2024年中考数学题型突破：综合探究题之非动态探究题（专项训练）

类型一非动态探究题（专题训练）

1.（2023•湖北宜昌•统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，E,歹分别是边AD,ABh

的点，连接CE,EF,CF.

⑴若正方形ABCD的边长为2,E是AO的中点.

①如图1,当/万EC=90。时，求证：△AEFSADCE；

2

②如图2,当tanZFC£=§时，求AF的长;

（2）如图3,延长CP,D4交于点G,当6£=。£,411//^£=；时，求证：AE=AF.

【答案】（1）①详见解析；②AF=?

（2）详见解析

【分析】（1）①由NADC=N54D=NEEC=90。，证明NAEF="CD,可得结论；②如图,

「歹「HFH

延长DA,CF交于点G作GH±CM垂足为",证明ACEDsAGEH，可得不一="

CECDED

可得。石=石，设即=m,GH=2m,EG=可得tan/FCE=^^=2m=，,可得

CHy/5+m3

m=—,可得EG=6m=9,证明△AGFS^DGC,可得生=竺，从而可得答案;

22DGDC

（2）如图，延长CE,作G//LCE,垂足为X,证明△CEDsAGEH,设

AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x,GH=y,CE=n,可得苫=匚y=—,由sin//CE=！，可

nn3

彳导tan/FCE=盅,可得2缶由1=产+/可得/_2后〃+2/=。，可得

a=\flt，证明△AG尸s/\DGC,可得---=---，AF=必4——=a———=a—――=a—t,

DGDCIt2t2t

从而可得答案.

【详解】（1）解：如图,

正方形A5CD中，CD=AD=2,

①ZADC=ZBAD=Z.FEC=90°,

ZAEF+ZCED=90°=ZCED+ZDCE,

:.ZAEF=ZECD,

.-.△AEFs^DCE,

②如图，

延长DA,CP交于点G,

作GH_LCE,垂足为X,

•/ZEDC=NEHG=90°且NCED=NGEH,

:ACEDsAGEH,

GEGH_EH

~CE~~CD~~ED

-.-CD=2,DE=1,

CE=5

方法一：设EH=m,

.GEGHm

•飞—2—\

：.GH=2m,EG=y/5m,

-一GH2m2

-,-^CHG^,tanZFCE=—==-

m=——，

2

:.EG=45m=-

2f

2

方法二：在Rt^GHE1中，由tan/尸。£=一，设GH=2n,CH=3n,

3

3n-j52nGE

1一2一逐'

2

:.GE=&="

2

又Z.GAF=Z.GDC=90°且ZAGF=ZDGC,

.•△AGFsADGC,

AGAF

DG-DC

37

-:-=AF:2,

22

AF=-

7

延长CE,作GHLCE,垂足为X,

ZEDC=ZEHG=90。且ZCED=NGEH,

:ACEDsAGEH,

l^AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x,GH=y,CE=n,

••——，

tan

t2at

x=—,y——,

nn

在RtZkCHG中，sinZFCE=-,

3

二.tan/FCE=—尸.

2V2

.y二i

x+n2A/2'

2垃y=x+n,

26att2

/.--------=——F〃，

nn

=/+/，

222

•••在RRCDE中，n=t+a,

/.2yf2at=»+〃+〃2,

a?-2\/^成+2t2=0，

，(Q-V2/)2=0,贝！JQ=y/2t，

又・.・ZGAF=ZGDC=90°且ZAGF=ZDGC,

:.AAGFs/\DGC,

.AG_AF

,DG~DC

AF_2t-a

a2t

人尸二〃（2,一。）a22t2

=ci-----=a------=Q-t，

一_2tIt2t

•：AE=a-t,

:.AE=AF.

【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三

角函数的应用，本题计算量大，对学生的要求高,熟练的利用参数建立方程是解本题的关键.

2.（2021•四川省达州市）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线

段做了如下探究:

【观察与猜想】

（1）如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE1CF,则

署的值为

CF

(2)如图2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE1BD,

则黑的值为______;

DU

【类比探究】

(3)如图3,在四边形ABCD中，ZA=NB=90。，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂

线交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE-AB=CF-AD；

图3图4

【拓展延伸】

(4)如图4,在RtAABD中，ZBAD=90°,AD=9,tanzADB=将△ABD沿BD翻折，点A落

在点C处得ACBD,点E,F分别在边AB,AD上，连接DE,CF,DE1CF.

①求筹的值;

②连接BF,若AE=1,直接写出BF的长度.

解：(1)如图1,设DE与CF交于点G,

•・•四边形ABCD是正方形,

・•・zA=ZFDC=90°,AD=CD,

•・•DE1CF,

・•.Z.DGF=90°,

・•・4ADE+ZCFD=90°,zADE+zAED=90°,

Z.CFD=Z.AED,

在4AED和ADFC中，

2A=ZFDC

ZCFD=ZAED,

AD=CD

.-.AAED^ADFC(AAS),

・•.DE=CF,

DEy

・•・一=1;

CF

(2)如图2,设DB与CE交于点G,

图2

••・四边形ABCD是矩形，

•••NA=zEDC=90°,

vCE1BD,

・•.Z.DGC=90°,

Z.CDG+ZECD=90°,zADB+Z.CDG=90°,

Z.ECD=Z.ADB,

•・•Z.CDE=zA,

・••△DEC^AABD,

.CE_DC_4

••BD-AD-7’

故答案为：

(3)证明：如图3,过点C作CH1AF交AF的延长线于点H,

G

D

H

图3

,*,CG_LEG,

Z.G=zH=Z.A=Z.B=90°,

・•・四边形ABCH为矩形，

・•.AB=CH,ZFCH+ZCFH=zDFG+zFDG=90°,

・•・Z.FCH=ZFDG=ZADE,zA=zH=90°,

DEA^ACFH,

•D•E—_AD，

CFCH

DE_AD

"CF-AB*

・・・DEAB=CFAD；

(4)①如图4,过点C作CGIAD于点G,连接AC交BD于点H,CG与DE相交于点0,

图4

vCF1DE,GC1AD,

・•.ZFCG+ZCFG=ZCFG+zADE=90°,

・•.Z.FCG=ZADE,ZBAD=zCGF=90°,

・•・△DEA0°ACFG,

DE_AD

"CF-CG?

-i

在RtAABD中，tanzADB=AD=9,

・•・AB=3,

在RtAADH中，tanNADH=（,

.AH_1

"DH-3，

设AH=a,贝!|DH=3a,

•••AH2+DH2=AD2,

•••a2+（3a）2=92,

.•.a=^VT6（负值舍去），

AH=—V10,DH=—V10,

1010

AC=2AH=|V10,

11

・•,SAADC.AC.DH.AD.CG，

•••-x-VlOx—V10=-x9CG,

25102

・•.CG=27g

.DE_AD_9_5

"CF-CG———3;

5

@vAC=|V10,CG=暂,zAGC=90°,

AG=VAC2-CG2=J（^VTo）2-（^）2=

由①得：△DEASACFG,

CF_FG

••—，

DEAE

-T-7DE5.«

又,辛=7AE=I，

・•.FG=I，

g3A

AF=AG-FG=J-I=p

BF=VAB2+AF2=J32+（§2=|V29.

3.（2023•甘肃武威.统考中考真题）【模型建立】

（1）如图1,AABC和ABDE都是等边三角形，点C关于的对称点尸在8。边上.

①求证：AE=CD-

②用等式写出线段AD,BD,的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

(2)如图2,AA6C是直角三角形，AB^AC,CDLBD,垂足为。，点C关于AO的对称

点尸在8。边上.用等式写出线段AD,BD,DF的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

(3)在(2)的条件下，若4。=4夜，BD=3CD,求cos/AEB的值.

【答案】(1)①见解析；®AD=DF+BD,理由见解析；(2)五AD=DF+BD，理由见

解析；(3)/

【分析】(1)①证明：ZABE=ZCBD,再证明A4BE三△CBD(SAS)即可；②由。尸和DC

关于AD对称，可得DP=DC.证明从而可得结论；

(2)如图，过点8作于点E,得/BED=90。,证明=NADC=45。，

ZEBD=45°.可得。£=也2。，证明=,ZABE=ZCBD,可得

22

sinZABE^sinZCBD,则AE-3C=CD-AB,可得AE=^CD,从而可得结论；

2

(3)由8。=3。=3。f，Pi^y/2AD=DF+3DF=4DF，结合AD=40,求解

DF=DC=2,BD=6,如图，过点A作四J.BD于点//.可得HF=；BF=2,

BC=dGS=2而,可得AP=AC=¥BC=2百，再利用余弦的定义可得答案.

【详解】(1)①证明：和ABDE都是等边三角形，

AAB=BC,BE=BD,ZABC=ZEBD=60°,

：.ZABC-ZCBE=NEBD—/CBE,

：.ZABE=ZCBD,

：.AABE三△CBO(SAS).

AE=CD.

A

②AD=DF+BD.理由如下：

•・・。尸和OC关于AD对称，

：.DF=DC.

;AE=CD,

/.AE=DF.

・•・AD=AE+DE=DF+BD.

（2）6AD=DF+BD.理由如下：

如图，过点与作BELAD于点石，得NBED=90。.

・・,。齐和。。关于AD对称，

DF=DC,ZADF=ZADC.

丁CD工BD,

：.ZADF=ZADC=45°,

：.NEBD=45。.

・・・DE=—BD.

2

・・•"IBC是直角三角形，AB=AC,

・・・ZABC=45。，AB=—BC,

2

・•・ZABC-ZCBE=ZEBD-ZCBE,

ZABE=NCBD,

：.sinZABE=sinZCBD,

.AECD

**AB-BC?

：・AEBC=CDAB,

AE=—CD.

2

AD=AE+DE=—CD+—BD=—DF+—BD，即后尸+8。.

2222

(3),:BD=3CD=3DF,

及AD=DF+3DF=4DF，

AD=40，

DF=DC=2,

：.BD=6.

如图，过点A作A”_L5£＞于点H.

/.HF=gBF=；(BD—DF)=2,

BC=xlBDr+CD1=V62+22=2M-

/.AF=AC=—BC=—x2^i0=2^5.

22

：.cosZAFB=—=^==—

AF2非5

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴

对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助

线是解本题的关键.

4.（2021•湖北中考真题）问题提出如图（1）,在△45。和^。石。中，

ZACB=ZDCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内部，直线AT＞与HE交

于点p，线段AR,BF,Cb之间存在怎样的数量关系？

问题探究（1）先将问题特殊化.如图（2）,当点。，尸重合时，直接写出一个等式，表

示AR,BF,CV之间的数量关系；

（2）再探究一般情形.如图（1）,当点。，尸不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展如图（3）,在AA3c和ADEC中，ZACB^ZDCE=90°,BC=kAC,

EC=kDC（左是常数），点E在△A5C内部，直线4。与3石交于点尸，直接写出一个

等式，表示线段AR,BF,Cb之间的数量关系.

【答案】（1）BF-AF=s[lCF-（2）见解析；问题拓展：BF-k-AF=\ll+k2CF-

【分析】

（1）先证明△BCEgZXACD,得到AF=BE,BF-BE=BF-AF=EF=4ICF；

（2）过点C作CGLCF交8E于点G,证明△ACD=z\BCE,AACF=ABCG,

△CGF是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可.

【详解】

问题探究（1）BF-AF=41CF■理由如下：如图（2）,

BC

⑵

VZBCA=ZECF=90°,

ZBCE=ZACF,

VBC=AC,EC=CF,

△BCE^AACF,

/.BE=AF,

/.BF-BE=BF-AF=EF=-J2CF；

(2)证明：过点。作CGLCF交助于点G,则/FCG=NACB=90°,

：.ZBCG=ZACF.

VZACB=ZDCE=90°,

：.ZBCE=ZACD.

又：AC=JBC,DC=EC,

：.Z\ACD=ABCE,

ZCAF=ZCBG.

：.AACF=ABCG.

：.AF=BG,CF=CG,

/.ACGF是等腰直角三角形.

•••GF=V2CF.

•••BF-AF=BF-BG=GF=42CF-

问题拓展BF-k-AF=y/l+k2CF-理由如下:

VZBCA=ZECD=90°,

.•.ZBCE=ZACD,

VBC=kAC,EC=kCD,

/.△BCE^AACD,

ZEBC=ZFAC,

过点C作。交BE于点M,则NRCN=NACB=90。,

:.ZBCM=ZACF.

/.△BCM^AACF,

BM:AF=BC:AC=MC:CF=k,

；.BM=kAF,MC=kCF,

BF-BM=MF,MF=7MC2+CF2=yJk2CF2+CF2=y/l+k2CF

•••BF-kAF=71T^CF-

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质,

勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键.

5.（2023・湖北武汉•统考中考真题）问题提出：如图（1）,E是菱形ABCD边BC上一点，AAEF

是等腰三角形，AE=EF,/但='。=。（。290。）,"'交8于点6,探究/GCF与a

的数量关系.

⑶

问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图(2),当a=90。时，直接写出/Gb的大小；

(2)再探究一般情形，如图(1),求/GCF与a的数量关系.

问题拓展：

1DE1

⑶将图(1)特殊化，如图(3),当。=120。时，若==求失的值.

CG2CE

【答案】(1)45。

3

(2)ZGCF=-a-90°

⑶些=2

CE3

【分析】(1)延长过点尸作FHLBC,证明AABE丝AB/TF即可得出结论.

(2)在48上截取AN,使AN=EC,连接7VE,证明"A/丝△£1(£,通过边和角的关系

即可证明.

(3)过点A作8的垂线交8的延长线于点P,设菱形的边长为3四，由(2)知，

ZGCF=1^-900=90°,通过相似求出。尸=还小即可解出.

【详解】(1)延长5C过点尸作可，3。，

ZBAE-^-ZAEB=90°,

/FEH+ZAEB=900,

:・ZBAE=/FEH,

在^^!和AFHE中

ZABE=ZEHF

<ZBAE=ZFEH

AE=EF

；・△ABEgBHF,

:.AB=EH,

BE=FH,

；・BC=EH,

:.BE=CH=FH,

：.?GCF2FCH45?.

故答案为：45°.

(2)解：在A3上截取AN,使AN=EC,连接7VE.

・・・ZABC+ZBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,

ZABC=ZAEFf

:.ZEAN=ZFEC.

.・AE=EF,

:.AANE^AECF.

,\ZANE=ZECF.

•・•AB=BC,

:.BN=BE

,//EBN=a,

ZBNE=90°--a.

2

...Z.GCF=ZECF-ZBCD=ZANE—/BCD

(3)解：过点A作。。的垂线交。。的延长线于点尸，设菱形的边长为3根,

DG_1

*CG~29

\DG=m,CG=2m,

在RUAftP中，

・.・？ADC1ABC120?,

:.ZADP=a）°,

aa

/.PD=—m,AP=­V3m.

22

3

・.・a=120。，由（2）知，ZGCF=-a-90°=90°.

2

­.­?AGP2FGC,

\△APSAFCG.

.AP_PG

'~CF~~CG'

—V3m—m

.2_____2，

CF2m

-_CF=-m,

5

在AB上截取AN,使4V=EC,连接AE,作BOLNE于点0.

由（2）知，AANE^AECF,

：.NE=CF,

•；AB=BC,

：.BN=BE,OE=EF=-EN=旦n.

25

ZABC=120°,

：.ZBNE=ZBEN=30°,

OF

Vcos30?—,

BE

BE=^m,.

9

\CE=-m

5

BE2

,CE-3,

P

BE

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角

形全等、三角形相似.

6.（2021•浙江中考真题）（证明体验）

（1）如图1,A。为AABC的角平分线，NADC=60°,点E在A5上，AE=AC.求

证：DE平分NADB.

（思考探究）

（2）如图2,在（1）的条件下,F为A5上一点，连结尸C交AZ）于点G.若EB=bC,OG=2,

CD=3,求30的长.

（拓展延伸）

（3）如图3,在四边形ABCD中，对角线AC平分N8A£）,NBC4=2NOC4,点E在AC

上，/EDC=ZABC.若BC=5,CD=2&AD=2AE，求AC的长.

916

【答案】（1）见解析；（2）—：（3）一

23

【分析】

（1）根据SAS证明△EAD^MAD,进而即可得到结论；

（2）先证明AEBDSAGCD,得变=匹，进而即可求解；

CDDG

（3）在A5上取一点F,使得A^=AD,连结Cb,可得也从而得

△DCES/CF,可得J=—,/CED=/BEC,CE=4,最后证明△及⑦口.。,

BCCF

即可求解.

【详解】

解：（1）：A£＞平分N54C,

ZEAD^ZCAD,

•：AE=AC,AD=AD,

：.^EAD^CAD(SAS),

ZADE=ZADC=60°,

：.ZEDB=1800-ZADE-ZADC=60°,

：./BDE=/ADE，即平分NAD3；

(2)VFB=FC,

:.NEBD=/GCD,

；ZBDE=ZGDC^60°,

△EBDsAGCD)

.BDDE

"~CD~~DG'

,//\EAD^/\CAD,

：.DE=DC=3.

VDG=2,

(3)如图，在AB上取一点F,使得AR=AD,连结CF.

,/AC平分NS4D,

Z.ZFAC=ZDAC

■：AC=AC,

：.^AFC^ADC(SAS),

/.CF=CD,ZACF=ZACD,ZAFC=ZADC.

VZACF+ZBCF=ZACB=2ZACD,

ZDCE=NBCF.

•：NEDC=NFBC,

ADCES^BCF，

—=—,ZCED=ZBFC.

BCCF

BC=5,CF=CD=2s/5，

：.CE=4.

•：ZAED=180°-ZCED=180°-ZBFC=ZAFC=ZADC,

又<ZEAD=£DAC,

：.AEADS^DAC

.EAAD1

,•而一就一5'

AC=4AE,

AC=-CE=—.

33

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等

三角形和相似三角形，是解题的关键.

7.(2023•山东・统考中考真题)(1)如图1,在矩形ABCD中，点、E,歹分别在边DC,BC

上，AEA.DF,垂足为点G.求证：AADE^^DCF.

图1图2图3

【问题解决】

(2)如图2,在正方形ABC。中，点E,尸分别在边DC,BC上，AE=DF,延长2C到

点、H,使CH=DE,连接£>〃.求证：ZADF=ZH.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形ABCD中，点E,尸分别在边DC,3C上，AE=DF=U,DE=8,

ZAED=6O°,求CP的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)3

【分析】(1)由矩形的性质可得/42比=/。6=90。，则NCD尸+"尸C=90。，再由

AE±DF,可得4>GE=90。，则NCDF+/AED=90。，根据等角的余角相等得

ZAED=NDFC,即可得证；

(2)利用“HL”证明AADERDCF，可得DE=CF,由CH=DE,可得CF=S,利用“SAS”

证明ADCF4QC",^\\ZDHC=ZDFC,由正方形的性质可得AD〃BC,根据平行线的性质，

即可得证；

(3)延长BC到点G,使CG=DE=8,连接。G,由菱形的性质可得AD=DC,AD//BC,

则NADE=NDCG,推出AADE名ADCG(SAS),由全等的性质可得NDGC=NAED=60。，

DG=AE,进而推出ADFG是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可.

【详解】(1)证明：,•・四边形ABCD是矩形，

:.ZADE=ZDCF=90°,

ZCDF+ZDFC=90°,

AE±DF,

:.ZDGE=90°,

:.ZCDF+ZAED=90°,

:.ZAED^ZDFC,

.-.△ADE^ADCF；

(2)证明：,•・四边形ABC。是正方形，

:.AD=DC,AD//BC,ZADE=NDCF=90。,

:AE=DF,

...△AOE注△OC/(HL),

.•.DE=CF,

又「CH=DE,

CF=CH,

•・,点H在5C的延长线上，

ZDCH=ZDCF=90°,

・・•DC=DC,

「.△DC尸也△OCH(SAS),

:.ZH=ZDFC,

•••AD//BC,

■.ZADF=NDFC=ZH；

(3)解：如图，延长BC到点G,使CG=OE=8,连接DG,

四边形ABC。是菱形，

:.AD=DC,AD//BC,

:.ZADE=ZDCG,

.•.AADE%DCG(SAS),

:.ZDGC=ZAED=60°,DG=AE,

-.-AE=DF,

:.DG=DF,

是等边三角形，

:.FG=FC+CG=DF=U,

.•.FC=ll-CG=ll-8=3.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似

三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点

并灵活运用是解题的关键.

8.(2021•安徽中考真题)如图1,在四边形ABCD中，NABC=/BCD,点E在边BC上，

且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,连接BF.

(1)求证：AABF乌AEAD；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的长；

BF

(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求一的值.

AAA

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1+72

【分析】

（1）根据平行线的性质及已知条件易证=NDCE=/DEC,即可得

AB=AE，£＞石=£）。；再证四边形AFCD是平行四边形即可得Ab=CD,所以Ab=。石，

根据SAS即可证得△ABF/△EAD；

（2）证明利用相似三角形的性质即可求解；

AJ5AEBE

（3）延长BM、ED交于点G.易证AABES^DCE,可得一=—=——；设CE=1,BE=x,

DCDECE

DC=DE=a,由此可得AB=AE=ta,AF=CD=a；再证明△MABZAMDG,

根据全等三角形的性质可得DG=A3=G;.证明AE45s△FEG,根据相似三角形的性

质可得签ABaaxBE

即-------E'解方程求得*的值,继而求得工的值・

~EG6z(x-l)

【详解】

(1)证明：•.•AE//CD,

:.ZAEB=/DCE；

■：DE//AB,

：.ZABE=ZDEC,N1=N2,

ZABC=ZBCD,

:.ZABE=ZAEB，ZDCE=ADEC,

..AB=AE,DE=DC,

'：AF//CD,AD//CF,

四边形AFCD是平行四边形

:.AF=CD

AF=DE

在即与△E4D中.

AB=EA

<Z1=Z2,

AF=ED

AABF^AEAD(SAS)

(2)-.AABF^/\EAD,

:.BF=AD,

在OAFCD中，AD=CF,

；.BF=CF,

:.ZFBC=ZFCB,

又•.•NbCB=N2,N2=ZL,

；.NFBC=N1,

在ZXEBF与AEAB中.

NEBF=Z1

<ZBEF=ZAEB'

:.△ERFS^FAR：

.EB_EF

"~EA~~EB''

•.•AB=9,

:.AE=9；

•:CD=5,

:.AF=5；

:.EF=4,

.EB4

••一,

9EB

，BE=6或一6(舍)；

(3)延长BM、ED交于点G.

•.•△ABE与△£>€£均为等腰三角形，ZABC=ZDCE,

^ABE^ADCE,

AB_AEBE

'~DC~~DE~~CE'

设CE=1,BE=x,DC=DE=a,

则AB=AE=ax,AF=CD-a,

EF=a(x-l),

­.AB//DG,

.・.N3=NG；

在与△MDG中，

N3=NG

<Z4=Z5,

MA=MD

/\MAB^^MDG(AAS)；

DG=AB=ax.

EG=a(x+l)；

ABIIEG,

.•.△FABSNEG,

,FAAB

,FE-EG；

a_ax

,•，

6Z(X-1)〃(x+l)

/.x(x-l)=x+l,

%?—2九—1=0，

/.(X-1)2=2,

x=l±y[2，

=1—^/2(舍)，x2=1+V2,

.•岑=1+0.

EC

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判

定三角形全等及相似是解决问题的关键.

9.(2023•黑龙江•统考中考真题)如图①，AASC和VADE是等边三角形，连接。C,点孔

G,H分别是QE,。。和2C的中点，连接FG,FH.易证：FH=&G.

若MBC和V4宏都是等腰直角三角形,且ZBAC=ZDAE=90。，如图②:若和VADE

都是等腰三角形，且N54c=皿场=120。，如图③：其他条件不变，判断打/和FG之间

的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明.

A

M工

A_7口

BHCBHCBHC

图①图②图③

【答案】图②中尸〃=血打？，图③中F"=/G,证明见解析

【分析】图②：如图②所示，连接加，HG,CE,先由三角形中位线定理得到

FG//CE,FG=-CE,GH//BD,GH=-BD,再证明△3)四△ACE得到

22

CE=BD,NACE=NABD,则FG="G,进一步证明N尸GH=90。，即可证明△HG尸是等

腰直角三角形，则尸8=忘/G;

图③：仿照图②证明△〃G尸是等边三角形，则FH=FG.

【详解】解：图②中W=志尸G，图③中EF/=BG,

图②证明如下：

如图②所示，连接3DHG,CE,

:点EG分别是DE,DC的中点，

，FG是ACDE的中位线，

/.FG//CE,FG=、CE,

2

同理可得GH〃3DGH^-BD,

2

•/AASC和VADE都是等腰直角三角形，且Na4C=NZME=90。，

AAB=AC,NBAD=NCAE,AD=AE,

：.△AS。丝△ACE(SAS),

:.CE=BD,/ACE=/ABD,

：.FG=HG,

,?BD//GH,FG//CE,

：.ZFGH=ZFGD+NHGD

=ZDCE+ZGHC+ZGCH

=NDBC+ZDCB+ZACD+NACE

=ZDBC+/ABD+ZACB

=ZACB+ZABC

=90°,

/.△〃GF是等腰直角三角形,

FH=&FG;

A

E

BHC

图②

图③证明如下：

如图③所示，连接BDHG,CE,

•・•点RG分别是。。的中点，

・・・FG是△€!)£的中位线，

AFG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃3DGH=-BD,

2

•・•AABC和VADE都是等腰三角形，且NR4C=N。场=120。,

：.AB=AC,/BAD=/CAE,AD=AE,

：.AABZ)^AACE(SAS),

ACE=BD,ZACE=ZABD,

：.FG=HG,

'：BD//GH,FG//CE,

JZFGH=ZFGD+ZHGD

=ZDCE+ZGHC+ZGCH

=NDBC+ZDCB+NACD+Z.ACE

=/DBC+/ABD+NACB

=ZACB+ZABC

=180°-ZBAC

=60。，

・•・ZV/G尸是等边三角形，

・•・FH=FG.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质

与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

10.(2021•湖南中考真题)如图，在3c中，=N是5C边上的一点，D为AN

的中点，过点A作的平行线交CD的延长线于T,且AT=6N,连接3T.

(1)求证：BN=CN；

(2)在如图中AN上取一点0,使AO=OC,作N关于边AC的对称点M,连接〃T、MO、

OC、OT.CM得如图.

①求证：口OMs@OC；

②设7M与AC相交于点P,求证：PD//CM,PD=-CM.

2

【答案】(1)见解析；(2)①见解析，②见解析.

【分析】

(1)先用AT//BN,且AT=5N证明出四边形ATBN是平行四边形，得到△TADg^CND,

用对应边相等与等量代换，从而得出结论.

(2)①连接AM、MN,利用矩形的性质与等腰三角形的性质，证明出AOCM是直角三角形，

证明出RtzXOAT丝Rt^OCM,得到对应角相等，则得到答案；

②连接0P,由①中△TQWS44OC,得到NOTM=/OAP,点0、T、A、P共圆，由直径所对

的圆周角为直角，证明出N0PT=90°,再根据等腰三角形的三线合一性得出结论.

【详解】

证明：（1）VAT//BC,且=

AAT//BN,且AT=5N,

四边形ATBN是平行四边形，

：.AN//TB,

：.NDTA=NDCN,

ZADT-ZNDC,

丁点D为AN的中点,

AAD=ND,

AATAD^ACND(AAS)

・・・TA=CN,

•・,AT=BN,

.'.BN=CN,

(2)①如图所示，连接AM、MN,

・・,点N关于边AC的对称点为M,

AANC^AAMC,

・•・ZACN=ZACM,

VAB=AC,点N为AC的中点，

・・・平行四边形ATBN是矩形，

・・・NTAB=NABN二NACN=NACM,NBAN=NMAC=NCAN,AT=BN=NC=MC,

VOA=OC,

NCAN=NACO,

ZTAB+ZBAN=ZACM+ZAC0=90°,

Z0AT=Z0CM=90°,

在RtZ^OAT和Rt^OCM中，

VAT=CM,Z0AT=Z0CM，OA=OC,

ARtAOAT^RtAOCM(SAS),

Z.ZAOT=ZCOM,OT=OM,

・•・ZAOT+ZAOM=ZCOM+ZAOM,

ZT0M=ZA0C

VOA=OC,OT=OM,

・.OT_OM

•~OA~~OC

:•NTOMsAAOC；

②如图所示，连接OP,

•：NTOMs八AOC，

：.Z0TM=Z0AP,

・••点0、T、A、P共圆，

VZ0AT=90°,

・・・0T为圆的直径，

Z0PT=90°,

V0T=0M,

・••点P为TM的中点，

•・•由(1)得ATAD义ZXCND,

・・・TD=CD,

・••点D为TC的中点，

・・・DP为ATCM的中位线，

PD//CM,PD=-CM.

2

【点睛】

本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、以及相

似三角形的判定与性质、圆中直径的性质，关键在于通过等量代换，换出角相等，证明出直

角三角形全等，再证明三角形相似.

11.(2023・广东深圳•统考中考真题)(1)如图，在矩形A3C。中，E为AD边上一点，连接

BE,

①若BE=BC,过C作交BE于点尸，求证：LABE咨4FCB；

②若S期央呐=20时，则BECF=.

(2)如图，在菱形ABCD中，cosA=；,过C作CE1AB交A3的延长线于点E,过E作

EFJ.AD交AD于点、F,若S菱形M⑺=24时，求政必。的值.

(3)如图，在平行四边形A5CD中，ZA=60°,AB=6,4)=5,点E在CD上，且CE=2,

点F为BC上一点,连接所，过E作EGLE厂交平行四边形A3CZ)的边于点G,若

EF-EG=76时,请直接写出AG的长.

备用图

3

【答案】(1)①见解析；②20；(2)32；(3)3或4或；

2

【分析】(1)①根据矩形的性质得出/ASE+/CBF=90。，ZCFB=ZA=90°,进而证明

Z.FCB=ZABE结合已知条件，即可证明△ABE四△FCB；

②由①可得NFCBuNABE,ZCFB=ZA=90°,证明AABESAFCB,得出一=一，根据

CFBC

黑形AB8=.CD=20,即可求解；

14

(2)根据菱形的性质得出线＞〃3C,AB=BC,根据已知条件得出==

证明△■“△3EC,根据相似三角形的性质即可求解；

(3)分三种情况讨论，①当点6在AD边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点M,

连接过点E作于点H,证明AEDM^RCF,解RtADE//,进而得出MG=7,

根据tan/MEH=tanNHGE,得出HE?=HM-HG，建立方程解方程即可求解；②当G点

在AB边上时，如图所示，连接G/，延长GE交8C的延长线于点/，过点G作GN〃AD,

则GN〃3C,四边形ADNG是平行四边形，同理证明△硒G-AEQW,根据

tanNFEH=tanNM得出EH?=FH-HM，建立方程，解方程即可求解；③当G点在BC边

上时，如图所示，过点B作于点T,求得58加=空8,而S.G二出，得出矛

△07C843D2

盾，则此情况不存在.

【详解】解：(1)①.•,四边形ABC。是矩形，则NA=NABC=90。，

ZABE+ZCBF=90°f

又CF_LBC,

ZFCB+ZCBF=90°,ZCFB=ZA=90°,

ZFCB=ZABE,

XVBC=BE,

：.Z\ABE沿Z\FCB；

②由①可得NFC8=NABE,ZCFB=ZA=90°

:・△ABEsjCB

.ABBE

**CF-BC?

又**S短形ABCD=ABCD=20

BECF=ABBC=20,

故答案为：20.

(2)•・,在菱形ABCD中，cosA=1,

C.AD//BC,AB=BC,

贝！JNCBE=NA,

*：CE1AB,

：.NCEB=90。,

BF

VcosZCBE=——

CB

BE=BC,cosNCBE=BCxcosZA=—BC,

3

114

：.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB

333f

EF_LAD,CE1AB

：.ZAFE=NBEC=9。。,

又NCS石=NA,

Z\AFE-ABEC,

.AEEFAF

''~BC~~CE~~BE'

444

・・・£尸•60=4石"=］人5><以=35菱形.8=5*24=32；

(3)①当点G在AD边上时，如图所示，延长FE交A。的延长线于点M,连接G尸，过点

E作EH上DM于点、H,

ACD=AB=6,DE=DC-EC=6-2=4,

•・•DM//FC.

：・AEDMS^ECF

・.E・-M=ED=—4=2c,

EFEC2

・S&MGE_EM_2

SjEF一

,•S^MGE=2s正FG=EFEG=Ty/3

在RtZ\O£7/中，ZHDE=ZA=60°,

典\EH=^DE=Bx4=26,DH=-DE=2,

222

：.-MGxHE=Ty/3

2

，MG=7,

GELEF,EHIMG,

：.ZMEH=90°-NHEG=ZHGE

：.tanZMEH=tanZ.HGE

.HEHM

"HG~HE

HE-=HMHG

设AG=a,则G£>=AD—AG=5—a,GH=GD+HD=5-a+2=l-a,

HM=GM—GH=7—(l—a)=a,

(2⑹°=彳(7一尤)

解得：“=3或。=4,

即AG=3或AG=4,

②当G点在AB边上时，如图所示，

连接GF,延长GE交BC的延长线于点闻,过点G作GN〃A，则GN〃BC,四边形ADNG

是平行四边形，

设AG=x,则DV=AG=x,EN=DE-DN=4-x,

/GN//CM

：・AENG。小ECM

.EGENGN_4-x

・"生以旦

4-x4-x

・S&GEF=EG=4-X

・.S.ME「EM—2'

■/EF-EG=7A/3

•q_2SaEF='A

一^MEF-4_x-

过点E作必上3c于点H,

在RtAEHC中，EC=2,NECH=60°,

：.EH=6,CH=1,

；・SAMEF==XMFXEH，则工x指x/b=述，

△224-x

14

・•・MF=------,

4-x

14iorinid-r

FH=MF-CM-CH=------------------1=-------,MH=CM+CH=------+1=---------

4-x4-x4-x4-x4-x

•••ZMEF=NEHM=90。,

・・・ZFEH=90°-ZM