解答x=18,

18x0.95=17.1(元)，

答：设该用户5月份的污水处理费为17.1元；

(3)设该用户6月份的用水量为xt,7月份的用水量为(42-x)t,

当无W14时，4.3x+11(42-x)-129.01=209.01,

解答XQ18.5>14(不合题意，舍去)，

14Vx<21时，5.97x-23.38+ll(42-x)-129.01=209.01,

解得：x=20,

,•,42-20=22,

答：该户居民6,7月份各用水20t和22t.

类型六、一元一次方程的应用一一方案问题

【解惑】当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体.某公司

计划购买50个羽毛球拍和x个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经

协商拟定了如下两种优惠方案(两种优惠方案不可混用)：

方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球；

方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款.

(1)若x=100,请计算哪种方案划算；

(2)若x>100,请用含x的代数式分别把两种方案的费用表示出来；

⑶请你帮助公司写出x取值不同时的所有划算的购买方案.

【答案】⑴方案一划算

⑵方案一、方案二的费用用代数式分别表示为(5X+3500)元，(4.5X+3600)元

⑶当0<x488时，方案二划算；当894x<200时，方案一划算；当x=200时，方案一和方案二一样划算;

当x>200时，方案二划算

【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键.

(1)分别求出x=100时，两种优惠方案的费用，比较即可求解；

(2)根据两种优惠方案分别列式即可；

(3)若方案一和方案二的费用相等，当XW100时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得x=写;

当x>100时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得x=200,再进行讨论即可求解.

【详解】(1)解:当尤=100时,

方案一：80x50=4000(元).

方案二：80x50x90%+5x100x90%=4050(元).

因为4000<4050,

所以当x=100时，方案一划算.

答：若x=100,方案一划算.

(2)解：当x>100时，

方案一：80x50+(x-100)x5=(5x+3500)元.

方案二：80x50x90%+5xx90%=(4.5x+3600)元.

答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为(5X+3500)元，(4.5X+3600)元.

(3)解：若方案一和方案二的费用相等，

当X4100时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得50x80=(50x80+5x)x90%,

解得x=等.

因为88〈蜉<89,

所以，当0<x488时，方案二划算；当89VXV100时，方案一划算；

当x>100时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得50x80+5(x-100)=(50x80+5x)x90%,

解得x=200.

所以，当100<x<200时，方案一划算；当x=200时，方案一和方案二一样划算；当x>200时，方案二划

算.

综上可知，当0<x488时，方案二划算；当89Vx<200时，方案一划算；当x=200时，方案一和方案二一

样划算；当x>200时，方案二划算.

【融会贯通】

1.已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站

给出了如下优惠方案：

乘客优惠方案

学生凭学生证票价一律打六折；

非学10人以下(含10人)没有优惠：团购：超过10人，其中10人按原价售票，超出部分每张票打

生八折.

⑴若有6名学生乘客买票，则总票款为一元；

(2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为一元；

⑶一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为

3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？

【答案］⑴270

(2)1050

(3)10A;40A

【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用.理解题意，正确列出算式或等

式是解题关键.

(1)根据题意，列出算式计算即可；

(2)根据题意，列出算式计算即可；

(3)设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客(50-x)人.分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②

非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可.

【详解】(1)解:6x75x0.6=270元.

答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元；

(2)解：10x75+(15-10)x75x0.8=1050x;.

答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元;

（3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客（50-x）人.

分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即x>10,

则可列方程为：0.6x75（50-x）+10x75+（x—10）x75x0.8=3000,

解得：x=40,符合题意，

50-40=10人

所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人.

②非学生乘客若未达到团购人数，即x<10,

则可列方程为：0.6x75（50-x）+75x=3000,

解得：x=25,不符合题意舍去.

综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人.

2.2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛.A,8两个团

队共92人（其中/队人数多于5队人数且/队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了

以下三种购买方式：

方式一：购买服装不超过45套时，每套60元；

方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元；

方式三：购买服装超过90套时，每套40元.

若4,2两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元.

（1M，2两团队各有多少人准备参加比赛？

（2）若N团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为8两个团队设计一种较省钱的购买服装方案.

【答案】（1）/团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛，

（2）两个团队一起买91套时最省钱.

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用：

（1）设/团队由x人参加比赛，则8团队由（92-x）人参加比赛，先计算出46<x<90,2<92-x<46,

据此可得方程50x+60（92-x）=5000,解方程即可得到答案；

（2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可

得到答案.

【详解】（1）解：设N团队由x人参加比赛，则8团队由（92-x）人参加比赛，

队人数多于B队人数且A队人数不够90人,

92-x<x<90,

解得，46<x<90,即甲队的人数范围是46<x<90,

・,.乙队人数范围是：2<92-x<46,

由题意得,50、+60(92-%)=5000,

解得x=52,

•••92-x=40,

答：N团队由52人参加比赛，则8团队由40人参加比赛；

(2)解：由题意得，/团队参加比赛的人数为52-10=42人，

当两个团队单独买时的费用为(42+40)x60=4920元，

当两个团队一起买82套时的费用为82x50=4100元，

当两个团队一起买91套时的费用为91x40=3640元，

■,■3640<4100<4920,

••.两个团队一起买91套时最省钱.

3.佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为40%；乙种商品每件进价40

元，售价60元.

(1)甲种商品每件进价为元，每件乙种商品利润率为;

⑵在"春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额优惠措施

少于等于560元不优惠

超过560元，但不超过700元按售价打九折

超过700元其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠

按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少

件？

【答案】⑴50,50%

(2)小贺在该商场购买甲种商品10或11件

【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键.

（1）根据题意列出方程求解即可；

（2）根据题意进行分类讨论即可.

【详解】（1）解:设甲种商品的进价为。元，

贝I]70-o=40%-a

解得q=50,

即甲种商品每件进价为50元，

6°~40xl00%=50%,

40

即每件乙种商品利润率为50%,

故答案是：50,50%；

（2）解:设小贺在该商场购买甲种商品b件，

①当购物金额超过560元，但不超过700元时，

706x0.9=630

解得：&=10；

②当购物金额超过700元时，

700x8.7+（70b-700）x0.3=630

解得：6=11.

答:小贺在该商场购买甲种商品10或11件.

类型七、一元一次方程的应用一一几何动点问题

【解惑】如图，在△4BC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8.点尸从点/出发，沿折线NC-C3以每秒1

个单位长度的速度向终点2运动，点0从点3出发沿折线BC-C/以每秒3个单位长度的速度向终点/运

动，尸、。两点同时出发.分别过尸、。两点作于E,。尸1/于E设点尸的运动时间为t（秒）：

⑴当尸、。两点相遇时，求t的值；

⑵在整个运动过程中，求CP的长（用含f的代数式表示）;

7

【答案】⑴

(2)当时，CP=6-Z；当6<fW14时，CP=t-6

【分析】本题考查了动点问题及全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用.

(1)当P、0两点相遇时，它们运动的路程之和为/C+2C,据此列方程并求解即可解答；

(2)根据题意，分情况列代数式表示即可.

【详解】(1)解：运动t秒时，点尸的运动路程为力,点。的运动路程为次,

当它们相遇时，则/+3f=6+8,

7

解得

7

・••当尸，。两点相遇时，t的值为(秒.

(2)由题意可知，P点运动的路线长为

当04f46时，点P在/C上，CP=6-t.

当6<区14时，点尸在8c上，CP=t-6.

【融会贯通】

1.如图，在长方形0/3C中，。为平面直角坐标系的原点，点/的坐标为(。,0),点C的坐标为(0,6),且

a,b满足(°-6)2+|6-8|=0,点8在第一象限内，点尸从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线

0-C-8-4-。线路运动一周停止.

⑴求点B的坐标；

⑵在移动过程中，当点P到y轴的距离为4个单位长度时，求点尸移动的时间；

⑶当点尸在C-2-N的线路上移动时，是否存在点P使AOB尸的面积是12,若存在，直接写出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴3(6,8)

(2)6秒或12秒

(3)存在,尸点的坐标为(3,8)或(6,4)

【分析】此题考查平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、动点问题，一元一次方程的应用，

学会分类思想是解题的关键.

(1)先根据非负数的性质求得。，6,则/(。,6),。(0,8),根据长方形的性质可求得点8的坐标.

(2)设点尸移动的时间为/秒，点到轴的距离为个单位长度，则点P在。4边上或在8c边上，分别列方程

求出/的值即可；

(3)分两种情况，当点尸在边C3上时，则:x88P=12；当点尸在边上时，则叁6期=12,分别求出

22

BP,进一步即可得出点8的坐标.

【详解】(1)解：•••(a-6)缉|6-8|=0,

.。.。―6=0,6—8=0,

•••〃=6,b=8,

.••^(0,6),C(0,8),

••・四边形。48c是长方形，

ZOAB=ZOCB=90°,

8/_Lx轴，8CJ_y轴，

.•.8(6,8)

(2)设点P移动的时间为/秒，

•・•点P到y轴的距离为4个单位长度，

.,.点尸在04边上或在BC边上，

当点尸在5c边长上，

则2"8=4,

解得：f=6,

当点尸在。/边上，

贝［j2f+4=2(6+8),

解得：1=12.

(3)当点P在边C8上时，如下图：

S.OBP=LBP•℃=12,

OC=8,

.-.-xSBP=n,

2

解得：BP=3,

二点尸的坐标为：(3,8)

当点P在边NB上时，如下图:

,电oBP=gBP,OA=12,0/=6,

/.—x6BP=12,

2

・•・BP=4,

••.尸(6,4).

综上：否存在点P使AOAP的面积是12,此时，尸点的坐标为(3,8)或(6,4).

2.综合题：如图，在长方形4BCD中，AB=CD=6cm,BC=AD=Scm.动点尸从点3出发沿BfC向

点C运动，速度是2cm/s；动点0从点C出发沿C->3向点8运动，速度是4cm/s点尸，。两点同时出发,

当点尸到达点C时，两点同时停止，设运动的时间是/秒.

⑴用含t的代数式表示线段5尸与CQ的长；

(2)当,为何值时，点P与点。相遇？

⑶当/为何值时，三角形/P。的面积为12cm2?

【答案】（l）AP=2/cm,CQ=4tcm

4

（2）/=§秒

2.

⑶f为］秒或2秒时，三角形的面积为12cm2

【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用：

（1）根据路程=速度x时间进行求解即可；

（2）根据两点相遇时所走的路程之和为3c的长列出方程求解即可；

（3）分尸、0相遇前，P、。相遇后两种情况用含t的式子表示出尸0,再根据三角形面积公式列出方程求

解即可.

【详解】（1）解：由题意得，BP=2tcm,CQ=4/cm；

（2）解：由题意得，2f+4f=8,

4

解得f

3

4

・•・当/=§秒时，点尸与点0相遇；

（3）解:P、0相遇前P0=8-2f-4/=（8-6f）cm,

「•Si=；x（8-6/）x6=12,

2

解得/="

P、。相遇后，PQ=2Z+4?—8=（6？—8）cm,

二鼠侬=；x（6f-8）x6=12,

解得t=2.

2

综上所述：f为］秒或2秒时，三角形/P。的面积为12cn?.

3.如图，在长方形4BC。中，AB=6cm,5C=4cm,点尸从点/出发，以每秒4cm的速度沿折线48—8C

运动，同时点0从点C出发，以每秒1.5cm的速度沿射线C2方向运动，当点尸到达终点C时，点。随之

停止运动.设点P的运动时间为/（秒）.

（1）①当点P在48上运动时，BP=cm.（用含，的代数式表示）

②当点尸在2c上运动时，BP=cm（用含f的代数式表示）

（2）当点P运动到8c的中点时，求线段8。的长.

⑶当点尸与点。到点8的距离相等时，求才的值.

⑷当点尸在BC上运动时，连接/尸、直接写出△4尸。的面积是3cm2时/的值.

【答案】（1）①（6-今）；②（今一6）

（2）1cm

m4T20

⑶M或IT

⑷或2

【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用：

（1）①求出，尸=4fcm,则8P=N3-/P=（6-4/）cm；②先求出点P的运动路程再减去的长即可得

到答案；

（2）根据题意可得方程4/-6=gx4,解方程即可得到答案；

（3）分当点尸在N8上运动时，当点尸在8C上运动时，两种情况建立方程求解即可；

（4）根据三角形面积公式求出尸。=1cm,据此建立方程求解即可.

【详解】（1）解：①由题意得，当点尸在45上运动时，AP=4/cm,

；.BP=AB-AP=（6-4/）cm,

故答案为：（6-4/）；

②由题意得，当点尸在5。上运动时，5尸=（4/-6）cm,

故答案为：（4%-6）；

（2）解：由题意得，4^—6=—x4,

2

•,•/=2,

C2=2x1.5=3cm,

・•.BQ=BC-CQ=lcm；

（3）解：当点尸在4g上运动时，则4一1.5，=6-书，

4

解得

当点尸在8c上运动时，贝IJ4一1.5/=47-6,

解得”需20

综上所述，当点P与点0到点8的距离相等时，或,=*；

(4)解：•••△/尸。的面积是3cm一

尸°./3=3,

PQ=1cm,

，4,—6=4—1.5%+14%—6+1=4—1.5/,

1o

解得f=2或"卞

1O

二当AAPQ的面积是3cm2时t的值为1或2.

类型八、一元一次方程的规律

【解惑】用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放:

⑴第5个图案有一张白色小正方形纸片；

(2)第n个图案有一张白色小正方形纸片；

⑶第几个图案中白色纸片有2023张？

【答案］⑴16

(2)(3«+1)

(3)674

【分析】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论.注意由特殊到

一般的分析方法，此题的规律为：第〃个图案中有3〃+1张白色纸片.

(1)观察图形，发现：白色纸片在4的基础上，依次多3个；

(2)根据(1)中的规律，用字母表示即可；

(3)根据(2)的规律，得出3〃+1=2023,解之得出〃的值即可作出判断.

【详解】(1)•••第1个图形中白色纸片的数量4=l+3xl,

第2个图形中白色纸片的数量7=1+3x2,

第3个图形中白色纸片的数量10=1+3x3,

.•・第5个图片中白色纸片的数量为1+3x5=16,

故答案为：16；

(2)由(1)知，第〃个图案中白色纸片的数量为3"+1,

故答案为：(3〃+1)；

(3)设第"个图案中白色纸片有2023张，

由3〃+1=2023,

解得：n—674,

即第674个图案中共有2023张纸片.

【融会贯通】

1.用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子,

第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推.

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【规律发现】

(1)第6个图形中有个圆形棋子；

(2)第〃个图形中有