2024年中考数学基础题型提分练：概率初步（含解析）

专题15概率初步

【考点精说】

必考点1确定事务和随机事务。

（1）“必定事务”是指事先可以确定确定会发生的事务。P（A）=1

（2）“不行能事务”是指事先可以确定确定不会发生的事务。P（A）=0

（3）“不确定事务”或“随机事务”是指结果的发生与否具有随机性的事务。

0<P（A）<1

【典例1]（2008•吉林中考真题）下列成语所描述的事务是必定发生的是（）

A.水中捞月B.拔苗助长C.守株待兔D.瓮中捉鳖

【答案】D

【解析】

解：A选项，不行能事务；

B选项，不行能事务；

C选项，随机事务；

D选项，必定事务；

故选：D

【点睛】

本题考查了必定事务、不行能事务、随机事务，正确理解必定事务、不行能事务、随机事务的定义是本题

的关键

【举一反三】

1.（2024•湖北中考真题）下列说法错误的是（）

A.必定事务发生的概率是1

B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率

C.概率很小的事务不行能发生

D.投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得

【答案】C

【解析】

【分析】

不确定事务就是随机事务，即可能发生也可能不发生的事务，发生的概率大于0并且小于1

【详解】

A、必定事务发生的概率是1,正确；

B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；

C、概率很小的事务也有可能发生，故错误；

D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，

故选：C.

【点睛】

本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事务发生的可能性的大小，概率取值范围：OWpWl,

其中必定发生的事务的概率P（A）=1；不行能发生事务的概率P（A）=0；随机事务，发生的概率大于0并且

小于1.事务发生的可能性越大，概率越接近与1,事务发生的可能性越小，概率越接近于0.

2.（2011-四川中考真题）下列说法正确的是（）

A.随机抛掷一枚匀称的硬币，落地后反面确定朝上。

B.从1,2,3,4,5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大。

C.某彩票中奖率为36%,说明买100张彩票，有36张中奖。

D.打开电视，中心一套正在播放新闻联播。

【答案】B

【解析】

【详解】

A、掷一枚硬币的试验中，着地时反面对上的概率为工，则正面对上的概率也为工，不确定就反面朝上，故

22

此选项错误；

B、从1,2,3,4,5中随机取一个数，因为奇数多，所以取得奇数的可能性较大，故此选项正确；

C、某彩票中奖率为36%,说明买100张彩票，有36张中奖，不确定，概率是针对数据特别多时，趋近的一

个数并不能说买100张该种彩票就确定能中36张奖，故此选项错误；

D、中心一套电视节目有许多，打开电视有可能正在播放中心新闻也有可能播放其它节目，故本选项错误.

故选B.

3.（2024•湖北中考真题）下列说法错误的是（）

A.在确定条件下，可能发生也可能不发生的事务称为随机事务

B.一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数

C.方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大

D.全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式

【答案】C

【解析】

A.在确定条件下，可能发生也可能不发生的事务称为随机事务，正确，故选项A不合题意；

B.一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项B不合题意；

C.方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小.故选项C符合题意;

D.全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项D不合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查了随机事务，众数，方差，调查的方式等，娴熟驾驭相关的概念以及意义是解题的关键.

必考点2用频率估计概率

(1)事务的频数、频率。设总共做n次重复试验，而事务A发生了m次，则称事务A发生的次数m为频数。

称比值m/n为A发生的频率。

(3)概率：一般地，在大量重复试验中，假如事务A发生的频率上会稳定在某个常数p旁边，那么这个

m

常数P就叫做事务A的概率。

【典例2】(2024•江苏中考真题)小明和同学做“抛掷质地匀称的硬币试验”获得的数据如表:

抛掷次数100200300400500

正面朝上的频数5398156202244

若抛掷硬币的次数为1000,则“正面朝上”的频数最接近()

A.20B.300C.500D.800

【答案】C

【解析】

视察表格发觉：随着试验次数的增加，正面朝上的频率渐渐稳定到0.5旁边，

所以抛掷硬币的次数为1000,则“正面朝上”的频数最接近1000x0.5=500次，故选C.

【点睛】

本题考查利用频率估计概率的学问，解题的关键是了解在大量重复试验中，可以用频率估计概率.

【举一反三】

1.（2024•湖北初三期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘

制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

频鬓

0.34:…一

0.32..........................................................

0.31..........................................................

0100200~5008001（XXI

A.袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球

B.掷一枚质地匀称的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数

C.先后两次掷一枚质地匀称的硬币，两次都出现反面

D.先后两次掷一枚质地匀称的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9

【答案】D

【解析】

解：依据统计图可知，试验结果在0.33旁边波动，即其概率P-0.33,

3

A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为二，不符合题

B、掷一枚质地匀称的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为一，不符合题意;

2

先后两次掷一枚质地匀称的硬币，两次都出现反面的概率为一，不符合题意;

4

D、先后两次掷一枚质地匀称的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为工，符合题

3

-zsie.

忌，

故选D.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的学问点为：概率=所求状况数与

总状况数之比.

2.（2024•广东初三期末）一个不透亮的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和〃个黑球.随机地从

袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀.大量重复试验后，发觉摸出白球的频率稳定在0.2旁边,

则”的值为（）

A.2B.4C.8D.10

【答案】C

【解析】

2

解：依题意有：----=0.2,

2+n

解得：n=8.

故选：C.

【点睛】

此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用假如一个事务有n种可能，而且这些事务的可能性相同，

其中事务A出现m种结果，那么事务A的概率P（A）=一是解题关键.

n

3.（2024•辽宁初三期末）一个不透亮的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同,

若小英每次从袋子中随机摸出一个球，登记颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发觉摸到红球的频率

渐渐稳定于0.4,则小英估计袋子中白球的个数约为（）

A.50B.30C.12D.8

【答案】B

【解析】

解：设白球个数为x个，

依据题意得，白球数量小袋中球的总数=1-04=0.6,

解得x=3O

故选B

【点睛】

本题主要考查了用评率估计概率.

必考点3树状图与列表法求解概率

列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出全部可能的结果,

通常采纳列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.

树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不便利了，为了不重不漏地列出全部可能

的结果，通常采纳树状图法求概率.

【典例3】（2024•辽宁中考真题）不透亮袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出

一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）

【答案】D

【解析】

解：两次摸球的全部的可能性树状图如下:

第一次其次次

红球

红球

绿球

起先＜

红球

绿球

绿球

•••P两次都是红球=!.

4

故选：D.

【点睛】

考查用树状图或列表法，求等可能事务发生的概率，关键是列举出全部等可能出现的结果数，然后用分数

表示，同时留意“放回”与“不放回”的区分.

【举一反三】

（2024•广西中考真题）小李与小陈做猜拳嬉戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之

和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（）

【答案】A

【解析】

解：画树状图如图：

共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个,

二小李获胜的概率为一;

本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；依据题意画出树状图是解题的关键.

14.（2024•广西中考真题）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小

霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参与活动，两人恰好选择同一场馆的概率是

（）

1212

A.-B.-C.—D.一

3399

【答案】A

【解析】

画树状图为：（用A、B、。分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3,

31

所以两人恰好选择同一场馆的概率=-=

93

故选：A.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示全部等可能的结果〃，再从中选出符合事务A或

3的结果数目m,然后利用概率公式计算事务4或事务3的概率.

15.（2024•湖北中考真题）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为〃、c,则关于x的

一元二次方程改2+4x+c=0有实数解的概率为（）

1

A.-

4

【答案】C

【解析】

由题意，△=42-4ac20,

acW4,

画树状图如下：

积；23426836124812

a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，

所以a、c的积不大于4（也就是一元二次方程有实数根）的概率为二=2,

122

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到acW4是解题的关键.

【考点精炼】

1.（2024•湖北初三期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事务是（）

A.确定事务B.必定事务C.不行能事务D.不确定事务

【答案】D

【解析】

“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事务是随机事务，属于不确定事务，

故选D.

考点：随机事务.

2.（2024•山东中考真题）下列事务中，是必定事务的是（）

A.掷一次骰子，向上一面的点数是6

B.13个同学参与一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月

C.射击运动员射击一次，命中靶心

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

【答案】B

【解析】

解：A.掷一次骰子，向上一面的点数是6,属于随机事务；

B.13个同学参与一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必定事务；

C.射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事务；

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事务；

故选：B.

【点睛】

此题主要考查事务发生的概率，解题的关键是熟知必定事务的定义.

3.（2024•四川中考真题）小强同学从—1,0,1,2,3,4这六个数中任选一个数，满意不等式x+l<2

的概率是。

1111

A.—B.—C.—D.一

5432

【答案】C

【解析】

解:x+l<2

解得：x<l

•••六个数中满意条件的有2个，故概率是:.

【点睛】

本题考查了解不等式，随机事务概率，解本题的关键是通过解不等式来求满意条件的随机事务概率.

4.（2013•山东中考真题）有三张正面分别写有数字一1,1,2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张

卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以

其正面的数字作为b的值，则点（a,b）在其次象限的概率为

1112

A.—B.-C.—D.一

6323

【答案】B

【解析】

依据题意，画出树状图如下:

开始

a-112

»A12A-12A」1

一共有6种状况，在其次象限的点有（-1,1）（-1,2）共2个，所以，P=-=-.故选B.

63

考点：列表法与树状图法求概率.

5.（2024•海南中考模拟）从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是（）

【答案】C

【解析】

解：列表如下:

积-2-12

-2—2-4

-12—-2

2-4-2—

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，

所以积为正数的概率为金=5，

63

故选C.

【点睛】

本题考查了列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出全部可能的结果，

适合于两步完成的事务；树状图法适合两步或两步以上完成的事务；留意概率=所求状况数与总状况数之比.

6.（2024•山东中考真题）从1,2,3,4中任取两个不同的数，分别记为。和沙，则片+步＞19的概率是

（）

【答案】D

【解析】

解：画树状图得:

开始

1234

/N/K/K/N

234134124123

•••共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，的有4种结果,

41

a2+〃>19的概率是—=

123

故选：D.

【点睛】

本题考查概率，解题的关键是娴熟驾驭画树状图法求概率.

7.（2024•山东中考真题）一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,的五个小球，这些球除标号外都相同,

从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】C

【解析】

解：依据题意可得树状图为：

一共有25种结果，其中15种结果是大于5的

153

因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为一=—

255

故选C.

【点睛】

本题主要考查概率的计算的树状图，关键在于画树状图，依据树状图计算即可.

8.（2024•江苏中考真题）如图，转盘中6个扇形的面积都相等.随意转动转盘1次，当转盘停止转动时,

指针落在阴影部分的概率为

【答案】-

2

【解析】

一般地，假如在一次试验中，有〃种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事务A包含其中的加中

rrj

结果，那么事务A发生的概率为P（A）=一.图中，因为6个扇形的面积都相等，阴影部分的有3个扇形,

n

所以指针落在阴影部分的概率是5.

2

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法.

9.（2024•江苏中考模拟）如图，转盘中6个扇形的面积相等，随意转动转盘1次，当转盘停止转动时，

指针指向的数小于5的概率为.

422

•••共6个数，小于5的有4个，，尸（小于5）=—=—.故答案为一.

633

10.（2024•天津中考真题）不透亮袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除

颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是.

3

【答案】-

【解析】

解：•••不透亮袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，

3

从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是一.

7

3

故答案为：一.

7

【点睛】

本题考查概率的求法与运用，一般方法：假如一个事务有n种可能，而且这些事务的可能性相同，其中事

务A出现m种结果，那么事务A的概率P（A）=—，难度适中.

n

11.（2024•辽宁中考真题）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块

地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是

【解析】

由图可知，黑色地板有4+工？46块，共有16块地板，

2

黑色地板在整个地板中所占的比值为：一=—,

168

二小球最终停留在黑色区域的概率是：3:

O

3

故答案为：—.

O

【点睛】

本题考查的是几何概率，用到的学问点为：几何概率=相应的面积与总面积之比.

12.（2024•辽宁中考真题）一个不透亮的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的

球搅匀后，从中随意摸出1个球，登记颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到

红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】D

【解析】

解：由题意可得，

30

袋子中红球的个数约为：20X——=6,

100

故选：D.

【点睛】

本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出相应的红球的个数.

13.（2024•湖南中考真题）在一个不透亮布袋里装有3个白球、2个红球和。个黄球，这些球除颜色不同

其它没有任何区分.若从该布袋里随意摸出1个球，该球是黄球的概率为工，则a等于

2

【答案】5

【解析】

解得a=5,

经检验：a=5是原分式方程的解，

♦•a=5,

故答案为：5.

【点睛】

本题主要考查概率公式，解题的关键是驾驭概率=所求状况数与总状况数之比.

14.（2024•江苏中考真题）在一个不透亮的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同.

（1）搅匀后从中随意摸出1个球，摸到红球的概率是；

（2）搅匀后先从中随意摸出1个球（不放回），再从余下的球中随意摸出1个球.求两次都摸到红球的概

率.（用树状图或表格列出全部等可能出现的结果）

【答案】（1）（2）见解析，

33

【解析】

（1）一般地，假如在一次试验中，有〃种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事务A包含其中的

加种结果，那么事务A发生的概率为P（A）=j,则摸到红球的概率为j

（2）两次摸球的全部可能的结果如下：

有树状图可知，共有6种等可能的结果，两次都摸出红球有2种状况,

故P（两次都摸处红球）=-=-

【点睛】

本题考查古典概型概率的求法和树状图法求概率的方法.

15.（2024•甘肃中考真题）2024年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年

强一国学学问挑战赛”总决赛拉开帷幕，小明晋级了总决赛.竞赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节

中各选择一道题目.

第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用4,4，4表示）；

其次环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用耳,鸟,反表示）

（1）请用树状图或列表的方法表示小明参与总决赛抽取题目的全部可能结果

（2）求小明参与总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率。

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】

（1）运用列表的方法表示小明参与总决赛抽取题目的全部可能结果

二

BI鸟

B2

AA^3

44片4与4名

A4片

A4片4鸟A4B3

（2）小明参与总决赛抽取题目都是成语题目的概率为P=-=-