浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题（含答案）

浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z=1−i，则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．22．DC+A．DB B．BC C．AD D．CB3．已知向量|a|=5，|b|=2A．15 B．25 C．454．在△ABC中，N是BC上的点，若AN=A．19 B．23 C．135．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1DA．存在点P，使得PM与BCB．三棱锥C−MNP的体积与P点位置无关C．若P为C1D1中点，三棱锥D．若P与D16．雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度CD，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为30°和45°，在B处测得塔顶部D的仰角为15°，则雷锋塔的高度约为（）A．50m B．62m C．72m D．88m7．设O为△ABC的内心，AB=AC=13，BC=10，AO=mAB+nA．1336 B．1318 C．5188．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且433S=b2A．(0,43) B．(2,4二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分）9．下列命题正确的是（）A．已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1+2eB．在△ABC中，b=11，a=20，B=30°，则这样的三角形有两个C．已知△ABC是边长为2的正三角形，其直观图的面积为6D．已知a=(3,−4)，b=(k,3)10．已知复数z1，zA．zB．若|z1C．|D．若1<|z−2i|<2，则点z的集合所构成的图形的面积为11．直三棱柱ABC−A1B1CA．4+32 B．4+22 C．1+42三、填空题：（本题共3题，每小题5分，共15分）12．已知a=(1,3)，b=(−2,2)，则向量13．已知圆锥的侧面积为4π，其侧面展开图是四分之一的圆，则圆锥的体积为.14．在△ABC中，S△ABC=32AB⋅AC=3四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知平面向量a=(2,（1）若a+b与（2）若向量c=(5,1)，若a+2b16．如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=1，AD=3，以（1）求该几何体的表面积；（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离.17．已知△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b（1）求A大小；（2）若BC边上的中线长为212，求△ABC18．在三棱锥A−BCD中，（1）若点E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AD上的点，其中EF//GH，EF≠GH.求证：HE，GF，DB三线共点；（2）在三棱锥A−BCD中，所有棱长都为2.①求三棱锥A−BCD的体积；②求三棱锥A−BCD外接球的表面积.19．设非空数集M，对于M中任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.（1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；（2）若M是一个数环，证明：0∈M；若S是一个数域，证明：1∈S；（3）设A={x|x=a+2

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为复数z=1−i，所以|z|=12+-122．【答案】A【解析】【解答】解：DC→+AB→−3．【答案】D【解析】【解答】解：因为|a|=5，|b|=25，a4．【答案】C【解析】【解答】解：因为N是BC上的点，设BN→=nBC→，

所以AN→=AB→+BN→=AB5．【答案】B【解析】【解答】解：已知如图所示：

对于A，正方体ABCD-ABCD中，AB∥D1C1，PM与BC1都在平面ABC1D1内，所以PM与BC1不可能异面，故A错误；

对于B、C，三棱锥P-MNC，底面积S△MNC=2x2-12x1x1-12x2x1=32，三棱锥的高h=CC1=2，

则VP-MNC=6．【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABE中，BE=ABsin30°=72；在Rt△DCE中，ED=CDsin45°=2CD；

由图可知∠BED=180°-30°-45°=105°，易知∠EBD=45°，

在△BED中，∠EDB=180°-105°-45°=30°，根据正弦定理可得：BEsin30°7．【答案】B【解析】【解答】解：取BC中点E，连接AE，过O作AB垂线OF如图所示：

因为O为△ABC的内心，所以OE=OF，

因为Rt△AOF∾Rt△ACE,∴OFAO=CEAB=513,∴OE8．【答案】D【解析】【解答】解：因为433S=b2−(a−c)2，所以433×12acsinB=b2−(a−c)2=b2−a2-c2+2a9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，因为a→=e1→+2e2→,b→=2e1→-e2→，所以a→与b→不共线，则a与b可以作为平面向量的一组基底，故A正确；

对于B，由正弦定理得sinA=asinB=20sin30°=40，因为a>b，所以A=60°或A=120°，所以这样的三角形有两个，故B正确；

对于C，△ABC是边长为2的正三角形，其面积为3，因为平面图形的面积与直观图的面积的比是22，10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，设z1=a+bi,z2=c+di，则z1+z2=(a+c)-(b+d)i，

z1+z2=(a+c)-(b+d)i，所以z1+z2=z1+z2，故A正确；

对于B，取z1=2+i,z211．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：设底面三角形ABC外接圆的半径为r则2r=ACsin∠ABC=222=22，∴r=2，

设直三棱柱ABC-ABC的高为h，外接球的半径为R，则R2=r2+h22,∴22=22+h12．【答案】(−1【解析】【解答】解：根据投影向量的计算公式，可得向量a在向量b上的投影向量为：a→·b→b13．【答案】15【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为

圆锥的侧面积为4π，圆锥的侧面展开图是四分之一的圆，

可得14πr2=4π,r2=16,r=4，圆锥的底面周长为14×2×4π=2π，

设圆锥的底面半径为a，如图：

AB=AC,AD⊥BC，

可得2aπ=2π,∠ADB=90°,BD=CD14．【答案】[−【解析】【解答】解：设2r为△ABC外接圆直径，根据正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2r，

所以sinB=b2r,sinC=c2r，由sinB=2cosA⋅sinC，可得b2r=2cosA·c2r,b=2cosA=2c·b2+c2-a22bc

b2=b2+c2-a2,a2=c2,a=c

由于S△ABC=32AB⋅AC=3，可得AB→⋅AC→=c·b·cosA=bc·b15．【答案】（1）解：因为a=(2,3)所以a+b=(1因为a+b与a−整理得−k2+12=0（2）解：因为a=(2,3)，b所以a+2b=(0因为a+2b与2b所以0=λ×(−7)3+2k=λ×(2k−1)，解得k=−所以b=(−1,−所以|a【解析】【分析】(1)先求出a→+b→，，a→-b→坐标，然后根据两个向量垂直它们的数量积为0，解方程即可.

(2)先分别求出a16．【答案】（1）解：如图所示，满足题意的直角梯形ABCD，以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，形成一个上底面半径为r1=CD=12，下底面半径其表面积为S=π(r（2）解：将圆台的侧面沿母线AD展开，得到如图所示的一个扇环，因为圆台上下底面半径的关系为r1所以A1A2又∵A1∴OA∴OD设∠A2OA1解得α=1连接A2A1∴A所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段A2所以蚂蚁爬行最短距离为6.【解析】【分析】(1)直角梯形ABCD，以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，得到圆台，利用圆台的表面积公式计算即可.

(2)作出圆台的侧面展开图，利用弧长公式求出顶角∠A2O17．【答案】（1）解：因为m=(−a,3所以m⋅由正弦定理，得−sinAsinC+3sinCcosA=0，因为所以tanA=3，A∈(0所以A=π（2）解：设BC边上的中线为AD如图所示：在△ABC中，由余弦定理得：a2即a2=在△ADC和△ADB中，cos∠ADC+所以AD即2(AD2+CD2化简得212代入①式得，b2由基本不等式b2∴7≥bc，当且仅当b=c=7取到“=所以△ABC的面积最大值为S=1【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标运算得−asinC+c3cosA=0，再利用正弦定理全部转化为角，根据两角和的正弦公式、诱导公式即可求解；

(2)根据余弦定理得b218．【答案】（1）解：已知如图所示：

∵EF//GH，EF≠GH，∴E，F，G，H四点共面，并且可设EH∩GF=P，∵P∈EH，P∈GF，又∵HE⊂平面ABD，GF⊂平面BCD，∴P∈平面ABD，P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面BCD的公共点.又∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD，即原题设得证.（2）解：①以四面体的各棱为面对角线还原为棱长为2的正方体，如图所示：所以VD−ABN同理，VC−ABM所以VA−BCD而V正方体=(②三棱锥A−BCD的外接球的半径R=∴外接球的表面积S=4πR【解析】【分析】（1）先证E，F，G，H四点共面，EH∩GF=P，再根据平面基本性质2，P点在两平面交线BD上，即可证明.

(2)①以四面体的各棱为面对角线还原为棱长为2的正方体，得VA−BCD=V正方体−4×119．【答案】（1）解：自然数集N不是数环，例如1−2=−1∉N；整数集Z是数环，不是数域，例如23有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域.（2）解：若x∈M，则(x−x)∈M，即0∈M；