2024-2025学年上海市杨浦区高一年级上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年上海市杨浦区高一上学期12月月考数学检测试题

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间90分钟.

2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选

择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题（满分36分）

1.的定义域是______________

2.己知事函数，=/（"）的图象经过点（96），则/（X）的解析式是

3,函数y=—3（。>0,且的图象过定点A,则点A的坐标是.

A=\x\y=xA\,B=［y\y=2x\

4.设1J,则.

5.已知/⑴的定义域为［T3］,则/卜2）的定义域是.

6,定义域为尺的奇函数/⑺，当X〉。时，/（x）=x、x,则当x<0时〃x）=

7.已知实数a,b满足lg（2a+3、）=lga+lgb,则。+6的最小值为.

8.若函数/⑴Tg［（"W+G+l］的值域为R,则实数。的取值范围是

（2-5a）”,x<l

-+55x>l

9.已知函数x在R上是严格增函数，则实数a的取值范围是

f（x）=log（2x2+3ax-2a1「、

10.已知函数2t在11'+0°）上是严格减函数，则实数。的取值范

围是.

11已知函数""""一+5,则/0g5）+/（lg2T）=,

12.已知函数/（X）的定义域为R,/⑴=3,对任意两个不等的实数a/都有

/⑷―/(')

＞1,则不等式/QT＜2'+1的解集是

a-b

二、选择题（满分12分）

13.己知a/eR,条件）：。〉'，条件q:lga〉lgb,则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.定义域为R的函数/（%）满足条件：①对任意的西,々＞0,恒有

[/（西）一/（工2）]（$一%2）＞0；②/（x）—/（—x）=。；③/（—3）=0,则不等式切（“＜。

的解集是（）

A.(-®,-3)u(O,3)B.(-3,0)u(0,3)

C(-3,0)U(3,+8)D.(-oo,-3)u(3,+co)

15.函数/（x）=J加》+20+2定义域为R的一个充分不必要条件是（）

1121

A.m>—B.m>—C.m>—D.m>—

3432

Y2Y<1

，

16.设函数/(%)=<|10g2(X-l)|,X>l若/(%)=/(々)=/(尤3)=/(%)（其中

4

x<x<x<x),则-----+（再+X2+2卜3的取值范围是（）

r234+1

吟

A.B.D.4

三、解答题（8+8+10+12+14=52分）

17.已知函数/(x)==y-的图象过点（1,1）和

（1）求函数/（x）的解析式;

（2）判断函数/（x）在区间（0,+8）上的单调性，并用单调性的定义证明.

18.己知函数/(x)=|x+l|+|x_3|.

(1)求不等式/(x)26的解集；

(2)若不等式/(x)»2/+2。的解集为R,求实数。的取值范围.

19.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小

镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克与施用肥料x(单位：(千克)满

5(X2+3),0<X<2

足如下关系：W{x}=\50%，肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培

----,2<x<5

J+x

育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供

不应求.记该水果树的单株利润为/(X)(单位：元).

(1)求/(X)的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

20.设函数/(力=优—(左—1)「(a>0且"1)是定义域为R的奇函数.

(1)求左的值；

(2)若/⑴<0,试判断函数单调性，并求使不等式/卜2+2+/(4-x)<0对xeR恒

成立的t的取值范围；

(3)若〃1)=|,且8(%)=产+/2-2对3在［1,+8)上的最小值为_2,求加的值.

21.已知函数歹=/(x),xeD,若存在常数k(左>0),使得对定义域D内的任意七户2

Cx^x2),都有-<左忖一叫；|成立，则称函数y=/(x)在其定义域D上是“k-

利普希兹条件函数”

(1)判断函数①V=x,②歹=_?是否是“1一利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不

是，请说明理由；

(2)若函数y=«(l<x<4)是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；

(3)若歹=/(x)是定义在闭区间［0』上的“2-利普希兹条件函数”，且/(0)=/⑴，求证:

对任意的再,/€［0』］都有|/(再)一/(》2)归1.

2024-2025学年上海市杨浦区高一上学期12月月考数学检测试题

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间90分钟.

2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选

择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题（满分36分）

1+X

L函数心

3+x的定义域是

【答案】（一为,一3）“—l,+oo）

【解析】

]+X

【分析】由根式函数定义域的求法得到——>0,求解即可得函数/（X）的定义域.

3+x

【详解】要使函数/（、）=H三有意义，x应满足l±±zo,

3+x3+x

(x+3)(x+l)>0

所以《解得x<-3或x2—1,

x+3w0

所以函数/（力=

故答案为：（―一3）u[—1，+°°）.

2.已知募函数y=/（x）的图象经过点（9,3）,则/（x）的解析式是.

1

【答案】/（X）=

【解析】

【分析】先设解析式/（x）=x",再由点（9,3）代入求得a,即得结果.

【详解】暴函数y=/（x）可设为〃x）=x"，图象过点（9,3）,贝1]〃9）=9&=3,则a=g,

所以/（%）=/.

1

故答案为：

3.函数》二优+2-3（。>0,且awl）的图象过定点A,则点A的坐标是.

【答案】(一2,-2)

【解析】

【分析】利用指数函数的性质即可得解.

【详解】因为>=优+2一3(a>0,且awl)的图象过定点A,

令x+2=0,则x=-2,y=a°—3=—2,

所以点A的坐标为(一2,-2).

故答案为：(-2,-2).

-1

4.设幺=<x\y=x4>,B=^y\y=2'^,则4口5=.

【答案】(0,+8)

【解析】

3

【分析】首先要明确集合A是函数v=》4的定义域，根据基函数的性质求出集合A；集合B是函数歹=2%

的值域，根据指数函数的性质求出集合3,最后求两个集合的交集.

3___

【详解】对于函数y=Xa="/，要使根式有意义，则根号下的数非负，即X20,所以Z=[0,+8).

对于函数y=23因为丁>0对于任意xeR都成立，所以8=(0,+co).

因为Z=[0,+oo),B=(0,4-co),所以N=(0,+co).

故答案为：(0,+oo).

5.已知/(x)的定义域为[T3],则/(/)的定义域是.

【答案】卜

【解析】

【分析】利用抽象函数定义域的解法求解即可.

【详解】因为/(x)的定义域为[-1,3],

对于函数/，)，需使解得xe[—

即/(/)的定义域是[―

故答案为：[-

6.定义域为尺的奇函数/(x),当x>0时，/(x)=x2-x,则当x<0时/(x)=.

【答案】-x2-x

【解析】

【分析】令x<0,则-x>0,根据自变量大于零时的解析式，结合函数的奇偶性，即可求得.

【详解】令x<0,则—x>0

又当x>0时，/(x)=x2-x,

故/(f)=X?+X,

又因为/(X)是奇函数，故/(-x)=-/(x)

则-/(》)=X2+X

解得/(x)=-x2-x,(x<0)

故答案为：-X?-X.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属基础题.

7.已知实数a,b满足lg(2a+36)=lga+lgb,则a+6的最小值为.

【答案】5+276

【解析】

23

【分析】。〉0力〉0,利用对数运算法则得到：+—=1,由基本不等式“1”的妙用求出最小值.

ba

【详解】lg(2a+3b)=lga+lgb=lga6,a>0,Z?>0,

23

故2〃+3b=cib,—i——1f

ba

,,.(\(23、2a3b12a3b_/r_

故a+b=(Q+bK)—I—=-----1-----F3+222J-----F5=n6+5,

\ba)ba\ba

当且仅当工—=—，即a=3+=2+时，等号成立.

ba

故答案为：5+2A/6

8.若函数/(x)=lg[(a-+的值域为R,则实数a的取值范围是.

【答案】[1,+8)

【解析】

【分析】由对数复合函数的值域为R,即(O,+e)是/(x)=lg［(a-1)/+办+1］值域的子集，结合一次、

二次函数的性质列不等式求参数范围.

【详解】若＞=(。—1)/+4«+1,要使/(x)的值域为R,

即(0,+。)是函数4=(。-1)］+办+1的值域的子集,

a—1＞0

所以〈人2//八、0或。一1=0,可得

A=a-4(tz-l)＞0

所以实数。的取值范围是［1,+8).

故答案为：口,+°0).

(2-,x＜1

9.已知函数/(x)={a在R上是严格增函数，则实数a的取值范围是_______________

--F5,X1

、X

【答案】［—g,。)

【解析】

2—5。＞1

【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得。＜0,解得。的取值范围.

2-5。＜。+5

(2-5Q)",X＜1

【详解】根据题意，函数/(%)=Q在R上是增函数，

—+5,x＞l

2—5a＞1

则有＜。＜0,解得：—＜。＜0,

2

2—5a＜。+5

即实数。的取值范围为

故答案为：［-5,o).

10.已知函数/(x)=l°gj(2£+3ax—2a2)在口,+8)上是严格减函数，则实数°的取值范围是

【答案】［-1,2

【解析】

【分析】利用复合函数的性质“同增异减”即可得到结果.

【详解】令/=2丁+3依-2a2,则g(,)=logj,且g«)为减函数.

2

2

函数/(x)=log2(2x+3ax—2/)在口,十⑹上是严格减函数，

2

--<11(1

则4，解得——<。<2,故实数。的取值范围是一^,n2

2+3”2。2〉02—

故答案为：f--,2j.

11

11.已知函数/(x)=x+lnt±Y+L则/(lg5)+/(lg2-1)=_____________

1—x2

【答案】1

【解析】

1V

【分析】由题意构造g(x)=x+ln—,可以证明它是奇函数，从而

1-X

/(-x)+/(x)=g(-x)+1+g(x)+1=L所以由/(lg5)+/(lg2—1)=/(lg5)+/(—lg5)即可得解.

1_i_Y

【详解】设g(x)=x+ln—,则g(x)的定义域为(-1,1),g(x)的定义域关于原点对称,

1-X

^-^-x+ln-一-=In1=0,即g(x)=-g(-x),

且g⑴+g(-x)=x+In

1-x1+x

则g(x)为奇函数，所以/(x)=g(x)+g，/(-x)+/(x)=g(-x)1g(x)+g=L

十一+

2

因为/(lg2—1)=/11g得］=/11g巳］=—/(-lg5),

所以/(lg5)+/(lg2—l)=/(lg5)+/(—lg5)=L

故答案为：1.

12.已知函数/(x)的定义域为R,/(1)=3,对任意两个不等的实数a,6都有了(句一/(”)〉i,则不等

a-b

式/(2工—1)<2*+1的解集是.

【答案】(-00,1)

【解析】

【分析】推导出函数〃(x)=/(x)-x为R上的增函数，将所求不等式变形为〃(2'-可得出关

于实数X的不等式，由此可解得原不等式的解集.

【详解】不妨令a>b,则等价于/⑷―/㈤〉a—b,

a-b

可得/（。）一。>/9）-6,构造函数〃（x）=/（x）-x,则力⑺是R上的增函数.

因为〃1）=3,所以/（2，—1）<2工+1等价于/（2—1）—（2:—1,

即〃（2工-1）<〃（1）,所以2-1<1，即2，<2,解得x<L

因此不等式/（2X-1）<2V+1的解集是（-a）,l）.

故答案为：（一叫1）.

【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，

方法是：

（1）把不等式转化为/［g（x）］>/［〃（》）］；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式（组），

求解即可.

二、选择题（满分12分）

13.已知a,beR,条件P：a〉b,条件q:lga>lgb,则p是4的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断.

【详解】若q：lga>lgb成立，根据对数函数y=lgx的性质，可得。>6>0,即由1可以推出。.

若夕：成立，当a=l,6=0时，满足“>b.

但是此时lg6无意义，所以lga>lg6不成立，即由。不能推出4.

综上，）是4的必要不充分条件.

故选：B

14.定义域为R的函数/（x）满足条件：①对任意的〉0,恒有［/（马）一/（》2）］（西一马）〉0；②

/（x）-/（-x）=0;③/（一3）=0,则不等式W（x）<0的解集是（）

A.(-®,-3)u(O,3)B.W，3)

C.(-3,0)U(3,+s)D.(-co,-3)O(3,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知，利用函数的单调性、奇偶性，分类讨论解不等式.

【详解】因为内,》2〉0，恒有"(西)一/(工2)](王一工2)〉0,

所以\\0在(0,+8)上恒成立，即/(X)在(0,+8)上单调递增，

X]一%2

因为)=0,所以/⑴亍(一力，即/(X)是定义在R上的偶函数，

所以函数/⑴在(—“⑼上单调递减，又"—3)=0,所以匕)=0,

对于不等式切(x)<0，

当x>0时，/(x)<0=/(3),可得0<x<3；

当x<0时，/(x)>0=可得》<—3；

综上，不等式货(x)<0的解集是(一叫—3)0(0,3).

故选：A

15.函数/(x)=dmx?+2x+2定义域为R的一个充分不必要条件是()

1121

A.m>—B.m>—C.m>—D.m>—

3432

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的定义域、一元二次函数以及恒成立问题求得充要条件，再根据充分不必要条件进行判

断即可.

【详解】因为函数/(x)=，-仁+21+2的定义域为R,

所以相+2x+2>0对任意的x恒成立，

当机=0时，不等式变形为2x+220,解得1,不符合题意，

当加H0时，不等式加/+2X+220的解集为R，

m〉0解得加z;,

所以A=22-4xmx2<0

综上所述：函数/（x）=J//+2X+2的定义域为R,则机的取值范围［；,+8）；

所以加是函数/（x）=Vmx2+2x+2的定义域为R的一个必要不充分条件，故A错误;

所以机是函数/（x）=^mx2+2x+2的定义域为R的一个必要不充分条件，故B错误;

2____________

所以加上§是函数y（x）=yjmx2+2X+2的定义域为R的一个充分不必要条件，故C正确;

所以加是函数/（x）=7mx2+2x+2的定义域为R的一个充要条件，故D错误.

故选：C.

x2,x<l

16.设函数/(x)=<，若/（再）=/（%）=/（£）=/（》4）（其中项<X2<%<Z），

|log2(x-l)|,x>l

4

则+（匹+》2+2）W的取值范围是)

x4+l

【答案】D

【解析】

由/'（玉）=/（匕）得七=」7+1，从而得

【分析】作出函数/（X）的图象，结合图象可得西+%=0,

%4.1

442

——-+（Xl+x2+2）x3=--+―?+2,再根据2<乙<3可求出结果.

x4+1x4+1x4-1

【详解】作出函数/（X）的图象，如图所示，

设/（玉）=/（》2）=/（》3）=/（》4）=，,

由图可知，当0</41时，直线y=/与函数/（x）的图象有四个交点,

交点的横坐标分别为国,》2，七，》4，且七＜/＜七＜，

当x〉l时，令/(x)=|log2(x-l)|=l,解得x=|■或x=3.

3

由图可知，X1+x=

20,-<x3<2,2<x4<3,

由/。3)=/(尤4)，Bj-#-log2(x3-l)=log2(x4-1),所以七一1=」~7

x4—1

14442

则有马=不+1，所以E+a+X2+2)X3=N+2W=-----1-----+2

%+1%—1

4?

令g(x)=---;+---r+2(2<x<3),

X+1X—1

易知g(x)在(2,3］上为减函数，且g⑵=g,g⑶=4,

“4/0164

故44皿+a+%+2区<5,则.+(占+工2+2)招的取值范围是4,y1.

故选：D

【点睛】关键点点睛：作出函数/(X)的图象，利用对称性得%+々=0,利用/(%)=/(%)得

1,

退=—；+1，将所求式子化为关于％的函数，利用％的范围求解是解题关键・

%4T

三、解答题(8+8+10+12+14=52分)

vyi的图象过点(1,1)和[2,g].

17.已知函数f{x}=-^-

(1)求函数/(x)的解析式;

(2)判断函数/(x)在区间(0,+8)上的单调性，并用单调性的定义证明.

【答案】(1)=

x+2

(2)函数/(x)在(0,+8)上为减函数.证明见解析.

【解析】

3

【分析】(1)待定系数法得到方程，求出机=3,〃=2,则/(%)=丁与；

(2)根据定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，即可解出.

【小问1详解】

的图象过点(1,1)和IS],

根据题意函数/(x)=w

则川)=出二】，")=£

-2

3

解得m=3,n-2,则/(x)=

X2+2

【小问2详解】

函数/(X)在(0,+00)上单调递减,

证明：任取占，x2e(0,+oo),设苞<》2，

/、/、333(X+X)(X-X)

则小正丽122Ti1p

又因为0<%<%2，则％2一玉〉0，%+工2〉0，%；+2>0,^2+2>0,

则/(石)一/(%)>0；所以/(玉)>/(》2)，

故函数/(X)在(0,+00)上为减函数.

18.已知函数/(x)=|x+l|+|x-3].

(1)求不等式/(x)»6的解集；

(2)若不等式/(x)22/+2。的解集为R,求实数。的取值范围.

【答案】(1)(-oo,-2]o[4,+c»)

(2)[-2,1]

【解析】

【分析】(1)由可得/(x)26,分类讨论，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解即可;

(2)根据题意得到，从而得到关于的二次不等式，再由一元二次不等式解法，即可求出结果.

【小问1详解】

f(%)=|x+l|+|x-3|,

.".当x4—1时，/(x)26即—x—1—x+326,解得xW—2；

当一l<x<3时，/(x)26即x+l-x+326,无解；

当x23时，/(X)26即x+l+x-326,解得x24；

综上，不等式/(X”6的解集为(―叫-2]o[4,+8).

【小问2详解】

•.•/(力22/+2°的解集为区，

2

.,./(%)>2a2+2a在R上恒成立，/(x)m，n>2a+2a.

—2x+2,x«—1,

由(1)可得/(x)=<4,-1<x<3,.,./(x)min=4.

2x-2,x>3,

.•.2Q2+2QV4,解得—2VQ«1,

，实数。的取值范围为［-2".

19.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研

发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系:

5（12+3j,0<x<2

W(x)=<50v，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）

-----,2<x<5

,1+x

20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为

/（x）（单位：元）.

（1）求/（X）的函数关系式;

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

75x2-30x+225,0<x<2

【答案】（1）/（x）=<750

750--——30x,2<x<5

x+1

（2）当x=4时取得最大利润，最大利润为480元.

【解析】

【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式;

（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.

【小问1详解】

15x5(/+3^-30x,0<x<2

由已知/(x)=15JF(x)-20x-10x=<50x

15x-------30x2<x<5

1+x?

75x2-3Ox+225,0<x<2

750

750--——30x2<x<5

x+1,

【小问2详解】

751x—g1+222,0<x<2

由⑴得/(x)=<

780-30|—+x+l],2<x<5

U+lJ

即由二次函数的单调性可知，当xe［o,2］时，/(x)max=/(2)=465,

由基本不等式可知，当xe(2,5］时,

至+4780—30x2小^.(x+1)=480,

/(x)=780-30X+1

X+1

25

当且仅当——=x+l,即x=4时取得最大值，

X+1

综上，当x=4时取得最大利润，最大利润为480元.

20.设函数/(x)=a工一(左一(。〉0且a/1)是定义域为R的奇函数.

(1)求左的值；

(2)若/⑴<0,试判断函数单调性，并求使不等式/卜2+可+/(4-可<0对》611恒成立的1的取

值范围；

a

(3)若/⑴=；,且83=++--2万3在［1,+8)上的最小值为—2,求加的值.

【答案】(1)k=2

⑵(-3,5)

(3)m=2

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的性质可得/(0)=0，由此求得左值;

(2)由=(a〉0且a/l),/⑴<0,求得0<a<l,/(x)在R上单调递减，不等式化

为/［2+笈)</@—膏，即丁+。一1)》+4〉0恒成立，由△<()求得f的取值范围；

(3)由/(1)=5求得。的值，可得g(x)的解析式，令/=/(》)=2工—2一工，可知/(x)=2,—2T为增函

3

数，令力（7）=*—2机7+2（72万），分类讨论求出〃（7）的最小值，再由最小值等于—2,求得加

的值.

【小问1详解】

•."（力=优-（左-1）1是定义域为口的奇函数，

y（0）=«°—°=0,.-.1—-1]=0,.'.k=2,

经检验，k=2,/（"=。工一。一工是奇函数，故左=2；

【小问2详解】

/（x）=aT-ax（a>0且awl）,

0,•,.a-a-1<0>又a>0且awl,所以0<a<l,

・••优单调递减，a-，单调递增，故/（x）在R上单调递减.

不等式化为/（丁+笈）</（工一4）,.•./+笈〉》一4，

即》2+（/一1）》+4〉0恒成立，，A=（/一1）2—16<0,解得—3<，<5

所以/的取值范围为（一3,5）；

【小问3详解】

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'''=~''''a-a'=—,即2/-34-2=0,解得a=2或a=-^（舍去），

・•.g（x）=