2024年高三数学重难点复习专练：解三角形压轴小题十一大题型（原卷版）

重难点专题23解三角形压轴小题十一大题型汇总

题型1正余弦定理................................................................2

题型2取值范围问题..............................................................3

♦类型1转化角度法........................................................3

♦类型2正弦定理法........................................................4

♦类型3正弦定理+辅助角...................................................5

♦类型4转化正切法........................................................5

♦类型5余弦定理法........................................................6

♦类型6建系法.............................................................7

♦类型7转化函数...........................................................8

♦类型8二次型取值范围....................................................9

♦类型9基本不等式.......................................................10

题型3中线问题.................................................................10

题型4角平分线问题.............................................................11

题型5高线问题.................................................................12

题型6四边形问题...............................................................12

题型7多三角形问题.............................................................14

题型8与向■结合问题...........................................................15

题型9实际问题.................................................................17

题型10正余弦定理与立体几何...................................................19

题型11正余弦定理与解析几何...................................................21

题型1正余弦定理

'f^f5

-1,.O、?ffij.#•<、5、、

正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，根据已知条件和所求未知量的不同，选

择合适的方法可以更加高效地解决问题，通过运用这两个定理，可以帮助我们求解各种未知

边长和角度，在解题过程中，我们还可以利用三角形内角和为180度来辅助求解.

【例题1]（多选）（2023•山西阳泉统考三模）设小力8c内角A例，C的对边分别为a,b,

C.若sin2=cosB=tanC,则下列说法正确的是（）

A.A+B=—B.2,A+C=—C.a>bD.c>b

22

【变式1-1】1.（2023・全国•高三专题练习）在448。中,^CAB=90。，48=3,AC=4,

P为AABC内一点，若4PBA=/-PCB=A.PAC=a,贝!jtana=.

【变式1-1】2.（2023•全国•高三专题练习那4匹的内角4昆。的对边分别为。4。，若a+

b=8,cosC=|,S.AABC的面积为3遍,则c=.

【变式1-1]3.（2022•全国•高三专题练习）已知△4BC的内角A,B,C满足sin22+

sin（>l—B+C）=sin（C—A—B）+-,△4BC的面积S满足1<S<2，记a,b,C分别为A,

B,C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

A.ab（a+b）>16-/2B.bc（b+c）>8

C.6<abc<12D.12<abc<24

【变式1-1]4.（2023•江西赣州•统考模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C所对边的长

分别为a,b,C，已知△48c的面积S满足（b+c）2=（4V3+8）S+a2则角A的值为.

【变式1-1]5.（2023•全国•高三专题练习）在RtAaBC中，斜边为4B，点。在边BC上,若

tan®。=手,sin皿.sin”|,则噫等=.

题型2取值范围问题

解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问

题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，

或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

♦类型1转化角度法

【例题2-1]（2023,全国•高三专题练习）△力BC中，角A,B,C满足cos24-cos2B=

2sinC（sinS-sinC）,则高+高的最小值为-------

【变式2-1]1.（2023秋•重庆•高三重庆一中校考开学考试）在△ABC中，若sin4=

2cosBcosC,则COS2B+cos2c的最大值为.

【变式2-1]2.（2023秋・重庆•高三统考学业考试）已知锐角△力BC中，内角人B、C的

对边分别为a、b、c,a2=b2+be,若cos（C-B）+AcosA存在最大值,则实数4的取值范

围是（）

A.（0,V2）B.（1,V3）C.（0,2）D.（2,4）

【变式2-1]3.（多选）（2023秋・河南•高三郑州一中校联考阶段练习）用长为3的铁丝

围成△ABC,记4ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60。，则（）

A.存在△4BC满足a,b,c成公差不为0的等差数列

B.存在△力BC满足a,b,c成等比数列

C.△ABC的内部可以放入的最大圆的半径为?

O

D.可以完全覆盖AZBC的最小圆的半径为日

♦类型2正弦定理法

【例题2-2](2023秋•重庆•高三统考阶段练习)△ABC中，sincos2A，则鬻的

\Z/AD

取值范围是()

A-11B1c

•(1)-(11)-G-1)。.Q,i)

【变式2-2J1.(2022秋・安徽马鞍山•高三马鞍山二中校考期中)在锐角418C中，4=28,

则黎的取值范围是

A.(-1,3)B.(1,3)

C.(V2,V3)D.(1,2)

【变式2-2]2.(2023•全国•高三专题练习)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分

别为a,b,c,已知acosB-bcosA=b，则高的取值范围是()

A.(%)B.(2-V3,l)

C.(2-V3,V2-1)D.(V2+1,V3+2)

【变式2-2】3.(2023河南校联考模拟预测)在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,4c,

若cos(4+2C)=sin2c—cos4,。力1,则+13的值可为()

A.4V3B.6V2C.873D.I6V2

【变式2-2]4.(2023・广西南宁•南宁三中校考模拟预测)在锐角SBC中，角4B,C所对

的边分别为a,b.c,若cosd=啜,则系的取值范围是()

C.(1,+00)D.6+8)

♦类型3正弦定理+辅助角

【例题2-3]（2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角△ABC

中，角的对边分别为a,b,c,S为AABC的面积，a=2,H2S=a2-（h-c）2，则AABC

的周长的取值范围是（）

A.（4,6]B.（4,2V5+2]

C.（6,2V5+2]D.（4,V5+2]

【变式2-3]1.（2022秋•四川成都•高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）在

△ABC中,BC=<3AC,^BAC=g，点。与点B分别在直线4C的两侧，且4D=1,DC=V3,

则8。的长度的最大值是（）

A.V3B.3V3C.3D.苧

【变式2-3]2.（2022秋•四川绵阳•高三绵阳中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，若

V^sinA（笠^+=sinFsinC,且旧sinC+cost=2,贝!]a+b的取值范围是（）

A.（2V3,4]B.（2,2V3]C.（0,4]D.（2,4]

【变式2-3J3.（2022秋・广东广州•高三中山大学附属中学校考期中股44BC的面积为S,

NB4C=9,已知布•尼=4,2WSW2b,则函数/⑹=V3sin2（。+»+cos?。的值域

为.

【变式2-3]4.（2023・全国•高三专题练习）在A4BC中，角2,B,C所对的边为a,b,c,

若警乎=咨+咨，且UBC的面积〃的二日④+解一。?），则£的取值范围

SSinAClC4CliD

是•

♦类型4转化正切法

对含有正切函数求最值取值范围，一般从一下方面分析：

1.切化弦，

2.在三角形中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

【例题2-4]（2023・全国•高三专题练习）在锐角△2BC中，角4，B，C的对边分别为a,b,

c,S为4ABC的面积，且2s=a?-（b-c）2,则靠:蓝:的取值范围为（）

A.圈）B.缁1C.啕D.（篝2]

【变式2-4]1.（2023秋•辽宁・高三东北育才学校校联考开学考试）在4A8C中，已知sin力=

cosB=tanC,边a,6满足6>ka,则k的最大值是.（此空结果保留两位小数）

【变式2-4】2（2022•全国•高三专题练习）在448。中角4B、C所对的边分别是a、b、c,4=

120°,。是边BC上一点，AB1ADSAD=g，贝心+2c的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

【变式2-4]3.（2023・全国•高三专题练习）1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的

几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.

它的答案是：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点

与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°）,该点称为费马点.已知△48C中，其中乙4=

60。，BC=2,P为费马点，则PB+PC-P4的取值范围是.

【变式2-4]4.（2022秋・江苏南通・高三统考期末）在锐角AABC中，角A,B,C所对的

边分别为a,b,C,已知a?+2abeosC=3b2,则tanAtanBtanC的最小值是.

♦类型5余弦定理法

【例题2-5】（2023•四川成都校联考二模）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,

b,C,tan/sinAQanBtanC-1）=2tanBtanC,sinB>sinC,且bsinB+csinC=masinA,

则实数7n的取值范围为

【变式2-5】L（2023•全国•高三专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑•波拿巴

最早提出的一个几何定理："以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这

三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的

顶点已知△48c内接于半径为伤的圆，以BC,AC,AB为边向外作三个等边三角形，其

外接圆圆心依次记为4,夕,。.若乙4cB=30。，则AdB。的面积最大值为.

【变式2-5]2.（2022秋•重庆•高三统考期中）在44BC中，内角A,B,C的对边分别是

a,b,C,（a+c）（sinZ-sinC）+bsinB=asinB,b+2a=4,CA=3CD—2CB,则线段

CD长度的最小值为（）

A.2B.谑C.3D.迪

33

【变式2-5]3.（2023・全国•高三专题练习）已知中，点。在BC边上,NBAC=60°,

4。=2,CD=2BD,当24B+4C取最大值时，BD=

【变式2-5]4.（2022・北京•高三校考强基计划）若△ABC三边长为等差数列，则cos4+

COSB+COSC的取值范围是.

♦类型6建系法

1.满足圆锥曲线定义，特别是"阿波罗尼斯圆"，可以适当的建系设点

2.利用正余弦平方形式可以建系设点

3.具有几何意义特征，如垂直，距离，斜率等.可以适当的建系设点

【例题2-6]（多选）（2023・全国•高三专题练习）在AABC中,角力、B、C的对边分别为a、

6、c,面积为S,有以下四个命题中正确的是（）

A.二的最大值为啜

az+2bc12

B.当a=2,sinB=2sinC时，△48C不可能是直角三角形

C.当a=2,sinB=2sinC,A=2c时，△48c的周长为2+2y/3

D.当a=2,sinB=2sinC,A=2c时,若。为△4BC的内心，则△4B。的面积为与

【变式2-6】1.（2023秋•河北张家口•高三统考开学考试）在443。中,AB=AC,BD为AC

边上的中线，BD=2次，则该三角形面积最大值为.

【变式2-6】2.（2022秋•四川成都・高三川大附中校考阶段练习）在4说中，内角4,B,C

所对的三边分别为a,b,c,且c=2b,若44BC的面积为1，则BC的最小值是.

【变式2-6]3.（2023・河南安阳统考三模）已知△4BC的面积为1（4+1）2（2为常数且4>

0）,AB=AC>^-BC,CD^WA,若乙4变化时8。的最小值为竽，则2=

【变式2-6J4.（2023秋・江苏南京•高三南京市第一中学校考期末）已知△4BC是面积为

的等边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于△ABC的内部及三边上,

且可在△48c内任意旋转，则前•我的最大值为（）

A.--B.—C.V6—V2—2D.V6+V2—2

【变式2-6]5.（2023春・湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习）在4ABC中,AB=3,sinB=

m-sin4（m>2）,贝必4BC的面积最大值为.

♦类型7转化函数

【例题2-7】（2023•贵州贵阳•校联考三模旧知△ABC的三边长分别为a,b,c,若tan4<0,

则"sinC：inB）的取值范围是

asm/----------------

【变式2-7]1.（2023秋・河南郑州•高三校联考期末）已知在△2BC中,sin2B+2sin2c=

4sin271,若S-BC<48c2（SMBC表示△&BC的面积）恒成立，则实数4的取值范围为（）

A•愣，+8»•殍，+8）C.[嚷+8）D.愣,+8）

【变式2-7]2.（2023•全国•高三专题练习）已知三角形力8C中，4=；,D是8c边上一点，

且满足BD=2DC,则热勺最大值是.

【变式2-7J3.（2022春•全国•高三专题练习）已知4（-1,0）,B（3,0）,P是圆0：/+外=45

上的一个动点，贝！Isin/APB的最大值为（）

A.更B.-C.-D.-

3344

【变式2-7J4.（2022秋•湖北黄冈•高三统考阶段练习）锐角三角形ABC的三个内角A,B,

C的对边分别是a,b,c,若a=2,且bcosA-2cosB=a,则彳的取值范围为.

【变式2-7]5.（2022秋・广西桂林•高三校考阶段练习）在4ABC中，设a,b，。分别为角4,

B（对应的边，记的面积为S，且bsinB+2csinC=4asin力，则总的最大值为-------.

♦类型8二次型取值范围

【例题2-8]（2023春・山西•高三校联考阶段练习）在448（^，角4,B,C所对的边分别

为a,b,c,c=1,asin4+2bsinB=sinC,贝必4BC面积的最大值是（）

A.-B.-C.-D.攻

9634

【变式2-8]1.（2023•河南周口・统考模拟预测）设锐角三角形4BC的内角A,B,C所对

的边分别为a,b,c,且bsinB=asinA+asinC,则3"c的取值范围是.

a

【变式2-8]2.（2023・安徽安庆・安庆一中校考模拟预测）在△ABC中,BC=2,AB=2AC,

D为BC的中点，贝!itan/ADC的最大值为.

【变式2-8]3.（2023春・重庆北暗・高三西南大学附中校考期中）已知△A8C的三个内角

A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,c=36,则44BC面积的最大值是；

若r,R分别为△4BC的内切圆和外接圆半径，贝！]rR的范围为.

【变式2-8J4.（2023春•江西•高三校联考开学考试）已知44BC中,\AB\2+2AB-AC=9,

|BC|=3,贝必4BC面积的最大值是.

【变式2-8]5.（2022春・山东枣庄•高三滕州市第一中学新校校考开学考试）已知△4BC的

三个内角分别为A,B,C,且sim4,sinB,sinC成等差数列）,则角B的取值范围是；

2sinB+Wsin2B最大值为

♦类型9基本不等式

【例题2-9]（2021秋•河南新乡•高三校考阶段练习）已知△A8C的三个内角A,B,C的对

边分别为a,b,C,面积为S若4s=a?-（b-c）2且6+c=4，则S的最大值为.

【变式2-9]1.（2023•天津河西・天津市新华中学校考模拟预测）已知D是4ABC的边BC

上一点,且阮=3BD,2。=2,tan/BAC=V15,贝！+2AB的最大值为.

【变式2-9]2.（2022・全国•高三专题练习）如图,在448c中“ABC==，点D在线段4C

上,SAD=2DC,BD=3,则4ABC面积的最大值为.

【变式2-9】3.（2022・全国•高三专题练习）已知AABC的内角4B,C所对应的边分别为a,6,c,

且满足c-4,c2-a2+4b2,则44BC的面积取得最大值时，cosC=.

题型3中线问题

中：知#占

1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理2.中线可延伸补形得平行四边形

【例题3】（2023•全国•高三专题练习）在△力BC中“BAC=120°,20为8c边上的中线且

2。=2,则48-22C的取值范围是.

【变式3-1]1.（2024•安徽黄山・屯溪一中校考模拟预测）在44BC中，角4B、C的对边分

别为a、b、c,且a、b、c为正数，NB4C=120°,力。为BC边上的中线，力。=8，则c-2b的

取值范围是.

【变式3-1]2.（2022秋・江西南昌•高三校联考期中）锐角△力BC中，a,b,c为角4,B,

C所对的边，点G为△48C的重心，若AG1BG，则COSC的取值范围为

【变式3-1]3.（2022・河南•灵宝市第一高级中学校联考模拟预测）在44BC中,AB=BC,

点。是边AB的中点，△A8C的面积为2,则线段CD的取值范围是（）

A.学]B.[子,+8）C.[遍,+8）D,（0,V3]

【变式3-1]4.（2022・全国•高三专题练习）在44BC中,AB=2,D,E分别是边AB,2C的

中点，CD与BE交于点。，若0C=V3OB，则△力BC面积的最大值为（）

A.V3B.3V3C.6V3D.9V3

【变式3-1]5.（2023•广西统考模拟预测）已知在A4B1中，角4,B,C的对边分别为a,

b,c,acosB=bcosA,M是BC的中点，若AM=4,贝必C+a4B的最大值为.

题型4角平分线问题

*上噌重点

1.角平分线，可以借助面积"和”构造等量关系2.角平分线也是两边的"对称轴"

3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用

【例题4】（2023•全国•高三专题练习）在非直角仆ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,

b,c，若asinA+bsinB-csinC=4bsinBcosC,CD是角C的内角平分线，且CD=b，则tanC

等于（）

A,^V7B,3V7C.iD.|

【变式4-1]1.（2023•河南安阳•安阳一中校联考模拟预测）在4ABC中，若内角A,B,

C所对的边分别为a,b,C,"BC的平分线交AC于点D,BD=1且b=2,则44BC周长

的最小值为（）

A.7B.2V2C.2+2V2D.4

【变式4-l】2.（2021秋・河南濮阳・高三濮阳市华龙区高级中学校考开学考试应/4BC中,

^A=2^B,AB=1，BC=4,CD平分N2CB交48于点。,贝U线段力。的长为.

题型5高线问题

1.一般给高，基本就与求面积联系起来

2.高也可以分开构造直角三角形，得出对应的三角函数值

【例题5]（2023•安徽合肥・合肥市第六中学校考模拟预测）已知锐角AABC中，内角A,B,

C所对的边分别为a,b,C,B=60。，ac=6,点D在边AC上,且8。1AC.过点D分

别作边AB,BC的垂线，垂足分别为M,N,设=m,BN=n,则/+/-nm的最

大值为.

【变式5-1]1.（2023・全国•高三专题练习）在Rt△48c中，斜边为4B，点。在边BC上,

若tan/BAD=—,sinzXDC-sinB=-,则""+叱=

【变式5-1]2.（2022・全国•高三专题练习）已知AABC为锐角三角形，D,E分别为AB、

AC的中点，且CD_LBE,则cosA的取值范围是

A.（i,l）B.G，9C.《,1）D.由净

【变式5-1]3.（2022秋•黑龙江齐齐哈尔・高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）在

△ABC中，AC±BC,AC=BC,E为线段AC上一点（不与A,C重合），D为BE延长线上一

点,AD=2,CD=1,则面积的最大值是.

题型6四边形问题

'1z5!^^

本上塾重点

1.四边形可以"劈成"俩三角形.2.四边形可以“补成"三角形

【例题6】（2023•陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测）在平面四边形ABCD中,AB=

2,DA-DC=6,^ABC=〃CB=三，则四边形4BCD的面积的最大值为

36

【变式6-1]1.（2023・全国•高三专题练习）如图,一块三角形铁片4BC,已知AB=4,

AC=4V3,^BAC=今,现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点。,AD=1,ABAD=g

如果过点。作一条直线分别交AB,4C于点E,F,并沿直线EF裁掉AAEF,则剩下的四边形

EFCB面积的最大值为（）

A.3V3B.2百C.V6D.V3

【变式6-1]2.（2023春河南许昌高三鄢陵一中校考阶段练习）在42BC中，内角A,B,C

的对边分别为a,b,c.若c=2g，b=2,C=，4。是BC边上的高线，点。为垂足.点E为

线段8。上一点，点8关于直线AE的对称点为点M,从四边形艮4cM中任取一点，该点来自

△48。的概率记为。（2）,则PQ4）的最小值为

【变式6-1]3.（2023・全国•高三专题练习）已知等腰梯形A8CD是半径为2的圆的内接四

边形，且4BIICD，乙4BC6（0,力则等腰梯形2BCD的四条边长的乘积的最大值

为.

【变式6-1]4.（2023・全国•高三专题练习）如图,菱形A8C。的边BC上有一点E,边DC上

有一点F（E?不与顶点重合）且旧房＞|。川，若AAEF是边长为旧的等边三角形，则演•BE

的范围是

AD

题型7多三角形问题

【例题7]（2023・湖南岳阳统考模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,

b,c,asin（B+n）+6cos管—4）=0,a=15若点M满足引才=|fiC，且NMAB=zMBA,

则AAMC的面积是（）

A30V3g30V3c2254p135V3

,7141414

【变式（2023春湖北襄阳•高三襄阳五中校考阶段练习在AABC中，已知前=2DC,

AC=3BC,sinzBDC=3sinzB/lC,当刀•CB—|荏|取得最小值时，△4BC的面积为（）

A.-B.-C.-D.这

42816

【变式7-1]2.（2023•全国•高三专题练习）赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，

他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"（以弦为边长得

到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成洪比"赵爽弦图"，

可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较

大的等边三角形，设而=XAB+iiAC,若而=3AF,则4-〃的值为.

【变式7-1]3.（2020・北京•高三强基计划）已知乙4=18。»=87。，点D在BC的延长

线上,S.DC=BC,点E在AC上,且NCED=18°,贝!]需=.

【变式7-1】4.（2022・四川成都・高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）如图，在

中,N4BCW，点D在线段力C上,S.AD=2DC,BD=4，则MBC面积的最大值为.

1.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表

示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

2.向量具有数形二重性，一方面具有"形"的特点，借助于几何图形进行研究，利用数形结

合增强解题的直观性，•另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的求

解或证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，可以使复杂问题简单化，几何问题代数

化

【例题8】（2023•全国•高三专题练习）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名

的几何问题：”已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最

小".它的答案是：当三角形的三个角均小于|n时，即该点与三角形的三个顶点的连线两

两成角|n；当三角形有一内角大于或等于|n时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问

题中，所求点称为费马点.已知在△ABC中，已知C=|n,AC=1,BC=2,且点M在AB

线段上且满足CM=BM,若点P为A4MC的费马点则成-PM+PM-PC+PA-PC=（）

A.-1B.-士5C.--5D.--5

【变式8-1J1.（2023•全国•高三专题练习）已知点G为三角形ABC的重心，目|去+GB\=

\GA-GB\,当z_c取最大值时，cosC=（）

A.B.-C.-D.i

5555

【变式8-1J2.（多选X2023•全国•高三专题练习）在4ABC中,AC=4,48=5=6,

。为力C中点，E在BD上，且砺=|ED,4E延长线交BC于点F,则下列结论正确的有（）

A.丽=3B.AE-BC=-^

C.△ACT的面积为3bD.衣=6EF

【变式8-1]3（多选）（2023•全国•高三专题练习对于任意小ABCAE=2EC=^-DC,

4

两直线AD,BE相交于点。，延长CO交AB于点F,则下列结论正确的是（）

A.CO=—CA+—CB

1717

B.xOA+yOB+zOC=0,x:y:z=3:8:7

C.当NBAC=g,4B=1,AC=2时，贝！]COSNDOE=

DS^DEF_48

S&ABC231

【变式8-1]4.（多选）（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六中学校校考三模）已知4ABC的

三个内角4B,C所对边的长分别为a,b,c,若（V5C-2asinB）sinC=V3（fosinB-asinX）,则

下列正确的是（）

A.cosAcosC的取值范围是G，[）

B.若。是AC边上的一点,且诙=2DA,BD=4,贝必ABC的面积的最大值为6次

C.若△ABC是锐角三角形，贝%的取值范围是2）

D.若BD平分乙48c交九点。，且BD=1,则4a+c的最小值为3百

题型9实际问题

【例题9】（多选）（2023秋・辽宁沈阳•高三沈阳市第一二。中学校考阶段练习）某数学建模

活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题的探究活动中抽象并构建了如图所

示的几何模型，该模型中MA,NB均与水平面ABC垂直.在已测得可直接到达的两点间

距离AC,BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中

一定能唯一确定M,N之间的距离的有（）

A.zMCA,zNCB,zABCB.zACB,zNCB,zMCN

C.zMCA,zNCB,zMCND.zMCA,zNCB,zACB

【变式9-1]1.（2023秋•山东青岛•高三统考开学考试）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理

现象，被喻为"地球给人类保留宇宙秘密的遗产"，若要测量如图所示某蓝洞口边缘4,8两

点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里，乙ADB=135°,/.BDC=

Z-DCA=15°,^ACB=120°,贝！M,B两点的也巨离为海里.

【变式9-1】2.（多选）（2022秋福建福州•高三校联考期中）某社区规划在小区内修建一

个如图所示的四边形休闲区.已知48=BC=2CD=20米，AD=30米，且修建该休闲区的

费用是200元/平方米，则下列结论正确的是（）

BA

CJ/

A.若四边形ABC。的四个顶点共圆，贝防。=10立米

B.若四边形48CD的四个顶点共圆，则修建该休闲区的总费用为4万元

C.若4+C=知时，则该社区修建该休闲区的修建费用为6万元

D.若要修建完成该休闲区，则该社区需要准备的修建费用最多为4百万元

【变式9-1]3.（2022秋•广东汕头•高三统考期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，

是中华汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片直径4B=20cm,需要剪去四边形

CEJD,可以经过对折，沿DC,EC裁剪，展开就可以得到.

已知点C在圆上且力C=10cm,Z.ECD=30°.则镂空四边形CEG。的面积的最小值为

cm2.

【变式9-1]4.（2020・全国•高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面48C的墙面前的

点2处进行射击训练，已知点2到墙面的距离为A8,某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此

人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角8的大小，若28=15cm,AC=

25cmzBCM=30。，则tanJ的最大值是（）.（仰角8为直线4P与平面ABC所成的角）

M

51099

题型10正余弦定理与立体几何

【例题1012023秋•浙江•高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知四面体ABCD中AD=

2'BD=0乙BCD=120。，直线4。与BC所成的角为60。，且二面角A-CD-B为锐二面

角.当四面体ABC。的体积最大时，其外接球的表面积为（）

A.—B.—C.16nD.8TC

33

【变式1-10］1.（2023•山东•模拟预测）如图1,在平面四边形A8CD中,AB=1,BC=

瓜AC1CD,CD=<3AC，当变化时，令对角线BD取到最大值，如图2，此时将ATlBC

沿4c折起，在将△A8C开始折起到与平面4CD重合的过程中,直断屿8所成角的余弦值

的取值范围是（）

B'

cC

图1图2

A［。,啕B.唱］

【变式10-1】2.（2023•广东茂名・茂名市第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，PC1

平面ABC,AB=1,ZC=遮，PB=，乙4BP=90。,点M在该三棱锥的外接球O的

球面上运动，目满足乙4MC=60。,则三棱锥M-4PC的体积最大值为（）

A这B5旧QA/3D

.2664

【变式10-1】3.（多选）（2023春•安徽・高三安徽省定远中学校考阶段练习）图1中的扫地

机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，

以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形彳惠国工程师勒洛首先

发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形".将其推广到空间，

如图2类似地以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分

围成的几何体便称为"勒洛四面体".则下列结论正确的是（）

A.若正三角形的边长为2,则勒洛三角形面积为2TT-2我

B.若正三角形的边长为R,勒洛三角形的面积比其中间正三角形的面积大空湃废

C.若正四面体的棱长为2,则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-日

D.若正四面体的棱长为2,勒洛四面体表面上交线4c的长度小于fir

【变式10-1】4.（多选）（2023•全国•高三专题练习）数学中有许多形状优美、寓意独特

的几何体，"勒洛四面体"就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以

正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体力BCD的棱

长为4,则下列结论正确的是（）

A

A.勒洛四面体ABC。最大的截面是正三角形

B.勒洛四面体ABC。的体积大于正四面体4BCD的体积

C.勒洛四面体4BCD被平面28C截得的截面面积是8（TI-8）

D.勒洛四面体4BCD四个曲面所有交线长的和为8TT

【变式10-1】5.（2023秋・辽宁・高三东北育才学校校联考开学考试）四面体A-BCD的体

积是V,4B=a,AC=6,4。=c,CD=p,DB=r,BC=q,则其外接球半径R为___.

【变式10-1】6.（2023秋•湖南湘潭・高三湘钢一中校考开学考试）在448C中,^BAC==,

AB=2,AC=1,点。为边8c边上一动点，将448。沿着4。翻折，使得点8到达夕，且平

面4夕。1平面2CD,则当夕C最小时，CD的长度为.

题型11正余弦定理与解析几何

22

【例题】（•陕西宝鸡校考一模）已知椭圆营+号=，&尸2为两个焦点为原点,

112023yo1,0

P为椭圆上一点，COSN&P&=|,则附|=（）

A/B.叵C—D.叵

5252

【变式11-1】1.（2023・安徽安庆・安庆一中校考模拟预测）已知6/2分别是双曲线C：5-

§=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过点?2作直线481&4交。于48两点.现将C所在平面

沿直线6尸2折成平面角为锐角a的二面角，如图，翻折后4B两点的对应点分别为4