第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识+真题+6类高频考点 精讲（解析版）

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：公式的基本应用 4高频考点二：公式的逆用及变形 6高频考点三：辅助角公式的运用 9高频考点四：二倍角 11高频考点五：拼凑角 14高频考点六：降幂公式 17第四部分：新定义题 20第一部分：基础知识1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式①两角和与差的正弦公式②两角和与差的余弦公式③两角和与差的正切公式2、二倍角公式①②；；③3、降幂公式4、辅助角公式：(其中)5、常用结论①两角和与差的正切公式的变形：②③④第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．2．（2022·全国·新课标Ⅱ卷）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：公式的基本应用典型例题例题1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得.【详解】。故选：A例题2．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用诱导公式变形，再利用两角差的正弦公式计算.【详解】.故选：D.例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知tanα＝，tanβ＝－，则tan(2α＋β)的值为（

）A．－ B．－C．1 D．【答案】C【详解】因为tanα＝，tanβ＝－，所以tan（α＋β）＝＝＝＝，所以tan（2α＋β）＝tan[α＋（α＋β）]＝＝＝1.【考查意图】利用和差倍角公式化简求值．例题4．（多选）（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）计算下列各式，结果为的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】对于A，利用三角函数的特殊值即可求解；对于B，D，利用两角和的正切公式即可求解；对于C，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，由，得，故D正确.故选：BCD.练透核心考点1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）计算的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由.故选：A.2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求解.【详解】原式故选：C.3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）计算.【答案】/【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.【详解】.故答案为：4．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则.【答案】【分析】利用两角和正切公式直接求解即可.【详解】.故答案为：高频考点二：公式的逆用及变形典型例题例题1．（23-24高一上·广西贺州·期末）设，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根据正弦函数的单调性比较大小．【详解】，，，正弦函数在是单调递增的，．又．故选：A．例题2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.【详解】，，．故选：C例题3．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的值是．【答案】/【分析】根据题意由两角和的正切公式可得，即可得，求出结果.【详解】由，得，即，又，所以，则，所以.故答案为：例题4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）计算求值(1)已知，求的值．(2)【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用正弦二倍角公式化简，再结合齐次式相关概念化简计算即可；（2）根据题意进行通分，根据正弦二倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式进行化简计算即可.【详解】（1）原式（2）原式练透核心考点1．（2024·山西吕梁·一模）的值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】先把正切化为弦，再分别应用配角公式和正弦的二倍角公式化简即可.【详解】.故选：D.2．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】由利用两角和的正切公式计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：B3．（2024高一上·全国·专题练习）（

）A． B．C．1 D．【答案】A【分析】根据题意，结合两角差的正切公式，利用特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】由两角差的正切公式，可得.故选：A.4．（21-22高一·全国·课前预习）计算：＝.【答案】【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．故答案为：．高频考点三：辅助角公式的运用典型例题例题1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数的值域是．【答案】【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用整体法求值域.【详解】，又，.的值域为.例题2．（2024高一下·江苏·专题练习）化简.【答案】【分析】根据题意，利用两角差的正弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由.故答案为：.例题3．（23-24高一下·上海·阶段练习）把化成的形式【答案】【分析】根据给定条件，逆用和角的正弦公式化简即得.【详解】依题意，.故答案为：练透核心考点1．（23-24高三下·上海·阶段练习）函数的最大值为.【答案】5【分析】借助辅助角公式计算即可得.【详解】，其中，由，故的最大值为5.故答案为：5.2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，若函数的最大值为2，则.【答案】【分析】由辅助角公式得函数最大值，进而列方程即可求解.【详解】由题意，其中，所以，又因为，所以.故答案为：.3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，函数的最小正周期为，则实数．【答案】【分析】先用辅助角公式化简，然后利用周期公式求解.【详解】，故，所以.故答案为：.高频考点四：二倍角典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角三角函数关系以及正弦的二倍角公式，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为，所以.故选：D.例题2．（2024·贵州毕节·二模）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判断，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为，且，所以，又，解得或（舍去），又，解得或，又，所以，所以，所以.故选：B例题3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，则．【答案】/【分析】利用余弦函数的二倍角公式即可得解；【详解】因为，所以，所以，因为，所以，解得或（舍去）.故答案为：.例题4．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则的值为.【答案】/【分析】利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.【详解】因为，等式左边分子、分母同时除以得，，解得，所以.故答案为：.练透核心考点1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知同分化简得出.进而根据二倍角的正切公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，所以，.故选：A.2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二倍角公式化简后利用周期的计算公式即可求解.【详解】，故最小正周期为.故选：B3．（23-24高三上·江西·期末）已知角的终边上有一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的定义，结合二倍角公式即可求解.【详解】由题意可得，故，故选：B4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知角终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助三角函数定义及二倍角的正切公式计算即可得.【详解】由，故，则.故选：D.高频考点五：拼凑角典型例题例题1．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式可得结果.【详解】，故选：D.例题2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）设为锐角，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据求出，根据即可求解.【详解】因为为锐角，则，因为，所以，所以.故选：D.例题3．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知是锐角，，则的值为.【答案】【分析】先由已知结合特殊角的三角函数值确定，再由正弦展开式结合拆角计算得到最后结果.【详解】因为，，所以，又，所以，即，又，所以，所以，所以，故答案为：.例题4．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，且．求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由的范围求出的范围，再利用平方关系及两角和的余弦公式求值即得.（2）由两角差的余弦公式求出即可求出的值.【详解】（1）由，得，由，，得，，所以.（2）由（1）知，，而，所以.练透核心考点1．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，则.故选：A.2．（2024·山东烟台·一模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由可得，故，故选：C3．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为sin（15°－）＝，所以cos（30°－α）＝cos2（15°－）＝1－2sin2（15°－）＝1－2×＝.4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）若，则.【答案】/0.28【分析】令，代入，利用三角公式变形计算即可.【详解】令，则，所以.故答案为：.高频考点六：降幂公式典型例题例题1．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可.【详解】.故选：B.例题2．（23-24高一下·广东深圳·期中）计算：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据降幂公式计算，即可得答案.【详解】，故选：A例题3．（2024·吉林白山·一模）化简．【答案】2【分析】运用降幂公式将化成，整理后再用诱导公式将化成，化简即得.【详解】．故答案为：2.练透核心考点1．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知，函数在单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用降次公式及辅助角公式化简函数，结合、换元法及复合函数单调性求解即可.【详解】因为在上单调递减，所以，即，又，所以，令，因为，，所以，所以问题转化为在（）上单调递减，所以问题转化为在（）上单调递减，又，，单调递减区间为，，所以，所以，解得.故选：D.2．（22-23高一下·全国·课后作业）的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用降幂公式、积化和差公式以及诱导公式即可得到答案.【详解】原式.故选：A.3．（2023·吉林·三模）化简=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】依题意，原式，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.第四部分：新定义题1．（2023·上海杨浦·模拟预测）设是定义域为的函数，如果对任意的、均成立，则称是“平缓函数”.(1)若，试判断和是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式:时，恒成立)(2)若函数是“平缓函数”，且是以1为周期的周期函数，证明:对任意的、，均有;(3)设为定义在上函数，且存在正常数使得函数为“平缓函数”.现定义数列满足:，试证明:对任意的正整数.【答案】(1)答案见解析(2)证明见