2024-2025学年天津市和平区高三10月月考数学质量检测试卷（含答案）

2024-2025学年天津市和平区高三10月月考数学质量检测试卷

第I卷（共三部分；满分150分）

一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题

5分，满分45分）

1.集合Z=白卜2-X-6<O},集合8=十卜|<2},则-8=（）

A.（-2,3）B.（-oo,3）C.（-2,2）D.（0,2）

2.已知a,beR,则“2一〃<2"”是“力〉/”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量歹（t）之间的一组数据，绘

制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为3=28.1-11.5x,根据上述

信息，如下判断正确的是（）

A.商品的价格和需求量存在正相关关系Bj与x不具有线性相关关系

C.m=6D.价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

6.已知4,B,。为球。的球面上的三点，圆。]为△48。的外接圆，若

AB=BC=AC=001=43,则球。的表面积为（）

A.16兀B.12兀C.9兀D.8TI

22

7.已知双曲线C：——==1。>06>0,抛物线£：/=4x的焦点为下，准线为/,抛

物线E与双曲线。的一条渐近线的交点为尸，且尸在第一象限，过尸作/的垂线，垂足为。,

若直线。尸的倾斜角为120。，则双曲线C的离心率为（）

2A/3V21V7

A.——B.——C.—D.2

332

8.函数“x）=20sin2®x）+sin[20x+g],其中。>0,其最小正周期为兀，则下列

说法正确的是（）

A.刃=2

B.函数/（x）图象关于点对称

5冗

C.函数/（X）图象向右移。（0〉0）个单位后，图象关于了轴对称，则。的最小值为五

D.若xe0,^,则函数/（x）的最大值为6+1

—•2—•

9.如图所示，在边长为3的等边三角形4BC中，AD=-AC,且点尸在以的中点。为

3

圆心，为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC,则下列说法错误的是（）

-------13

B.BDBO=—

2

、V3

C.而•比存在最大值为9D.x+y的最大值为l+飞-

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个的给

3分，全部答对的给5分.

10.已知复数z满足号=2i（其中i为虚数单位），则口=.

ll.（2x-J），的展开式中必/的系数是.（用数字作答）

12.两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为

;若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为06若来自不同的家庭，游戏成

功的概率为0.3,则游戏成功的概率为.

13.已知直线x+y-5=0与圆C：x?+歹2-41+2〉一加=0相交于4、8两点，且

\AB\=4,则实数加=.

4

14.若且《log。b+31ogbQ=8,则。+方——的最小值为____.

b—1

/、—2a—11+4tz-a~,x<a,x「、

15.设aeR,函数={22与函数g（x）=ax在区间内

恰有3个零点，则a的取值范围是.

三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分14分）

在△45C中，内角/、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=2,c=3,

2sinC=sin+cosAtanB.

（1）求角8的大小；

（2）求边6；

(3)求sin(32+C)的值.

17.(本小题满分15分)

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形4BCD所在的平面，BC=26,

M为8c的中点.

(1)证明：AMLPM■,

(2)求平面尸/”与平面D4四的夹角的大小;

(3)求点。到平面的距离.

18.(本小题满分15分)

已知椭圆C：4+t=1(a>Z)>0)的离心率为也，过右焦点且垂直于x轴的直线

a2b22

4与椭圆。交于4,B两点、,且=直线4：y=左('—机)加eR加〉；与椭圆

。交于以，N两点

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点尺］5，0,若丽7•丽是一个与左无关的常数，求实数冽的值.

19.(本小题满分15分)

设｛%,｝是等比数列，｛2｝是递增的等差数列，｛"｝的前〃项和为S“(〃eN*),%=2,

4=1,S4=Q］+='1+4.

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)将数列｛%｝与数列｛〃｝的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数

列的前50项和；

(3)［x］表示不超过x的最大整数，&表示数列［(-1月也；］的前4〃项和，集合

A=\n几w也+2,〃-N*共有4个元素,求X范围.

/，+2,

20.(本小题满分16分)

已知函数f(x)=(x+l)lnx,g(x)=

(1)求曲线y=/(x)在(1,/(l))处的切线方程；

(2)若/(x)〉g(x)对任意的X£(l,+8)恒成立，求实数Q的取值范围；

(3)若〃(％)=—Lg(x)有三个零点再，Xz，%3，且再＜%2＜、3，求证.

(3Q-1)(再+w+2)＜2

数学答案

一、单选题

题号123456789

答案CDDABABCD

二、填空题

Vio^221…/5°

10.——11.-4012./12.-/0.4,0.42/—15..14.515.{2}U-,3

2550।'（2

三、解答题

16.（本小题满分14分）

（1）解：因为2sinC=sin4+cos/tan8,

ll」八.一.//sin5

所以2sme=sm/+cosAx-------

cos5

_sinAcosB+cosAsmB_sin（3+4）_sinC

cos5cos5cos5

所以2sinCcosB=sinC,

因为Ce（0,7i）,所以sinC>0,所以cosB二；

又8w（0,兀），所以8=5；

（2）在△45C中，由余弦定理及a=2,c：=3,B=~,

3

有/=/+02—2accos5=7,故6=近.

（3）由正弦定理一3—=—2—,可得sinZ=V3

丁

sinAsinB

2

因为a<c,故cosZ=—j=.

V7

473

因此sin2/=2sinZcosZ=------,cos2^4==2COS2^-1=-.

77

所以，sin（3/+C）=sin[2N+'1ji]「1、1G3s

<H——X=---------

I2）7214

17.（本小题满分15分）

(1)以。为原点，。/为x轴，。。为歹轴,

p

过。作平面4BCZ)的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,

则Z9a,0,0),Af^/2,2,0),P(0,1,73),

AM=(-42,2,0^,PM=(k/2,l,-V3)

而•丽=—2+2+0=0,所以

(2)因为平面4BCD的法向量布=(0,0,1),

又:W=G力，2,0),AP=(-272,1,73),

设平面PAM的法向量n=(x,y,z),

n-AM=-y/2x+2y=0

则<,取n=

n-AP=-242x+y+V3z=0

设平面PAM与平面ABCD夹角的大小为0,

|«-«|_V3_V2同、

coso-11=—r=——，所以e二一，

同A/624

jr

所以平面尸4M与平面43C。夹角的大小为一；(设答写一即可)

4

(3)£>=(0,0,0),通=62夜,0,0),

由(2)知平面尸的法向量3=3,1,道)，

\n-AE\42\/6

所以点。到平面PAM的距离d==3=上

WV63

18.(本小题满分15分)

X=C,22

X2y2解得y=±工，故"=向2分

(1)联立《

、/+L0°

又e=9=----，a1—b2-^-c1,联立三式，解得a=b=l,c=1,

a2

故椭圆C的标准方程为—+y2=l.

2

［2

X2i

------FV=1

(2)设〃(苞,必)，N(X2，%)，联立方程｛2,5消元得

y=k(x-m),

(1+2k2)x?-4mk2x+2k2ni?-2=0,

A=16祖2左4_4(1+2k2)(2Fm2-2)=8(2k2-m2k2+l)>0

4mk22m2k2-2

•••X+X=------------7,=---------------r

912

121+211+2左2

RMRN=%-1"+"为=XE

22

yxy2=k(xj-m)(x2-m^=k^xrx2-m(^+x2)+加之］=左:2机左

(3m2-5m-2)k。-225

:.RM-RN=——十一

1+2左216

又菽•丽是一个与左无关的常数，:3机2—5机—2=—4,即3机2—5加+2=0,

2

••・加］=1,m2=—,-14分

3,

,•・冽,一，.,・加=1.当加=1时，A>0,直线与椭圆。交于两点，满足题意.

42

19.(本小题满分15分)

(1)设等比数列的公比为q,等差数列的公差为d(d>0),

2

4bl+6d=%+aq2+61=2/

由已知条件得x,即V

axq=2bl+2d2q=2+2d

q=iq=2

解得《(舍去)或<

d=0d=\

所以aa=qq"T=2",bn=bx+(«-l)t7=n

⑵数列｛%,｝与数列也｝都是递增数列，n=5,%=32<50,〃=6,6=64>50,

2-2645x(1+45)

Q]++〃5=-----=62,4+Z72-I----1-“5-----------—1035,

1-22

新数列的前50项和为.1+2+2+3+4+4+5+6+…+45=62+1035=1097

(3)由题意可知：

T4K=例一瓦一及+b：)+例_忧-b；+公)+…+®_3-矶2-矶1+#"),

其中%_3-叱-2-瓦-1+4=(4〃-3)2-(4〃-2)2-(4〃-1)2+(4〃丫=4,

所以4,=4〃，4屋4+2=〃(〃+2),

aun+2乙2

集合[〃彳〈如0,〃eN*],设2=3),

2〃n2〃

则。—D=(〃+1)(〃+3)_〃(〃+2)=-〃2+3,

〃+1〃2〃+i2〃2”+i

所以当〃=1时，D?>D],当〃22时，Z)2>D3>D4>•••.

315335

计算可得4=3,D=2,D=—,D.=~,D=—,

122382532

353

因为集合有4个元素，—<2<-.

322

20.(本小题满分16分)

(1)由函数/(x)=(x+l)lnx,可得/(1)=0

且/，(x)=l+』+lnx,则r(1)=2

X

曲线y=/(x)在(1,/(1))处的切线方程为2x—V—2=0

(2)当X£(l,+oo)时，/(%)>g(x)等价于—―>0

设/(x)=lnx—则“X)=X2+2(1—2X+1,/(])=o

x+i%(x+iy

(i)当a<2,xw(l,+oo)时，x2+2(1-tz)x+1>x2-2x+1>0,

故l'(x)>0,/(x)在(1,+oo)上单调递增,因此/(x)〉0；

(ii)当Q>2时，令/(x)=0得$=a—1—,x?=a-]+J(a-1)-1•

由马>1和国工2=1得再<1，

故当X£（l,%2）时，，（三）<0,《X）在（I,%）单调递减，因此力（%）<0.

综上，a的取值范围是(-oo,2]

(3)由〃(x)=0等价于alnx-^~j-=0,

V—1

令M(x)=alnx-----.注意到，M(1)=0,依题意，M(X)除了1之外，还有两个零点,

X+1

2

,，/、ax+(2a-2}x+aAzx9z、八

又由M(X)=-------------------*----,令v(x)=a*+(2a-2)x+a(x>0),

、x(x+l)

当QVO时，V（X）<0恒成立，故这时"（X）在（0,+8）单调递减，不合题意:

当Q>0时，由题意，首先V（X）在（0,+8）上有两个零点，

91

故A=（2Q—2）—44>0,解得0<a<],

2

设两个零点为。和N，有4+5=—一2>0,4&=1>°，故可知。，玄均大于0，

a

由此可得"（X）在（0芯）单调递增，（0,2）单调递减，&2,+8）单调递增，

而1£恁,2），即“4）〉0，"（1）=0，“5）<0,

(J_A

■-y^—>0,

又因为z/ea7+—<0,uea

e"+1k7e"+1

故（X）在（0,1）内恰有一个零点，在（1,+8）内恰有一个零点,

又1为的