高三数学复习第一篇专题突破专题四数列刺第2讲数列求和及简单应用文

第2讲数列求和及简单应用1/50考情分析2/50总纲目录考点一

集合概念及运算考点二充分、必要条件判断（高频考点）考点三命题真假判断是否定3/50考点一

数列递推公式1.数列通项an与前n项和Sn关系,an=

2.应用an与Sn关系式f(an,Sn)=0时,应尤其注意n=1时情况,预防产生错

误.4/50经典例题(1)(山西太原模拟)已知数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+3n-1(n∈N*),

则其前n项和Sn=

.(2)(安徽合肥质量检测(二))已知数列{an}中,a1=2,且

=4(an+1-an)(n∈N*),则其前9项和S9=

.答案(1)2n+2-4-

(2)10225/50解析(1)因为an+1=2an+3n-1,所以an+1+3(n+1)+2=2(an+3n+2),所以数列{an

+3n+2}是首项为4,公比为2等比数列,所以an+3n+2=2n+1,所以an=2n+1-3n

-2,所以数列{an}前n项和Sn=2n+2-4-

.(2)由已知,得

=4anan+1-4

,即

-4anan+1+4

=(an+1-2an)2=0,所以an+1=2an,所以数列{an}是首项为2,公比为2等比数列,故S9=

=210-2=1022.6/501.由递推公式求通项公式三种类型(1)形如an+1=an+f(n)数列,惯用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+

(an-an-1)求通项公式.(2)形如an+1=anf(n),常可采取叠乘法,即利用恒等式an=a1·

·

·…·

求通项公式.(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,1)数列,惯用结构法.其基本思

路是:结构an+1+x=b(an+x)

,则{an+x}是公比为b等比数列,利用它可求出an.方法归纳7/502.由Sn与an关系式求通项公式当已知数列{an}一个含有an,Sn等式时,往往依据升幂或降幂方法

得到一个新等式,然后两个等式相减,从而把前n项和转化为数列通

项之间关系,再依据这个关系求解数列通项.8/50跟踪集训1.(山西四校联考)已知数列{an}满足an+1=

若a1=

,则a2017=

()A.

B.

C.

D.

9/501.答案

C因为a1=

,所以依据题意得a2=

,a3=

,a4=

,a5=

,所以数列{an}是以4为周期数列,又2017=504×4+1,所以a2017=a1=

,故选C.10/502.(湖北七市(州)联考)数列{an}满足an+1+(-1)nan=n+1,则{an}前40项

和为

.11/502.答案44012/50解析当n=1时,a2-a1=2,①当n=2时,a3+a2=3,②当n=3时,a4-a3=4,③当n=4时,a5+a4=5,④由②-①得a3+a1=1,由③+②得a4+a2=7,当n=5时,a6-a5=6,⑤当n=6时,a7+a6=7,⑥当n=7时,a8-a7=8,⑦当n=8时,a9+a8=9,⑧由⑥-⑤得a7+a5=1,由⑦+⑥得a8+a6=15,类似可得a11+a9=1,…,a39+a37=1,13/50a12+a10=23,…,即{a4k+2+a4k+4}(k∈N)组成一个首项为7,公差为8等差数

列,∴S40=(a1+a3+a5+a7+…+a37+a39)+(a2+a4+a6+a8+…+a38+a40)=1×10+7×10+

×8=440.14/50考点二

求数列前n项和数列求和惯用方法(1)倒序相加法假如一个数列{an}前n项中首末两端等“距离”两项和相等或等

于同一个常数,那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法,如等差数

列前n项和就是用此法推导.(2)错位相减法假如一个数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积

组成,那么这个数列前n项和即可用此法来求,如等比数列前n项

和就是用此法推导.(3)裂项相消法15/50把数列每一项拆成两项之差,在求和时中间一些项能够相互抵消,

从而求得其和.(4)分组转化法一个数列通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和数列

组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再相加减.(5)并项求和法一个数列前n项和可两两结合求解,则称为并项求和.形如an=(-1)nf(n)

类型,可采取并项求和.16/50经典例题(山东,19,12分)已知{an}是各项均为正数等比数列,且a1+a2=6,a1a2

=a3.(1)求数列{an}通项公式;(2){bn}为各项非零等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列

前n项和Tn.解析(1)设{an}公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,

q=a1q2,又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知,S2n+1=

=(2n+1)bn+1,17/50又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1.令cn=

,则cn=

.所以Tn=c1+c2+…+cn=

+

+

+…+

+

,又

Tn=

+

+

+…+

+

,两式相减得

Tn=

+

-

,所以Tn=5-

.18/50方法归纳1.利用裂项相消法求和注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最终一项,也有可能前面剩两项,后

面也剩两项;或者前面剩几项,后面也剩几项;(2)裂项相消求和法是数列求和主要方法之一,其基本形式为:若{an}

是等差数列且an≠0,则

+

+…+

=

.19/502.用错位相减法求和时应注意两点(1)要善于识别题目类型,尤其是等比数列公比为负数数列;(2)在写出“Sn”与“qSn”表示式时应尤其注意将两式“错项对

齐”,方便下一步准确写出“Sn-qSn”表示式.20/50跟踪集训1.(广西三市联考)已知等比数列{an}前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(n

∈N*).(1)求a值及数列{an}通项公式;(2)若bn=(1-an)log3(

·an+1),求数列

前n项和Tn.21/501.解析(1)∵6Sn=3n+1+a(n∈N*),∴当n=1时,6S1=6a1=9+a,当n≥2时,6an=6(Sn-Sn-1)=2×3n,即an=3n-1,∵{an}是等比数列,∴a1=1,则9+a=6,得a=-3,∴数列{an}通项公式为an=3n-1(n∈N*).(2)由(1)得bn=(1-an)log3(

·an+1)=(3n+1)(3n-2),∴Tn=

+

+…+

=

+

+…+

=

×

=

.22/502.(安徽合肥质量检测(一))已知等差数列{an}前n项和为Sn,且满

足S4=24,S7=63.(1)求数列{an}通项公式;(2)若bn=

+(-1)n·an,求数列{bn}前n项和Tn.23/502.解析(1)设{an}公差为d,则

⇒

⇒an=2n+1.(2)∵bn=

+(-1)n·an=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1),∴Tn=2×(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=

+Gn.当n=2k(k∈N*)时,Gn=2×

=n,∴Tn=

+n;当n=2k-1(k∈N*)时,Gn=2×

-(2n+1)=-n-2,∴Tn=

-n-2,24/50∴Tn=

25/50考点三

数列中最值问题1.求解数列中最大(小)项惯用方法(1)依据数列与函数之间对应关系,结构对应函数f(n)=an,利用求函

数最值方法进行求解,但要注意自变量取值必须是正整数限制条

件;(2)利用数列单调性求解,利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解出n取

值范围,从而确定数列单调性,进而确定对应最值.26/502.求解Sn最值方法(1)利用前n项和公式,求出数列前n项和Sn,依据对应函数最值求解

思绪进行求解;(2)利用数列通项an,将其转化为不等式组求解问题:若

则Sm最大;若

则Sm最小.27/50经典例题(1)若数列{bn}通项公式为bn=-

+13,则数列{bn}中最大项项数为

()A.2或3

B.3或4C.3

D.4(2)(河南洛阳第一次统考)等比数列{an}首项为

,公比为-

,前n项和为Sn,则当n∈N*时,Sn-

最大值与最小值之和为

()A.-

B.-

C.

D.

28/50答案(1)B(2)C29/50解析(1)解法一:由bn>bn-1,可得-

+13>-

+13,整理得

<-1+

,即n2-n-12<0,解得-3<n<4.所以当n≤3时,bn>bn-1,即数列{bn}单调递增,当n≥4时,bn>bn+1,即数列{bn}

单调递减,又b3=b4=6,所以数列{bn}最大项项数为3或4,故选B.解法二:设数列{bn}第n项最大.由

30/50即

整理得

即

解得n=3或n=4.又b3=b4=6,所以当n=3或n=4时,bn取得最大值,故选B.(2)依题意得,Sn=

=1-

.31/50当n为奇数时,Sn=1+

伴随n增大而减小,1<Sn=1+

≤S1=

,Sn-

伴随Sn增大而增大,0<Sn-

≤

;当n为偶数时,Sn=1-

伴随n增大而增大,

=S2≤Sn=1-

<1,Sn-

伴随Sn增大而增大,-

≤Sn-

<0.所以Sn-

最大值与最小值分别为

、-

,其最大值与最小值之和为

-

=

=

,选C.32/50方法归纳求数列中最值问题方法(1)将问题转化成关于正整数n函数形式;(2)利用基本不等式或求函数最值方法,求出对应最值;(3)注意验证取最值时,n值是否是正整数且满足已知条件.33/50跟踪集训1.已知数列{an}前n项和为Sn=n2-7n+3,则其前n项和最小值为

.34/501.答案-935/50解析

Sn=n2-7n+3=

-

,而函数f(x)=

-

图象对称轴为x=

,因为n∈N*,且

=

=

,所以当n=3或n=4时,Sn取得最小值,此时S3=S4=32-7×3+3=-9.36/502.(福建质量检测)已知数列{an}满足a1=-40,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n,

则an取最小值时n值为

.37/502.答案10或1138/50解析将nan+1-(n+1)an=2n2+2n=2n(n+1)两边同时除以n(n+1),得

-

=2,所以数列

是首项为-40、公差为2等差数列,所以

=-40+(n-1)×2=2n-42,所以an=2n2-42n,对于二次函数f(x)=2x2-42x,在x=-

=10.5时,f(x)取得最小值,因为n取正整数,且|10-10.5|=|11-10.5|,所以n取10或11时,an取

最小值.随堂检测39/501.数列{an}前n项和Sn=n2+3n+2,则{an}通项公式为

()A.an=2n-2

B.an=2n+2C.an=

D.an=

40/501.答案

D

a1=S1=6,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+2,∴an=

41/502.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}前60项和为

()A.3690

B.3660C.1845

D.183042/502.答案

D不妨令a1=1,则a2=2,a3=a5=a7=…=1,a4=6,a6=10,…,所以当n为

奇数时,an=1,当n为偶数时,组成以a2=2为首项,4为公差等差数列,所以

前60项和为S60=30+2×30+

×4=1830.43/503.数列{an}前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}

通项公式是

.44/503.答案

an=3n-1(n∈N*)45/50解析解法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=