2024年高三数学重难点复习专练：圆锥曲线定点问题十二大题型（原卷版）

重难点专题36圆锥曲线定点问题十二大题型汇总

题型1直线过定点之y=kx+m型..................................................1

题型2直线过定点之x=ty+m型..................................................3

题型3直线过定点之求直线方程型..................................................4

题型4特殊到一般法..............................................................6

题型5斜率和问题................................................................8

题型6斜率积问题...............................................................10

题型7斜率比值问题.............................................................11

题型8多斜率问题...............................................................13

题型9与角度有关的定点问题.....................................................15

题型10直线过定点之类比法......................................................16

题型11定点与恒成立问题........................................................18

题型12圆过定点问题............................................................19

题型1直线过定点之y=kx+m型

IF划重点

定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于久或y的一元二次方程的形式；

②利用A>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；

④由所得等式恒成立可整理得到定点.

技巧：若直线方程为y-y0=k（x-久0）,则直线过定点Oo,yo）;

若直线方程为y=kx+b（匕为定值），则直线过定点（0,b）.

【例题1】（2021・贵州贵阳•高三校联考开学考试）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为

Fi（-V3,0）,且C经过点P（百彳）.

(1)求c的方程；

⑵设c与y轴正半轴交于点D,直线/：y=kx+血与C交于A、B两点(I不经过D点),

且4D1BD.证明：直线I经过定点，并求出该定点的坐标.

【变式1-1]1.(2023上•辽宁朝阳•高三建平县实验中学校考期末)已知动点到定

点N(W,0)的距离与M到定直线：x=殍的距离之比为苧,记点M的轨迹为曲线C.

Q)求曲线C的方程；

(2)已知曲线C与y轴的正半轴交于点4,不与其轴垂直的直线Z交曲线C于E,F两点(E,尸异于

点力)，直线4K4F分别与久轴交于P,Q两点，若P,Q的横坐标的乘积为:，则直线/是否过定点？

若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【变式1-1J2.(2023上广西玉林•高三校联考开学考试)已知椭圆E：摄+A=l(a>b>0)

的左焦点为a(-2,0),且点(伤,1)在椭圆E上.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)椭圆E的上、下顶点分别为M,N，点P(n,4)SeR,n丰0),若直线PM,PN与椭圆E的另一

个交点分别为点S,T,证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.

【变式1-1]3.(2023上・江苏・高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习)在直角坐标平

面内，已知4(-2,0),B(2,0),动点P满足条件：直线P4与直线PB斜率之积等于-]记动点

P的轨迹为E.

Q)求E的方程；

(2)过直线Z：x=4上任意一点Q作直线Q4与Q8,分别交E于M,N两点，则直线MN是否过

定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由.

【变式1-1J4.(2023上•河北张家口•高三统考开学考试)已知椭圆C：《+A=l(a>b>0)

过点4(—2,1),且离心率e=手.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点A作与y=tx2(t<0)相切的两条直线，分别交椭圆C于P,Q两点，求证：直线PQ

恒过定点.

题型2直线过定点之尢=ty+ni型

1.直线AB方程为x=ty+m,联立曲线方程，

结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论

直线AB过定点的情况；

2.设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.

【例题2](2021•广东深圳统考二模)已知圆C:(x-1)2+*=)一动圆与直线％=一共目

切且与圆C外切.

(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；

(2)若经过定点Q(6,0)的直线/与曲线T交于4,8两点，M是AB的中点，过M作x轴的平行线与

曲线T相交于点N,试问是否存在直线上使得NA1NB?若存在，求出直线]的方程；若不

存在，请说明理由.

【变式2-l】L(2020・山东・高三山东省实验中学校考阶段练习)已知椭圆C：《+《=1(。>

b>0)的左右焦点分别为Fl,F2,左顶点为A,且满足银=2丽，椭圆C上的点到焦点

距离的最大值为3.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P是椭圆上的任意一点，求西•西的取值范围；

(3)已知直线1：y=kx+ni与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的端点)，AH^MN,

垂足为H且而2=丽・丽，求证：直线I恒过定点.

22

【变式2-1】2.(2022辽宁沈阳•二模)已知椭圆a=l(a>6>0)的焦距为2,且

经过点P(l,|).

⑴求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点F且斜率为k(k丰0)的动直线I与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否

存在异于点F的定点T,使|阳.\BT\=出尸|•|4T|恒成立?若存在,求出T点坐标,若不

存在，说明理由.

【变式2-1]3.(2023上•北京丰台•高三北京市第十二中学校考阶段练习)已知椭圆C的两

个焦点分别为国(―百,0),4(臼，。)，离心率为手.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵M为椭圆C的左顶点，直线/与椭圆C交于4B两点，若MA1MB，求证：直缄IB过定点.

【变式2-1]4.(2023上•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考开学考试)已知椭圆C：《+g=

l(a>6>0)的左顶点为4,上顶点为8,右焦点为F(l,0),设。为坐标原点，线段的中点

为D,且满足|BO|=\DF\.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点T(2,t)(tGR),圆T过。且交直线久=2于两点，直线4M,AN分别交C于另一点P,Q

(异于点2).证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.

题型3直线过定点之求直线方程型

'!-

f.壬•、、、

在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这

类问题称为定点问题.证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数

表示直线(曲线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组，以方程组的解为

坐标的点就是直线(曲线)所过的定点.核心方程是指已知条件中的等量关系.

22

【例题3](2020下•河南鹤壁•高三鹤壁高中校考阶段练习)已知双曲线C:三-2=

l(a>0,b>0)的右焦点F,半焦距c=2，点F到直线x=《的距离为》,过点F作双曲线C

的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.

【变式3-1]1.(2020上・安徽•高三校联考阶段练习)在&中，已知4(-2,0)、5(2,0),

直线P&与PB的斜率之积为-],记动点P的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)设Q为曲线C上一点，直线AP与BQ交点的横坐标为4,求证：直线PQ过定点.

【变式3-1]2.(2023•江西景德镇统考三模)设椭圆C:g+g=l(a>b>0)的左、右

顶点分别为A、B,且焦距为2.点P在椭圆上且异于A、B两点.若直线PA与PB的斜率

之积为-:"

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F(-1,0)作不与久轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：K=

-2a,过点M作ME垂直于直线小,交m于点E.判断直线EN是否过定点，并说明理由.

【变式3-1]3.(2023上•江苏连云港•高三校联考阶段练习)已知双曲线C的中心为坐标

原点，左焦点为(-2逐,0),离心率为遥,点4,4为C的左，右顶点.P为直线x=1上

的动点，P4与C的另一个交点为M,P4与C的另一个交点为N.

(1)求C的方程；

(2)证明：直线MN过定点.

【变式3-1]4.（2020•全国校联考二模）在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-2

上一动点，过点M作抛物线C:x2=y的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,N为AB

的中点.

（1）证明：MN，x轴.

（2）直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

【变式3-1]5.（2023上•江西萍乡•高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的

△A8C的顶点，4（-次,0）为椭圆E的左焦点，顶点B,C在E上，且边BC过E的右焦点.

⑴求椭圆E的标准方程；

⑵椭圆E的上、下顶点分别为M,N,点P（7n,2）（mGR,m丰0）,若直线PM,PN与椭圆E

的另一个交点分别为点S,T,证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.

题型4特殊到一般法

步出重点

特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

【例题4】（2023上・山东•高三校联考开学考试）如图，已知点7式3,-强）和点"（-5,a）在

双曲线C：《—5=l（a>0,6>0）上，双曲线C的左顶点为4,过点乂。2,0）且不与x轴重合

的直线/与双曲线C交于尸，Q两点，直线ZP,AQ与圆。：％2+y2=分别交于M,N两点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设直线4P,4Q的斜率分别为七,k2,求心心的值；

(3)证明：直线MN过定点.

【变式4-1]1.(2023・江西上饶校联考模拟预测)已知点F为抛物线E:y2=2Px(p>0)的

焦点，点P(-2,4),|PF|=5，过点P作直线与抛物线E顺次交于4B两点，过点A作斜率为糊

直线与抛物线的另一个交点为点C.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)求证：直线BC过定点.

【变式4-1]2.(2023河北统考模拟预测)已知直线I：x=评点F(2,0),过直线I上的

一动点Q作直线PQ12,且点P满足(而+2PQ)-(PF-2而)=0.

(1)求点P的轨迹C的方程；

⑵过点F作直线与C交于A,B两点，设M(-1,0),直线AM与直线I相交于点N.试问：

直线BN是否经过x轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【变式4-1]3.(2023・全国•高三专题练习)动点P到定点尸(1,0)的距离比它到直线x=-

2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F且斜率为k(fc^0)的直线交曲线C于

M,N两点.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)若点M关于x轴的对称点为A探究直线AN是否过定点?若过定点求出定点的坐标；

若不过定点，请说明理由.

【变式4-1】4.(2023・湖南・湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已

知椭圆皿:捺+'=l(a>6>0)的离心率为日，椭圆W上的点与点P(0,2)的距离的最大值为

4.

(1)求椭圆加的标准方程;

(2)点B在直线x=4上，点B关于x轴的对称点为4,直线P8,PBi分别交椭圆0于C,。两点(不

同于P点).求证：直线CD过定点.

【变式4-1】5.(2023・全国•模拟预测)已知&产2分别是双曲线。-Ma>0/>0)

的左、右焦点,点P(-2,28)为双曲线C上的点，且△P66的面积为2V1^.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)设原点0到直线，的距离为竽,直线/交双曲线C于4,B两点，试问：以线段4B为直径的

圆是否经过一个定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由.

题型5斜率和问题

与定点问题有关的基本结论

(1)若直线/与抛物线*=2Px交于点4B,贝U041OBo直线I过定点P(2p,0)；

(2)若直线I与抛物线y2=2P久交于点力,B,贝11koa-^OB=Mo直线I过定点P(p+

Jm+p2,o)；

(3)设点P(2pt02,2「玲)是抛物线y2=2Px上一定点，M,N是该抛物线上的动点，贝!JPM1

2

PNo直线MN过定点Q(2p+2pt0,-2pt0).

(4)设点力(%o，yo)是抛物线f=2Px上一定点，MN是该抛物线上的动点，则%机-kAN=m

o直线MN过定点P(x0-；

(5)过椭圆盘+'=l(a>b>0)的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点4B,

则PA1PB=直线48过点Q(一笔黑，。)；

(6)过椭圆m-[=l(a>0,b>0)的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点

az

A,B,则PA1PBQ直线A8过点Q(一；

22

(7)设点P(M,7i)是椭圆C嚏+羟=l(a>6>0)上一定点，点A,B是椭圆C上不同于

P的两点，若必+kpB=2(2*0),则直线AB过定点(m-y,-n-鬻);

22

(8)设点P(m,几)是双曲线C：J一£=l(a>0,6>0)一定点，点A,B是双曲线C上不

同于P的两点，若kpA+kpB=丰0),则直线AB过定点(m-y,-n+鬻).

【例题5](2020下•山西运城•高三统考阶段练习)椭圆E：/+冬=Ka>b>0)的离心率

为苧，右焦点为尸2(。，0),点P在椭圆上运动，且IPF2I的最大值为2+V3.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过4(0,1)作斜率分别为治，的的两条直线分别交椭圆于点M,N，且七+矽=4，证明：

直线MN恒过定点.

【变式5-1]1.(2023•山西吕梁统考二模)已知抛物线C：y2=2Px过点4(2,4).

(1)求抛物线C的方程；

⑵P,Q是抛物线C上的两个动点，直线4P的斜率与直线W的斜率之和为4,证明：直线PQ

恒过定点.

【变式5-1]2.(2023上湖北随州•高三随州市曾都区第一中学校考开学考试)在平面直

角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,记C的轨迹

为曲线E.

(1)求E的方程；

(2)已知4(1,2)及曲线E上的两点B和D直线ABAD的斜率分别为七七目前+6=1,

求证：直线BD经过定点.

【变式5-1]3.(2023•河北张家口・统考三模)已知点P(4,3)为双曲线5=l(a>

0,b>0)上一点，E的左焦点6到一条渐近线的距离为旧.

(1)求双曲线E的标准方程；

⑵不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于4B两点，若直线PA,PB的斜率和为1，证明：

直线y=kx+1过定点，并求该定点的坐标.

【变式5-1]4.(2023下•湖南岳阳•高三统考期末)已知双曲线C：5-A=l(aeN),四

点R(1,1),。2(1，。)，P3(V2,V3),P4(鱼，-仔)中恰有三点在双曲线C上

⑴求C的方程；

(2)设直线/不经过P2点且与C相交于4B两点，若直线P2A与直线P28的斜率的和为-1.证明：

I过定点.

题型6斜率积问题

【例题6](2020•北京・海淀实验中学校考三模)已知点M为椭圆C:3/+4y2=12的右

顶点，点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于点M),且满足直线MA与直线MB斜率

之积为;.

4

(1)求椭圆c的离心率及焦点坐标；

(2)试判断直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由.

【变式6-1]1.(2020下•山西运城•高三统考阶段练习)抛物线E4=2px(p>0),斜

率为1的直线2过抛物线的准线与x轴的交点.

(1)试判断直线/与抛物线E的位置关系，并加以证明；

(2)若p=2,过力(1,2)分别作斜率为灯，6的两条直线4，G，分别交抛物线于点M,N两

点，且心•e=8,证明：直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.

【变式6-1J2.(2024上•山东临沂•高三校联考开学考试)已知抛物线匕外=2px(p>0),

P(4,y0)为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.

⑴求E的标准方程；

(2)设0为坐标原点，F为E的焦点，A,B为E上异于P的两点，且直线P4与PB斜率乘积

为-4.

(i)证明：直线4B过定点；

(ii)求/川•|FB|的最小值.

【变式6-1J3.(2023上•陕西西安•高三校联考开学考试)已知椭圆+《=l(a>b>0)

的右顶点为M(2,0),离心率为手.

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过点M的直线1与C交于4B两点，且直线AM和MB的斜率之积为1，证明：直线1过定

点

【变式6-1】4.(2023-山东泰安•统考模拟预测)已知为。坐标原点，

71(2,0),C(0,-l),D(2,l),0E=A0A,~DF=ADA,0<2<1,CE和BF交点为P.

(1)求点P的轨迹G；

(2)直线y=%+m(m0)和曲线G交与",N两点，试判断是否存在定点Q使;?

如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由.

题型7斜率比值问题

【例题7](2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测)已知椭圆C《+《=l(a>b>

的左右焦点分别为&、，离心率,&、/分别为椭圆的左、右顶点，且

0)F26=fC=4.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若0为坐标原点，过6的直线।与椭圆C交于A、B两点，求4。4B面积的最大值；

(3)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率七、％满足B=2后，请分析直线BM是

否恒过定点.

【变式7-1]1.(2023・四川成都•石室中学校考模拟预测)已知点4(-2,0),8(2,0),动点

M（x,y）满足直线4M与BM的斜率之积为-J.记动点M的轨迹为曲线C.

4

⑴求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；

⑵设P,Q为曲线c上的两动点，直线2P的斜率为右P,直线BQ的斜率为跖。,且%P=7kBQ.

①求证：直线PQ恒过一定点；

②设△PQB的面积为S,求S的最大值.

_2

【变式7-1】2.（2023•云南•校联考模拟预测）已知圆C：（%+V5）+/=4，定点。（低0）,

如图所示，圆C上某一点4恰好与点。关于直线PQ对称，设直线PQ与直线AC的交点为工

⑴求证：||TC|-|TD||为定值，并求出点T的轨迹E方程；

⑵设4（-1,0）,M为曲线E上一点，N为圆/+*=1上一点（M,N均不在x轴上）.直线AM,

4N的斜率分别记为《,k2,且七=-46.求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标.

【变式7-1]3.（2023•内蒙古赤峰统考二模）已知椭圆E：《+《=l（a〉b>0）的离心率

为|,其左、右顶点分别为48,左右焦点为&&，点P为椭圆上异于4B的动点，且的

面积最大值为

（1）求椭圆E的方程及七4-kpB的值；（电、kpB分别指直线P4PB的斜率）

（2）设动直线/交椭圆E于MN两点，记直线AM的斜率为七，直线BN的斜率为的,^=^2.

①求证：直线MN过定点；

②设△AMN、△BMN的面积分别为邑应，求区-S2I的取值范围.

【变式7-1]4.（2023•贵州黔西•校考一模）已知双曲线C：g-g=l（a>0,b>0）的离心

率是花,点P(3,-4/)在双曲线C上.

Q)求双曲线C的方程；

⑵设4(—1,0),M为C上一点,N为圆/+y2=1上一点M,N均不在X轴上)直线4AMN

的斜率分别记为灯,七,且轨2+3=0,判断：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点

的坐标；若不过定点，请说明理由.

题型8多斜率问题

【例题8】(2023•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两定点4(—4,0),B(4,0),

M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，目2|MN『=|4V|•

\NB\.

(1)求动点M的轨迹r；

⑵设过P(0,l)的直线交曲线「于C,D两点，Q为平面上一动点，直线QC,QD,QP的斜

率分别为的,k2,k0,且满足三+*=1.问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出

QK.2K,Q

该定直线的方程；若不在，请说明理由.

【变式(2023•湖北武汉・华中师大一附中校考模拟预测)已知椭圆C《+冬=1(a>

b>0),四点B(-2,1),P2(0,V2),P3(2,l),P4(3,l)中恰有三点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C上是否存在异于P2的两点M,N使得直线P2M与P?N的斜率之和与直线MN的斜

率(不为零)的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说

明理由.

【变式8-1]2.(2023・湖北武汉统考三模)已知双曲线G噌-5=1的一条渐近线为y=

-jx,椭圆金：捺+5=1的长轴长为4,其中a>b>0.过点P(2,l)的动直线11交G于A,

B两点，过点P的动直线％交于M,N两点.

(1)求双曲线G和椭圆。2的方程；

(2)是否存在定点Q,使得四条直线QA,QB,QM,QN的斜率之和为定值?若存在，求出

点Q坐标；若不存在，说明理由.

【变式8-1]3.(2023•吉林长春•长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知离心率为当勺

椭圆C：捺+《=l(a〉6〉0)的左焦点为尸，左、右顶点分别为4、&，上顶点为8目AA^BF

的外接圆半径大小为百.

(1)求椭圆C方程；

(2)设斜率存在的直线/交椭圆C于P,Q两点(P,Q位于x轴的两侧),记直线&P、4P、4Q、

&Q的斜率分别为七、七、七、题，若七+题=|(卜2+自)，则直线I是否过定点？若过定

点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【变式8-1]4.(2023・四川凉山•二模)在平面内动点P与两定点4(-75,0),4(8，。)连线

斜率之积为一|.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

⑵已知点6(-1,0),尸2(1,0),过点P作轨迹E的切线其斜率记为旗k丰0),当直线斜

率存在时分别记为自也.探索小e+J是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说

明理由.

【变式8-1】5(2023下•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习圮知点4(-2,0)3(2,0),

P(x,y)是异于A,B的动点，kAP,/CBP分别是直线AP,8P的斜率,且满足%p-kBP=

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)在线段48上是否存在定点E，使得过点E的直线交P的轨迹于M,N两点，且对直线久=4

上任意一点Q,都有直线QM,QE,QN的斜率成等差数列.若存在,求出定点E,若不存在,

请说明理由.

题型9与角度有关的定点问题

【例题9](2023•陕西西安•校考三模)在平面直角坐标系久Oy中，已知动圆C与圆。]：/—

2%+*=。内切，且与直线％=—2相切,设动圆圆心C的轨迹为曲线E.

(1)求E的方程；

(2)已知P(4,y0)(yo>0)是曲线E上一点，4B是曲线E上异于点P的两个动点，设直线P4PB

的倾斜角分别为a、S，且a+S=与，请问：直线4B是否经过定点？若是，请求出该定点，

若不是，请说明理由.

【变式9-1]1.(2023•浙江绍兴・统考模拟预测)已知双曲线/-川=1,过点”(1,—1)的

直线/与该双曲线的左、右两支分别交于点4B.

⑴当直线/的斜率为总寸，求|加；

(2)是否存在定点P(t,t-2)(t丰1)，使得NMP4=乙MPB?若存在，求点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

【变式9-1】2.(2023・四川绵阳•模拟预测)已知点A是圆C：(x-+V=16上的任意

一点，点尸(-1,0),线段AF的垂直平分线交AC于点P.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

⑵若过点G(3,0)且斜率不为。的直线I交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，

点8(2,0).问：X轴上是否存在定点T,使得NMTO=Z_NTB恒成立.若存在，请求出点T

的坐标，若不存在，请说明理由.

【变式9-1]3.(2023上•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)已知双曲线C：《-《=

l(a>0,b>0)的左右焦点分别为aF2，点P在双曲线上，若IP&I—区?21=手。，且双曲

线焦距为4.

⑴求双曲线C的方程；

(2)如果Q为双曲线C右支上的动点，在久轴负半轴上是否存在定点M使得NQF2M=2NQM4?

若存在，求出点”的坐标；若不存在，说明理由.

【变式9-1]4.(2022上・贵州•高二校联考阶段练习)已知焦点在x轴上的椭圆C吗+3=

l(a>6>0)的长轴长为4，。的右顶点4到右焦点的距离为1.

(2)如图，已知点P(|,0),直线/与椭圆C交于不同的两点E,F,(E,F两点都在x轴上方)，。

为坐标原点，且“PE=NOPF证明直线2过定点，并求出该定点坐标.

【变式9-1]5.(2023・全国•模拟预测)已知双曲线C：5-A=l(a>0,b>0)的虚轴长为

2,点”(0,1)到C的渐近线的距离为日.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)若斜率不为零的直线I与C交于A,B两点，y轴恰是的平分线，试问：直线I是

否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

题型10直线过定点之类比法

【例题10](2023上•四川成都・高三校考阶段练习)已知椭圆C/+5=l(a>b〉0)的

左、右焦点分别为0,F2，左顶点为D,离心率为J经过&的直线交椭圆于A,B两点，△F2AB

的周长为8.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过直线x=4上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N,

①证明：直线MN过定点;

②求SgMN的最大值,

22

【变式10-1】1.(2023・河南•校联考模拟预测)已知椭圆C曝+琶=l(a>b>0)的焦距

为2,圆/+*=4与椭圆C恰有两个公共点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知结论：若点(xO,y°)为椭圆提+《=1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为翳+

爷=1.若椭圆C的短轴长小于4，过点T(8,t)作椭圆C的两条切线，切点分别为4B，求证：

直率18过定点.

【变式10-1]2.(2023上•广东惠州•高三校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，顶点

在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(2,4).

(1)求C的方程；

(2)若C关于x轴对称，焦点为F,过点(4,2)且与x轴不垂直的直线/交C于M,N两点，直线MF

交C于另一点4,直线NF交C于另一点B,求证：直线4B过定点.

【变式10-1]3.(2023•福建•校联考模拟预测)设抛物线C:y2=2px(P>0)的焦点为

F,点力的坐标为(3,-2).已知点P是抛物线。上的动点，|P2|+|PF|的最小值为4.

⑴求抛物线C的方程：

(2)若直线PA与C交于另一点Q，经过点B(3,-6)和点Q的直线与C交于另一点7,证明：直线

PT过定点.

【变式10-1】4.(2023•陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆M恒过定点

F(01),圆心M到直线y=，的距离为d,d=\MF\+1.

(1)求M点的轨迹C的方程；

(2)过直线y=x—1上的动点Q作C的两条切线A，",切点分别为48,证明：直线AB恒过定

点.

【变式10-1]5.(2023•贵州校联考二模)抛物线Ci：y2=2Px(p>0)的焦点到准线的距离

等于椭圆。2：产+16y2=1的短轴长.

(1)求抛物线Ci的方程；

(2)设。(1,。是抛物线G上位于第一象限的一点，过。作E:(x-2尸+V=产(其中0<丁<1)

的两条切线,分别交抛物线Ci于点KN,证明：直线MN经过定点.

题型11定点与恒成立问题

【例题111(2023上•四川眉山•高三仁寿一中校考期末)椭圆E：5+《=l(a>b>0)的离

心率是手，点M(/,1)是椭圆E上一点，过点P(0,l)的动直线/与椭圆相交于4B两点.

⑴求椭圆E的方程；

(2)求44。8面积的最大值；

(3)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使胃=黑恒成立？存在，求

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式11-1]1.(2024•陕西宝鸡校考一模)设抛物线C：y2=2px(p>0)，直线久-2y+

1=。与C交于4,8两点，且|AB|=4V15.

(1)求P；

(2)若在x轴上存在定点M，使得前1-MB=0,求定点M的坐标.

【变式11-1]2.(2022上•新疆乌鲁木齐・高三乌鲁木齐市第70中校考期中)设国,尸2分

别是椭圆C：9+5=l(a>b〉0)的左、右焦点也是。上一点，〃/2与左轴垂直直线好与

C的另一个交点为N,且直线MN的斜率为圣.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设4(0,1)是椭圆C的上顶点，直线/：y=依+m(m丰±1)与椭圆C交于两个不同点P、Q,

直线4P与久轴交于点S,直线4Q与久轴交于点T.若[0S|•|。7|=2,求证：直线/经过定点.

【变式11-1】3.(2022上•四川绵阳•高三盐亭中学校考期中)已知抛物线的顶点在原点,

对称轴为工轴，且经过点P(l,2).

(1)求抛物线方程；

(2)若直线1与抛物线交于4B两点,且满足a-OB=-4,求证：直线/恒过定点，并求出定

点坐标.

【变式11-1]4.(2023上•云南昆明•高三云南民族大学附属中学校考阶段练习)已知椭圆

r：^+^=l(a>b>0)的离心率是2，其左、右焦点分别为&心，过点B(0,6)且与直线BF2

垂直的直线交x轴负半轴于D

(1)求证：2钻+司=6；

(2)若点。(-3,0),过椭圆「右焦点尸2且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆「交于PQ两点，点”是

点P关于x轴的对称点,在左轴上是否存在一个定点N，使得M,Q,N三点共线？若存在，求出

点N的坐标；若不存在，说明理由.

【变式11-1]5.(2022辽宁沈阳二模)已知椭圆+^=l(a>b>0)的焦距为2,且

经过点P(l.|).

Q)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点F且斜率为k(k丰0)的动直线I与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否

存在异于点F的定点T,使|”|•|B7|=|BF|•|4T|恒成立?若存在,求出T点坐标,若不

存在，说明理由.

题型12圆过定点问题

中)af.1丰•占、八

圆过定点问题

圆过定点问题的常见类型是以4B为直径的圆过定点P,求解思路是把问题转化为PA1PB,

也可以转化为丽-PB=0

【例题12】2023云南昆明•昆明一中校考模拟预测)已知双曲线C：5-g=l(a>0,b>0)

的左右焦点分别为左顶点的坐标为离心率为

6，F2,(-2,0),

(1)求双曲线C的方程；

⑵4分别是双曲线的左右顶点，T是双曲线C上异于4,4的一个动点，直线兀%,兀42分

别于直线X=1交于Q1，Q2两点，问以Q1，Q2为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若

不是，请说明理由.

【变式12-1】L(2023上•贵州黔西•高三兴义第一中学校联考阶段练习)已知抛物线C：*=

2px(p>0),过焦点的直线后抛物线C交于两点A,B,当直线的勺倾斜角为?时，MB|=16.

(1)求抛物线C的标准方程和准线方程；

⑵记。为坐标原点，直线比=-2分别与直线tM,OB交于点M,N,求证：以MN为直径的圆

过定点，并求出定点坐标.

【变式12-1】2.(2023・山西大同•统考模拟预测)已知椭圆Ci：《+《=l(a>6>0)的离

心率为日,且直线y=%+碍抛物线C2y=4%的一条切线.

(1)求椭圆G的方程；

(2)过点S(0,-J的动直线L交椭圆G于4B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定

点T,使得以4B为直径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式12-1】3.(2023•江西九江・统考一模)已知过点P(2,0)的直线/与抛物线E：y2=

2px(p>0)交于48两点，过线段AB的中点M作直线MN1y轴，垂足为N,且PM1PN.

(1)求抛物线E的方程；

(2)若C为E上异于点4B的任意一点，且直线与直线x=-2交于点，证明：以DR为

直径的圆过定点.

22

【变式12-1]4.(2021・上海•高三专题练习)如图，椭圆E噎+a=l(a>6>0)的左焦

点为0,右焦点为B，离心率e=|,过a的直线交椭圆于A、B两点，且A4BF2的周长为8.

(2)设动直线I：y=-+爪与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q,

试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M

的坐标；若不存在，说明理由.

【变式12-1】5.(2023上•浙江•高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，。为坐

标原点，动点D(",y)与定点尸(2,0)的距离和D到定直线x=扣勺距离的比是常数2,设动点

D的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知定点P(t,0),0<t<1,过点P作垂直于x轴的直线过点P作斜率大于0的直线

1'与曲线C交于点G,H,其中点G在x轴上方，点H在x轴下方.曲线C与x轴负半轴

交于点A,直线4G,AH与直线/分别交于点M,N,gA,O,M,N四点共圆，求t的值.

【变式12-1]6.(2023•广东广州统考模拟预测)已知双曲线C:£-5=1,直线1过C的右

焦点F且与C交于M,N两点.

Q)若MN两点均在双曲线C的右支上，求证：意+总为定值；

(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明

理由.

1.(2023福建泉州统考模拟预测)已知椭圆E:1+1=l(a〉6〉0)的离心率是噂，上、

下顶点分别为4,B.圆。：/+y2=2与无轴正半轴的交点为P,且市-PB=-1.

(1)求E的方程；

⑵直线/与圆。相切且与E相交于M,N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点

2.(2023•江苏扬州统考模拟预测)已知椭圆。：摄+意=l(a>6>0)的左顶点为4,过右

焦点F且平行于y轴的弦PQ=4F=3.

(1)求42PQ的内心坐标；

⑵是否存在定点。，使过点。的直线/交C于MN，交PQ于点R，且满足加-ND^MD-RN?

若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由.

3.(2023•广东梅州统考三模)已知双曲线C。-5=l(a〉0,b〉0)的右焦点，右顶点分

别为尸,A,B(0,b),|AF|=1,点M在线段AB上,且满足|BM|=V3\MA\,直线。M的斜率

为1,。为坐标原点.

⑴求双曲线C的方程.

(2)过点尸的直线［与双曲线C的右支相交于P,Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E,

使得|EP|•FQI=|EQ|•|FP|恒成立？若存在