高等数学之一关于矩阵的习题

习题课

矩阵1/21P99第10题设A为n阶方阵,而且Ak=O,试证E-A可逆,而且证实:若n阶方阵A满足AB=E,则A可逆.

所以A-E可逆,而且(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-12/21第11题设A为n阶方阵,且满足A2+2A-3E=O,证实(1)

A可逆,并求A逆.(2)A-2E可逆,并求(A-2E)逆.证实:(1)所以A可逆,而且3/21所以(A-2E)可逆,而且(2)4/21

第15题已知为方阵B满足AB=A+B,求矩阵B,其中解:AB=A+B,(A-E)B=A.能够用矩阵方程行初等变换方法计算B.5/21所以第16题已知且矩阵B满足A2-AB=E,求矩阵B.解法一:因为A2-E=AB所以B=A-1(A2-E).解法二:因为AB=A2-E能够用矩阵方程初等变换方法计算B.(A

A2-E)行初等变换(E

B)6/21第17题设A是n阶方阵,B是n×r矩阵,且r(B)=n.试证:(1)假如AB=O,那么A=O;(2)AB=B,那么A=E.解:(1)因为AB=O,(AB)T=BTAT=O,又r(B)=n,所以r(BT)=n.所以矩阵方程BTAT=O(齐次线性方程组矩阵形式),AT仅有零解.即AT全部元素为零.即AT=O,所以A=O.(2)因为AB=B,(A-E)B=O,依据(1)则A-E=O,即A=E.7/21第18题

设A,B是两个n阶反对称矩阵,则(1)A2是对称矩阵.(2)AB=BA时,AB是对称矩阵.解:(1)(A2)T=ATAT=(-A)(-A)=A2所以A2是对称矩阵.（2）（AB）T=BTAT=（-B)(-A)=BA=AB.所以AB是对称矩阵8/21例题:设n阶方阵A伴随矩阵为A*,证实：

（1）若|A|＝0，则|A*|＝0。（2）|A*|＝|A|n－1。证实：由伴随矩阵定义显然有

AA*=A*A=|A|En,两边取行列式即得|A||A*|=det(|A|En)＝|A|n,故当|A|不等于0时，（2）是显然。而只要我们证实了（1），则（2）对于|A|＝0矩阵A也是成立。下面我们证实（1）。9/21(反证法）假设则|A*|≠0，则A*可逆，于是在AA*=|A|En两边右乘(A*)－1,有

A＝|A|En(A*)－1＝O（因为|A|＝0），所以A伴随矩阵A*应该为O。与假设矛盾！10/21例

设A为n阶方阵满足A2－A－2E＝O，证实A和A＋2E均可逆，求它们逆矩阵。

解:由A2－A－2E＝O易得

(A－E)A=2E,即(A－E)A=E.故由逆矩阵定义可得A可逆，且类似可求得(A＋2E)(A－3E)=－4E.即

11/21第19证实:(1)非奇异对称(反对称)矩阵A逆依然是对称(反对称)矩阵;(2)奇数阶反对称矩阵必不可逆.解:(1)因为A是非奇异,并对称矩阵.A可逆,且(A-1)T=（AT)-1=A-1,由定义可知A-1也是对称矩阵.同理可证反对称句阵情况.(2)设A为反对称矩阵,则AT=-A,│AT│=│-A│=(-1)n

│A│=│A│(行列式性质1),当n为奇数时,-│A│=│A│则2│A│=0,所以│A│=0,即A不可逆.12/21

第20题设n阶方阵A可逆,将A第i行与第j行元素交换后得到B.(1)证实B可逆;(2)求AB-1.解:(1)依据已知条件,有E(i,j)A=B(*)(E(i,j)是初等矩阵).又A可逆,所以A行初等变换E即Ps…P2P1=A,代入(*)式:E(i,j)Ps…P2P1=B,即P1-1P2-1…Ps-1E(i,j)-1B=E,B行初等变换E所以B可逆.(2)E(i,j)A=B,E(i,j)AB-1=E,AB-1=E(i,j)-1=E(i,j)13/21第22题

为n阶非零实矩阵,若aij=Aij,其中Aij元素aij代数余子式(i、j=1，2,..n)，证实│A│≠O。证实：用反证法。假设│A│=O，即这与A为n阶非零实矩阵矛盾，所以│A│≠O。14/21证实:因为r(A)=r,矩阵A=(aij)m×n,则第23题设A是秩为rmXn矩阵,证实A必可表示成秩为1mXn矩阵之和.即存在m阶可逆矩阵P1及n阶可逆矩阵Q1,使15/21所以其中因为P,Q均可逆,所以第24题设实对称矩阵A满足A2=O,证实A=O.证实:用数学归纳法证实,当n=2时,因为A是实对称矩阵,16/21假设n-1时结论成立,即所以n=2时结论成立.n时,

所以n时,矩阵A=O.因而结论成立.17/21第25题设A为二阶矩阵,A2=E,A≠±E,证实r(A+E)=r(A-E)=1.证实:A为二阶矩阵,并A2=E所以A2-E=O,即(A+E)(A-E)=O,又A+E≠

O,A-E≠

O所以r(A+E)≠O,r(A-E)

≠

O.以下用反证法假设r(A+E)≠1(或r(A-E)

≠

1),只有r(A+E)

=2(或

r(A-E)=2)(A+E)(A-E)=O(看成矩阵方程AX=O)中│A+E│≠O,则(A-E)=O与A≠+E矛盾.所以r(A+E)=1.同理r(A-E)=1.18/21第26题

设A为mXn矩阵,且m<n,证实│ATA│=O证实:AmXn且m<n,ATA=Bn×n．r（ＡＴＡ）≤min(r(AT),r(