2024-2025学年上海市浦东新区高三年级上册期末教学质量检测数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市浦东新区高三上学期期末教学数学质量

检测试卷

一、填空题（本大题共12小题）

1.若对数函数歹=108尸（。＞°且awl）的图象经过点（4,2）,则实数.

2.直线x-N+l=°的倾斜角.

3.已知复数4=3+i,z?=a+4i,aeR若4―2为纯虚数，则上卜

（X2+—）63

4.x的展开式中x的系数为.（用数字作答）

5.在V/5C中，BC=5,NB=45。,ZC=105°y则/C=.

6.已知实数。、6满足。+26=1,则3"+炉的最小值为.

7.若等差数列"J满足%+。8+%=0,%+阳=1,贝|]%=

8.已知函数y=/G）的表达式为卜2户＞0,则不等式/（X）W1的解集为

X2_JL=1

9.已知双曲线3的左、右焦点分别为月、网,双曲线上的点P在第一象限,

且质与双曲线的一条渐近线平行，则APF©的面积为.

10.某地要建造一个市民休闲公园长方形4BCD,如图，边/B=2km,边/O=lkm,

其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区.经测算，人工湖在公园内的

边界是一段圆弧，且A、。位于圆心。的正北方向，E位于圆心。的北偏东60。方

向.拟定在圆弧尸处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边DC、C8开

设两个门M、N,修建步行道尸朋\PN通往渔人码头，且PMLCD、PNLCB,则

步行道PM、PN长度之和的最小值是km.（精确到0.001）

11.已知空间中三个单位向量I、2、3，I2^2331，

、，…1\OP-OA,\=1\OP-OA,\=2\OP-OA\=3人皿，八口一

P为空间中一点，且满足।'I,।21,।』，则点尸个数的最大

值为.

12已知在复数集中，等式*+%x+a2x+。俨+。（）=（x_Z］）（x_Z2）（x_Z3）（x-Z4）对任意

复数X恒成立，复数句，z「Z3,Z4在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方

形的4个顶点，饱吗"，％}<={〃,2024,〃eZ},则满足条件的不同集合

{。0，4M2M3}个数为

二、单选题（本大题共4小题）

13.若实数。、人满足/>",下列不等式中恒成立的是（）

A.a>6B.abc.+b2>2abD.

14.设加、几为两条直线，a、仅为两个平面，且an,=〃.下述四个命题中为假命题

的是（）

A.若加-La,贝！Jm-L〃B.若加〃a,贝！J冽〃〃

C.若加//a且加〃/，则机〃〃D.若加〃〃，则加//a或加〃用

15.对一组数据3,3,3,1,1,5,5,2,4,若任意去掉其中一个数据，剩余数据

的统计量一定会发生变化的为（）

A.中位数B.众数C.平均数D.方差

16.设函数>"（x）,"G。）的定义域均为R,值域分别为A、B,

且=0.若集合S满足以下两个条件：（1）“UBRS；（2）a（/UB）是有限

集，则称和了=66）是$_互补函数.给出以下两个命题：①存在函数

了=/3,使得k2小）和尸1%/3是［016］_互补函数；②存在函数产g（x）,使得

y=sing（x）和片tang（x）是［0,+8）_互补函数.则（）

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

三、解答题（本大题共5小题）

17.已知函数＞=/（x）的表达式为/（'"sins,。＞（）.

71

（i）若函数的最小正周期为2,求。的值及的单调增区间；

⑵若。=2,设函数y=g（x）的表达式为g（x）=/（x）+拓cos2x,求当X］习时，

y=g（x）的值域.

18.如图，已知N8为圆柱。底面圆°的直径，04=2,母线长为3,点P为底

面圆。的圆周上一点.

（1）若/8。尸=90。，求三棱锥”一尸84的体积；

⑵若NBOP=60。,求异面直线4s与NP所成的角的余弦值.

19.申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小

B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在

各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率.

二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率

小A100次80%100次40%

小B190次70%10次30%

现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总

命中次数;总出手次数）

（1）小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小8,此次必定能评为

校朋KP,试通过计算判断小C的想法是否准确？

（2）小。是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小。、小台轮流投篮对战游戏，游戏规

则如下：①游戏中小。的命中率始终为0.4,小6的命中率始终为0.3,②游戏中投篮

总次数最多为后（34%420,上eZ）次，且同一个游戏人物不允许连续技篮.③游戏中若

投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第左次投篮都没有命中，则规定第

二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“人’的值，请解答

以下两个问题.

（i）若小。第一次投篮，请证明小”获胜概率大；

（ii）若小6第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由.

22

乙+乙=1

20.已知椭圆84的左、右焦点分别为片、%过坐标原点的直线交椭圆于

/、3两点，点A在第一象限.

（1）若|。/|=&，求点/的坐标；

（2）求同+3阳的取值范围；

（3）若/E'x轴，垂足为£,连结BE并延长交椭圆于点C,求V/2C面积的最大值.

21.过曲线y=〃x）上一点尸作其切线，若恰有两条，则称尸为“X）的"A类点:过

曲线y=/（x）外一点。作其切线，若恰有三条，则称。为“X）的"B类点，，；若点R为

"X）的"A类点，，或“B类点”，且过&存在两条相互垂直的切线，则称及为"X）的"。类

点”.

⑴设“X）一二,判断点尸（U）是否为"X）的"A类点，，，并说明理由；

⑵设〃x）=x3-机x,若点0（2，°）为〃x）的“3类点，，，且过点°的三条切线的切点横坐

标可构成等差数列，求实数机的值；

/（无）=出

⑶设,证明：丁轴上不存在/（x）的“C类点，，.

答案

1.【正确答案】2

［详解］将点（4,2）代入7=bg，X得2=1嗝4,解得0=2

故2.

2.【正确答案】4

【详解】设直线x-〉+l=°的倾斜角为夕招€［0,兀）,

易知直线xr+i=o的斜率为1,

所以tanO=l,

解得4.

71

故4

3.【正确答案】5

Z]—z2=3+i-(u+4i)=3—q_3i

【详解】

因为4-Z2为纯虚数，所以。=3,

所以Z?=a+4i=3+4i,所以㈤=43?+4?=5

故5.

4.【正确答案】20

【详解】°+?的展开式中第4+1项为小=《一婷6-*>=或尤56=0,1,2,..,6）,

令12-3左=3o左=3得：V的系数为以=20.

故20.

5.【正确答案】50

【详解】在V/8C中，由4=45。，/C=105。，得4=30。，

心如皿3=5后

sinN1

由正弦定理得，2

故5及

2百

6.【正确答案】

【详解】因为4+2b=l,

所以3"+9〃=3"+3?"22J3"xy=2打侬=2拒

1,1

,ci——,b——

当且仅当3=39",即24时取等号，

故3"+9〃的最小值为23.

故答案为.2人

7.【正确答案】-7

【详解】因为数列｛“"｝为等差数列,

则%+。8+。9=36=0,即“8=0,

且%+%0=%+。9=1,可得〃9=1,

=q+7d=0=_7

即1%=4+8-=0,解得jd=l

故答案为.-7

8.【正确答案】［一2』

【详解】因为

若xWO,则,即,解得-24x40；

若x>0,贝ij/Wl,解得0<xWl；

综上所述：不等式““产1的解集为

故答案为.［一2」］

36

9.【正确答案】

X--=1厂

【详解】双曲线3的焦点片（-2，°），工（2,0）,渐近线方程为了=±13%

依题意，直线尸鸟的方程为>=一6（》-2）,

x_3_3V|5373

由［3/-V=3,解得x一才了一丁，则点尸的坐标为1'丁）

I3百3百

所以的面积为I'X^---

3G

故三

10.【正确答案】1.172

【详解】以点。为原点，直线04为V轴建立平面直角坐标系，连接0E,

TTTT

八P(2cos0,2sin—

令圆。的半径为，，则rT=/cos60。，解得r=2,设62,

PM+PN=2—2sin。+2-2cos6=4-2A/2sin(J+—)>4-2及

因此4,

当且仅当了时取等号，4-2V2«1.172

所以步行道尸初、取长度之和的最小值是1.172km.

故1.172

11.【正确答案】8

【详解】由题意得，°4,且|04|=网|=|°闻=1.

以。为原点，分别以。4、%、°4的方向为x轴、丁轴、z轴的正方向建立空间直

角坐标系，则西=(1，0,0),就=(0,1,0),两=(0,0,1)

ULU

设尸(X,%Z),则。尸=(X,%Z),

.府.珂=国=1所就卜回=2所网=目=3

...x=±l,y=±2,z=±3,

•••点P坐标可能为Q23),(T，2,3),(1-2,3),(T-2,3),(1,2,-3)；(-1,2-3)；

(1,-2,-3),(-1,-2,-3)(

故点尸个数的最大值为8.

故8.

12.【正确答案】10

[详解]'++电，++%=(X~Z1)(X-Z2)(X-Z3)(X-Z4)

43()2

=X~(zj+Z2+Z3+z4)x+ZZ2+ZjZ3+ZjZ4+z2z3+z2z4+z3z4)x

-(4Z2Z3+Z/2Z4+z2z3z4)x+Z/2Z3Z4

，

0

对比系数可得a-Z1Z2Z3Z4,a\=-(Z1Z2Z3+Z1Z2Z4+Z2Z3Z4),

a2=z{z2+ZjZ3+ZjZ4+z2z3+z2z4+z3z4a3=-(^+z2+z3+z4)

复数4,z2,Z3,Z4在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点

情况1,四个根两两互为共软复数，故圆心在X轴上，设单位的圆心为（出°）,

V2V2.

之1“正+乌=a-----1---1

不妨设22222

y/2y/2.V2V2.

z.=a------------------1z.=a-\----1---1

322422,

V2V2.V2V2.V2V2.、

%)=Z1Z2Z3Z4二tZH---H----1a-----1---1a---------1QH---------1---1

22222222

7

、2\2

72.16.

aH---1a---------1

222

77

[(a2-l)+V2ai][(a2-l)-缶i]=(a2-1^+2a2=a4+1

--3

类似计算可得％-(Z1Z2Z3+ZIZ2Z4+Z2Z3Z4)-4fl

2

a2=ZjZ2+4Z3+ZjZ4+z2z3+z2z4+z3z4=6a%=—(4+z2+z3+z4)=-4a

因为^n\\<n<2024,nGZ}

所以。只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得〃=-2,-3,-4,-5,-6,此时集合

｛%,%,a2M3｝的个数为5个，

情况2,四个根有2个为实数，另外2个为共钝复数故圆心在工轴上，设单位的圆心

为3°),

不妨设4="1,Z2=a+i,z3=a+lfz4=a-if

计算可得。0=^1^2Z3Z4=/T,a\=-(Z122Z3+Z1Z2Z4+Z2Z3Z4)=,

a=ZjZ+zz+ZjZ+zz+zz+zz=6a2%=~(z+z+z+z)=-4a

22x34232434，[234，

因为{%,%,/，a3}u{〃[l<""2024,〃eZ},所以。只能为负整数，又集合元素的互异性,

从而可得°=-2，T-4,-5,-6,此时集合{%，％，%%}的个数为5个，

综上：满足条件的不同｛,必，出，4｝的个数为io.

故10.

13.【正确答案】C

【详解】对于A,令a=-2,b=-l,满足/＞凡但。＜6,故A错误；

11

对于B,令。=-2,6=-1,满足/＞匕但“b,故B错误；

对于C,因为实数。、6满足/＞/,所以“2+〃-2"0=("-故c正确；

对于D,令a=-2,b=-l,满足/＞吃但"同，故D错误；

故选：C.

14.【正确答案】B

【详解】对于选项A,因为an/?=〃，所以〃ua,又机上a,所以加工〃，故选项A

是真命题，

对于选项B,如图，取平面&BCD为a,平面“「"4为则直线〃为直线/。，取

BB、为直线m,

显然有冽7/a,但加与〃异面，所以选项B为假命题，

对于选项C,在。内任取不在直线〃上的一点M,过私M确定7,则/n&=//,因

为机//a,所以

同理可得加/〃2,%〃，所以〃4,又4故/"/月，

又/|Ua,an/=",所以4〃"，得到加〃“，故选项C为真命题，

对于选项D,因为夕=〃，所以〃ua,口0,若机因为加〃〃，则加//a,

若小ua,易知m＜z£,又加〃“，,所以加〃£,故选项D为真命题，

故选：B.

15.【正确答案】D

【详解】数据由小到大排列为：1,1,2,3,3,3,4,5,5,其中位数、众数、平均

数都为3,

去掉数据1,剩余数据的中位数、众数都不变；去掉数据3,剩余数据的平均数不变，

ABC不是；

若任意去掉其中一个数据，剩余数据的波动性发生变化，方差一定发生变化，D是.

故选：D

16.【正确答案】A

【详解】对于①，取k/3的值域为°4）,

故尸2/⑸6（2,16）昨log2/（x）6（0,2）>

令5=［0,16］,北（2,16）,衣（0,2）,

满足NUBRS和0（/U2）是有限集，

从而k2小）和y=logj（x）是［0,16］互补函数，①正确；

对于②，取，=g（x）是增函数，'=g（x）,由复合函数性质，

只需考虑"sin/和ktan/即可，

色，工］y=sinZe-^-,1

先让kg（x）的值域包含］4'2人则y=tanf>l,L2）,

那么接下来考虑让IJ的部分被了=5111/和了=122取得，

—,1arctan,—

因为y=tanf的值域没有12所以/的值域中没有L24J,

r.rt也［后）

smarctan---,----

所以y=sint的值域没有L<））,

arctan

所以考虑让V=tanf的值域中有

arctanarctanarctan

则才的值域有LL、〃……，

依次类推，按照这样的方式构造下去，

可以得到满足题意的>=g（x）,②正确.

故选：A

7TklL7Lkll,

---1--,--1--

17.【正确答案】（1）。=4,单调增区间为L8282」

⑵HM

2兀兀

【详解】（1）因为所以解得幻=4,

f(x)=sin4x

ITJTJIJI左兀k

-F2kji<4x<—+2kit,kGZ----+—<x<一+—,kQZ

令2-----------------2，解得8282

7iku7iku

—l--,—l---,kGZ

故单调递增区间为8282

g(x)=sin2x+V3COS2x=2sin12x+]

(2)0=2,

c兀714兀一31

XG0,—2x+一£3'3],故sin2x+-G

-2」时,3I3j

（2》+方卜卜6，2]

g(x)=2sin

所以

18.【正确答案】（1）4；

273

⑵5.

【详解】（1）依题意，/4,平面4P5,由/8。尸=90。，得

LPB=*OP=；X4X2=4

APDA%-P3N=%-尸"=!SANPB=[X4X3=4

所以三棱锥“一084的体积PBA<A<33

（2）过点尸作圆柱°a的母线期，连接4HJ

则必///4邛=/4,于是四边形/尸々4为平行四边形，AR"AP,

因此是异面直线48与2尸所成的角或其补角，

由/80尸=60°,得N/I。尸=120。，AP=20Acos30°=2A/3；PB=OB=2

则46=/P=2GA[B=+次=,3?+42=5

由理,平面/心，得P\B=S#+PB2=F/=屈,

22A

AXP;+AXB-PXB12+25-132/3

cosZP{A}B=

在“出8中,24R&B2x2庠5—5

2V3

所以异面直线48与4尸所成的角的余弦值为T

p

19.【正确答案】（1）不正确

（2）（i）证明见解析，（ii）答案见解析，理由见解析;

—=60%

【详解】（1）由题意小A总出手200次，命中120次，命中率为：200

——=68%>60%

小8总出手200次，命中136次，命中率为200,

故小5获校Mb,所以小C的想法不正确；

（2）（i）证明：若第一次投篮人物为小a,k℃&20,keZ）,

小。获胜的概率为心，小获胜的概率为1一5，

贝UPa>0.4+0.7xo.6x0.4=0.568>0.5>1—月

所以若小。第一次投篮，小。获胜概率大，

（ii）若第一次投篮人物为小6,M3"V20#eZ）,

小6获胜的概率为片，小。获胜的概率为J片，

则^,=0.3+0.3x（0.7x0.6）+---0.3x（0.7x0.6）m

k-7

——,^e{4,6,8,10,12,14,16,18,20}

m=\

—,Z:e{3,5,7,9,ll,13,15,17,19)

其中12

P=—（l-0.42m+1）

由指数函数的单调性可知：29''随着机的增大而增大,

计算可得：/（2）<0,5</（3）（

所以当加23也就是74h20时，々>65>1-笈，

当机<3也就是34人（6时，-耳,

综上：若小人第一次投篮，*e{345,6}时，小。获胜概率大,

心困74无420,左团时，小6获胜概率大

20.【正确答案】⑴/G亚）

⑵2*灼

⑶9

【详解】（1）由椭圆方程可知：”=2J=2,=2,则耳（-2,0）,乙（2,0）,

设直线。4:J=b,k>0,"Go,No）,不。>0,%>。，

%=也

'立+近=18

可得〔84,解得1+2左2,

=V6k1=L,k=

，解得22,

则君=、即…。=丁。=3所以的陵）

(2)因为力片=(-2-^0,-^0),AF2=(2_/,,

可得/+3/=(4一4x0,-4%),

西+3补J(4—4j+(4%y=4&+需-2凝+1

则

22]

&+为=1yo=4--x^,xe(O,2V2)

因为84，则，°2°o°V)

可得|丽+3丽/4,+4一；另一2%+1=4.

“片+3阳的取值范围为压瓦4石）

所以

由题意可知：/（%，%），8（-工0,一歹o）,E（%o,O）,

^AC%K_必+%

k=江,kec=^-=-k，KBC~

西+x

则X。，工0，且再一/0

-4--=1

8

2222

=1司一/।弘一Jo'o

I8

因为点4c均在椭圆上,则,两式相减得84

22

必一夕0_必一为£

7rik^C•^BC

整理可得芯—X。再一工0玉+X。2,即2,

J_

则2,即心。•左二T,可知

k-—k

k

tanZABC=2

V+2

1+kx—k\AC\=\AB\t^AABC=

又因为2则

22

SABC=-\AB\-\AC\=-x-^-l^l=lx—^x4|Oy4|

可得V4BC面积的21112k2+2112k2+2I1

=2k16”）

k2+2+2k4+5k2+2

设…，则（）W+5d2）2

当0〈左＜1时，/'（后）＞°；当左＞1时，/'⑹＜°；

可知//）在（0,1）内单调递增，在（1，+8）内单调递减，则'/）4'°）一，，

“232

16x—二—

所以V/3C面积的最大值为99.

1.数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解;

2.构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不

等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）.

21.【正确答案】（1）是，理由见解析；

（2）2；

（3）证明见解析.

1,2

【详解】（1）函数/⑴=L点尸在“X）上，求导得-

_J_=_2__=_2_

设切点为（凡/（。）），切线方程为'«2"JX：即'-

由切线过R1J）,得/-3。+2=0,（。-1）2（。+2）=0,解得0=1或°=一2,

cC13

y——2x+3,y=—xH—,、

因此切线方程为-44,所以点尸为/r（x）的“A类点”.

（2）函数一加x,求导得/''（x）=3x2-机，设切点为亿/