2024年中考数学基础题型提分练：相似形（含解析）

专题11相像形

【考点精说】

必考点1比例线段

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a：b

„am、

=m：n（z或一=一）

bn

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如q=£

bd

ac

4、比例外项：在比例一=一（或a：b=c：d）中a、d叫做比例外项。

bd

5、比例内项：在比例0=9（或a：b=c：d）中b、c叫做比例内项。

bd

ac

6、第四比例项：在比例一=—（或a：b=c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

bd

nh

7、比例中项：假如比例中两个比例内项相等，即比例为一=—（或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d

ba

的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，假如其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做

成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：假如a：b=c：d那么ad=bc逆命题也成立，即假如ad=bc,那么a：b=c：d

10、比例的基本性质推论：假如a：b=b：d那么b2=ad,逆定理是假如岛ad那么a：b=b：c。说明：

两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

...川广,ac,a+bc+d

11、合比性质：假m如一=一,那么-----=-----

bdbd

,acm,,,+-----1-ma

12.等比性质：假m如一=—=3=—,（Z?+d+…）,那么-------------=—

bdnb+d-----\-nb

说明：应用等比性质解题时常采纳设已知条件为k,这种方法思路单一，方法简洁不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这

条线段黄金分割。

说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的避匚倍

2

得到点C,则点C就是AB的黄金分割点。

【典例1】（2024•四川中考真题）若。：。=3:4,且a+b=14,则2a—Z?的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【答案】A

【解析】

解：由a：6=3：4a:6=3:4知3/?=4a,

4〃

所以6=—.

3

4q

所以由a+b=14得至/a+—=14,

3

解得a=6.

所以匕=8.

所以2a—3=2x6—8=4.

故选：A.

【点睛】

nc

考查了比例的性质，内项之积等于外项之积.若一=一,则"=Z?c.

ba

【举一反三】

1.（2024•安徽初三月考）若二=3,则匕上的值为（）

x4x

457

A.1B.—C.—D.一

744

【答案】D

【解析】

..2-2

x4,

x+y4+37

------------=-------------二——,

x4-4

故选D

/7h

2.（2024•河南初三期末）已知二=彳（a#0,b#0）,下列变形错误的是（）

23

a2b3

A.—=—B.2a=3bC.—=—D.3a=2b

b3a2

【答案】B

【解析】

（2b

解：由一=一得，3a=2b,

23

A、由等式性质可得：3a=2b,正确；

B、由等式性质可得2a=3b,错误；

C、由等式性质可得：3a=2b,正确；

D、由等式性质可得：3a=2b,正确；

故选B.

【点睛】

本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积.

3.（2024•河南初三期中）已知P=三，则上”的值是（）

a13a+b

239

A.-B.-C.一］

324

【答案】D

【解析】

=.•.设出b=5k,得出a=13k,把a,b的值代入^—,得,

a13a+b

a-b13k-5k8k4

-----=---------=—=-.故选D.

a+b13k+5k18k9

必考点2平行线分线段成比例

1、平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线

段也相等。

2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特别状况。

口u全等竺

［下一H下次［上一U下人］全一【I全》［下

1

3.平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。

4、三角形一边的平行线的判定定理。假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线

段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

【典例2］（2024•青海中考真题）如图，4£>//6石//。7,直线小《与这三条平行线分别交于点A、B、C

和点D、E、F.已知心1,於3,法1.2,则郎的长为（）

A.3.6B.4.8C.5D.5.2

【答案】B

【解析】

解：AD//BE//CF,

ABDE11.2

---=----,即一=----,

BCEF3EF

EF=3.6,

DF=EF+DE=3.6+1.2=4.8,

故选：B.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型.

【举一反三】

1.（2024•四川中考真题）如图，在AABC中，DE//BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AC的长

B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

'：DEIIBC,

ADAE9AE

---=----,即nn一=----，

DBEC32

AE=6,

AC=AE+EC=6+2=8.

故选：C.

【点睛】

此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE

2.（2024•广西中考真题）如图，在AABC中，。，石分别是ABAC边上的点,DE//BC,若

AD=2,AB=3,DE=4,则等于（）

A.C.7D.8

【答案】B

【解析】

解：VDE//BC,

：.ADEABC,

ADDE

ABBC

24

即一=,

3BC

解得：BC=6,

故选A

【点睛】

本题考查了相像三角形的判定与性质；证明三角形相像得出对应边成比例是解题的关键

3.(2024•四川中考真题)如图，在AABC中，D在AC边上，AD：£>0=1:2,0是BD的中点，连接A0

并延长交BC于E,则BE：EC=()

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

【答案】B

【解析】

解：如图，过。作OG/ABC，交AC于G,

：0是BD的中点，

...G是DC的中点.

又AD：DC=1：2,

:.AD^DG^GC,

:.AGzGC=2：1,AaOE=2：1,

SAAOB：SMOE-2

设S帖OE-S,^^AOB—2s,又30=01)f

・••SAAOD=2S,S^BD=4S,

,AD：DC=1：2,

­q

…°ABDC——8S,S四边形cooE—7S,

•,SAA£；C=9S,S^BE=3S,

BE_S坎BE__J_

~EC~~S^~9S~^

故选：B.

BEc

【点睛】

考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的学问，难度较大，留意娴熟运用中位线定理和三角形面积公

式.

必考点3相像三角形

1、相像三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相像三角形。

说明：证两个三角形相像时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，

这样便于找出相像三角形的对应角和对应边。

2、相像比：相像三角形对应边的比k,叫做相像比（或叫做相像系数）。

3、相像三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的

三角形与原三角形相像。

说明：这个定理反映了相像三角形的存在性，所以有的书把它叫做相像三角形的存在定理，它是证明

三角形相像的判定定理的理论基础。

4、三角形相像的判定定理：

（1）判定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相

像。可简洁说成：两角对应相等，两三角形相像。

（2）判定定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那

么这两个三角形相像，可简洁说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。

（3）判定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形

相像，可简洁说成：三边对应成比例，两三角形相像。

（4）直角三角形相像的判定定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边

和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相像的命题是正确的，在解题时，也可以用它们

来判定两个三角形的相像。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相像。

其次：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相像。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相像。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像。

第五：假如一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成

比例，那么这两个三角形.相像。

5、相像三角形的性质：

(1)相像三角形性质1：相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相像比。

(2)相像三角形性质2：相像三角形周长的比等于相像比。

说明：以上两特性质简洁记为：相像三角形对应线段的比等于相像比。

(3)相像三角形面积的比等于相像比的平方。

说明：两个三角形相像，依据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这特性质。

【典例3】(2024•山东中考真题)如图，在AABC中，AC=2,BC=4,。为边上的一点，且

ZCAD=ZB.若AA0C的面积为则的面积为()

7

C.3aD.-a

2

【答案】C

【解析】

【详解】

VZCAD=ZB,ZACD^ZBCA,

：.AACDABCA,

解得，A3C4的面积为4a,

的面积为：4a-a=3a,

故选：C.

【点睛】

本题考查相像三角形的判定定理和性质，解题的关键是娴熟驾驭相像三角形的判定定理和性质.

【举一反三】

1.（2024•四川中考真题）如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与的4G

相像的是（）

A,B-

c-丛D

【答案】B

【解析】

解：因为M4cl中有一个角是135°,选项中，有135°角的三角形只有B,且满意两边成比例夹角相等,

故选：B.

【点睛】

本题考查相像三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型.

2.（2024•四川中考真题）如图口ABCD,F为BC中点，延长AD至E,使。£:AD=1:3,连结EF交DC于

点士G,则SDEG-S^CFG=（）

A.2：3B.3：2C.9：4D.4：9

【答案】D

【解析】

解：设DE=x,

DE:AD=1:3,

AD=3x,

•・•四边形ABCD是平行四边形,

AD//BC,BC=AD=3x,

••,点F是BC的中点，

13

CF=-BC=-x,

22

AD//BC,

：.NDEG^ACFG,

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了相像三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键.

3.（2024•海南中考真题）如图，在RtMfiC中，NC=90°，AB=5,BC=4.点尸是边4c上一动点,

过点尸作PQ〃钻交比1于点0,。为线段网的中点，当初平分NABC时，"的长度为（）

【答案】B

【解析】

解：ZC=90°.AB=5，BC=4,

.-.AC=VAB2-BC2=3'

PQ//AB,

ZABD=ZBDQ,又/ABD=NQBD,

ZQBD=ZBDQ,

QB=QD,

：.QP=2QB,

PQ//AB,

bCPQACAB,

CP_CQ_PQCP_4-QB_2QB

CACBAB345

24

解得，CP一,

13

:.AP=CA-CP=—,

13

故选自

【点睛】

本题考查的是相像三角形的判定和性质,驾驭相像三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

【考点精炼】

1.（2024•内蒙古中考真题）如图，D、E分别是△ABC边A&AC上的点，ZADE=ZACB,若

AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

解：•/ZADE=ZACB,ZA=ZA,

ADEs.ACB，

ADAE2AE

：.——=——，a即一=——，

ACAB46

解得，AE=3,

故选：C.

【点睛】

本题考查分线段成比例定理，娴熟驾驭运算法则是解题关键

2.（2024•太原市志达中学校初三月考）若q=2=£,则」+:一0的值为（）

234a

A.2B.-c.D.9

92

【答案】C

【解析】

设abc,

2=3=4=*°)

则a=2k,b=3k,c=4k,

原式_2k+3k-4k_i,

一2k~2

故选：c.

【点睛】

本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便.

3.（2024•广西中考真题）如图，在AABC中，点。，E分别在AB,AC边上，DEHBC,ZACD^ZB,

若AD=2B£>,BC=6,则线段CD的长为（）

A.26B.372C.276D.5

【答案】C

【解析】

解：设AD-2x，BD=x，

AB=3x,

•/DE//BC,

：.AADEAABC,

.DEADAE

"BC-AB~AC'

.DE2x

63x'

AE2

DE=4，=-，

AC3

；ZACD^ZB,

ZADE=ZB，

：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA，

MDEAACD,

.ADAEDE

AC~AD~CD'

设AE=2y,AC-3y,

AD_2y

~3y~^D'

AD=屈y,

2y4

瓜yCD

/.CD=2A/6，

故选C.

【点睛】

本题考查相像三角形，解题的关键是娴熟运用相像三角形的性质与判定，本题属于中等题型.

4.（2024•广西中考真题）如图，AB//EF//DC,AD//BC,EF与AC交于点、G,则是相像三角形共有

A.3对B.5对C.6对D.8对

【答案】C

图中三角形有：AAEG,AADC,ACFG,ACBA,

VAB//EF//DC,AD//BC

：.AAEG^AADC^ACFG^ACBA

共有6个组合分别为：AAEG^AAOC，AAEG^ACFG,AAEG^ACBA,AADC^ACFG,

AADCSACBA,ACFG^ACBA

故选：c.

【点睛】

此题主要考查相像三角形的判定，解题的关键是熟知相像三角形的判定定理.

5.（2024•黑龙江中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，点E在对角线6。上，EMAD,交AB

于息M,EN交AO于点N,则下列式子肯定正确的是（）.

AMNEAMANBCBEBDBC

A.——------B.——=------C.-------------D.-----

BMDEABADMEBDBEEM

【答案】D

【解析】

解：♦..在，ABCD中，EMAD

易证四边形AMEN为平行四边形

,易证ABEMs^BADSAETVD

,AMNEDE…、=

••------=------=-----,A项错底

BMBMBE

AMND…、=

-----=------,B项错供

ABAD

BCADBD-

MEMEBE

BDACBC工…

BEMEME

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了相像三角形的性质、平行四边形的判定与性质，娴熟运用两者性质确定线段比例关系是解

题的关键.

6.(2024•湖北中考模拟)在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2),

若以原点0为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的,后得到线段CD,则点A的对应点C的坐

2

标为()

A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5)

【答案】C

【解析】

V以原点0为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的上后得到线段CD,

2

端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，

又：A(6,8),

.••端点C的坐标为(3,4).

故选C.

点睛：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键.

7.(2024•辽宁中考真题)如图，点尸(8,6)在△板的边/C上，以原点0为位似中心，在第一象限内

将缩小到原来的工,得到△/B'C,点P在2C上的对应点P的的坐标为()

2

A.(4,3)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,4)

【答案】A

【解析】

;点P(8,6)在aABC的边AC上，以原点0为位似中心，在第一象限内将AABC缩小到原来的工，得到

2

△A，B'C,

.,.点P在A'C'上的对应点P，的的坐标为：(4,3).

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键.

8.（2024•西藏中考真题）如图，在AABC中，RE分别为AB、AC边上的中点，则AADE与AABC的

面积之比是（）

【答案】A

【解析】

由题意可知：。后是AA5C的中位线，

:.DE//BC,DE=-BC,

2

..AADESAABC,

.s“（町」

■■l5cj4’

故选：A.

【点睛】

本题考查相像三角形，解题的关键是娴熟运用相像三角形的性质与判定，本题属于基础题型.

9.（2024•河南初三期中）如图，在△板中，BF平分/ABC,AF工即于悬F,〃为血的中点，连接加延

长交2。于点反若止10,除16,则线段跖的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

解：VAFXBF,

.,.ZAFB=90°,

VAB=10,D为AB中点，

1

.•.DF=-AB=AD=BD=5,

2

ZABF=ZBFD,

又：BF平分/ABC,

/.ZABF=ZCBF,

/.ZCBF=ZDFB,

；.DE〃BC,

.,.△ADE^AABC,

EDADED5

---=----即an----=—,

BCAB1610

解得：DE=8,

；.EF=DE-DF=3,

故选B.

【点睛】

本题主要考查直角三角形的性质和相像三角形的判定与性质，娴熟运用其判定与性质是解题的关键.

10.（2024•江苏中考模拟）如图，4ABC中，D为BC上一点，ZBAD=ZC,AB=6,BD=4,则CD的长为

【答案】5

【解析】

解：VZBAD=ZC,NB=NB,

/.△BAD^ABCA,

.BABD

"BC--

VAB=6,BD=4,

6_4

BC-6

.\BC=9,

.,.CD=BC-BD=9-4=5.

【点睛】

本题考查相像三角形的判定与性质，熟记判定方法精确找到相像三角形对应边是本题的解题关键..

11.（2024•广西中考真题）如图，以点。为位似中心，将3放大后得到AOCD,0A=2,AC=3,

AB

则

~CD

2

【答案】j.

【解析】

解：•.•以点。为位似中心，将AQ43放大后得到AOCD,Q4=2,AC=3,

•OAAB2__2

"OC-CD_2+3-5-

故答案为：—.

【点睛】

此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键.

12.（2024•江苏中考真题）如图，Z\ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE〃BC,AD：AB=1：3,则AADE与

AABC的面积之比为.

【解析】

由DE〃BC,可得△ADES^ABC,依据相像三角形的面积之比等于相像比的平方可得SAADE：SAABC=（AD：AB）

2=1：9.

考点：相像三角形的性质.

13.(2024•辽宁中考真题)在平面直角坐标系中，点A3的坐标分别是4(4,2),8(5,0),以点。为位似

中心，相们比为g,把缩小，得到44。，则点A的对应点4的坐标为.

【答案】(2,1)或(—2,—1)

【解析】

解：以点。为位似中心，相像比为g,把缩小，点A的坐标是A(4,2)

则点A的对应点4的坐标为［4x；,2x；］或1—4xg,—2xJ即(2,1)或(—2,—1),

故答案为：(2,1)或(—2,—1).

【点睛】

本题考查的是位似图形，娴熟驾驭位似变换是解题的关键.

14.(2024•内蒙古中考真题)已知三个边长分别为2。"，3cm,5cm的正方形如图排列，则图中阴影部

分的面积为.

【答案】3.75cm2.

【解析】

对角线所分得的三个三角形相像,

5x

依据相