2024-2025学年上海市徐汇区高二年级上册期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市徐汇区高二上学期期中考试数学检测试卷

一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是.

【正确答案】平行或异面

【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.

【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.

故平行或异面

2.半径为2的球的表面积为.

【正确答案】16〃

【分析】代入球的表面积公式:5表=4加废即可求得.

【详解】•:R=2,

.小然的聿而知S表=4万废

••由球的表面积表公式可得，

S球表=4x万x2?=16万

故答案为：16乃

本题考查球的表面积公式;属于基础题.

3.已知长方体ZBCQ_431Goi的棱==1,4B=2,则异面直线5Q与3C所成

角的余弦值为.

【正确答案】5##5

【分析】由定义说明/Q8C是异面直线RD与4G所成角或其补角，然后计算.

【详解】因为8C1//8C,所以/D8C是异面直线AD与4G所成角或其补角,

BC_1V5

cosZC5D=

在直角ABDC中，BD=VCD2+CB2=

故5.

4.在四面体尸一N8c中，若底面ABC的一个法向量为〃=。，1，0）,且CP=（2,2,—1）,则

顶点P到底面ABC的距离为.

【正确答案】2亚

【分析】根据点面距公式代入计算即可得.

d皿L2行

【详解】由点面距公式得同一"齐一/

故答案为.2亚

5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为,

【正确答案】2兀

【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.

【详解】设圆锥底面圆半径为心则该圆锥底面圆周长为2〃J

因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为2〃，

依题意，2疗=2乃，解得r=l,

显然圆锥的母线长/=2,则圆锥侧面积S=»〃=2»，

所以圆锥的侧面积为2万.

故2万

6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形且。47/8'C',

04=28'。'=4,A'B'=2,则该平面图形的面积为

【分析】首先求出再画出平面图形，从而求出其面积.

【详解】因为°H=28'C=4,A'B'=2,所以℃'=河万豆=2百

则。4=28C=4,0C=20C=472,

%BC=9（2+4）X4后=12后

所以2

故12夜

7.三棱锥尸—4sC中，三条侧棱尸4=尸8=尸0,则顶点尸在平面N8C内的射影。是

Y4BC的.（填呐心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

【正确答案】外心

【分析】由已知可得顶点「在底面4BC上的射影。到底面三角形三个顶点的距离相等，即

。为Y4BC的外心.

【详解】如图，设顶点尸在底面4sC内的射影为°,则0°，平面4BC,

连接04,OB,0C,

•••0A,OB,OC在平面ABC内，

POLOA，POLOB，PO1OC，

.•・△尸CM,YPOB,△尸OC都是直角三角形，

­.•PA=PB=PC,

，△尸0/,VPOB和△尸0c三个三角形全等，

从而有°/=08=",

所以。为V4BC的外心.

故外心.

8.在空间四边形4BCD中，E,F,G,〃分别是边/瓦BC,CD,D/的中点，若四边形对

71

角线4c=80=2,对角线NC与2。所成的角为则加=.

【正确答案】1或出

712兀

【分析】由题意可知四边形成文汨为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为3,再由所给

边长即可求得切的长.

【详解】如图,

EFHACIIHG,EF=HG=-AC=l

由E,£G,X分别是”,尤。,力的中点,得2

EH//BD//FG,EH=FG=-BD=1

2，则四边形MG//为菱形，又ZC与8。所成的角

71

为3,

7171271

于是直线所与所成角为5,即菱形的边长为1,相邻两个内角分别为3,

兀2兀兀

ZFEH=-/FEH=——ZFEH=-

即3或3,当3时，FH=EF=',

2兀

/FEH=—

当3时，尸〃=2£Fsin60°=Vr3,

所以W=1或

故1或百

9.如图，在圆柱。|。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱Q

匕

。2的体积为V,，球。的体积为z，则6的值是

3

【正确答案】2

23

——%=-TI-T-x--2r——3—

【详解】设球半径为r，则力加32.故答案为2.

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式

求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不

能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

10.已知二面角a—"8一尸为30。，夕是半平面a内一点，点尸到平面厂的距离是1,则点

P在平面厂内的投影到AB的距离是.

【正确答案】出

【分析】设点尸在平面厂内的投影为点°,作尸O,ZB于点°,连接0°,证明

2POQ即为二面角a—N8一夕的平面角,再解RtAPOQ即可.

【详解】如图，设点尸在平面厂内的投影为点°，则尸。，尸，尸。=1,

作尸0,幺8于点°,连接0°,

因为尸Q_L〃，OQ,ABu0,所以尸Q_LZ民尸

又POLAB,POcPQ=P,PQ,尸。u平面POQ,

所以平面产。。，

又OQu平面产。0,所以45，。0,

所以4OQ即为二面角a—48一/的平面角，

所以400=30。，

在RtZXPOQ中，ZPOQ=3Q°,PQ=1

所以。。=6,

即点P在平面B内的投影到&B的距离是也.

故答案为.百

11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚

动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为

【正确答案】12

【分析】设圆锥的母线长为/,求出以S为圆心，为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根

据题意，列出方程即可求得答案.

【详解】设圆锥的母线长为/，则以S为圆心，M为半径的圆的面积为兀产,

又圆锥的侧面积为兀x3x/=3兀/,

因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，

所以兀/2=4乂3兀/,解得/=12,

故12

12.如图，正方体48co-4/CQi的棱长为％点2在正方形480的边界及其内部运

动.平面区域W由所有满足4引4产区2旧的点P组成，则四面体°一48c的体积的取值

范围.

【分析】连接/P,由线面垂直的性质得到4"，”尸，再由勾股定理求出°，4P区2,即

~腺-&BC=匕4「PBC=彳|"4卜SaPBC，

可得到尸以A为圆心2为半径的4圆面上，再根据3得到当

P在边ND上时四面体的体积最大，当尸在边N8的中点时四面体的体积最小，再根据面体

的体积公式计算可得取值范围.

【详解】连接/P,如图所示，

因为4幺，平面4SCQ,4Pu平面4SCD,所以//，力尸,

J4H=4,由44|4产区2石，|4尸|=JM尸」,则ogz产区2

所以尸在以A为圆心2为半径的4圆面上，由题意可知，

腺-&BC=「A「PBC=§|"4卜SPBC

W4x4=%

所以当P在边ND上时，四面体尸一48。的体积的最大值是323

qS^PBC=-x4x2=4

所以当P在边4s的中点时，'"Be的面积取得最小值，此时2

1一16T,一1632

P-ABC—x4x4=—V_e

所以四面体14”。的体积的最小值是33,所以PABCT'T

1632

故答案为.13'3_

思路点睛：

V=-Sh

求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式3

通常会有以下两种：

①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；

②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.

二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）

13.已知直线/和平面则“/垂直于。内的两条直线“是-的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非

必要条件

【正确答案】B

【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.

【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：

如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.

而“/垂直于a内的两条直线，，，没有满足相交，

所以不一定能推出直线与平面垂直，

但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，

即可得：“/垂直于a内的两条直线”是“/上夕”的必要不充分条件.

故选：B.

14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4,母线（原圆锥母线在圆台

中的部分）长为12,则原圆锥的母线长为（）

A.16B.18C.20D.22

【正确答案】A

【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.

【详解】由题意可得，几何体如下图所示：

CD_1

取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为4,豆CDHAB,BD=12,

CDED_i-n_1

设圆锥的母线长为/,根据相似比可得ZBEBI4,解得/=16,

即原圆锥的母线长为16.

故选：A.

15.加、”为空间中两条直线，必用为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（

）

①二面角的范围是他兀）；

②经过3个点有且只有一个平面；

③若加、〃为两条异面直线，邛,则〃//a.

④若加、〃为两条异面直线，且加〃①〃//。,加//人〃/力，则a〃夕

A.0B.1C.2D,3

【正确答案】B

【分析】利用二面角的取值范围可判断①，当三点共线时可判断②，利用线面平行的判定方

法可判断③，利用线面平行的性质以及面面平行的判定定理可判断④

【详解】对于①，二面角的范围是［°'无1,①错；

对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错

对于③，若根、〃为两条异面直线，mua,〃u/3,ml/,则"与a可能平行也可能相交，

故③错误；

对于④，因为m//a,M//£,过直线机作平面7,使得==

由线面平行的性质定理可得加//。，加/",则a//,

因为a<Za,bua,则a//a,

因为〃///〃///,过直线〃作平面夕，使得°na=d,/n9=c,

由线面平行的性质定理可得〃"a"”",则c//〃，

因为c（Za,dua,则c//。，

若Q//C,则加〃〃，这与加、〃为两条异面直线矛盾，故”4相交,

又因为a，cu6,所以a//〃，故④对，

16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形,

一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖席”.如

图，在堑堵/BC—44G中，ACLBC,且也4="8=2.下列说法错误的是（）

A,四棱锥B—z/cq为“阳马,，

B.四面体4GCB为，，鳖席，，

2

C.四棱锥3一幺/CG体积的最大值为3

D.过/点作'"48于点R过石点作E尸,48于点R则48,面/E尸

【正确答案】C

【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A,B的正误；当且仅当4C=8C时，四棱锥

8-N/CG体积有最大值，求值可判断c的正误；根据题意可证43,平面4EF,进而

判断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

...在堑堵ABC-A\B\C\中，ACLBC,侧棱M1平面ABC,

A选项，"4,又4c上BC,且441nze=幺，则8C_L平面"/"i,

四棱锥8—4"CG为，，阳马，，，故A正确；

B选项，由女,叱，即4CJ8C,又4G"。且BCcCQC,

・•.4G1平面网G0,4G1BCi,则v48G为直角三角形，

又由平面/4GC,得A48C为直角三角形，由，，堑堵，，的定义可得△其℃为直角三

角形，ACGB为直角三角形，...四面体4GCB为“鳖膈,,，故B正确；

C选项，在底面有4=幺02+80222NC.8C,即NC,8CV2,当且仅当

ZC=BC=正时取等号,

11244

K..=-S.xBC=-AA.xACxBC=-ACxBC<--

rcACC最大值为

B"'3Mg3'33,3故C错误;

D选项，因为EF工”,从EcEF=E,所以45,平面ZEE,故D正

确；

故选：C

三、解答题（本题满分78分，共5小题）

17.如图，棱长为2的正方体ABCD—4与。14中，M、NP分别是G2、CG44］的

中点.

Z)1MG

（1）证明：上亚//平面48吕4

（2）求异面直线02与MV所成角的大小.（结果用反三角表示）

【正确答案】（1）证明见解析

Vio

arccos-----

(2)10

【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.

（2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.

【小问1详解】

如图：连接4s,RQ

因为ABCD-4B1G3为正方体，所以48//C。

又，M、N分别是G2、%的中点，所以MN〃CD[,

所以MN/平面MN0平面,所以〃可//平面

【小问2详解】

如图：连接℃、PD'

因为MN//CD],所以/P.C即为异面直线MN与所成的角，设为8.

尸YPCD、出PD[=y/PA；+AR=Vl+4=#CD,=2四

仕中，，，

PC=ylPA1+AB2+BC2=Jl+4+4=3

Dp+D©-PC?5+8-9VlO

COS0=

2xDp.Dg2x75x272-10

所以

Vio

arccos---

所以异面直线PR与"N所成的角为.10

18.如图，已知P/=/C=PC=/8=a,PA1AB,NC_L48,“为的中点.

（1）求证：平面N8C；

（2）求直线P8与平面/8C所成角的大小.

.V6

arcsm—

【正确答案】（1）见解析（2）4

【分析】（1）推导出PM,/C,PMA.AB,由此能证明尸W平面4BC；

（2）连结则/是直线尸8和平面Z5C所成的角，由此能求出直线总和平面

ABC所成的角.

【小问1详解】

证明：因为为等边三角形，且M为/C的中点，

所以尸

又PA1.AB,AC±AB,且尸

所以R4J_平面尸NC.

又尸W在平面P4C内，所以胡，尸W.

因为A8c4C=4,且PM1ACt

所以。A/_L平面ABC-

【小问2详解】

解：连结由（1）知平面48C,

所以ZPBM是直线PB和平面ABC所成的角.

csPM

因为△尸NC为等边三角形，所以2

ZPAB=-

又△尸为等腰直角三角形，且2

所以PB=6a.

sin/PBM=四-=旦

因为所以PB4

Z.PBM=arcsin

则4

.V6

arcsin——

所以直线PB和平面ABC所成的角的大小等于4.

19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥尸一下

部的形状是正四棱柱48co—（如图所示），并要求正四棱柱的高°i°是正四棱锥

的高PQ的4倍.

（1）若N8=6m,P°i=2m,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,当尸Q为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积

是多少？

【正确答案】（1）312m3

（2）3也,288岛2

【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；

（2）先根据面积关系建立函数解析式，S（x）-16g小（36-x）然后利用二次函数性

质求其最值.

【小问1详解】

由尸。=2知。。=42。=8

因为=AB=6,

所以正四棱锥P-48m的体积7—三4片/。广产x2=24（m）;

正四棱柱ABCD一44G2的体积％=疝・OQ=62X8=288（m3）.

b,,人工V=V^V=24+288=312(m3)

所以仓库的容积锥田1).

【小问2详解】

设尸Q=xm,下部分的侧面积为S(x),

22

则00x=4xm4。1=A/36—x,A{B}=V2-^36—x

S(x)=44耳・00]=16缶,36-炉=16VLyjx2(36-x2y(0<x<6)

^/(x)=x2(36-x2)=-x4+36x2=-(x2-18j+324

当3=18,即x=3后时，/(x)max=324,S(x)1mx=288/

即当尸Q为3夜时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是288立n?.

20.如图，48是圆柱的底面直径，AB=2,R4是圆柱的母线且尸4=2,点C是圆柱底面

圆周上的点.

(1)求圆柱的表面积；

(2)证明：平面P8C,平面尸ZC；

(3)若NC=1,。是P8的中点，点E在线段P4上，求CE+即的最小值.

【正确答案】(1)6兀

(2)证明见解析(3)也

【分析】(1)根据圆柱求表面积公式即可求解.

(2)先证8c,平面PZC,再利用面面垂直的判定定理判定即可.

(3)先分析得将△尸幺。绕着力旋转到尸C',使其与P48共面，且C'在AB的反向延长

线上，当D,E,C三点共线时，底+助的最小值为「。，通过解三角形求C'。即可.

【小问1详解】

AB,

y------1

根据题意，圆柱的底面半径2,圆柱的高〃=P/=2,

圆柱的上下底面积和为2s底=2汽户=2,圆柱的侧面积为赢j=2m44兀,

所以圆柱的表面积为S=2S底油S=6兀

【小问2详解】

由题意可知，底面4sC,BCu底面45C,则尸Z18C,

由直径所对的圆周角为直角，可得5c1AC,

又尸2口幺。=/，P4u平面尸ZC,NCu平面PNC,

所以BCL平面尸/C,又因为8Cu平面尸BC,

所以平面PBC，平面尸NC

【小问3详解】

将好此绕着PA旋转到尸C',使其与PAB共面，

且C在AS的反向延长线上，当O,E,C三点共线时，

CE+EQ的最小值为C7),

因为尸幺=2,AB=2,PA1AB,PB7PA?+AB?=2血,

PA2711

tanNPBA=—=-=lZPBA=-BD」BP=4i

482,所以4,2,

BC=BA+AC=2+X=3,所以在三角形C'8D中，

=J32+(V2l-2x3xV2x—=V5

由余弦定理可得72

所以CE+EQ的最小值为退.

21.已知点尸是边长为2的菱形所在平面外一点，且点尸在底面N8C。上的射影是

NC与AD的交点°,已知/氏4£>=60。，DPDB是等边三角形.

(1)求证：ACYPD.

(2)求点。到平面的距离；

(3)若点E是线段ND上的动点，问：点£在何处时，直线尸E与平面丑5c所成的角最大?

求出最大角的正弦值，并说明点£此时所在的位置.

【正确答案】(1)证明见解析

2届

(2)5

14

—sin夕=一

(3)£在线段ND上靠近。点的4处，5

【分析】(1)由题可得0°，平面N8C。，故尸°,NC.根据菱形的性质可得50工NC,

再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；

(2)根据题干数据结合/-PBC=腺-8℃即可求解；

(3)由线面平行的判定定理可得平面P5C,可得E到平面P5C的距离即为。到平

面P8C的距离力，