2024-2025学年山西省高二年级上册11月期中联合考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年山西省高二上学期11月期中联考数学检测试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占20%,选择性必修第一册占80%.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

1.已知集合0={123,4},〃={1,2},N={2,3},则@.）CN=（）

A.3B.m}c.NXD,也4}

【正确答案】A

【分析】根据补集和交集的概念与运算直接得出结果.

由题意得暇={3,4},所以©M）CN={3}.

故选：A

11-i

1—z----

2.已知复数z满足i,则z的共辗复数亍=（）

A.-1-iB.-1+iC.2+iD.2-i

【正确答案】D

【分析】根据复数的运算及共轨复数的概念求解.

1=0-i）：].

因为i-i?—\所以z=J”岭+i,则”2-i.

故选：D.

3.已知函数/（X）是定义在R上的偶函数，当时，/（x）=2、，则〃T）=（）

A.1B.22D.0

【正确答案】B

【分析】由函数的奇偶性可得/(l),代入函数解析式直接得出结果.

由偶函数性质得，"T)=/(l)=2=2

故选：B

4.从23}和45}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概

率是()

111X

A.6B,3C,2D,4

【正确答案】D

【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算.

=

组成两位数的样本空间C{24,42,25,52,34,43,35,53},样本点总数为&.能被3整除的数

2_j_

为24,42,有2个.故所求概率为京4.

故选：D.

5.图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m,水面宽6m,水面下降

1m后，水面宽度为()

A3A/3HIB3V2rnQ3V6mD8m

【正确答案】C

【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为＞='(3，-2)代入抛

物线，解得答案.

建立如图所示的平面直角坐标系，则点”◎，—2）.设抛物线的方程为了=a/,

22x2

由点'（'-2）可得_2=9a,解得“3,所以？9.

x=+3V（

当＞=一3时，—2,所以水面宽度为3#m.

6.己知椭圆,，9+4—L过点/（-U）的直线交C于A、8两点，且/是48的中点,

则直线的斜率为（）

4224

A.9B.9C.3D.3

【正确答案】A

【分析】设“（西'%）、'（/，%）,利用点差法可求得直线AB的斜率.

若线段481x轴，则线段48的中点在％轴上，不合乎题意，所以，直线4B的斜率存在,

设，（"J、/9，%）,由题意可得西+》2=-2,%+%=2,

（22

辽+江=1

94

直+五=1X；—*+，-黄二。

则〔94,两式相减可得94,

"一工_%一8必+%_2”_“_44

ABAB

~~~9kAB=%

所以，“1乂2勺乂2七十乂2/"解得9,

4

因此，直线48的斜率为5.

故选：A.

7.若动圆过定点'（2，0）,且和定圆C：x+2）+/=1外切，则动圆圆心尸的轨迹方程

为()

/y2-11Yy2-11

x>-x<——

A.3(2)B.32)

1A14*1

x<——1x>-

(2)D.15(2)

【正确答案】D

【分析】根据动圆与定圆外切得出归°k归旬=1<以1=4,再由双曲线定义判断

动点轨迹，写出方程即可.

定圆的圆心为（，），与（，）关于原点对称.

设阿=\由两圆外切可得归QT+"

所以尸H=i<gc|=4,

所以尸的轨迹为双曲线的右支.

—Z---^-7-=>Q,b>0)a=—,c—2,b2=c~—a2=—

设尸的轨迹方程为矿b-，则24

4/4V

所以轨迹方程为15=3

故选：D

8.已知"（2'°）,8（10,0）,若直线及--+2=0上存在点p,使得苏,方=0,则t的取

值范围为（）

33

B.5'

(-8,-7]U-+00

D.[5

【正确答案】B

【分析】设尸（XJ）,根据苏.方=°,得出尸的轨迹方程，再结合条件尸为直线4s上的

点，得到直线与圆的位置关系，即可求解.

设尸（x，y）,则尸幺=（2_为7）,08=（10—X,—y）,

因为苏.而=0,所以00-》）+（-»=0,

即（x-6）2+「=16,所以点尸在以（6，°）为圆心，4为半径的圆上.

点尸在直线笈_4了+2=0上，

所以直线笈―4y+2=0与圆（x—6了+/=16有公共点，

|6z+2|1

12-4--<t<3.

则"+16,解得5

故选:B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知抛物线Ur=4x的焦点为R,直线/号=8（1）与C在第一象限的交点为尸,

过点尸作C的准线的垂线，垂足为下列结论正确的是（）

兀

B,直线的倾斜角为3

A.直线过点少

71

ZFPM=-

C.2D.△打%f是等边三角形

【正确答案】ABD

【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由

/FR0与直线的倾斜角的关系可判断c；由抛物线定义可知归/仁归”!进而判断

△FR0的形状，从而判断D.

抛物线C：「=4x的焦点为b（1,0）,而0=百（1-1）,所以直线过点歹，故A正确；

设直线的倾斜角々，因为直线，：y=G（x_l）的斜率为左=tana=百，0<a<7i,

7171

a二一

所以3,即直线的倾斜角为3,故B正确;

71

/FPM=a=—

因为3,故c错误；

因为点尸在抛物线上，由抛物线定义可知，

71

NFPM=—

又3,所以△功如■是等边三角形，故D正确.

故选：ABD.

A./（X）的最小正周期为兀

_571

B./（X）的图象关于直线”8对称

C./（“）的图象关于点I中心对称

（兀兀）

D./（X）在（W'10j上单调递增

【正确答案】ABD

/（x）=V2sin2x+—

【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得I4人结合正弦函数的图象

与性质依次判断选项即可.

f（x）=2sinx（cosx-sinx）+1=sin2x+cos2x=V2sin2x+—

4

详解】I<

T=史=乳

A：2”,所以/（X）的最小正周期为兀，故A正确;

_兀兀77T71kli1r

2xH———F左71,左wZx——I---，左wZ

B：令42，得82

5兀

x=一

当左=1时,8

_5兀

所以8为函数/（X）的一条对称轴，故B正确;

2x+—=kit,A;eZx=--+—,keZ

C：令4，得82

兀

x=—

当左=0时，8

为函数/（X）的一个对称中心，故C错误;

所以

7T7TTT3兀7,/兀

---F2kli<2x+—<—+2械keZ------—+而1（左eZ）

D：令242，得88

3兀71371兀

---<x<—/（X）的单调递增区间为-I-5?

当左=0时，88,即

兀兀3兀兀

4?10为18’8」的真子集，故D正确.

而

故选：ABD

11.若E任平面7,尸e平面7,平面7,则称点F为点E在平面7内的正投影，记

为E=/y(E)•如图，在直四棱柱4sCQ_48|GQ中，BC=2AD,AD1AB,P，N

分别为"4,℃的中点，DQ=3QD],AS=8。=幺4=6.记平面45。为a,平面

为A通=4戴(0</1<1)(⑹］屈=。［⑺］

A若［N=+,则〃=1

B.存在点H,使得平面1

675

C.线段”&长度的最小值是5

D,存在点H,使得“&工而2

【正确答案】ABC

【分析】先建系，对于选项A,先证Q,B,N,P四点共面，再计算〃的值；对于选项B,

先找出Ki,K2,可得“长2是平面a的一个法向量，结合“&//平面a,则

叫网=°,依此求出H的位置；对于选项C,表示出求解其最小值即可；对

于D,依据f则“&•"(=(),从而可判定H的存在性.

对于A：因为'8C。-44G2为直四棱柱，AD1AB,所以以A为坐标原点，

AD,AB,'4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ,BN-

ZA

D\

Q

则4（0,06）S[3,02J5（0,60）N（6,63）尸（0,03）

故也〔3叫,丽=（6,03）,

所以BN=2PQ,即Q,B,N,P四点共面，

若&N=240-240+〃4%则2-2+〃=1,解得〃=1,A正确；

对于B：过点H作"G，交于点G,过点G作AB的垂线，垂足即&,

过点A作4s的垂线，垂足即K2,连接孙，HKi,由题意可得“*=6比（0</1<1）,

77（0,062）G（0,3^323+32）&（0,3,340）£（0,33）

±6成=（0,33）砒=（0,3丁34-64）砒=（0,33-64）9=（0,6-6）

RX，，，，

易得'42是平面a的一个法向量，若"Ki"平面a,

则哈虫二°,即3（3-3沙3（-6»0,解得几十㈣符合题意，

所以存在点H,使得平面a,B正确，

|西二7（3-32）2+（-62）2=3A/522-22+1=3J5（2--）2+-

对于cJ।,55,

i1I-i6^/5

儿=一\HK—

当5时，I”取得最小值，最小值为5,c正确.

对于D：若HKJHK2,贝°西.矶=3（3—34）—64（3—64）=0,

得4万—34+1=0,无解，所以不存在点H,使得"Ki工HK?,口错误.

故选：ABC

关键点点睛：根据题意可知（，（在平面4s与4上，然后建立坐标系，根据投影表示所需

要点的坐标，然后利用坐标计算即可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知单位向量匾*满足卜—可=同，则/与*的夹角为.

兀

【正确答案】§##60°

【分析】根据平面向量数量积的运算律求得2,结合数量积的定义计算即可求解.

_1

由…H司,可得片一2晨3+庐=齐，解得

/-7\a-b1

cos\d.b）=­——

则同忖2,又,,%［（）,兀］,

71

所以1与B的夹角为3.

兀

故3

13.如图，在棱长为2的正方体“BCD—431GA中，歹是C。的中点，则

AFAC=

【正确答案】6

△“C。为等边三角形，利用向量数量积的定义求

AFAC即可.

棱长为2的正方体ABCD一44G2中，

连接g，则△/cn是边长为2后的等边三角形,

22

AF-AC=^^Dl+ACyAC=^ADi-AC+^AC=1x2V2x2V2xcosy+|x(2V2)=6

故选：6

2222

G：-7+■^"=1(a〉b〉0)G：——=1(加>0,〃〉0)

14.已知椭圆ab与双曲线m~n~有公共焦

点与，巴，G与。2在第一象限的交点为尸，且期,尸鸟，记4，02的离心率分别为,利2,

11

----1----=

22

则，％.

【正确答案】2

【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得归胤="叽归啊=""，根据勾股定理化简可得

a2+m-=2c2,结合离心率定义即可得结果.

由题意可知，附旧明=2/附

所以|尸胤=。+机,|P闾=a-m

22

222am_

因为平广勺所以4c2=("疗+(”⑼2,即。-+加=2c覆+/=2,

所以4H,

故2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知在V/5C中，42，1),以2,3),“6,1),记V/BC的外接圆为圆

（1）求圆”的标准方程；

（2）求过点A且与圆〃相切的直线的方程.

【正确答案］（1）（x-4）2+（）/-2）2=5

（2）2x+y—5=0

【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定

半径，从而得到圆的方程；

方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程.

（2）先求圆心与A点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解

切线方程.

【小问1详解】

（方法一）直线N8的方程为x=2,A、8的中点为（2,2）,

所以线段4B的中垂线方程为卜=2,

直线"的方程为尸1,A、C的中点为（4」），

线段/C的中垂线方程为x=4.

直线＞=2与直线工=4的交点为（4,2）,即圆〃的圆心为（4,2）

点GN与点42，1）的距离为J©一"。一"石

即圆M的半径为石，所以圆/的标准方程为（X-4）2+（＞-2）2=5

（方法二）设圆M的标准方程为a—"）+Q—4=厂

(2-4+(1-4=户Q2一4。+/一26+5=，

<(2-a)2+(3-6)2=户<Q2-4。+%2-66+13=/

(6—4+(1—4=/12。+/—26+37=*

1=4

<b=2

2

解得〔r=一S

故圆”的标准方程为（X—4）2+3_2）2=5

【小问2详解】

k_2-1」

圆"的圆心为“(4,2),/2,1),直线/〃的斜率为14—22,

所以切线斜率为2左，所求切线方程为＞—1=-2("—2),

整理得2x+y-5=0

16.如图，长方体4sC。-4与。。1的底面48C。是正方形，及厂,G分别为

CG，Zg,CO的中点，AAX=2AB

(1)证明：E/〃平面”GQ.

(2)求二面角G—'2一0的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

4亚

(2)丁

【分析】(1)建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行;

(1)由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

设44]=2*8=2,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

)(0,0,0)Q(1,0,2),G[1,；,0：位=(1,0,2),就[1,；,o1

设平面AGD｛的法向量为蔡=®y，z)，

__k(x+2z=0,

n-ADX=0,.J

贝/万•布=。，即卜+于=°

令x=2,则〃=(2「4,-1).

T」，o

证明.

EF-«=-lx2--x(-4)+0x(-l)=0

因为2'所以EEL五，

平面AC%,所以E尸〃平面ZGQ.

【小问2详解】

易知益为平面ADDi的-个法向量，且幺8=(°，1，°)

/~7~z-、AB-n4721

cos(AB,n)=|=^|—二

21

4VH

易得二面角G—42一°为锐角，所以二面角G—"2一°的余弦值为21

17.已知椭圆一1">八°)的右焦点/与抛物线02：r=2px(p>0)的焦点

重合，过点尸且与X轴垂直的直线交cZ于48两点，"是G与C?的一个公共点,

\MF\=5\AF\=6

（1）求4与0?的标准方程；

（2）过点A且与C?相切的直线与G交于点C0,求|8|

22

工+匕=1

【正确答案】（1）G的标准方程为3627,C2的标准方程为V=12x

72

（2）7

【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得G的标准方程，再将点”的坐标代入椭

圆方程，即可得到0?的标准方程；

（2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

记E（c，0）（c>0）,则抛物线C2的方程为F=4CX,其准线方程为X=-J

因为|4F|=6,所以62=4°2,解得c=3,则C2的标准方程为/=12。

不妨设点M在第一象限，记.国JM）6M〉0，%〉0）,因为W|=5,

所以0+X"=5,解得X”=2,因为=12功，所以y”=2后，即"（2,2卡）

2,（2府

3+/—产=36,

由卜=/+9,解得[〃=27,

x2/

_____|_Z——]

所以G的标准方程为3627

【小问2详解】

不妨设点A在第一象限，则”C，6).

设直线/:…&-6)+3.

x=加&-6)+3,

联立y1-12%,得J之一12对y+72加-36二0

由A=(12加y-4x(72加-36)=0,解得加=1,则/:x-y+3=0

设。区％)，。(々/2)

x-y+3=0,

任廿__24__72

联立〔盘+药=，得7/+24x—72=0,贝/+》2=一亍，再々=一亍,

18.如图，在三棱锥尸一/BC中，△尸48为等边三角形，V48c为等腰直角三角形,

PA=2,AC±BC；平面045_L平面48c.

(1)证明./B,PC

(2)点。在线段PC上，求直线40与平面P8C所成角的正弦值的最大值.

【正确答案】(1)证明见解析

473

(2)7

【分析】(1)由线面垂直的判定定理可证28,平面尸℃,再由其性质定理即可证明；

(2)根据题意，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面

角的公式代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

证明：取48的中点°,连接。尸，。C.

因为△尸48为等边三角形，所以0尸工25.

因为V4BC为等腰直角三角形，且ZC,BC,所以OCL4B.

因为。尸u平面POC,0Cu平面POC,OPcOC=O,所以45平面POC,

所以A8CC.

【小问2详解】

因为平面尸46,平面4s°,平面平面48c=Z5,0Pu平面,所

以。尸,平面48c.

以°为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,-1,0),C(l,0,0),尸(0,0,V3),5(0,1,0),CS=(-l,l,0),CP=(-1,0,百)

设丽=2屈(OVXK1)则而=就+无=(1,1,0)+几61,0,6)

=《-岳)

设平面PBC的法向量为］=(x,y,z),

CB•万=0,-x+y=0,

<__v

贝！J［丽.〃=0,即［—X+y［3z—0,

令"百，则x=3/=3,所以k=@3,6)

设直线4D与平面PBC所成的角为°,

3-32+3+32_________6

sin6(=cosqADR

—彳)2+1+3彳2MxJ(l—2)2+1+3彳2

则

6,64百

---------1~---------L=-----

572=-

Y14J4,当且仅当4时，等号成立.

4G

故直线4D与平面P5C所成角的正弦值的最大值为7

19,已知。为坐标原点，双曲线叼==1（。的左、右顶点分别为44,圆

/+/=1过点4,与双曲线°的渐近线在第一象限的交点为。，且

（1）求C的方程；

（2）过点"（—''。乂''"）且斜率不为0的直线与双曲线。的左、右两支的交点分别为。，

尸，连接°°并延长，交双曲线C于点R,记直线4A与直线40的交点为8,证明：点

22

—%।------y------=11

/一（/-4）

8在曲线t+a上.

X2_£-1

【正确答案】（1）3