2024年中考数学基础题型提分练：以三角形为背景的证明与计算（含解析）

专题19以三角形为背景的证明与计算

考点分析

【例1】（2024•山东中考真题）如图，已知等边AABC,CDLAB于。，AF±AC,E为线段CD上

一点，且CE=AF,连接BE,BF,EGLBF于G,连接。G.

(1)求证：BE=BF；

(2)试说明。G与AF的位置关系和数量关系.

【答案】(1)详见解析；(2)AF=2GD,AF//DG,理由详见解析.

【解析】

(1)：AABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,NBAC=NACB=NABC=60°,

VCDLAB,AC=BC,

：.BD=AD,ZBCD=3Q°,

•：AF±AC,

:.ZFAC=90°,

/FAB=ZFAC-ZBAC=30°,

:.ZFAB=ZECB,且AB=5C,AF=CE,

AABF咨ACBE(SAS),

:.BF=BE，

(2)AF=2GD,AF/ADG.理由如下:

连接£尸，

AABF^ACBE

/.ZABF=/CBE,

ZABE+ZEBC=60°,

：.ZABE+ZABF=60°,

,:BE=BF，

AB所是等边三角形，

,：GELBF,

:.BG=FG,且5£>=人£>,

AF=2GD,AF//DG.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，娴熟运用三角形中

位线定理是本题的关键.

【例2】(2024•山东中考真题)小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

在AABC中，AB=AC,M是平面内随意一点，将线段A"绕点4按顺时针方向旋转与乙BAC相等的角

度，得到线段AN,连接N3.

(1)如图1,若M是线段上的随意一点，请干脆写出钻与NM4C的数量关系是，NB

与MC的数量关系是；

（2）如图2,点E是AB延长线上点，若〃是NC3E内部射线班）上随意一点，连接MC,（1）中结论

是否仍旧成立？若成立，请赐予证明，若不成立，请说明理由.

（二）拓展应用

如图3,在AA必G中，4用=8,NA4G=60°，ZBJAG=75。，P是4G上的随意点，连接AP，

将4尸绕点A按顺时针方向旋转75。，得到线段AQ,连接用Q.求线段用。长度的最小值.

【答案】（一）（1）结论：ZNAB=ZMAC,BN=MC.理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍旧成

立.理由见解析；（二）的最小值为4四-4后.

【解析】

（一）（1）结论：ZNAB=ZMAC,BN=MC.

理由：如图1中，

图1

ZMAN=ZCAB,

：.ZNAB+ZBAM=ZBAM+ZMAC,

：.ZNAB=ZMAC,

,：AB=AC,AN=AM,

:.XNABQXMAC(SAS\

BN=CM.

故答案为NM4B=NM4C,BN=CM.

（2）如图2中，①中结论仍旧成立.

B

E/M

图2

理由：VZMAN=ZCAB,

：.ZNAB+ZBAM=ZBAM+ZMAC,

：.ZNAB=ZMAC,

,：AB=AC,AN=AM,

：./^NABAMAC(SAS\

BN=CM.

（二）如图3中，在AG上截取AN=A©,连接PN,作NH上BCi于H,作4"，51cl于

图3

VZC^B,^ZPA,Q,

：.NQ44=ZP^N,

•：AXA^AXP,Qi=AN,

AQA与乌APAN(SAS),

:.B]Q=PN,

当PN的值最小时，QBX的值最小,

在RtAA}B^M中，N44M=60°,4耳=8,

=A4・sin60°=4A/3,

NM41G=N31AG—=75°—30°=45°,

AG=4A/6,

：.NC]=AG-AN=4痛-8,

在Rt^NHC],'：zq=45°,

NH=4y/3-4y/2，

依据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，

QB]的最小值为4石—40.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段

最短等学问，解题的关键是学会添加常用协助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最

值问题，属于中考压轴题.

考点集训

1.（2024•湖北中考真题）如图，在AABC中，。是边上的一点，AB=DB,巫平分NABC,交AC

边于点E,连接OE.

(1)求证：^ABE=ADBE；

(2)若NA=100°,ZC=50°,求NAEB的度数.

【答案】（1）见解析；（2）65

【解析】

（1）证明：•.•3E平分NABC,

ZABE=/DBE,

AB=DB

在AABE和ADBE中，＜ZABE=NDBE,

BE=BE

AABE=ADBE(SAS)；

(2)ZA=100°，ZC=50°,

ZABC=30°,

••・BE平分/ABC,

：.ZABE=ZDBE=-ZABC=15°,

2

在AABE中，ZAEB=180。—ZA-ZABE=180°-100°-15°=65°.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；娴熟驾驭三角形内角和定理

和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键.

2.（2024•浙江中考真题）如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF〃AB

交ED的延长线于点F,

(1)求证：△BDEgACDF；(2)当ADLBC,AE=1,CF=2时，求AC的长.

【答案】(1)见解析；(2)AC=3.

【解析】

解：⑴•/CF//AB,

：.ZB=ZFCD,ZBED=ZF.

：AD是边上的中线，

BD—CD,

：.ABDE会ACDF.

(2)•：&BDE均CDF,

:.BE=CF=2,

/.AB=AE+BE=1+2=3.

VAD±BC,BD=CD,

AC=AB=3.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，娴熟驾驭全等三角形的判定和性质是解题的关键.

3.(2024•天津)在RtZ\ABC中，ZA=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰Rt^ADE绕

点A逆时针旋转，得到等腰RtRt^ADE,设旋转角为a(0<a^180°),记直线BDi与CE1的交点为P.

(1)如图1,当a=90°时，线段BDi的长等于线段CEi的长等于_；(干脆填写结果)

(2)如图2,当a=135"时，求证：BDi=CEi,且BD」C&；

(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(干脆写出结果)

【答案】(1)BD『2BCE『25(2)见解析；(3)1+73

【解析】

解：⑴解：；/A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点，

；.AE=AD=2,

:等腰Rt^ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtzXADR,设旋转角为a(0<a^180°),

.•.当a=90°时，AEi=2,NEiAE=90°,

BD[=V42+22=275,EC=A/42+22=2亚；

(2)证明：当a=135°时，如下图:

c

由旋转可知ND1AB=E1AC=135°

又AB=AC,ADi=AE"

ADiAB丝AEiAC

；.BDkCEi且/DiBA=E£A

设直线BDi与AC交于点F,有NBFA=/CFP

/.ZCPF=ZFAB=90°,

/.BDjXCEi；

(3)解:如图3,作PGLAB,交AB所在直线于点G,

VDHEI在以A为圆心，AD为半径的圆上，

当BE所在直线与。A相切时，直线BDi与CEi的交点P到直线AB的距离最大,

此时四边形ADiPEi是正方形，PDi=2,则BQ=J，-2?=2\/3，

故NABP=30°,

则尸3=2+2目,

故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=l+6

考点：旋转变换，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性质

4.（2024•江西初二期末）（1）如图（1）,已知：在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD±

直线m,CE,直线m,垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有

NBDA=NAEC=NBAC=a，其中a为随意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若

不成立,请说明理由.

(3)拓展与应用：如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点

F为NBAC平分线上的一点，且AABF和4ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若NBDA=NAEC=NBAC,试推

断4DEF的形态.

【答案】(1)见解析(2)成立(3)4DEF为等边三角形

【解析】

解：(1)证明：：BD_L直线m,CE_L直线m,AZBDA=ZCEA=90°.

VZBAC=90°,/.ZBAD+ZCAE=90°.

,/ZBAD+ZABD=90°,ZCAE=ZABD.

又AB="AC”,AAADB^ACEA(AAS).；.AE=BD,AD=CE.

；.DE="AE+AD="BD+CE.

(2)成立.证明如下：

ZBDA=ZBAC=«,ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°—a./.ZDBA=ZCAE.

VZBDA=ZAEC=a,AB=AC,/.△ADB^ACEA(AAS)./.AE=BD,AD=CE.

.,.DE=AE+AD=BD+CE.

(3)ZXDEF为等边三角形.理由如下：

由(2)知，AADB^ACEA,BD=AE,ZDBA=ZCAE,

,?AABF和AACF均为等边三角形，ZABF=ZCAF=60°.

/.ZDBA+ZABF=ZCAE+ZCAF.ZDBF=ZFAE.

：BF=AF,.•.△DBF^AEAF(AAS).；.DF=EF,ZBFD=ZAFE.

.•.ZDFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60°.

/.△DEF为等边三角形.

(1)因为DE=DA+AE,故由AAS证4ADB丝ACEA,得出DA=EC,AE=BD,从而证得DE=BD+CE.

(2)成立，仍旧通过证明4ADB咨ACEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.

(3)由△ADBdCEA得BD=AE,ZDBA=ZCAE,由AABF和AACF均等边三角形，得NABF=/CAF=60",FB=FA,

所以/DBA+NABF=NCAE+/CAF,即/DBF=NFAE,所以4DBF丝△EAF,所以FD=FE,ZBFD=ZAFE,再依据

ZDFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60°得到ADEF是等边三角形.

5.(2024•贵州中考真题)(1)如图①，在四边形ABC。中，A3〃CD,点E是的中点，若AE是/&4D

的平分线，试推断AB,AD,。。之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法：延长AE交。C的延长线于点/，易证AAEB且AFEC得到A5=EC,从

而把AB,AD,。。转化在一个三角形中即可推断.

AB,AD,。。之间的等量关系；

(2)问题探究：如图②，在四边形ABC。中，AB//CD,AE与。C的延长线交于点/，点E是的

中点，若AE是NBA/的平分线，摸索完AB,AF,b之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)AD=AB+DC；(2)AB^AF+CF,理由详见解析.

【解析】

解：⑴AD=AB+DC.

理由如下：如图①，是NE4D的平分线，NZME=44£

,/ABHDC,/.ZF=ZBAE,/.ZDAF=ZF,/.AD=DF.

,点E是BC的中点，，CE=BE，

又,：公=ZBAE，ZAEB=ZCEF

：.NCEFABEA(AAS),：.AB=CF.

：.AD=CD+CF=CD+AB.

故答案为：AD=AB+DC.

(2)AB=AF+CF.

理由如下：如图②，延长AE交的延长线于点G.

'：ABHDC,：.ZBAE=Z.G,

又,；BE=CE,ZAEB=ZGEC,

/.AAEB^AGEC(AAS),/.AB=GC,

VAE是ZBAF的平分线，，ZBAG=ZFAG,

•：ZBAG=ZG,：.ZFAG=ZG,：.FA=FG,

VCG=CF+FG,：.AB=AF+CF.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等学问，添加恰当协

助线构造全等三角形是解本题的关键.

6.(2024•江苏初二期中)如图，ZkABC中，AB=AC,点E,F在边BC上，BE=CF,点D在AF的延长线上,

AD=AC,

(1)求证:AABE^AACF；

(2)若NBAE=30°,贝(JNADC=°.

【答案】(1)证明见解析；(2)75.

【解析】

(1)：AB=AC,

ZB=ZACF,

在4ABE和4ACF中,

AB=AC

ZB=ZACF,

BE=CF

.'.△ABE^AACF(SAS)；

(2)VAABE^AACF,ZBAE=30°,

；.NCAF=/BAE=30°，

；AD=AC,

.•.ZADC=ZACD,

1800-30°。

ZADC=---------=75°，

2

故答案为75.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，娴熟驾驭相关性质与定理是解题的关键.

7.（2024•江苏中考真题）如图，AABC中，点E在边上，AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AE

的位置，使得NC4F=44E,连接跖，砂与AC交于点G

(1)求证：EF=BC；

⑵若NABC=65。，ZACB=28°,求NPGC的度数.

【答案】(1)证明见解析；(2)78°.

【解析】

(1)-.■ZCAF=ZBAE

:.ZBAC=ZEAF

■：AE=AB,AC=AF

.-.△BAC^A£AF(5AS)

:.EF=BC

(2)-.AB=AE,ZABC=65°

，Za4E=180°-65°x2=50°

:.ZFAG=50°

•.,AB4cgAE4F

:.4=NC=28。

.•.ZFGC=50°+28°=78°

【点睛】

本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等学问点，比较简洁，基础学问扎实是

解题关键

8.(2024•江苏中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC±,BD=CE,BE、CD相交于点

0；

求证：(1)ADBC=AECB

(2)OB=OC

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）VAB=AC,

/.ZECB=ZDBC,

在AD5C与AEC3中

BD=CE

<ZDBC=ZECB,

BC=CB

：.ADBC=AECB；

（2）由（1）ADBC=NECB,

.,.ZDCB=ZEBC,

.•.OB=OC.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，娴熟驾驭全等三角形的判定定理与性质

定理是解题的关键.

9.（2024•江苏中考真题）如图，AABC中，NC=90°，AC=4,BC=8.

（1）用直尺和圆规作A3的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点。，求友）的长.

【答案】（1）详见解析；（2）BD=5.

【解析】

（1）如图直线即为所求.

（2）;跖V垂直平分线段AB，，=

设DA=DB=x,在RtAACD中，

,/AD2=AC2+CD2,X2=42+（8-x）2,

解得x=5,BD—5-

【点睛】

本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等学问，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考

常考题型.

10.（2024•湖北初二期中）（问题提出）

如图①，已知aABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC,将4BCE绕点C顺时

针旋转60°至4ACF连接EF

试证明：AB=DB+AF

(类比探究)

(1)如图②，假如点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系？

请说明理由

(2)假如点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB,DB,

AF之间的数量关系，不必说明理由.

【答案】证明见解析；(1)AB=BD-AF；(2)AF=AB+BD.

【解析】

(1)证明：DE=CE=CF,ABCE

由旋转60°得AACF,

Z.ZECF=60°,BE=AF,CE=CF,

/.△CEF是等边三角形，

/.EF=CE,

.\DE=EF,ZCAF=ZBAC=60°,

：.ZEAF=ZBAC+ZCAF=120°,

VZDBE=120°,

：.ZEAF=ZDBE,

又•：A,E,C,F四点共圆，

/.ZAEF=ZACF,

又；ED=DC,

.•.ZD=ZBCE,ZBCE=ZACF,

.,.ZD=ZAEF,

AEDB^FEA,

.*.BD=AF,AB=AE+BF,

/.AB=BD+AF.

类比探究(1)DE=CE=CF,ZXBCE由旋转60°得Z\ACF,

ZECF=60°,BE=AF,CE=CF,

/.△CEF是等边三角形，

・・・EF=CE,

ADE=EF,ZEFC=ZBAC=60°,

ZEFC=ZFGC+ZFCG,NBAONFGC+NFEA,

・・・ZFCG=ZFEA,

又NFCG=NEAD

ND=NEAD,

・•・ND=NFEA,

由旋转知NCBE=NCAF=120°,

・•・NDBE=NFAE=60°

/.ADEB^AEFA,

・・・BD=AE,EB=AF,

・・・BD=FA+AB.

即AB=BD-AF.

(2)AF=BD+AB(或AB=AF-BD)

如图③，

ED=EC=CF,

・・・ABCE绕点C顺时针旋转60°至^ACF,

ZECF=60°,BE=AF,EC=CF,BC=AC,

/.△CEF是等边三角形，

/.EF=EC,

又・.,ED=EC,

AED=EF,

\'AB=AC,BC=AC,

/.△ABC是等边三角形，

AZABC=60°,

XVZCBE=ZCAF,

/.ZCAF=60°,

.,.ZEAF=180°-ZCAF-ZBAC

=180°-60°-60°

=60°

/.NDBE=NEAF；

TED=EC,

・・・NECD=NEDC,

・•・NBDE=NECD+NDEC=NEDC+NDEC,

XVZEDC=ZEBC+ZBED,

ZBDE=ZEBC+ZBED+ZDEC=60°+ZBEC,

VZAEF=ZCEF+ZBEC=60°+ZBEC,

・•・NBDE=NAEF,

在AEDB和AFEA中，

/DBE=/EAF

<ZBDE=ZAEF

ED=EF

AAEDB^AFEA(AAS),

ABD=AE,EB=AF,

「BE=AB+AE,

・・・AF=AB+BD,

即AB,DB,AF之间的数量关系是:

AF=AB+BD.

考点：旋转改变，等边三角形，三角形全等，

11.（2024•浙江中考真题）如图，在ZVIBC中，AC<AB<BC.

⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连结AP,求证：?APC2?B；

⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q,连结AQ,若？AQC37B,求B3的度数.

【答案】（1）见解析；（2）NB=36°.

【解析】

（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，

所以PA=PB,

所以/PAB=NB,

所以/APC=NPAB+/B=2NB.

（2）依据题意，得BQ=BA,

所以/BAQ=NBQA,

设/B=x,

所以NAQC=/B+/BAQ=3x,

所以NBAQ=NBQA=2x,

在4ABQ中，x+2x+2x=180°,

解得x=36°,即NB=36°.

【点睛】

本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是驾驭垂直平分线的性质、等腰三角形的性

质.

12.（2024•山东初三）（1）操作发觉：如图①，小明画了一个等腰三角形四C,其中曲4G在△被7的

外侧分别以四，4c为腰作了两个等腰直角三角形加，ACE,分别取物，CE,优■的中点mN,G,连接第

GN.小明发觉了：线段副与©V的数量关系是;位置关系是.

（2）类比思索：

如图②，小明在此基础上进行了深化思索.把等腰三角形上换为一般的锐角三角形，其中相其它

条件不变，小明发觉的上述结论还成立吗？请说明理由.

(3)深化探讨：

如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究.向△上的内侧分别作等腰直角三角形ACE,

【解析】

(1)连接BE,CD相交于H,如图1,

图1

VAABD和4ACE都是等腰直角三角形,

；.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=90°

ZCAD=ZBAE,

.•.△ACD^AAEB(SAS),

；.CD=BE,ZADC=ZABE,

.".ZBDC+ZDBH=ZBDC+ZABD+ZABE=ZBDC+ZABD+ZADC=ZADB+ZABD=90

.../BHD=90°,

ACD±BE,

•••点M,G分别是BD,BC的中点,

，MG〃CD且MG」CD,

2

同理：NG〃BE且NG=^BE,

2

；.MG=NG,MG±NG,

（2）连接CD,BE,相交于H,如图2,

D

图2

同⑴的方法得，MG=NG,MGXNG；

（3）连接EB,DC并延长相交于点H,如图3.

图3

同⑴的方法得，MG=NG,

同（1）的方法得，4ABE之△ADC,

ZAEB=ZACD,

ZCEH+ZECH=ZAEH-ZAEC+1800-ZACD-ZACE=ZACD-45°+180°-ZACD-45°=90°,

.\ZDHE=90°,

同（1）的方法得，MG±NG.

...△GMN是等腰直角三角形.

点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定

和性质，三角形的中位线定理，正确作出协助线用类比的思想解决问题是解本题的关键.

13.（2024•山东）（提出问题）

（1）如图1,在等边△ABC中，点M是BC上的随意一点（不含端点B、C）,连结AM,以AM为边作等边AAMN,

连结CN.求证：ZABC=ZACN.

（类比探究）

（2）如图2,在等边AABC中，点M是BC延长线上的随意一点（不含端点C）,其它条件不变，（1）中结

论/ABC=NACN还成立吗？请说明理由.

（拓展延长）

(3)如图3,在等腰4ABC中，BA=BC,点M是BC上的随意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作

等腰aAMN,使顶角NAMN=NABC.连结CN.摸索究NABC与NACN的数量关系，并说明理由.

【答案】见解析

【解析】

解：(1)证明：:△ABC、ZXAMN是等边三角形，.\AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°.

ZBAM=ZCAN.

AB=AC

:在△BAM和ACAN中，｛/BAM=/CAN',

AM=AN

AABAM^ACAN(SAS).ZABC=ZACN.

(2)结论/ABC=NACN仍成立.理由如下：

VAABC,△AMN是等边三角形，/.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°.

ZBAM=ZCAN.

AB=AC

•.•在ABAM和ACAN中，｛/BAM=/CAN',

AM=AN

.,.△BAM^ACAN(SAS).ZABC=ZACN.

(3)NABC=NACN.理由如下：

VBA=BC,