2024年高考数学一轮总复习讲义：常用逻辑用语

第二讲常用逻辑用语

c______、________________________

知识梳理•双基自测

知识梳理

知识点一充分条件、必要条件与充要条件的概念

若pnq,则〃是〃的充分条件,〃是。的必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且q#p

p是q的必要不充分条件p*q且q0P

.是。的充要条件poq

p是q的既不充分也不必要条件p*q且q#p

知识点二全称量词与存在量词

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.

2.全称量词命题与存在量词命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号

“V”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.

(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符

号“月表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.

3.全称量词命题和存在量词命题的否定

量词命题量词命题的否定结论

£M,p(x)p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题

PxRM,p(x)3x^M,p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题

归纳拓展

1.若幺={x|p(x)},B={x\q(x)},则

(1)若ZU5,则夕是q的充分条件；

(2)若Z二8则夕是q的必要条件；

(3)若2=瓦则夕是q的充要条件；

(4)若A8,则P是q的充分不必要条件;

(5)若A-则夕是q的必要不充分条件;

(6)若给8且N2瓦则夕是q的既不充分也不必要条件.

2.充分条件与必要条件的两个特征：

(1)对称性：若夕是q的充分条件，则q是夕的必要条件，即“p=q”O“q

Up”.

(2)传递性：若夕是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，贝。是r

的充分(必要)条件，即"p=>g且g=>r"=>'的=>r"("?<=g且g<=r"0up<=rn).

注意：不能将“若p,则与“pnq”混为一谈，只有“若夕，则为真

命题时，才有“pnq”，即“pnq”Q“若P，则q”为真命题.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

4.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否

定.

5.命题P和㈱夕的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断

此命题的否定的真假.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“或“X”)

(1)ux2+2x—3<0”是命题.(X)

(2)至少有一个三角形的内角和为兀是全称量词命题.(X)

(3)若命题p：Vx£R,^—<0,则㈱p：3x£R,20.(X)

x~2x~2

(4)“a=/'是"tana=tan夕'的充分不必要条件.(X)

(5)在△ZBC中，/>8是sinZ>sin8的充要条件.(V)

［解析］(4)当。=夕=；时，tana、tan夕都无意义.因此不能推出tana=tan.,

当tana=tan6时，a=B+hi,左©Z,不一定(/=夕，因此是既不充分也不必要条

件.

(5)在AZ5c中，由则由正弦定理sinZ>sin8,反之也成立.

题组二走进教材

2.(多选题)(必修1P28练习T1改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的

是(AC)

A.Vx£Z,lx2—1<0

B.nm=m

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

使得二33

D.存在实数X,

4

［解析］Vx£R,—/wo,所以一/__i<o,故A选项是全称量词命题且为

真命题；当机=0时，nm=能恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题；任

何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命

11a,

题；因为——2x+3=（x-1>+222,所以:,一故D选项是存在量

%2-2x+324

词命题且为假命题.

3.（必修1P22习题T2改编）是“℃2>庆2，，的（B）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］当时,若02=0,则

所以a>b^ac2>bc2,

当ac2>12时,/W0,则a>6,

所以ad'bdngb,

即“a>6”是“2>庆2，，的必要不充分条件.

4.（必修IP23T5改编）使一2<x<2成立的一个充分条件是（B）

A.x<2B.0<x<2

C.—2WxW2D.x>0

题组三走向高考

5.（2023•天津，2,5分）“层=〃”是ua2+b2=2abn的（B）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

［解析］由屋=/得同=|臼；

由a2-\-b2=2ab,得（。-6）2=0,'.a=b.

a=b=>\a\=\b\,而由同=?不能推出a=6.

:."足=廿"是ua2+b2=2abn的必要不充分条件,故选B.

6.（2023,全国甲理,7,5分）设甲：sida+sin?6=1,乙：sina+cos£=0,则

（B）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

［解析］充分性:当si/a+siM夕=1时，sin2a=1—sin2^,即sin2（z=cos26，

.".sina=±cosP，即sina+cos£=0或sina—cos6=0,所以充分性不成立；

必要性:当sina+cos夕=0时，sin2a=cos2y5,/.sin2a=1—sin2^,即sin2a

+sin2j5=l,所以必要性成立.

•••甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B.

7.（2016-浙江）命题“心©&使得〃三好"的否定形式是（口）

A.VxGR,使得〃

B.Vx©R,V〃GN*,使得〃

C.3xER,筋©N*,使得〃

D.3xGR,V〃GN*,使得〃

［解析］根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.

考点突破,互动探究

全称量词命题与存在量词命题—自主练透

例|1.（多选题）下列命题的否定中，是真命题的有（BD）

A.某些平行四边形是菱形

B.X2—3x+3<0

C.Vx^R,|x|+x2^0

D.VxGR,N—ax+i=o有实数解

［解析］根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求解.对于A,

某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B,J=9-12=-3<0,则原命题是假

命题；对于C,VxeR,|x|+x2^o,是真命题；对于D,只有/=〃一4三0,即

2或。三2时，"+1=。有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定

真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题.故选BD.

3v

2.(2023・武汉模拟)命题“Vx£［O,+^),x+x^0的否定是(C)

A.8,0),x3+x<0

B.Vx^(—°°,0),x3+x^0

C.［0,+°°),x3+x<0

D.［0,+0°),x3+x^0

［解析］含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命

题［0,+°°),r+%三o"的否定是"天£［0,+°°),x3+x<0??,故选C.

3.(多选题)下列存在量词命题中，为真命题的是(ABD)

A.3x^Z,X2—2x—3=0

B.至少有一个x£Z,使X能同时被2和3整除

C.3xeR,|x|<0

D.有些自然数是偶数

［解析］因为方程2%—3=0的两根为3和一1,所以x£Z,故A正确；

因为6能同时被2和3整除，且6QZ,故B正确；根据绝对值的意义可得想三0

恒成立，不存在x满足|x|O,故C错误；2,4等既是自然数又是偶数，故D正确；

故选ABD.

4.已知命题a/—%+2W0”是假命题，则实数。的取值范围是

［解析］因为命题QN一%+2W0”是假命题，

所以命题“Vx£R,QN一1+2>0”是真命题，

当〃=0时，得x<2,故命题“Vx£R,Q/一1+2>0”是假命题，不符合题

pz>0,1

当20时，得上1—8战0,解得

名师点拨：

1.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法

命题名称真假判断方法一判断方法二

全称量真所有对象使命题为真否定为假

词命题假存在一个对象使命题为假否定为真

存在量真存在一个对象使命题为真否定为假

词命题假所有对象使命题为假否定为真

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

（1）改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题

的含义加上量词，再对量词进行改写；

（2）否定结论：对原命题的结论进行否定.

充分条件与必要条件的判断——多维探究

方法1：定义法判断

例|1.已知x,y为正实数，则“x+y>4”是“lnx+lny>21n2”的（B）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］利用特值法、基本不等式，结合充分条件与必要条件的定义判断即

可.当x+y>4时，取x=l,y=4,则lnx+lny=ln1+ln4=21n2,所以“x+

y>4"不是"lnx+lny>21n2”的充分条件；当lnx+lnj>21n2时，得In（研）>ln4,

即xy>4,则所以"x+y>4"是"lnx+lny>21n2”的必要条件,

所以“x+y>4”是“lnx+lny>21n2”的必要不充分条件.故选B.

2.（2023•新课标I,7,5分）记&为数列｛斯｝的前〃项和，设甲：｛斯｝为等差

数列；乙：i〃i为等差数列，贝1J（C）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

［解析］若｛斯｝为等差数列，设公差为力则斯=41+（〃一l）d,，&=〃41+

n(n-V)d・

，・Sn一_6Z1~\1d/,

2n2

当〃三2时，-=ai+-67,

n—12

•SnS〃一］।7/—I7n~2

a\~\-------d-a\--------d<=-d,

nn~\222

是以S1为首项，(为公差的等差数列.

2

若i〃j为等差数列，设公差为屋，则&=S+(〃一1)/二

41+(〃一l)d',

n

=

'.Snna\~\^n(n—l)d',

=

当n》2时，Sn-i(n—l)m+(〃-1)(〃-2)d',

两式作差得，a“=ai+2(〃-l)d',

又〃=1时也满足上式，

，斯=41+2(〃-l)d',〃©N*,

当2时，an-i—ai~\~2(n—T)d',

=

an—a”-i=ai+2(〃-l)d'—ai—2(n-2)d'2d',

，｛念｝是以m为首项，2屋为公差的等差数列，

综上，甲是乙的充要条件，故选C.

方法2：集合法判断

例已知p：g)<l,q：log2X<0,则夕是q的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］由(3/<1知x>0,所以P对应的x的范围为(0,+0°),由k)g2X<0

知0<x<l,所以q对应的x的范围为(0,1),显然(0,1)(0,+°),所以夕是q的

必要不充分条件.

方法3等价转化法判断

例L给定两个条件p,q,若㈱P是q的必要不充分条件,则P是㈱4的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］因为^夕是q的必要不充分条件，则qO㈱p,但㈱夕卢q,其等价

命题为夕=余弟q,但㈱q刊?，所以P是㈱q的充分不必要条件.

如果x,y是实数，那么“xXy”是“cosx0cosy”

2的(C)

A.充要条件解决不和等问题转化

B.充分不必要条件为相第问题来必理，

C.必要不充分条件即转化为等价命题来

D.既不充分也不必要条件先理

［解析］解法一(集合法)：设全集U={(x,j)|x£R,j£R},集合Z={(x,

y)|x壬y},B={(x,y)|cosxWcosy},则N的补集C={(x,y)\x-y},5的补集。

={(x,j)|cosx=cosj},显然CD,所以8A,故"xWy"是"cosxWcosy”

的必要不充分条件.

解法二(等价转化法)：x=yncosx=cosy,而cosx=cosy^x=y,故"x=y"

是"cosx=cosy"的充分不必要条件，故"x壬y"是"cosxWcosy"的必要不充

分条件.

名师点拨：有关充要条件的判断常用的方法

1.根据定义判断：(1)弄清条件?和结论q分别是什么；(2)尝试夕今q,qnp.

若pnq,则夕是q的充分条件；若q=p,则夕是q的必要条件；若pnq,q小p,

则?是q的充分不必要条件；若p#q,qnp,则夕是q的必要不充分条件；若

p=>q,qnp,则夕是q的充要条件.

2.利用集合判断

记法4={x%)},B={x\q(x)}

关系ABBAA=B给8且皮A

p是q的充分不p是q的必要p是q的既不充

结论P是q的充要条件

必要条件不充分条件分也不必要条件

3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断?是

q的什么条件，只需判断㈱q是㈱夕的什么条件.

【变式训练】

1.设a,—R,则％3>"”是、2>炉”的(口)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案.当。=—1,6

=一2时，病〉〃不能推出02>62,当口=一］,6=0时，层〉〃不能推出/>〃，所

以、3>产，是、2>/，的既不充分也不必要条件.故选D.

2.(2024•全国高三专题练习)下列选项中的两个条件是互为充要条件的是

(B)

A.P：a=l；Q：函数1x)=x2—(l—q2)x+3是偶函数

B.在△48C中，P：△48C是等边三角形；0：sinZ=sin8=sinC

C.P-.数列｛a.｝的前L项和a=2/一和+1；Q.数列｛斯｝是公差为2的等

差数列

D.P：实数x》l；°：x+』N2

X

［解析］选项A,当。=1时，函数义x)=x2—(I—〃)x+3是偶函数，

函数义%)=X2—(1—°2)X+3是偶函数，

一x)=/(x)=>x2一(1一672)(一x)+3=/—(1-a2)x+3=>l-a2=Q,

可得a=±l,故尸是。的充分不必要条件；

选项B,在△ZBC中，△Z8C是等边三角形，可得sinZ=sin5=sinC,

当sinZ=sin8=sinC时，因为4B,CG(0,n),A-\-B+C=TI,所以有Z

=B=C,

△4BC是等边三角形，所以尸和0互为充要条件；

选项C,数列｛斯｝的前〃项和S〃=2"2—3〃+1,当〃>2,〃©N*时，an=Sn

—Sn-i=4n—5,

<71—S1=0,Cll=3,。3=/,

可得数列不是等差数列，

当数列{斯}是公差为2的等差数列时，因为不知道首项，所以数列{©,}的前

〃项和S"不确定，

所以尸是。的既不充分也不必要条件；

选项D,因为所以

xVx

［当且仅当X=］取等号，即X=1时取等号］

可以推出x+l，2,

x

但是当x+』>2时，显然当x=!时成立，不能推出x>l,所以尸是0的充

x2

分不必要条件.故选B.

充分、必要条件的应用——师生共研

例|(1)已知尸={小2—8x—20W0},非空集合S={x|l—7〃WxW1+能}.若x

G尸是xeS的必要条件，则m的取值范围是「03.

(2)在(1)中若把条件“若x©尸是x©S的必要条件”改为“若x©尸是x©S

的必要不充分条件”，则m的取值范围是「03.

［解析］(1)由f—8x—20W0,得一2WxW10,

所以尸={x|一2WxW10},

由x©尸是x©S的必要条件，知SNP,

1—

则T一机三一2,所以0W加W3,

.1+机W10,

所以当0WmW3时,x©尸是x©S的必要条件，即所求机的取值范围是［0,3］.

(2)解法一：由(1)若x©尸是x©S的必要条件，则0W机W3,

当机=0时，5={1},满足题意；当机=3时，S={x|-2WxW4}满足题意，

故机的取值范围为［0,3］.

1一m=一2,

解法二：若x《P是xGS的必要且充分条件，则P=S,即'］+〃［=］0nrn

无解，

：.m的取值范围是［0,3］.

名师点拨：

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏

的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地，在涉及字母参数的取值范围的

充要关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题

的关键.

【变式训练】

1.已知p：KW2,q：(%—tz)(x—(2—1)<0,若夕是q的充要条件，则实

数。的值为」

2

2.已知p：4x+m<0,q：x—x—2>0,若夕是q的一个充分不必要条件，

求m的取值范围.

［解析］*.*4x+m<0,.*.x<—

・)m

P4

*.'x2—%—2>0,.*.x<—1或x>2,

:・q：x<-1或x>2.

■:p=q，「・一・••加24.

4

即m的取值范围是［4,+°°).

名师讲坛•素养提升

一、抽象命题间充要条件的判定

彳列已知P是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q

是s的必要条件，现有下列命题：①「是q的充要条件；②P是q的充分不必要

条件；③「是q的必要不充分条件；④㈱?是㈱s的必要不充分条件；⑤r是s

的充分不必要条件，则正确命题的序号是(B)

A.①④⑤B.①②④

C.②③⑤D.②④⑤

［分析］本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”.

［解析］由题意得夕M,显然q0r且

q,即qQr,①正确；p=>r=>s=>q且q#p,②正确；9q,③错误；由夕

知㈱sn㈱夕，但s与力夕/④正确；ru>s,⑤错误.故选B.

名师点拨：

命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然.

【变式训练】

若P是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则夕是q的必要不充分

条件.

［解析］由题意可知q台「寿，是q的必要不充分条件.

二、突破双变量“存在性或任意性”问题

逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变

量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价

转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养

学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.

/T||已知/（x）=ln（'+l）,g（砂=（；）'-"若对于

I，JVMe［0,3］,王?6［1,2］,使得/（的）,

11

_\G

I-+8(B8-

L474

A.c_11

-+8ADG8-

_373

Vx!e［0,3］是.指/,)在［0,3］上的每一个函

数值即最小值.

此e［1,2］匙指g㈤在［1,2］上有一个函数

值即最小值.

［解析］当X©［0,3］时，»min=^0)=0,

当时，g(x)min=g(2)=；一机，

由/(X)min>g(X)min得02;加，所以机

［引申1］把本例中“力201，2厂改为："Vxf

［1,2］",其他条件不变，则实数m的取值康是

------------4

mNg.丫七e［1,2］是指在［1,2］上的

--每一个值即最大值.

［解析］当XG［O,3］时，〃)min=/(O)=O,

当时，g(X)max=g(l)=1—W,

由义X)minNg(X)max得。三1一机，所以机三^.

［引申2］把本例中,VaG［0,3］改为讶］e［o,3］

其他条件不变，则实数机的取值范围是机-In10.

串］€［0,3］龟指/&)在［0,3］上有一个函

数值即最大值.

［解析］当X©［0,3］时，»max=/(3)=ln10,

当X@［l,2］时，g(x)min=g(2)=^—m,

由义X)maxNg(X)min得In10三；一机，

所以10.

4

［o,3］龟指/%)在［0,3］上有一个

函款值即最大值.

［引申3］把本例中,\/七目(),3］闩尤2日1,2］改

^3^G［0,3］，V^2e［i,2］,其他条件不变，则实数

加的取值范围是加斗-In10.

V/2e［1,2］是指g%)在［1,2］上的每一个

函数值即最大值.

［解析］当xG［0,3］时，»max=/(3)=ln10,

当X@［l,2］时，g(X)max=g(l)=；—机，

由义X)max》g(X)max，

得In10^--m,

2

所以In10.

2

名师点拨:

对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函

数值域(或最值)解决.

【变式训练】

已知函数义x)=e'—e,g(x)=lnx+l,若对于Vxi©R,3x2e(0,+°°),使得

“Xl)=g(X2),则Xl-X2的最大值为(D)

A.eB.1—e

C.1D.1--

e

［解析］不妨设｛xi)=g(%2)=Q,/.exi—e=lnx2+l=^,/.xi=ln(«+e),X2

=e「I故xi_X2=ln(a+e)_eLi(a>—e).令/z(a)=ln(a+e)—e。—I则h'(a)=」一

a+e

—易知力'(a)在(一e,+8)上是减函数,且力(o)=o,故为(a)在a=0处

有最大值，即XI—X2的最大值为1—1

e

提能训练练案［2］

A组基础巩固fJ

一、单选题

1.(2024•江西阶段练习)下列命题中的假命题为(D)

A.VxGR,^>0B.sin-=1

2

C.Inx<lD.VxEN,x2>0

［解析］对于A中，根据指数函数的性质，可得e、>0恒成立，所以

A是真命题；对于B中，当x=l时，sin-=1,所以命题sin”=1为

22

真命题；对于C中，根据对数函数的性质，当x£(0,e),可得所以命

题Inxvl为真命题；对于D中，当x=0时，x2=0,所以命题

x2>0为假命题.

2.命题3x>0,x2—ax+b>0”的否定是(D)

A.3x>0,qx+bWO

B.x2-ax~\-b>0

C.VxWO，N—qx+bWO

D.Vx>0,N—

［解析］根据特称命题与全称命题的否定关系即可求解.因为命题“女>0,

%2一办+6>0”为特称命题，其否定为全称命题，即为：Vx>0,/一办十人忘。，

故选D.

3.命题“Vx>0,恸+%20”的否定是（B）

A.3x<0,恸+xWO

B.3x>0,|x|+x<0

C.Vx>0,|x|+x^0

D.Vx^O,|x|+x<0

［解析］含有全称命题的否定，需将全称改为特称，并且对命题否定.命题

aVx>0,恸+x20”的否定是三%>0,恸+xvO.故选B.

4.（2023•南充市第一次适应性考试）“2=60。”是“cosZ=［”的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］2=60°今cosZ=3，cos^4=^7i=±600+A：-3600,左©Z,所以"Z=

60。”是“cosZ=l”的充分不必要条件.

2

5.“角幺不大于：'是“角Z属于第一象限角”的（D）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］根据任意角的定义，即可判断.角Z不大于今有可能角Z是个负

角，可以是任意一个象限的负角，反之，若角z属于第一象限角，则角z可以

是学尝，则“角z不大于卜是“角z属于第一象限角”的既不充分也不必要条

444

件.故选D.

6.（2021•北京高考）设函数义x）的定义域为［0,1］,则“函数人x）在［0,1］上单调

递增”是“函数义x）在［0,1］上的最大值为人1）”的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］前推后，一定成立.后推前，若义x）在［0,1］上的最大值为人1）,则加）

未必在［0,1］上单调递增，如开口向上对称轴为的二次函数.故选A.

7.（2022•江苏南京市宁海中学模拟预测）若命题"Vx£［l,4］时，机”是假

命题，则机的取值范围是（B）

A.机三16B,机三1

C.机<16D.m<\

［解析］因为"Vx©［l,4］,制”是假命题，

则其否定x2<m"为真命题，

则（x2）minW机，

而当X=1时，f取得最小值1,

所以机>1,故选B.

8.已知等比数列｛©,｝的前〃项和为a,则％1>0”是“52。23>0”的（C）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

—023、1—023

［解析］当qWl时，&023=,由于>0,故ai>0=S2023>0

1~q1~q

为充要条件.当q=l时S2023=2023ai,故m>0QS2023>0为充要条件.因此选

C.

二、多选题

9.下列命题错误的是（ABC）

A.VxG{11,1},2x+1>0

B.BxEQ,x2=3

C.Vx@R,x2—1>0

D.3xGN>|x|WO

［解析］结合含有量词的命题真假检验各选项即可判断.当x=~l时，A显

然错误；当好=3时，x显然不是有理数，B错误；当x=l时，C显然错误；当

x=0时，D显然成立.故选ABC.

10.下列说法中正确的是（AD）

A.若数据XI,X2,…，X”的方差d为0,则此组数据的众数唯一

B.已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11,则该组数据的第40百分位数为6

C.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值

越大

D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越

高

［解析］根据方差和平均数、众数，百分位数，相关系数和残差图的意义，

对选项中的问题分析判断即可.数据XI,X2,…，X”的方差§2为0时，则此组数

据与平均数相同，所以众数唯一,选项A正确;数据2,3,5,7,8,9,9,11,且8X40%

=3.2,所以该组数据的第40百分位数为第4个数，是7,选项B错误；若两个

具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近1,

所以选项C错误；残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟

合精度越高，选项D正确.故选AD.

11.下列说法正确的是（BC）

A."ac=bc”是“a=b”的充分不必要条件

B.“工4”是的既不充分也不必要条件

ab

C.若是“XRB”的充分条件，则ZU5

D.、>6>0”是“废>6（〃6N,〃三2）”的充要条件

［解析］A项，ac=bc不能推出。=5,比如a=l,b=2,c=0,而a=b可

以推出ac=bc,所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件，故错误；

B项，工4不能推出心儿比如1>—1,但是2>—3；不能推出1>：,比如

ab23ab

—2<3,一!<!，所以"1>："是的既不充分也不必要条件，故正确；

23ab

C项，因为是“xRB”的充分条件，所以xdN可以推出即

AQB,故正确；

D项，a">b"(〃@N,〃三2)不能推出a>5>0,比如a=l,b=O,l">O"(〃GN,

〃>2)满足，但是。>步0不满足，所以必要性不满足，故错误.

12.(2023・临沂模拟)下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是

(ABD)

A.xc2>yc2B.12<0

xJ

C.\x\>\y\D.lnx>lny

［解析］对于A选项，若比2>*2,则02/0,

则x>y,

反之x>y,当c=0时得不出xc2>jc2,

所以“比2»C2”是“x»”的充分不必要条件，

故A正确；

对于B选项，由Ho可得j<x<0,

XJ

即能推出x>y；

但x>y不能推出L10(因为x,y的正负不确定)，

%y

所以“LI。”是“x>y”的充分不必要条件，

xy

故B正确；

对于C选项，由恸>例可得x2>y2,

则(x+_y)(x—j)>0,不能推出x>y；

由也不能推出园>|y|(如x=l,y=-2),

所以‘切>讨'是“x*”的既不充分也不必要条件，故C错误；

对于D选项，若lnx>lny,则x>y,反之x>y得不出lnx>lny,

所以“Inx>lny”是“x»”的充分不必要条件，

故D正确.

三、填空题

13.（2024•河北藁城新冀明中学月考）命题“VA0,方程N+x—QO有实根”

的否定为一三人>0,方程N+x—>=0无实根.

［解析］全称量词命题的否定是存在量词命题，

命题“V左>0,方程好十工一左=0有实根”的否定为：3^>0,方程》2+》一左=

0无实根.

14.下列命题中的假命题是一③_（填序号）.

①icGQ,使2x一三=0；②icGR,sinxWO；③存在钝角三角形的内角不

是锐角或钝角；④VX1>X2,2x62x2.

［解析］当x=0时，2x—V=0,①为真命题.

当》=四时，sinx=lWO,②为真命题.

2

因为任意的钝角三角形，其内角和是180。，所以内角是锐角或是钝角，所

以③为假命题.

由指数函数的性质知，VX1>X2,2X1>2X2,④为真命题.

15.（2023・潍坊一中月考）若a,6都是实数，试从①ab=O；②a+b=O；③

a（a2+b2）=0；@ai>>0中选出适合的条件，用序号填空.

（1）“a,6都为0”的必要条件是①②③；

（2）“a,b都不为0”的充分条件是④；

（3）“a,6至少有一个为0”的充要条件是①.

［解析］①ab=0Qa=0或6=0,即a,6至少有一个为0；

②a+b=O=a,b互为相反数,则a,6可能均为0,也可能为一正一负；

<2=0,

d）（2（a2+z）2）=o<=>a=o或j=0.

a>0,la<0,

④ab>O='6>o或［*0则口，办都不为0.

若a,6都为0,则①②③成立，"a,b都为0”的必要条件是①②③；

当④成立时，a,6都不为0,二”a,6都不为0”的充分条件是④；“a,b至

少有一个为0”的充要条件是①.

16.已知命题p：3xe［l,4］,^+x>4是假命题，则实数。的取值范围是」二

X

8,0］.

[解析]将问题等价转化为Vx©[l,4],2+xW4恒成立，利用二次函数的性

X

质即可求解.命题）：BxG[1,4],2+x>4是假命题，即命题Vx@[l,4],®+xW4

XX

是真命题，也即aW一炉+以在[1,4]上恒成立，令/（%）=—》2+以=一（》-2）2+4,

因为x©[l,4],所以当x=4时函数取最小值，即道x）min=/（4）=0,所以aWO.

B组能力提升

1.孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数量最多，分布最

广的虎亚种.孟加拉虎有四种变种，分别是白虎（全身白色，有黑色斑纹），雪虎

（全身白色，有淡淡的黑色斑纹），金虎（全身金黄色，有黑色斑纹），纯白虎（全身

白色，没有斑纹）.已知甲是一只孟加拉虎，则“甲是纯白虎”是“甲全身白色”

的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析]根据充分、必要条件的知识对问题进行分析，从而确定正确选项.由

“甲是纯白虎”可推出“甲全身白色”，由“甲全身白色”不能推出“甲是纯白

虎”，所以“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的充分不必要条件.故选A.

2.（多选题）下列命题不正确的是（BC）

A.、>1"是的充分不必要条件

a

B.命题“任意X<1,都有》2<1”的否定是“存在使得小>1”

C.设X,yCR,贝1J”x22且是''2+俨三8”的必要不充分条件

D.设a,则“aWO”是“ab^O”的必要不充分条件

[解析],而有』<1,不一定有a>l,如a=-1,"a>l"是"1<1"

aaa

的充分不必要条件，A正确；命题“任意X<1,都有》2<1”是全称量词命题，其

否定是“存在X<1,使得好三1”，B错误；因为xN2且成立，X2+俨三8

必成立，即。三2且y22”是“炉+/巳8”的