2024年中考数学题型突破：二次函数与面积有关的问题25题（专项训练）

类型三二次函数与面积有关的问题(专题训练)

1.(2023•湖南常德•统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A(-LO),以5,0)两

⑴求二次函数的表达式；

⑵求四边形ACDB的面积；

(3)产是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ZACO=NPBC,求P点的坐标.

【答案】(1厅=++1)(万一5)；(2)30；⑶

【分析】(1)用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函

数的解析式，求得。的值，再将。代入解析式中即可.

(2)先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可

求得答案.

(3)根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最

后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标.

【详解】(1):二次函数的图象与x轴交于A(TO)，以5,0)两点.

•••设二次函数的表达式为y=a（x+l）（x-5）

AO=1,tanZACO=1,

：.OC=5,即C的坐标为（0,5）

则5=4（0+1）（。_5）,得a=-l

二次函数的表达式为y=-(x+l)(x-5)；

(2)y=-(x+l)(x-5)=-(x-2)2+9

..•顶点的坐标为(2,9)

过。作于N,作DM_LOC于M,

四边形ACDB的面积=^△AOC+S矩形OMDN-SMDM+S&DNB

(3)如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当NACO=NP3C时,

连接尸3,过C作CEL3c交疲于E,过于歹，

•：OC=OB=5,贝LOCB为等腰直角三角形，ZOCB=45°.

由勾股定理得：CB=5母,

,:ZACO=ZPBC,

tanZACO=tan/PBC,

1CECE

即二=3=近

CE=也

由CH_L3C,得N3CE=90。,

，ZECF=180°-NBCE-Z.OCB=180°-90°-45°=45°.

aEFC是等腰直角三角形

FC=FE=l

；•E的坐标为(1,6)

3is

所以过3、E的直线的解析式为＞=-5工++

315

y=——x-\----

令＜22

y=-(X+1)(JC-5)

1

x=—

尤=52

解得＞或J

y=on27

y=T

127

所以BE直线与抛物线的两个交点为8(5,0),P

25T

_L27

即所求产的坐标为P2JT

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题,

解题的关键是将所学的知识灵活运用.

2.(2023•山东东营・统考中考真题)如图，抛物线过点0(0,0),E。。,。)，矩形A3CD的边

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当f为何值时，矩形A3CD的周长有最大值？最大值是多少？

(3)保持f=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个

交点G,H,且直线G"平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离.

1541

【答案】(l)y=工f-jX;(2)当r=l时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为了；(3)4

【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y="（x-io）S*o）,求出点c的坐标，将点c的

坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；

（2）由抛物线的对称性得==则AB=10-2f,再得出3。=-：/+二八根据矩

42

形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；

（3）连接AC,8。相交于点P,连接0C,取0c的中点。，连接尸。，根据矩形的性质和

平移的性质推出四边形OCHG是平行四边形，则PQ=CH,PQ=^OA.求出f=2时，点A

的坐标为（8,0）,则CH=（OA=4,即可得出结论.

【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为'=依（彳-10）（。力0）.

:当t=2时，BC=4,

••.点C的坐标为（2,-4）.

将点C坐标代入表达式，得2a（2-10）=T,

解得”;

4

抛物线的函数表达式为y无2-二二

42

（2）解：由抛物线的对称性得：AE=OB=t,

：.AB=10-2t.

当x=/时，BC=~-t2+-t.

42

；•矩形A5CD的周长为

2（AB+BC）=2（10_2r）+]_「+|j]

1,

=——t2+t+20

2

lz241

=一«T1A）+V

V--<0,

2

41

••・当f=l时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为:.

（3）解：连接AC,8。相交于点尸，连接。C,取OC的中点。，连接P2.

,/直线GH平分矩形ABCD的面积，

，直线GH过点P..

由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，

PQ=CH.

:四边形ABCD是矩形，

是AC的中点.

PQ=^OA.

当r=2时，点A的坐标为（8,0）,

CH=-OA=4.

2

抛物线平移的距离是4.

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移

的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象

上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质.

3.已知二次函数y=犬+（m-2）x+加-4,其中机＞2.

（1）当该函数的图像经过原点。（0,0），求此时函数图像的顶点A的坐标;

（2）求证：二次函数）=/+（加-2）%+加-4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=-X-2上运

动,平移后所得函数的图像与V轴的负半轴的交点为3,求..AC®面积的最大值.

【答案】(l)A(-l,-!)

(2)见解析

(3)最大值为J9

O

【分析】(1)先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可

得到答案；

(2—in—相2+8加一20)

(2)先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为丁,-----，然后分别证明顶点坐标

的横纵坐标都小于0即可；

(3)设平移后图像对应的二次函数表达式为y=Y+bx+c,则其顶点坐标为，■!，&31,

然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线y=一X一2上推出c=、+2b-8,

4

1g

过点A作03,垂足为H,可以推出SAAoB=-m(b+l)2+3,由此即可求解.

OO

(1)

解：将0(0,0)代入y=/+(加一2)元+加一4,

解得根=4.

由m>2,则机=4符合题意，

y=X2+2x=(x+l)2-1,

A（-1,-1）.

2-m-m2+8m-20

解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为

24

'/m>2,

/.m—2>0,

2—m<0,

..—m+8〃？-2012*„

.------------=——所4）2-l<-l<0,

44

...二次函数,=/+（加-2）%+加-4的顶点在第三象限.

（3）

（A4r—力？

解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y=Y+bx+c,则其顶点坐标为「1竺广

当x=o时，y-c,

：.B（O,c）.

将代入y=-x-2,

解得c="+2b8.

4

,/3（o,。）在y轴的负半轴上,

c<0.

b2+2b-S

OB-—C——

4

过点A作垂足为H,

：.AH=1.

一qc1cn…1/b2+2b-8},

在中，=-OB-AH=-x\---------Ixl

=--b2--b+l

84

=--(&+l)2+-,

88

9

...当b=T时，此时c<0,AO3面积有最大值，最大值为g.

8

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，

二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键

4.(2023・安徽•统考中考真题)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线

>=加+云(0彳0)经过点4(3,3),对称轴为直线x=2.

⑴求6的值；

(2)已知点反C在抛物线上，点B的横坐标为二，点C的横坐标为f+1.过点3作x轴的垂线

交直线于点O,过点C作x轴的垂线交直线。4于点E.

(i)当0<t<2时，求，与的面积之和；

3

(ii)在抛物线对称轴右侧，是否存在点8,使得以6，C,£>,E为顶点的四边形的面积为5?

若存在，请求出点8的横坐标f的值；若不存在，请说明理由.

【答案】1=4；(2)(i)2；(ii)r=|

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)(i)根据题意画出图形，得出2”,一一+今),€:1+1,-«+1)2+4«+1)),D(Z,Z),

/、II—r+3/(0</K3)

石Q+11+1),继而得出5。=卜9/+31八J),

t3，(t>3I

I、2/\\—/+力+2(0</<2)

CE=-(z?+l)-+3(/+l)=I>,当o<f<2时，根据三角形的面积公式，即

IIt-I-之21

可求解.

3

(ii)根据(i)的结论，分<3和”3分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为不

2

建立方程，解方程进而即可求解.

9。+3。=3

【详解】(1)解：依题意，\b,

------=2

、2a

a=-1

解得:

。二4

y=-x2+4x；

(2)(i)设直线。4的解析式为y=丘,

:4(3,3),

3=3k

解得：k=l,

・・・直线y=x,

如图所示，依题意，+4f）,c[r+l,-（?+l）2+4（f+l）j,E（t+l,t+V）,

—t?+3%（0<1工3）

/.BD^\-t2+3t\=<

t2-3t（t>3）

CE=|-（r+l）2+3（/+l）|=<+/+2（0</<2)

:.当0<f<2时，0%(与"CE的面积之和为：2Oxt+gcE(3T-l)=2,

(ii)当点8在对称右侧时，则f>2,

CE=t2-t-2,

当2</<3时，BD=-h3t,

$梯形皿c=万（—产+3,+产-一2）xl=f—1,

解得：f=［，

（舍去）

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨

论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=炉+bx+c的图像与x轴交于点.A（-1,O）,

8（3,0）,与y轴交于点C.

(1)b=，c=；

(2)若点D在该二次函数的图像上，且SABO=2SABC，求点D的坐标；

(3)若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且S.APC=SAPB，直接写出点P的

坐标.

【答案】(1)-2,-3；(2)(1+而，6)或(1—厢，6)；(3)(4,5)

【分析】

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先求出AABC的面积，设点D(m,m2-2m-3)，再根据S-ABD=2SABC，得到方

程求出m值，即可求出点D的坐标；

(3)分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解.

【详解】

解：(1):点A和点B在二次函数y=/+法+。图像上,

O=l-Z?+cb=-2

则4，解得:

0=9+3Z?+cc=-3

故答案为:-2,-3；

(2)连接BC,由题意可得：

A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),y=x2-2x-3,

1,c

=

•»SAABC=-x4x36,

2

,**SAABD=2SAABC,设点D(m,加2—2加一3),

；x=2x6,gp—1x4x|m2-2m-3|=2x6,

2

解得：x=l+710^1-VlO>代入丁=炉-2%-3,

可得：y值都为6,

AD(1+^0,6)或(l—屈，6)；

•••点P在抛物线位于x轴上方的部分，

.\n<-l或n>3,

当点P在点A左侧时，即nV-1,

可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,

^/\APC<S^APB,不成乂；

当点P在点B右侧时，即n>3,

「△APC和4APB都以AP为底，若要面积相等，

则点B和点C到AP的距离相等,即BC〃AP,

设直线BC的解析式为y=kx+p,

Q=3k+p\k=l

则c,解得：\,

〔-3=夕〔p=-3

则设直线AP的解析式为y=x+q,将点A(-1,0)代入，

则T+q=0,解得：q=l,

则直线AP的解析式为y=x+l,将P(n,I—2〃—3)代入,

即/—2〃-3=〃+1，

解得：n=4或n=T(舍)，

n~-2H—3=5'

...点P的坐标为(4,5).

本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距

离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离.

6.(2023・湖南•统考中考真题)如图，二次函数y=/+bx+c的图象与x轴交于A,8两点，

(1)求这个二次函数的表达式;

⑵在二次函数图象上是否存在点尸，使得SNAC=&ABC?若存在，请求出尸点坐标；若不存

在，请说明理由；

(3)点。是对称轴/上一点，且点。的纵坐标为。，当△QAC是锐角三角形时，求。的取值范

围.

【答案】(l)y=%2-4x+3；(2)P(2「1)或或"(3)

3+V17…，3-V17

------<a<5或_]<a<-------

22

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据S“AC=SA.C，可得P到AC的距离等于8到AC的距离，进而作出两条AC的平

行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；

（3）根据题意，求得当△Q4C是直角三角形时的。的值，进而观察图象，即可求解，分。>0

和“<0两种情况讨论，分别计算即可求解.

【详解】（1）解：将点3（1,0）,。（0,3）代入，=/+"+~得

Jl+Z?+c=0

[c=3

仍=一4

解得：

•••抛物线解析式为y=r-4x+3；

（2）;y=X?-4%+3=（x-2）—1,

顶点坐标为（2,1）,

当y=0时，%2-4x+3=0

解得：玉=1,尤2=3

AA（3,0）,则。4=3

VC（0,3）,则OC=3

,AOC是等腰直角三角形，

••Q—V

•°APAC一

•••P到AC的距离等于B到AC的距离，

；4（3,0）,C（0,3）,设直线AC的解析式为>=丘+3

3/+3=0

解得：k=-1

直线AC的解析式为y=-x+3,

如图所示，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P,

设3尸的解析式为y=-x+d,将点3（1，0）代入得，

—1+d=0

解得：d=1

二直线肝的解析式为y=-x+1,

[y=-x+l

[y=x2-4x+3

[x=l[x=2

解得：c或1

[y=o[y=-i

；PA=^（3-2）2+12=y/2,PB=,J（2-1）2+12=72,AB=3-1=2

；•P^+PB1=AB2

....AB尸是等腰直角三角形，且/AP3=90。，

如图所示，延长上4至。，使得=过点。作AC的平行线DE,交无轴于点E,则

DA=PA,则符合题意的点P在直线DE上，

「△APB是等腰直角三角形，DE//AC,ACLPD

：.Z.DAE=ZBAP=45°PD±DE

VADE是等腰直角三角形，

AE=y[2AD=y/2AP=2

：.E（5,0）

设直线DE的解析式为y=-％+e

••—5+e=0

解得：e=5

直线DE的解析式为y=-x+5

y=-x+5

联立

y=x2-4x+3

3-#73+V17

x=-------x=-------

后或＜2

解得：2

7+V17i-yjvi

y=2y=~^

/3-后73+V177

或

P—-P—-

综上所述，尸（2,T）或尸］土乎,乃普）或尸［小普，上普J；

（3）①当。＞0时，如图所示，过点C作CGLAC交尤=2于点G,

当点。与点G重合时，一ACQ是直角三角形，

则”（2,1）,

CH=百+（3-1『=2A/2,

,?Z.CHG=ZOCH=45°,

.•.△SG是等腰直角三角形，

:.HG=&H=邑2垃=4

G（2,5）,

设。（2应），贝UAQ2+q2,CQ2+（q-^=/-6q+13

•••AC?=32+32=18

18=q2-6q+13+F+q2

解得：«=土手（舍去）或勺=三普

V△Q&C是锐角三角形

当4<0时，如图所示，

同理可得AQ2+QC-=AC2

即；.18=/—64+13+12+42

解得:q丁或（舍去）

由（2）可得AMAC时，A/（2,-l）

3-717

—1<〃<

-2-

综上所述，当△0AC是锐角三角形时，心叵<a<5或-1<”合也

22

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是

解题的关键.

7.(2023•四川遂宁•统考中考真题)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线

y=+bx+c经过点。(0,0),对称轴过点8(2,0),直线/过点C(2,-2),且垂直于

V轴.过点3的直线4交抛物线于点M、N,交直线/于点Q,其中点M、Q在抛物线对称

（图1）（图2）

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当5M:MQ=3:5时，求点N的坐标；

(3)如图2,当点。恰好在〉轴上时，尸为直线4下方的抛物线上一动点，连接尸。、PO,其

中交4于点£,设。3的面积为PQE的面积为邑.求今的最大值.

【答案】(l)y=；V-x；(2)N(6,3)；(3)1

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)过点M作=垂足为。根据已知条件得出3D:CD=BM:MQ=3:5,进而

列出方程，解方程，即可求解；

(3)先求得直线。8的解析式为y=x-2,设尸，,；〃2一“，得出直线OP的解析式为

y=[\n-\\x,联立‘，二H"T卜得出£―21，根据等底两三角形的面积比等

y=x-2

于高之比，得出兽=与二生，进而得出关于〃的二次函数关系，根据二次函数的性质即可

求解.

【详解】(1)解：•••抛物线y=+bx+c经过点。(0,0),对称轴过点5(2,0),

4

[1

-X292+2Z?+C=0

,4

c=0

\b=—1

侔得：n

[c=。

:•抛物线解析式为-x；

4

(2)解：如图所示，过点〃作对称轴x=2的垂线MD,垂足为。，

•：MD//QC,

：.BD:CD=BM:MQ=3:5,

・・•C（2,-2）,

0-|—m2-m|

（4J_3

~5

—m2

解得：m=1或m=3,

・・・其中点MQ在抛物线对称轴的左侧.

m=lf

设直线3M的解析式为,=米+匕,

7Z3

k+b=——

4,

2k+b=0

k=>

4

解得：

73

b=——

2

33

•・•直线驷的解析式为广片一5,

联立

X=1

x=6

解得:3或

)=3

；.N（6,3）；

（3）解：依题意，点。恰好在y轴上，则。（0,-2）,

设直线QB的解析式为，=a-2,

将3(0,2)代入得2r-2=0,

解得：1=1,

直线QB的解析式为V=x-2,

设尸］一〃

,设直线OP的解析式为y=%x,

则％1=a〃—]'

%一1卜,

•••直线。尸的解析式为＞=

-M-1L

y=

联立4J

y=x-2

8

X=------

8-〃

解得：

—-2

8—〃

2

E

，S-nS-nV

__8_

.Hx-x_n~s-_^n-n2

・・--=--p----E----o---n--------1

S2xE8

8-z?

---n2+n-\

8

=-i(n2-8n)-l

=一』(”-4)2+1,

8'7

当”=4时，取得最大值为1.

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解析

式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=-炉+6%+。的图象与坐标轴相交于A、B、C

三点，其中A点坐标为(3,0),3点坐标为(—1,0),连接AC、BC.动点尸从点A出发，

在线段AC上以每秒百个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点。从点6出发，在线

段B4上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止

运动，连接PQ,设运动时间为/秒.

(1)求〃、c的值；

(2)在P、。运动的过程中，当，为何值时，四边形3"。的面积最小，最小值为多少？

(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使」MPQ是以点P为直角顶点的等腰直

角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)b=2,c=3；(2)t=2,最小值为4；(3)(如47,”士姮)

48

【分析】

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)过点P作PE±x轴，垂足为E,利用S四娜BCPQ=SAABC-SAAPQ表示出四边形BCPQ的面积，

求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；

(3)画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E,过M作y轴的垂线，与EP交于F,证

明△PFMgaQEP,得到MF=PE=t,PF=QE=4-2t,得到点M的坐标，再代入二次函数表达式,

求出t值，即可算出M的坐标.

【详解】

解：(1):抛物线y=-x°+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0),

0=-9+3b+c

(2)由(1)得：抛物线表达式为y=-x，2x+3,C(0,3),A(3,0),

:.△0AC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：

AP=M，过点P作PELx轴，垂足为E,

&

/.AE=PE=-j=-=t,BPE(3-t,0),

又Q(-l+t,0),

=gx4x3_gx[3_(_l+f)]f

=-t2-2t+6

2

:当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动,

AC=V32+32=3A/2-AB=4,

；.0WtW3,

・•・当t)；=2时，四边形BCPQ的面积最小，即为9级-2x2+6=4；

2x22

(3)•.•点M是线段AC上方的抛物线上的点，

如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E,过M作y轴的垂线，与EP交于F,

•..△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ,ZMPQ=90°,

.\ZMPF+ZQPE=90°,又NMPF+/PMF=90°,

：.ZPMF=ZQPE,

在△PFM和△QEP中，

ZF=ZQEP

<ZPMF=ZQPE,

PM=PQ

/.△PFM^AQEP(AAS),

；.MF=PE=t,PF=QE=4-2t,

EF=4-2t+t=4-t,又0E=3-t,

.,.点M的坐标为(3-2t,4-t),

:点M在抛物线y=-x2+2x+3上，

4-t=_(3-2t)2+2(3-2t)+3,

解得：J-折或9+后(舍)，

88

点的坐标为(3+后,23+旧).

48

本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角

形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

9.(2023・江西・统考中考真题)综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt^ABC中，ZC=90°,。为AC上一点,

CDf,动点尸以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C->3-A匀速运

动,到达点A时停止，以。尸为边作正方形DPEF设点P的运动时间为抬，正方形DPEF的

而积为S,探究S与f的关系

图I

(1)初步感知：如图1,当点尸由点C运动到点B时,

①当r=1时，S=

②S关于，的函数解析式为

(2)当点尸由点3运动到点A时，经探究发现S是关于/的二次函数，并绘制成如图2所示

的图象请根据图象信息，求S关于r的函数解析式及线段48的长.

⑶延伸探究：若存在3个时刻小占^<t2<t3)对应的正方形APEF的面积均相等.

①G+芍=

②当G=4fl时，求正方形DPEF的面积.

34

【答案】⑴①3；②S=r+4；（2）S=Z2-8r+18（2＜r＜8）,AB=6；（3）①4；②玄

y

【分析】（1）①先求出CP=1,再利用勾股定理求出。尸=6,最后根据正方形面积公式求

解即可；②仿照⑴①先求出CP=t,进而求出。尸2=r+2,则S=O产=『+2;

（2）先由函数图象可得当点P运动到8点时，S=DP2=6,由此求出当f=2时，5=6,

可设S关于f的函数解析式为S=a（/4y+2,利用待定系数法求出5=/一8/+18,进而求

出当S=/一8/+18=18时，求得才的值即可得答案；

（3）①根据题意可得可知函数S=（r-4）2+2可以看作是由函数S=『+2向右平移四个单位

得到的，设P（〃4，n）,Q“巧，“乂〃"＞犯）是函数S=f+2上的两点，贝I］（吗+4,〃），

。4+4,"）是函数5=«—4）2+2上的两点，由止匕可得叫+丐=0，叫＜7%〈叫+4＜加2+4,

则,%+7”1+4=4,根据题意可以看作乙=/%,芍=叫+4，％=加2+4,贝I"+芍=4；②由（3）

①可得%=%+4,再由/3='，得到4=：,继而得答案.

【详解】（1）解：•••动点尸以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿Cf3fA

匀速运动，

.•.当r=l时，点尸在BC上，且CP=1,

VZC=90°,CD=0，

DP=VCP2+CE＞2=6，

S=DP-=3,

故答案为：3；

②：动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在2C匀速运动，

：.CP=t,

,：ZC=90°,CD=y/2,

；•DP2=CP2+CD-^t1+2,

，S=£＞尸2=r+2;

⑵解：由图2可知当点P运动到8点时，S=DP?=6,

f2+4=6>

解得r=2,

.,.当t=2时，S=6,

由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4,2),

可设S关于t的函数解析式为S=+2,

把(2,6)代入S=a(t-4)2+2中得：6=a(2-4)2+2,

解得a=l,

•••S关于r的函数解析式为S=(f—4)2+2=d—8f+18(24Y8),

在S=/-8f+18中，当5=/-8+18=18时，解得1=8或f=0,

AS=8—2=6；

(3)解：①：点P在上运动时，S=/+2,点尸在A8上运动时S=(L4>+2,

...可知函数S=(f-4)?+2可以看作是由函数S=/+2向右平移四个单位得到的，

设尸(犯，〃),”)(乙2>g)是函数£=4+2上的两点,则(0+4,n),(”+4,〃)是

函数S=(—4)2+2上的两点，

工叫+机2=°，m1<m2<m1+4<m2+4,

，加2++4=4,

:存在3个时刻小芍也(乙<%<»3)对应的正方形DPEF的面积均相等.

可以看作tx=m2,q=叫+4,t3=m2+4f

tx+12=4,

故答案为：4；

②由(3)①可得%3=%+4,

■:t3=4%,

4%=%+4,

.,4

【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等

等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ox?+Z?x-4（。w0）与x轴交于点4（一1,0）,

6（4,0）,与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线1为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线1对称，点P为直线AD下方抛物线

上一动点，连接PA,PD,求△24。面积的最大值；

（3）在（2）的条件下，将抛物线丁=0^+云-4（。W0）沿射线AD平移4&个单位，得

到新的抛物线外,点E为点P的对应点，点F为%的对称轴上任意一点，在％上确定一点

G,使得以点D,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标,

并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

51525725

【答案】(1)y=x2-3x-4；(2)8；(3)，-N或Gq,―--)G(—,---),过程

见解析

【分析】

(1)将4(—1,。)，8(4,0)的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；

(2)先得出抛物线的对称轴，作PE〃y轴交直线AD于E,设P(m,m2-3m-4),用m表示

出4APD的面积即可求出最大面积；

(3)通过平移距离为4&，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变

化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种

情况进行讨论即可.

【详解】

解：(1)将A(T,0),B(4,0)代入y=ax?+bx-4得

a-b-4=0<2=1

,解得：<

16a+4b-4=0b=—3’

:.该抛物线的解析式为y=x-3x-4,

(2)把x=0代入y=x?-3x-4中得:y=-4,

AC(0,-4),

3

抛物线y=x2-3x-4的对称轴1为x=—

2

:点D与点C关于直线1对称，

AD(3,-4),

VA(-1,0),

设直线AD的解析式为y=kx+b；

3k+b=-4k=-l

解得:

-k+b=0b=-l

直线AD的函数关系式为：y=-x-l,

设P(m,m2-3m-4),

作PE〃y轴交直线AD于E,

E(m,-mT),

PE=-m-l-(m2-3m-4)=-m2+2m+3,

=—xPEx|x0—xA|=2(—m1+2m+3)=—2m1+4m+6,

S^D=_2m2+4m+6=-2(n?-1)~+8,

.,.当m=l时，AP4D的面积最大,最大值为：8

(3)•.•直线AD的函数关系式为：y=-x-L

直线AD与x轴正方向夹角为45°,

抛物线沿射线AD方向平移平移4百个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下

平移4个单位，

VA(-1,O),6(4,0),平移后的坐标分别为(3,-4),(8,-4),

设平移后的抛物线的解析式为％=必+dx+e

9+3d+e=-4d=-11

则《,解得:

64+8d+e=-4e=20

・•・平移后yi=x2_llx+20,

・•・抛物线y】的对称轴为：,

2

VP(1,-6),

Z.E(5,-10),

..•以点D,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况:

设G(n,n-lln+20),F(―,y),

2

①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分

11

5

...3+5_n+2,n=—

2

4

②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分

11

15

...3+n_^+y,，n=—

~2~2~2

•・・喈号）

③当EG为对角线时,平行四边形的对角线互相平分

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以

及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想.

11.（2023・湖南永州•统考中考真题）如图1,抛物线y=o?+bx+c（。，b,c为常数）经

过点网0,5）,顶点坐标为（2,9）,点尸（4%）为抛物线上的动点，PHLx轴于H,且占z|.

⑴求抛物线的表达式；

⑵如图1,直线°P：V=Mx交即于点G,求赳迄的最大值;

玉^ABOG

⑶如图2,四边形03MF为正方形，R4交》轴于点E,BC交尸河的延长线于C,且

BC1BE,PH=FC,求点尸的横坐标.

【答案】（l）y=f2+4x+5；（2）|；⑶士好

42

【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出。，b,。值，即可求出抛物线解

析式.

（2）利用抛物线的解析式可知道B点坐标，从而求出直线8尸的解析式，从而设G（〃z,-加+5）,

根据直线。尸的解析式＞=且尤可推出利=色》，从而可以用占,％表达GT长度，在观察图

形可知》运=售-1,将其GT和尸“长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，

,△BOG5

根据尸横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出了的最大值.

、△BOG

（3）根据正方形的性质和/。=尸”可求出PT=MC,再利用EOB沿CWB相似和=

可推出OE=MC,设E（O,d）,即可求出直线AP的解析式，用。表达P点的横纵坐标，最后

代入抛物线解析式，求出d的值即可求出尸点横坐标.

【详解】（1）解：抛物线y="2+bx+c（«,b,c为常数）经过点歹（0,5）,顶点坐标

为（2,9）,

ubc4ac-b2

"=5,--=2,----------=9,

2。4。

b=-4a

・J20a-b2z

-----------=9

、4Q

*=T,

及4

二抛物线的解析式为：丁=-尤2+4天+5.

故答案为：y=-x2+4x+5.

（2）解：过点G作GTLx轴于点T,如图所示,

抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5,且与无轴交于A,3两点,

・•・3(5,0),

网0,5),

5k+b'=Q

设直线跳■的解析式为：y^kx+b',则

直线3月的解析式为：y=-x+5.

G在直线B尸上，G（7〃,—m+5）,

G在直线OP上，。尸的解析式为：J=—

-m+5=­m,

%

%+M

玉+%

QBPG

0,BOG

PH二必二」+必

GT~5M—5

西+为

.S.BPG_PH_]=>+%_]

SBOGGT5

P(药,一片+4石+5),

..SBPG=七+%[=玉一片+4%+5]=](工_5?5

--<0,

•••当-川匕有最大值，且最大值为一

故答案为：—.

4

（3）解3・,+5C，5E,

:.ZMBC+NMBE=90。,

二NOBE+ZMBE=90。,

:"OBE=ZMBC,

/CMB=/EOB=90°,

MB=BO,

EOB^CMB（ASA）,

设EO=d,E（O,d）,

：.PH=FC=FM+MC=5+d,

抛物线的解析式为：y=-/+4x+5,且与％轴交于A,3两点,

,（n=d

设直线AP的解析式为：y^mx+n,贝时,

[—m+n=0

[m-d

直线AP的解析式为：y=dx+d.

,PH=d+5,尸在直线"上，

:.d+5=dx+d,

5

..x=—,

d

.1%?+4x+5=dx+d,

「.