广东省广州市2024-2025学年下学期第一次模拟测试九年级数学试题（原卷版+解析版）

广州市2024学年九年级下学期第一次模拟测试试题【试卷说明】1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生应将答案全部填涂在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效；2．答题前考生务必将自己的姓名，准考证号填涂在答题卡上．一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.的相反数是（

）A. B.2025 C. D.2.下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是()A. B. C. D.3.“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.4.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.6.如图，在中，对角线，相交于点O，点E为中点，交于点F．若，则的长为（）A. B.1 C. D.27.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A. B. C. D.8.抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.9.如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.10.如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.若二次根式有意义，则x的取值范围是___．12因式分解___________．13.如图，，，，那么___________14.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．15.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）16.如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．（1）若点N在边上，且，则______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为______．三．解答题（共9小题，满分72分）17.解方程组：．18.如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．19.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为时，求此时的电流I．20.某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表：进球数012345人数186311（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”人数．21.欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的数，称为欧拉分式．（1）写出对应的表达式；（2）化简对应的表达式．22.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？23.如图，是外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是的切线；（2）求证：∽；（3）若，，求点O到AD的距离．24问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由．25.已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C．（1）求c的值；（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；（3）抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围．

广州市2024学年九年级下学期第一次模拟测试试题【试卷说明】1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生应将答案全部填涂在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效；2．答题前考生务必将自己的姓名，准考证号填涂在答题卡上．一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.的相反数是（

）A. B.2025 C. D.【答案】B【解析】【详解】本题考查了相反数的知识，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义即可解题．【分析】解：的相反数是2025，故选：B．2.下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据从正面看到的视图是主视图，从左边看到的图形是左视图，根据看到的图形进行比较即可解答．【详解】解：A、主视图看到的是2层，3列，最下1层是3个，上面一层是1个，第2列是2个；左视图是2层，上下各1个；B．主视图看到的是3层，最下1层是2个，上面2层在下面1层的中间，各1个，左视图是3层，每层各一个；C．主视图是2行2列，下面1层是2个，上面1层1个，左面1列是2个；左视图是2层2列，下面1层是2个，上面1层1个，左面1列是2个，故主视图和左视图相同；D．主视图是2层2列，下面1层2个，上面1层1个，右面1列2个，左视图也是2层2列，下面1层2个，上面1层1个，左面1列2个．故选：C．【点睛】此题考查了从不同方向观察物体，重点是看清有几层几列，每层每列各有几个．3.“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数．【详解】解：将25000用科学记数法可表示为，故选：C．4.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：∵x+1≥2∴x≥1故选A．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，根据二次根式的性质，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：、与不是同类项，不能进行合并，原选项不正确，不符合题意；、与不是同类项，不能进行合并，原选项不正确，不符合题意；、，原选项正确，符合题意；、，原选项不正确，不符合题意；故选：．6.如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵四边形是平行四边形，∴，∵点E为的中点，∴，∵，∴，∴，即，∴，故选：B．7.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红黄红(红，红)(红，黄)黄(黄，红)(黄，黄)共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，∴两次摸出的都是红球的概率为．故选：A．8.抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，而，，，∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．9.如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．【详解】解：∵，∴．∵以为直径的与相切于点A，∴，∴．故选：D．10.如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，先证，进而易得出，则点在以为直径的圆上运动，当与以为圆心，为半径的圆相切时，点到的距离最小，再解直角三角形求解即可得到答案．【详解】解：设与交于点，如图所示：由题易知，，，，，，点四点共圆，且为直径，设圆心为，当与以为圆心，为半径的圆相切时，点到的距离最小，过点作，过点作于点，如图所示：，，，与切于点，，，，，，，，由得，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查动点最值-辅助圆问题，涉及旋转的性质、全等三角形得判定和性质、圆的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识处理辅助圆问题是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.若二次根式有意义，则x的取值范围是___．【答案】【解析】【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．12.因式分解___________．【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．13.如图，，，，那么___________【答案】##度【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键；由与的度数之和为180度，利用同旁内角互补两直线平行，判断出与平行，再利用两直线平行，同位角相等得到，即可求解．【详解】解：，，，，，故答案为：．14.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．【答案】7【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，则∴故答案为：715.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）【答案】51【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解．【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，由题可知，，设，∵∴∴∴∴故答案为：51．16.如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．（1）若点N在边上，且，则______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为______．【答案】①.##②.【解析】【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解；②记与交于点K，可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故．【详解】解：①连接，由题意得，，∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，，∴∴，故答案为：；②记与交于点K，如图：∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，同理可证：，∴，，在中，由勾股定理得，由题意得：，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，由题意得，而，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．三．解答题（共9小题，满分72分）17.解方程组：．【答案】【解析】【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：得，，解得，．将代入①得．方程组解是18.如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到．【详解】证明：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．19.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为时，求此时的电流I．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．【小问1详解】解：设这个反比例函数的解析式为，把代入中得：，解得，∴这个反比例函数的解析式为；【小问2详解】解：在中，当时，，∴此时的电流I为．20.某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表：进球数012345人数186311（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数．【答案】（1）众数1、中位数为2、平均数为（2）估计为“优秀”等级的女生约为50人【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；（2）算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数．【小问1详解】解：女生进球数的平均数为（个），女生进球数的中位数是第10个和第11个成绩的平均数，即（个），女生进球个数为1个的人最多，故众数是1个；【小问2详解】解：（人），答：估计为“优秀”等级的女生约为50人．【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数，用样本件估计总体，掌握中位数，平均数、众数的定义以及优秀率的求法是解题的关键．21.欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的数，称为欧拉分式．（1）写出对应的表达式；（2）化简对应表达式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．（1）把代入表达式即可求出对应的表达式；（2）把代入表达式，然后通分并化简即可求出对应的表达式．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：，，，．22.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【答案】（1）该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；（2）需要更新设备费用万元【解析】【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．【小问1详解】解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则，解得：，则；答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；【小问2详解】解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则，解得：，经检验：是原方程的根，且符合题意；则，则还需要更新设备费用为（万元）；23.如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是的切线；（2）求证：∽；（3）若，，求点O到AD的距离．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）点O到AD的距离为【解析】【分析】（1）连接OD，证明，则，即可得证；（2）由，，可得，根据四边形ABDC为圆内接四边形，又，可得，即可证明∽；（3）过点O作于点E，由∽，根据相似三角形的性质可求得，证明∽，继而求得，在中，利用勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：连接OD，∵AD平分，∴，∴．又∵BC为直径，∴O为BC中点，∴．∵，∴．又∵OD为半径，∴PD是的切线；【小问2详解】证明：∵，∴．∵，∴．∵四边形ABDC为圆内接四边形，∴．又∵，∴，∴∽．【小问3详解】过点O作于点E，∵BC为直径，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．由（2）知∽，∴，∴，∴．又∵，，∴∽，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，∴点O到AD的距离为．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．24.问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数