2024年高考数学专项复习：直线与圆

专题07直线与圆

2024年真题研析

一、多选题

1.(2024新高考II卷•10)抛物线C：丁=4尤的准线为/,尸为C上的动点，过尸作

OA:Y+(y-4-=1的一条切线，。为切点，过P作/的垂线，垂足为8,贝IJ()

A.1与。A相切

B.当尸，A,8三点共线时，|尸。|=后

C.当|PB|=2时，PA±AB

D.满足1尸4月夫为的点P有且仅有2个

【答案】ABD

【分析】A选项，抛物线准线为x=T,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B

三点共线时，先求出尸的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|尸耳=2先算出尸的坐标，

然后验证％MKB=T是否成立；D选项，根据抛物线的定义，|尸明=归耳，于是问题转化

成1PH=仍尸|的尸点的存在性问题，此时考察"的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可

直接设P点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线V=4x的准线为x=-l,

。4的圆心(0,4)到直线厂一1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和OA相切，A选项正确；

一、单选题

1.(2023新高考I卷-6)过点(0,-2)与圆f+y-4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,则

sina=()

A.1B.姮C.典D.逅

444

【答案】B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线

的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可

得公+8左+1=0,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为/+4x-l=0,即（x—2y+y2=5,可得圆心C（2,0）,半径

r=A/5，

过点尸（0,-2）作圆C的切线，切点为A,B,

因为|P<="2+（_2）2=24,贝！J|PA|=J|PC『一「=JL

h劣曰•/AV5V10V3^6

可sin^APC=—产=---,cos尸C=—产=—,

27242夜4

贝（IsinZAPB=sin2NAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x巫x^=巫，

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即/AP3为钝角,

所以sina=sin（兀一ZAPS）=sinZAPB=

法二：圆/+、2-4*-1=0的圆心C（2,0）,半径r=百,

过点P（0,-2）作圆C的切线，切点为A,B,连接AB,

可得|PC|=衣+（一2）2=2后，则\PA\=\PB\=产=也，

因为|_21cosZAPS=|一21CB|cosZAC8

S.ZACB=Ti-ZAPB,贝1|3+3—6cosZAP5=5+5-10COS（TI-ZAP5）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosZAPB=--<0,

4

即/AP3为钝角，贝!Jcosa=COS（JT-NAPZ?）=-COSNAPB=；,

且a为锐角，所以sina=—cos2a=些5；

方法三：圆尤2+/_以-1=0的圆心C（2,0）,半径r=百,

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为y=履-2,即近7-2=0,

则'/,==15,整理得上2+8左+1=0,且△=64—4=60>。

“2+1

设两切线斜率分别为k3k”则kx+k2=-8,%=1,

可得上_左21=1（ki+&y—4上他=2V15，

所以tana=}=岳,即2吧=小，可得cosc=^

1+kxk2cosavl5

nta.22-2sina1

叫!Jsina+cosa-sina-x------=1，

15

且ae（0,兀），贝！］sina>0,解得sina=.

故选：B.

2.（2022新高考H卷-3）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA',BB',CC',£>r>'是桁，相

邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中

O2，CG，84，AA是举，on，£>G，s，%是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

奈=°57^=加7^=%，胃1=心•已知匕，白，％成公差为0」的等差数列，且直线Q4

D/\

的斜率为0.725,则/二（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】设。〃=。6=。?|=网=1,则可得关于％的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设。A=DQ=C4=网=1,则CC,=k「BBi=",

DP,+Cq+BB+AA

依题意，有&-0.2=-0.1=笈2，且ll=0.725,

。2+DC1+CT+B4

所以生乎空=°侬，故-。-9,

故选：D

二、填空题

3.（2022新高考I卷•14）写出与圆炉+^］和（茏-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的

方程.

【答案】y=-J3龙+］5或〉=£7工一2皂5或x=-l

442424

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】［方法一］：显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x+〃y+c=o,

工B©」|3+4Z?+c|

于是右岸印'

Jl+Z?2

故。2=1+廿①，|3+4Z?+c|=|4c|.于是3+4〃+c=4c或3+48+c=Tc,

,244

再结合①解得I或，或<

c=l255

1c=---c=——

[7〔3

所以直线方程有三条，分别为x+l=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.

（填一条即可）

［方法二］:设圆V+y2=l的圆心0（0,0）,半径为a=1,

圆(X—3)2+(y—4)2=16的圆心C(3,4),半径々=4,

^\OC\=5=rl+r2,因此两圆外切,

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+l=O符合题意；

又由方程(尤-3)2+”-4=16和Y+/=1相减可得方程3尤+4y-5=0,

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0,

4

直线OC与直线x+l=O的交点为

设过该点的直线为y+0"(x+i),则，T解得左=三，

3行」24

从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可)

［方法三］:圆/+丁=1的圆心为。仅⑼，半径为1,

圆(x-3)~+(>-4)2=16的圆心。1为(3,4),半径为4>

两圆圆心距为斤彳=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,

如图，

当切线为1时，因为％=耳4，所以勺=-3=,设方程为y=-33+k>0)

d=­=1535

O到1的距离rJ~"v，解得/=],所以i的方程为＞=-；%+],

，

V+l6444

当切线为m时，设直线方程为依+y+p=0,其中。＞0,k＜0,

k」

y/1+k224725

由题意＜，解得—x-----

|3左+4+p\252424

P=---

V1+F24

当切线为n时，易知切线方程为--1,

故答案为：y=3》+51或＞=三7元一2§5或x=-l.

442424

4.（2022新高考H卷15）设点A（-2,3）,3（0,“），若直线AB关于y=。对称的直线与圆

5+3f+㈠+2）2=1有公共点，则a的取值范围是

【答案】

【分析】首先求出点A关于y="对称点A的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直

线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解：4（-2,3）关于y=o对称的点的坐标为A（-2,2a-3）,8（0,。）在直线y

上，

所以A3所在直线即为直线/,所以直线/为尸二x+a,即S-3）x+2y-24=0；

圆C:（x+3y+（y+2）2=l,圆心C（—3,—2）,半径厂=1,

依题意圆心到直线I的距离d=

“"3)2+22

1313

即（5-54）92＜（“一3）9一+22,解得即“e

D乙乙.

-13一

故答案为：j,-

5.（2023新高考H卷J5）已知直线/：x-7町+1=0与。C:（尤—iy+y2=4交于A,8两点,

Q

写出满足“AABC面积为的m的一个值_____

【答案】2（2,-2,，-3中任意一个皆可以）

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|相|,以及点C到直线AB的距离，结合面

积公式即可解出.

【详解】设点C到直线48的距离为d,由弦长公式得|A邳=2"-/,

所以力,=：'4'2>/4-/=5,解得：［=述或］=也，

2355

,,|1+1|2-r24A/5„22后曲伯C-

由d==./；，所以1-------或/-----------7=^^，解得：加=±2或

y/l+mVl+mNl+m5<l+m5

m=±—.

2

故答案为：2（2,-2,；,-g中任意一个皆可以）.

必备知识速记

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线/与x轴相交，则以了轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角称

为直线/的倾斜角，通常用分，2,…表示

（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围ae［0,万）

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为a,则a的正切值称为直线的斜率，记为左=tana

（1）当&=工时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）倾斜角a与斜率上的关系

当左=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当左>0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随左的增大而增大;

当左<0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随左的增大而增大;

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，4（苞，％）,8（尤2，%）则左="—―

X2—X]

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若％=々，则直线AS的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

4、三点共线

两直线AB,AC的斜率相等-4B、C三点共线；反过来，AB、C三点共线，则直线

AB,AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.

二、直线的方程

1、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-yi=k(x-x1)不含垂直于无轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y一%二

两点式不含直线％=芭（％A%）和直线＞=

%一X"不

截距式w不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+Bj+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+B?w0)

2、求曲线（或直线）方程的方法

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法

则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方

程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

3、线段中点坐标公式

若点6的坐标分别为（百，%）,（马，为）且线段48的中点M的坐标为（X，＞），贝U

X+M

X=-----

＜2，此公式为线段的中点坐标公式.

/V=2

4、两直线的夹角公式

若直线y=《x+4与直线y=+的夹角为a,贝l]tana=f2,，

1+卒2

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

4:4%+与,+£=0A^B2—A2Bl=0且

W+BXB2—o

1?:4%+32y+c?=o81G—B?C]w0

/•y=k,x+b,'一一,

:71（斜率存在）

左=后2,4或

i2'-y=k2%+%匕•%=-1或尤与&中有一个为0,

,“二"(斜率不存在)X=Xy,X=X2,XlW%2另一个不存在.

l2:x=x2

四、三种距离

1、两点间的距离

平面上两点片(%,%),6(尤2,%)的距离公式为I<61=依-")2+(乂-%)2-

特别地，原点o(o,0)与任一点P(尤,

2、点到直线的距离

点心(尤0,%)到直线l-.Ax+By+C=0的距离』=四瑁型士£1

A/A2+B-

特别地，若直线为/：x=m,则点《(%,%)到/的距离d=|〃LXol；若直线为/：y=n,则点

月(%,%)到I的距离d=|n-y0I

3、两条平行线间的距离

已知44是两条平行线，求4,间距离的方法：

(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

(2)设/i：Ar+Bv+C1=0,/2：Ac+By+G=0,则？与I,之间的距离d=

A/A2+B2

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

4、双根式

双根式f(x)=g2+ax+q土)生/+刈彳+生型函数求解,首先想到两点间的距离，或者

利用单调性求解.

五、圆

1、圆的四种方程

(1)圆的标准方程：(x-a>+(y-6)2=产，圆心坐标为(a,b),半径为r(r>0)

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为

DE\业以y/D2+E2-4F

—,,半径r=

22)2

(3)圆的直径式方程：若4(和％),3(々,％)，则以线段A8为直径的圆的方程是

(%-%1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

2、点与圆的位置关系判断

(1)点尸(%,%)与圆(x-a『+(y-b)2=r-的位置关系:

①(无一。)2+(y-b)2>/O点尸在圆外;

②(尤-a)。+(y-b)2=尸o点P在圆上;

③(x-a)2+(y-b>=点尸在圆内.

(2)点尸(%,%)与圆尤2+/+瓜+4+p=(J的位置关系:

①x；+y；+Dx。+号0+尸>0=点P在圆外;

②片+y；+£)尤0+号0+/=0O点P在圆上;

:)

③*+尤+瓜()+坳)+e<00点7在圆内.

六、直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系判断

(1)几何法(圆心到直线的距离和半径关系)

圆心(°力)至1|直线Ax+By+C=Q的距离，则d=IA忆"+。.

VA2+B2

d<ro直线与圆相交，交于两点尸,。，|人。|=242一相；

d=ro直线与圆相切；

d>ro直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

（Ax+By+C=Q

由+（y-b）2=〃'

消元得到一元二次方程px2+qx+r=0，px2+qx+r=0判别式为4,贝U：

A>00直线与圆相交；

A=0o直线与圆相切；

A<00直线与圆相离.

七、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆0,02的半径分别是（不妨设R>r）,且两圆的圆心距为d,贝必

d<R+r=两圆相交；

d=R+厂<=>两圆外切；

R-r<d<R+r=两圆相离

d=R-r=两圆内切；

0<d<R-ro两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【直线与圆常用结论】

一、直线

1>点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点尸（不，为）关于点e（x0，为）的对称点为

Xj+x2

P(%,%)，则根据中点坐标公式，有V2

%=

2

可得对称点P'(x2，为)的坐标为(2%-不，2%-%)

2、点关于直线对称

点,%)关于直线/:Ar+为+C=0对称的点为尸'(马，％)，连接PP，交/于Af点,

则/垂直平分尸尸，，所以尸P,/,且加为pp中点，又因为"在直线/上，故可得

k1,kppr——1

解出(々，必)即可•

A^JA±AC

2+B2+=0

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再

由两点式求出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4、直线关于直线对称

求直线4:亦+6y+c=0，关于直线(：公+0+f=O(两直线不平行)的对称直线4

第一步：联立6算出交点P(x。，％)

第二步：在4上任找一点(非交点)0(%,%),利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称

点。'(々，力)

第三步：利用两点式写出4方程

5、常见的一些特殊的对称

点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于V轴的对称点为(-x,y).

点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,尤)，关于直线丁=-%的对称点为(-y,-x).

点(x,y)关于直线尤=。的对称点为(2a-x,y),关于直线y=6的对称点为(x,2b-y')-

点(x,y)关于点(a,6)的对称点为(2a-x,2b-y)-

点(x,y)关于直线x+y=上的对称点为(左-y,k—x)＞关于直线x-y=Z的对称点为

(k+y,x-k)■

6、过定点直线系

过已知点P(尤0,%)的直线系方程y-%=^(x-尤0)(左为参数).

7、斜率为定值直线系

斜率为人的直线系方程y=区+6(6是参数).

8、平行直线系

与已知直线Ax+By+C=O平行的直线系方程Ar+By+；l=O(%为参数).

9、垂直直线系

与已知直线Ar+珍+C=0垂直的直线系方程&-Ay+4=0(力为参数).

10、过两直线交点的直线系

过直线4：Ax+4y+G=o与4：4x+B2y+G=o的交点的直线系方程：

Ax+8]y+G+彳+z?2y+C])=0(4为.

二、圆

1、圆的参数方程

①/+V=产(/>0)的参数方程为卜="°s"(，为参数)；

[y=rsin^

@(x-a)2+(y-Z?)2=r2(r>0)的参数方程为一"+((9为参数).

[y=b+rsinO

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为

(a+rcos0,b+rsin0)(。为参数，(a,匕)为圆心，r为半径)，以减少变量的个数，建立三

角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解

最值.

2、关于圆的切线的几个重要结论

2

(1)过圆/+y2=/上一点P(x0,%)的圆的切线方程为xox+yoy=r-

2

(2)过圆(x—a)?+(y—b)2=r上一■点P(x0,%)的圆的切线方程为

(%-a)(x-a)+(x)-b)(y-b)=户

(3)过圆x2+y2+Dx+段+户=0上一点尸(％,%)的圆的切线方程为

xttx++D-x；"。+E-寸+尸=0

(4)求过圆/+V=/外一点尸(%,%)的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为

y-y0=k(x-x0),利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出必直.若求

出的女值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的女值只有一个，则说明斜

率不存在的情形符合题意.

名校模拟探源

一、单选题

1.（2024・江西新余•二模）已知直线了—0=0交圆C：/+/一2瓜一2y=0于N两

点，贝『'△MCN为正三角形''是"a=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出圆的圆心及半径后，结合正三角形的性质可计算出当为正三角形时。

的值，结合充分条件与必要条件定义即可判断.

【详解】由C：/+/一2&一2y=0可得其圆心为半径厂=2,

-k/3-a

圆心到直线x一殴=0的距离

V1W

若以1办为正三角形，则有"

即a2+go=0,解得a=0或a=-币,

故"4MCN为正三角形”是“a=0”的必要不充分条件.

故选：B.

2.（2024.陕西西安.三模）若过点P（0,l）可作圆/+'2_2计4>+0=0的两条切线，则。的取

值范围是（）

A.（3,+oo）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5,+oo）

【答案】C

【分析】根据点在圆外即可求解.

【详解】圆炉+y2-2x-4y+a=0,即圆+（丁一2）2=5-a,贝!）5-a>0,解得〃<5.

过点尸（0,1）有两条切线，则点P在圆外，J（l_0y+（2_1）2>^/^,即2>5-a,解得

a>3.

故3<a<5.

故选：C

3.（2024•北京•三模）已知A（-l,0）,8（1,0）,若点P满足PAJLPB,则点尸到直线

/:〃Z（X-A/§）+〃GT）=0的距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先确定尸的轨迹以及直线/过的定点，再根据圆的性质特点求最值.

【详解】由尸A，依可得点尸的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为（0,。），半径为1,

又直线/:w（x-百）+〃（y-l）=0>其过定点（抬,1）,

故距离的最大值为"71+1=3.

故答案为：C

4.（2024・四川成都•三模）已知直线4：x-ay+l=。©C:（x-a）2+（j；-l）2=1相交于

A3两点，若AASC是直角三角形，则实数a的值为（）

A.1或-1B.币或一币C.或-1D.-y或

【答案】A

【分析】根据题意ULBC是等腰直角三角形，可得圆心C到直线4的距离为正，利用点

2

到直线的距离公式求解.

【详解】根据题意，圆C的圆心半径厂=1,易知AASC是等腰直角三角形，

-a+

解得a2=1)

所以。=1或-1.

故选：A.

5.（2024•湖南邵阳•三模）已知直线/：尤-y-2=0与圆0：x2+y2=l,过直线/上的任意

一点尸作圆。的切线P4,PB,切点分别为A,B,则的最大值为（）

3兀27r7T71

A.—B.—C.—D.一

4326

【答案】C

【分析】由题意可得sinNAP。=血，可知当OP最小时，ZAPB最大,结合点到直线的

距离公式运算求解.

【详解】由题意可知：圆0:/+/=1的圆心为0(0,0),半径为1,

121

则圆心。到直线/的距离为戈=0>1,可知直线/与圆。相离,

OA1

因为且

NAP3=2/APO,sinNAPO=OP~\OP\*

当|OP|最小时，贝Usin/APO最大，可得ZAP。最大，即44P3最大,

又因为|。目的最小值即为圆心。到直线/的距离为

sinZAPO=—,ZAPO=-,所以NAP3取得最大值色.

242

故选：C.

6.(2024.重庆•二模)已知圆。:1+丁=3,尸是圆。外一点，过点p作圆0的两条切线，切

点分别为A,8,若=则|8|=()

A.76B.3C.273D.后

【答案】C

【分析】设ZAPO=/BPO=a,|OP|=x(x>有)，可得cos/APB=1-：，进而可得

PAPB=|PA|2cosZAPB=|=>(x2=|,求解即可.

【详解】由/+丁=3,可得圆心。(0,0),半径厂=6,

A

P

设ZAPO=ZBPO=a,\OP\=x(x>百),

贝(Isincr=,coscr="JPA|=|PB|=^x2-3,

26

cos^APB=COS2<7=1-2sina=l——-,

x

贝!]有而.而=|可12cosZAPB=|=(X2_3)1]_§)=2

n2xJ27f+36=0,

解得(2炉-3)(X2-12)=0,-.-%2>3,.-.X2=12,即x=.

故选：C.

7.(2024.北京.三模)已知圆C:(x-白『+(y-l)2=i和两点A(T,0),B«,0)«>O),若圆

C上存在点P,使得声.而=0，贝！R的取值范围为()

A.(0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【答案】B

【分析】由西.方=0知点尸的轨迹方程是以A3位直径的圆，可得卜-1区|0。<，+1,即

可求出f的取值范围.

【详解】可•而=0说明尸在以为直径的圆1+丫2=/上，

而尸又在圆C上，因此两圆有公共点，

则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，

所以1T<|OC|Wf+l,gp|f-l|<2<r+l,又f>0,解得1MY3.

故选：B

8.（2024.山东烟台•三模）若圆尤2+9+办+血了+2。-3=0与％轴没有交点，则实数。的

取值范围为（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,-H»）

【答案】C

【分析】求出圆心坐标利用几何法得到不等式，解出即可.

【详解】x?+y?+以+^y+2a-3=0即（尤+'l'J+y+=^a2-2a+^-,

—6r—2。H—>0,解得。<3或a>5,

44

且其圆心坐标为若该圆与x轴没有交点，

则-2a+g解得“«2,3）U（5,6）

故选：C.

9.（2024.北京.三模）已知直线/:ax+（a+l）y+2=0,H0:x2+/=16,下列说法箱卷的

是（）

A.对任意实数。，直线/与圆。有两个不同的公共点；

B.当且仅当。=-；时，直线/被圆。所截弦长为4贝；

C.对任意实数。，圆。不关于直线/对称；

D.存在实数。，使得直线/与圆。相切.

【答案】D

【分析】求出直线/所过的定点，并判断该定点与圆。的位置关系，再逐项分析判断即可

得解.

fx+y=0fx=2

【详解】直线/：。（尤+y）+y+2=o,由:…解得.即直线/恒过定点

U+2=01y=-2

A（2,-2）,

圆。的半径r=4,|OA|=722+（-2）2=2V2<4,即点A（2,-2）在圆。内,

对任意实数。，直线/与圆。有两个不同的公共点，A正确，D错误；

直线/不过圆。的圆心，因此对任意实数“，圆。不关于直线/对称，C正确；

直线Q4的斜率上=-1,当时，直线/的斜率为---=1,因此直线

2a+1

此时直线/被圆。所截弦是过点A的最短弦，最短弦长为262Tom2=4a,

因此当且仅当“=-之时，直线/被圆。所截弦长为4&，B正确.

故选：D

10.（2024•江西鹰潭・三模）已知机ER,直线4:如+>+2加=0与6：X-冲+4加=0的交点

P在圆C：（%-3）2+（广4）2=/（『>0）上，贝"的最大值是（）

A.4A/2B.3亚C.2乖D.375

【答案】D

【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得P点轨迹方程，再由圆与

圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.

【详解】易知直线4：困+V+2m=0恒过定点A（-2,0）,

直线l2-.x-my+4m=。恒过定点B（0,4）,

且机X1+1X（T〃）=0,易知直线4与互相垂直，即可得ZAPB=90°,

所以尸点轨迹是以A3为直径的圆，圆心为A8的中点（-L2）,半径为正；

可得P点轨迹方程为（x+if+（y-2）2=5；

又因为尸点在圆C上，所以可得圆（x+iy+（y-2）2=5与圆C有公共点，

当两圆内切（圆C在外）时，厂取得最大值；

此时满足J（3+iy+（4-2）2=/-解得厂=3百.

故选：D

二、多选题

11.(2024.湖南长沙.三模)已知圆C:(x+2『+y2=4,直线

Z:(m+l)%+2_y-l+/7i=0(meR),贝|()

A.直线/恒过定点

B.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.直线/与圆C可能相切

D.若圆C与圆尤2+丁-2》+8,+。=0恰有三条公切线，则a=8

【答案】AD

【分析】本题先根据直线1的方程判断出直线1恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关

系，可解决选项A和选项C的问题；根据圆心到直线/(机=。)的距离判断满足条件点的个

数，可解决选项B的问题；由选项D的条件可得两圆外切，由此可求得参数a的值.

【详解】由直线/:(〃？+l)x+2y-l+机=。(机eR),得w(x+l)+x+2y-l=0,

(x+1=0(x=—l

因为小wR,则满足g[八，解得]，

[x+2y-l=0[y=l

所以直线恒过定点(-1,1),故选项A正确.

因为当机=0时，直线/为:x+2y-1=0,

则圆心C(-2,0)到直线/的距离为

则此时直线/与圆相交所得劣弧的顶点到直线/的距离4=2-警e(0,1),

所以圆上只有2个点到直线的距离为1,故选项B错误.

因为直线/过定点(-1,1),又(-1+2)2+12<4,

所以定点在圆内，则直线/与圆C一定相交，故选项C错误.

由圆的方程x2+y2-2x+Sy+a=0可得，(x—l)2+(^+4)2=17—a,

所以圆心为(LT),半径为

因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，

则“1+2）2+（0+4）2=5=2+117-a,解得a=8,故选项D正确.

故选：AD.

12.（2024•山西临汾•三模）已知是以C（l,2）为圆心，血为半径的圆上任意两点，且

满足CEJ.CF,尸是砂的中点，若存在关于（3,0）对称的A8两点，满足丙.而=0,则

线段AB长度的可能值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】BCD

【分析】由已知得出尸点轨迹是以c为圆心，1为半径的圆，得出1Pq的范围，再结合直

角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出范围，进而判断出答案.

【详解】因为CE，C£|CE|=|（才|=夜，

所以忸制=J|CE[+|c歼=2,

因为P是斯中点，所以|”|=义所|=1,

所以尸点轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

设（3,0）为点则|C£）|=J（l_3）2+（2_0）2=^/^=2夜,

所以|尸。以20-1,2&+1],

又可•丽=0，A8两点关于点0（3,0）对称，

所以AP/R为直角三角形，且。为斜边48中点，贝！）|筋|=2|「4，

所以|"04应-2,4忘+2],

故选：BCD.

13.（2024•河南郑州三模）已知直线/:原+勿+1=0（a,不同时为0）,圆

C:x2+y2-2x=0,贝!]（）

A.当从一2a=1时，直线/与圆C相切

B.当a+b=-2时，直线/与圆C不可能相交

C.当。=1/=-1时，与圆C外切且与直线/相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线

D.当。=1,6=-1时，直线/与坐标轴相交于A8两点，则圆C上存在点尸满足

PAPB=0

【答案】ACD

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离

即可判断A,利用特殊值判断B,根据抛物线的定义判断C,求出以48为直径的圆的方

程，即可判断两圆相交，从而判断D.

【详解】圆+丁-2》=0即（》一1）2+9=1,圆心为C（l,0）,半径r=l；

对于A：若/一2a=1,则圆心到直线的距离

”匕+1|_|。+1|—匕+1|「一

[a'+HJ42+2cl+1J（a+1『，

所以直线/与圆C相切，故A正确；

对于B：当a=0,6=-2时满足。+6=-2,此时直线方程为了=-;，

则圆心到直线的距离为：＜小显然直线与圆相交，故B错误；

对于C：当。=1,6=-1时直线/:x-y+l=0,则直线x-y+l+四=0与直线/平行，

1+V2-1

"+（-以

依题意动圆圆心到直线X7+1+右=。的距离与到C。,。）的距离相等,

且点C(1,O)不在直线x-y+l+&=0上，

根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物线，故C正确；

对于D：不妨令5(0,1),A5的中点为又|钻|=0,

所以以为直径的圆的方程为卜+

X\CD\=1-1-1J+Q-OJ=^2<^+1,所以圆。与圆C相交，

14.(2024.山东青岛•三模)已知动点M,N分别在圆£:(x-iy+(y-2)2=l和

C2:(尤-3)2+(y-4)2=3上，动点尸在x轴上，则()

A.圆C?的半径为3

B.圆G和圆C?相离

C.|PM|+|PN|的最小值为2&U

D.过点P做圆G的切线，则切线长最短为指

【答案】BD

【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆G关于x对称的圆方程，利用圆的性

质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.

【详解】圆G的圆心51,2),半径a=1,圆C?的圆心C?(3,4),半径2=6，

对于A,圆G的半径为白，A错误；

对于B,|CCI=2A/5>1+石，圆G和圆G相离，B正确

对于C,圆G关于X轴对称的圆为G：(xT)2+(y+2)2=l,C0(l,-2),连接C°C2交X于点

P1,连接4G，

由圆的性质得，+|PN,pG卜1+|PC?卜石=\PC0\+\PC2|-1-V3

>iq,C2|-l-V3-2VK)-l-V3,当且仅当点尸与《重合，

且M,N是线段《G/G分别与圆G和圆Cz的交点时取等号，c错误；

对于D,设点P&0),过点尸的圆C1的切线长IPA1=y/pc；_AC；=-1)2+22-12道,

当且仅当f=l,即尸。,0)时取等号，D正确.

15.(2024•浙江温州•二模)已知圆G：/+y2=6与圆G：/+y2+2x-a=。相交于A,?两

点.若SAGAB=2SAC/K,则实数。的值可以是()

2214

A.10B.2C.—D.—

33

【答案】BD

【分析】

根据题意，由条件可得弦48所在的直线方程，然后将以『8=22『8转化为圆心到直线

的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得弦48所在的直线方程为£-Cz:2x+6-Q=0,

因为圆G：/+y2=6,圆心G(0,0),

圆G:+y2+2x-a=0,圆心G(TO)，

设圆心G(0,0)与圆心G(TO)到直线AB的距离分别为d、a,

因为=2S,即51ABl=2x—|AB|-d2,

\6-a\\-a\

所以4=24,又4=M@=L\4

TT，

即/=2XE?,化简可得3a2