2024-2025学年浙教版七年级数学下册复习：分式方程

第七讲分式方程

知识梳理

方程包括整式方程和分式方程，整式方程指一元一次方程、二元一次方程和一元二次方程（八年级下册学习），

分式方程指分母里含有未知数的方程。本讲学习分式方程及其应用，同学们要善于找到它和整式方程的区别，牢固

掌握这一中考热点。

1.分式方程及其解法。

⑴分母里含有字母的方程叫作分式方程。

⑵解分式方程：去分母，转化为整式方程，得根，验根。

⑶增根：使得分母等于零的根；在解分式方程时一定要验根，方法是将得到的根代入最简公分母中，使最简公

分母为零的根是增根（增根应舍去），否则不是；解分式方程最后一定要写出检验过程，这是重中之重。

（4）与增根有关的参数问题（参数指的是另一个“干扰”字母）：将原方程化为整式方程；确定增根；将增根代入所

得到的整式方程中，求出参数的值。

2.分式方程的应用：其中的步骤和整式方程的应用题步骤一样，区别在于解出分式方程后，一定要对方程本身

和实际问题验根，并且写出检验过程，切记不可忘了这一步。

【例1】解分式方程：=+二=言+=。

x+7,x+9x+10,x+6

【变式训练1］解分式方程:------1------=---------1------O

x+6x+8x+9x+5

【变式训练2］解分式方程：+号7-=0。

X+11X—oX+Z%—oXLoX—o

【例2］若关于x的分式方程分-三=的解为负数,求a的取值范围。

X—ZX+X（X—ZIi-J

【变式训练3］若关于x的分式方程当=昌-2有非负数解，求a的取值范围。

x-12x-2

【变式训练4］若关于x的分式方程4=2-5的解为非负数，则满足条件的非负整数k的值为一。

1—xX—1

2

【例3］用换元法解方程：(五)+6=0。

【变式训练5］解方程：/+3x-8=蔡。

【变式训练6】方程高+要=争勺实数根是」

【例］解关于的方程*-=时产生了增根，请求出所有满足条件的的值。

4xX+ZX+Z，室1)\X、-rZ.)k

【变式训练7］a为何值时，关于x的方程吃+告=吃会产生增根？

x-2xz-4x+2

【变式训练8］若关于x的方程表-表=黑有增根，求增根和k的值。

【例5】“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车。“复兴号”的速度比原来列

车的速度快了40km/h,提速后从北京到上海运行时间缩短了30mino已知从北京到上海全程约1320km,求复兴

号”的速度。设“复兴号”的速度为xkm/h，依题意，可列方程为。

【变式训练9】“绿水青山就是金山银山。”某工程队承接了60万m2的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，

实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务。设实际工作时每天绿化的面积

为x万m2,则下列方程中正确的是()。

A.--60=305,—^—--=30

x(1+25%)%(1+25%)%x

c60x(1+25%)60ccn6060x(1+25%)

C.-------------=30D.-------------=30

XXXX

【变式训练10】2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾、

可回收物、有害垃圾、其他垃圾进行分类。小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的

相关信息如下表所示：

类别月份5月12月

厨余垃圾分出量(千克)6608400

7

其他三种垃圾的总量(千克)X

10

如果厨余垃圾分出率=厨余垃圾分出量X100%(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的生活垃圾总量

总量),且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是()。

A华X14#R6608400

X袅'660+x8400+—%

10io

7

660_8400660+x_8400+五％

C.-7D■X14-

660+x8400+—X6608400

io

［例6］近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速

公路要招标：现有甲、乙两个工程队，若甲、乙合作，24天可以完成，需要费用120万元；若甲单独做20天后，

剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：

(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？

(2)若甲、乙两队单独完成此项工程，从节约资金的角度来讲，应该选择哪个工程队？

【变式训练H】某项工程，甲、乙两队合作6天可以完成。若甲队单独做4天后，剩下的工程由乙队单独做9

天才能完成。问：甲、乙两队单独完成这项工程，各需要多少天？

【变式训练12】在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内(含30天)完成。现有甲、乙两个工程队,

从这两个工程队的资质材料可知：若两队合做，24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也

恰好完成。请问：

（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最

低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）?最低施工费用是多少万元？

【例7】甲、乙两人沿圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时相向出发，第一次相遇时离点A（弧形

距离）80m,第二次相遇时离点B（弧形距离）60m,求圆形跑道的周长。

图1

【变式训练13】甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时相向起跑。第一次相遇地

点P距离A点100m,第二次相遇地点Q距离B点60m,两次相遇的地点在直线AB的同侧且顺序如图2所示,

求圆形跑道的周长。

【变式训练14】甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时相向起跑。第一次相遇时

离A点100m,第二次相遇时离B点60m,求圆形跑道的总长。

【例8］我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常

数称为A关于B的“雅中值二

如分式4=三，3=含,4-3=三-(言)==2则A是B的“雅中式”,A关于B的“雅中

值”为2。

⑴已知分式C=吃,。=嘤二判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C

x+2xz+4x+4

关于D的“雅中值”。

⑵已知分式P=4，Q=?,P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2,x为整数目雅中式”P的值也

9—3-x

为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和。

⑶已知分式M==,N=j3(a,b,c为整数),M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1,求

XX

a-b+c的值。

【变式训练15】对x、y定义一种新运行T,规定：T(x，y)=翳(其中a、b均为非零常数)，这里等式右边

是通常的四则运行，例如：7(0,1)=嗖等=b。

(1)已知T(1,-1)=-2,T(4,2)=1,求a、b的值;

⑵若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x、y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意义)，则a、b应满足怎样的关系式?

【变式训练】对两实数、定义一种新运算，规定㊉=篝，例如：㊉(1+2)3

16xy.Xy212==3。

12-22+6

⑴填空:22㊉(-3)=.V5©V2=_;

⑵若a㊉2=1,求a的值;

(3)若m、n为整数，且m㊉n=l,求满足条件的所有m、n的值。

【例9］先阅读下面的材料，然后回答问题：

方程x+-=2+?的解为=2,❷=?；方程x+工=3+?的解为=3,&=1；方程x+--4+为勺解为

XLzXo3X4

.1

与=4,%2=£；,••

(1)观察上述方程的解，猜想关于X的方程X+：=5+争勺解是一；

(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程％+工=a+%的解是—；

xa

(3)由(2)可知，在解方程y+=?时，可变形转化为久+(=a+：的形式求值，按要求写出你的变形求解

过程。

【变式训练17］观察下列方程以及解的特征：

®x+^=2+1的解为%!=2,X2=|;H-i=3+争勺解为xt=3,x2=

物+；4+前勺解为X1=4,X2=^;-

(1)猜想关于x方程x+工=爪+工的解，并利用“方程解的概念”进行验证。

xm

⑵利用⑴结论解分式方程：

加+产；②%+套=安。

【变式训练18］先阅读下列一段文字，然后解答问题：

已知方程子=子，解为久1=2,K2=：；方程子=子的解为%I=3,X2=方程?=可的解为

“1

X1=4,%2=7°

问题：(1)观察上述方程及其解，再猜想出方程?=黑的解；

⑵请你再按照上述格式命制一个方程。

【例1。】观察下面的变形规律：三=:后；*=A9；白=A3…

_LXZJ.NZXoN33X4j4

解答下面的问题:

(1)若n为正整数，若写成上面式子形式，请你猜想

⑵说明你猜想的正确性；

(3)计算:+白+甘…+2015;2016

⑷解关于n的分式方程：三+*+白+…+嵩n+7

_LXZZXJ1.Jn+9

【变式训练19】观察下列各式:一4===熹号一；字=羡噌与表=短

11

56,.一

(1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x(x表示正整数)的等式表示出来：；

(2)请利用上述规律计算：|+J+^+-+-2-+高(x为正整数)；

⑶请利用上述规律，解方程：自+9%+Uli=击

\_X_A2—*1)\X~1JXXT1JXTI

【变式训练20】观察下列等式：三=1-

J.XZZ.ZX3Zj3X4j4

将以上三个等式两边分别相加得+e=1-5+5一[―3=1-5

⑴计算：a+*+三+…+而%=-；

(2)猜想并写出：高=%

⑶探究并解方程：x(x+3)+(x+3)(x+6)+(x+6)(x+9)-x2+9x°

答案

【例1】解:

(5-高)+(1+用=,+㈢+(2一日,

即二....-=-——

x—9x—19x—6x—8

-10-10

0-9)(%-19)-(x-6)(x-8)f

・•・(x-6)(x-8)=(x-9)(x-19),gp14x=123,

123

・•・X=——,

14

经检验X=等是原方程的解,

14

*故式=——123

14

【变式训练1】解：原方程移项得胃-甯=胃-三,两边同时通分整理得：i两个

x+8x+9x+5x+6X2+17X+72

分式分子相同，分式值相同，则分式分母相同，・・•久2+17%+72=%2+11%+30,解得:x=-7,经检验，x=-7是原方

程的解。

19x+2y_1

【变式训练2】解：令x2+2x-8=y，方程化为人+；=。，即:,解得:y=9x或.y=-5x,当y=9x

y-15xy(y+9x)y-15xJ

22

时,x+2x-8=9x,解得:X1=8,x2=-1；当y=-5x时，x+2x-8=-5居解得：g=-8/4=1,经检验都是分式方

程的解,

［例2］解:分式方程去分母得：:(x+l)(x-l)-(x-2)2=2x+a,

整理得%2—1—X2+4%—4=2%+0解得X=苫^,

根据题意得等<0,解得:a<-5,

再将x=2代入方程得:a=-l,

将x=-l代入得:a=-7,

则a的取值范围为a<-5且a齐7。

【变式训练3】解：弋;三-2,

X—LZX—Z

分式方程去分母得：2x=3a-4(x-1),

移项合并得:6x=3a+4,

解得；x=F，

O

•••分式方程的解为非负数,

...修"且修一1彳0,解得心一汨a丰三

6633

【变式训练4】解：•.•片=2-二；,

1-xX-1

/.x=2-k,

Vx>0,

.*.2-k>0,

Ak<2,

..•满足条件的非负整数k的值为0、1、2,

k=0时.解得x=2,符合题意，

k=l时，解得x=l,不符合题意，

k=2时.解得x=0,符合题意，

满足条件的非负整数k的值为0或2。

故答案为：0或2。

【例3】解(缶¥-含+6=。.

设备="

2

则原方程可化为y-5y+6=0,解得yi=2,y2=3,

当：%=2时舟=2,解得x=当上，

经检验x=当豆是原方程的解；

当y2=3时懵=3,解得X=2亘，

经检验%=当亘是原方程的解;

O

•■工口iVi名刀石.1+V171—V171+V371—V37

••原方程的斛为•=――,X=――%=

424oO4

【变式训练5】解：令/+3久=%方程化为y-8=第

去分母得：于_8y_20=。，即(y-10)(y+2)=0,

解得:y=10或y=-2,

%2+3x=10或x2+3x=-2,

解得xi=-5,x2=2,x3=-1,X4=-2,

经检验：Xi=~5,X2=2,%3=-1,%4=-2都是原方程的根。

则原方程的根是%i=-5,x2=2,久3=-1,久4=-2。

【变式训练6】解：•.•告+号=12,；.&+立！=?；

x2+lx2-3xxz+lx3

设品=/则y+y=T解得%=3,%=

•••当门=3时3,无解舍去；

、1，l-|-X13±V5

当乃=§n时a==丁，

故答案为：萼。

【例4】解：方程去分母后得：(k+2)x=-3,分以下两种情况：

令x=l,k+2=-3,则k=-5

令x=-2,-2(k+2)=3则k=-i

综上所述，k的值为-5,或-卜

【变式训练7］解方程两边都乘(x-2)(x+2),

得x+2+ax=3(x-2)

•・,原方程有增根，

・・・最简公分母(x-2)(x+2)=0,解得x=2或-2,

x=2时,a=-2,

当x=-2,a=6,

当a=-2或a=6时，关于x的方程二2会产生增根。

【变式训练8］解:去分母得:3x+3-x+l=x+kx,

由分式方程有增根得到3x(x-l)=0,解得:x=0或x=l,

把x=0代入整式方程得：4=0，矛盾，舍去，

把x=l代入整式方程得：k=5。

【例5】解：设“复兴号”的速度为xkm/h，则原来列车的速度为(x-40)km/h,

根据题意得：30

60

故答案是：詈30

60

【变式训练9】解：设设实际工作时每天绿化的面积为x万m2,则原计划工作每天绿化的面积为三%万nA

依题意得：60x(1+25%)丝=30。

Xx

故选:C。

660YA8400

【变式训练10］解：根据题意知_____x14=_________

660+x________8400+—X

10

故选:B。

【例6】解：⑴设甲队独做需a天，乙队独做需b天，

1」一1

a+b-7i

建立方程组

竺+竺=1'

lab

解得（a=30

斛［守lb=120'

经检验a=30,b=120是原方程组的解。

答：甲队独做需30天，乙队独做需120天。

（2）设甲队独做需x万元，乙队独做需y万元，

24（±+*）=120

建立方程组\301207

胆+胆=110

30120

%=135

解得：

y=60

答：甲队独做需135万元，乙队独做需60万元，应该选择乙工程队。

【变式训练11］解：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要x天和y天，

由题意：+；=；，解得卮二二

\Xy

经检验C二二是分式方程组的解，

答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要10天和15天。

【变式训练12】解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，

f—+—=1

由题意得方程组（18*18'10，解之得：x=40,y=60,经检验x=40,y=60均是方程的根。

匕+歹+=1

答：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天，60天。

（2）♦.•工程必须在规定时间30天内完成，

甲、乙两个工程队均不能单独完成且工作时间不超过30天，又：甲工程队每天的施工费用为0.6万元，完成

整个工程需要0.6x40=24（万元），

乙工程队每天的施工费用为0.35万元，完成整个工程需要0.35x60=21（万元），

24>21,

要使施工费用最低，需使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成，

由⑴知，乙工程队30天完成工程的=

甲工程队需施3+亲=20（天），

最低施工费用为0.6x20+0.35x30=22.5（万元）。

答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天。

（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是22.5万元。

［例7］解：如图：设圆形跑道总长为2S,甲乙的速度分别为V,V、两人第一次在C点相遇，第二次相遇

有以下两种情况:

(1)甲乙第二次相遇在B点下方D处,

-80_S-80

VV仆总彳曰8°_S-8°

由题意，有•S+60_2S60'匕1曰寸^60-2S^60J

VV'

解此方程，得S=0或S=180,

经检验S=0或S=180都是原方程的解，但S=0不合题意，舍去，所以S=180,2S=360mo

(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D处，

（80_S-80

由题意，有vV化简得言=黑,

S-60_2S+60,

V'

解此方程，得S=0或S=300,

经检验S=0或S=300都是原方程的解，但S=0不合题意，舍去，所以S=300,2S=600mo

这样，两人可能在D点处相遇，也可能在D点处相遇，故圆形跑道总长为360m或600m。

【变式训练13】解：设圆形跑道周长为Sm,

■=遇，化简得S2-720SR,

解得％=720&=0（舍去）,

经检验，Si=720是原方程的解。

故圆形跑道周长为720m。•

【变式训练14］解：如图，

设圆形跑道总长为2S,又设甲乙的速度分别为V,V,再设第一

次在C点相遇，则第二次相遇有以下两种情况：

(1)甲乙第二次相遇在B点下方D处，此时有方程组

j等二卡工=牝竺

%+6O_2S-6OS-1002S-60

（~vV~~

解此方程得S=0（舍去）,S=240,

所以2S=480m，经检验是方程的解。

100_S-100

⑵若甲乙第二次相遇在B的上方D处，当D在BC间则有方程组s二1ZL/解此方程组得S=0（舍去）,S=360,

所以2s=720m,经检验也是方程的解,

⑶当D在AC之间，在AC之间的，则乙共跑了60m,

也就是第一次相遇时乙跑了20m,也就是半周长为120m,全长为240m，（注：甲乙两人一共才跑了1.5圈，所

以有些一个人超过1.5圈的情况就不要考虑了）

这样，两人可能在D点处相遇，也可能在D点处相遇，故圆形跑道总长为240m、480m或720m。

【例8】（1）C是D的“雅中式”，理由如下,

「卜1X2+5X+6

C—L)=--------------；----------

x+2X2+4X+4

_X+2-(X2+5X+6)

X2+4X+4

_X2+4X+4

X2+4X+4

=-lo

即:c不是D的“雅中式”。

ODn—E2x_£'-2x(34-x)_E-2X2-6X

⑷"-Q=9T2—=-9^2—=9-x2-1

：P是Q的雅中式，

又.；P关于Q的雅中值为2,

2

E-2X2-6X^2(9-x),

/.E=6x+18,

...p=上=6久+18=_6_

9-x29-x23-x

VP的值也为整数，且分式有意义，

故3-x=±l,或3-x=±2,或3-x=±6,或3-x=±3,

.•.X的值为:-3,1,2,4,5,9,0,6

Vx#±3,

•••x的值为:0,1,2,4,5,6,9。

符合条件的x的值之和为0+1+2+4+5+6+9=27。

⑶YM是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1,M-N=

X

整理得(・b・c+a+4)x+bc-5a=0,

由上式子恒成立，则:「”c+：+4=0,

Ibe-5a=0

消去a得:bc-5b-5c+20=0,

/.b(c-5)-5(c-5)=5,

A(b-5)(c-5)=5,

a、b、c为整数

；.b-5、c-5也是整数，

当b-5=l、c-5=5时,b=5,c=10,此时a=12,

a-b+c=16,

当b-5=5、c-5=l时,b=10,c=6,止匕时a=12,/.a-b+c=8,

当b-5=-l、c-5=-5时,b=4,c=0,止匕时a=0,/.a-b+c=-4,

当b-5=-5xc-5=-l时,b=0,c=4,止匕时a=0,/.a-b+c=4o

综上:a-b+c的值为:16或8或-4或4。

【变式训练15］解：(1:7(x，y)=翳(其中a、b均为非零常数)，

又•；T(1,-D=-2,T(4,2)=1,

.axl+£)x(-l)_2ax4+bx2_1

*>2xl+(-l)-'2X4+2-'

解得a=l,b=3,

(2)皿)=翳")=把，

：T(x,y)=T(y,x),

.ax+by_ay+bx

2x+y2y+x'

・・・T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意义),

a=2bo

【变式训练16］解：⑴根据题中的新定义得：

7+2V107+2V10

2㊉(-3)==1;逐㊉鱼=

4—y+o5-2+69

7+2V10

故答案为1

9

(2)已知等式利用新定义化简a㊉2=1得：

华言=1,即(a+2)2=a?+2,解得a=—上

4+62

故答案为-L

⑶根据题中的新定义得：

m㊉九二"+?=1,化简得mn=3—n2

mz—nz+6

3

•••m=——nn

,•'m,n为整数,

•*.n的值为:±l,±3,m的值为:±2。

【例9】⑴解:关于x的方程％；5+节勺解是:X1=5,X2=g故答案为/=5,犯=巳

(2)解：关于x的方程x+-=a+工的解是-CL,%2=二故答案为%i=a,x=i

XCLCL2CL

(\3)K解T：y/+—y+l=—3

(y+D+W=3+a

-1

即y+1=3,y+1=-,

解得：yi=2,y2=-jo

【变式训练17］解：

⑴关于x方程x+^=m+5的解为xx=m,x2=

验证：当时,左边=m+—=右边，

x=mm

・・.x=m是该分式方程的解；

当％=工时，左边=