2024苏科版七年级数学下册题型专训：整式的乘法【十大题型】（含答案）

整式的乘法【十大题型】

【苏科版2024]

A题型梳理

【题型i由整式乘法求代数式的值1.............................................................................................1

【题型2由整式乘法求字母的值】................................................................1

【题型3利用整式乘法解决不含某项问题】.......................................................2

【题型4利用整式乘法解决与某个字母取值无关的问题】...........................................2

【题型5利用整式乘法解决污染问题】...........................................................3

【题型6利用整式乘法解决误看问题】...........................................................3

【题型7整式乘法的应用】......................................................................4

【题型8整式乘法中的规律问题】...............................................................5

【题型9整式乘法中的新定义问题】.............................................................6

【题型10整式乘法中的几何图形问题】...........................................................7

►举一反三

【题型1由整式乘法求代数式的值】

【例1】(23-24九年级上.安徽铜陵•期中)已知a2+a—1=0,则代数式(a+2)(a—2)+a(a+2)值

为.

【变式1-1](23-24七年级•福建泉州•期中)若a—6=3,ab=-4,则(a—2)(b+2)值为.

【变式1-2](23-24七年级•山东聊城•期中)如果(5-a)(6+a)=12,那么一2a2-2a+8的值为.

【变式1-3](23-24七年级•福建•期中)已知一一3乂-1=0,则代数式炉-IOX+2019值为.

【题型2由整式乘法求字母的值】

【例2】(23-24七年级•安徽合肥•期中)已知(%+〃)(1+5)=%2+5+12,m、a、都是整数，那么根的可能值的

个数为()

A.4B.5C.6D.8

【变式2-1](23-24七年级.江苏扬州.期中)若(％+1)(%—3)=/+根%—3,则m值是.

【变式2-2](23-24七年级•浙江杭州•期中)不论x为何值，(%+2)(%+a)=%2+ax+2%+2a=%2+(a+

2)x+2a,(%+2)(%+a)=x2+fcx+6,贝味=.

【题型3利用整式乘法解决不含某项问题】

【例3】(23-24七年级•山东聊城・期末)已知多项式M=/一33+6,N=x+3,且MN=4当多项式A

中不含x的2次项时，。的值为()

A.-1B.--C.0D.1

3

【变式3-1](23-24七年级•河南商丘・期末)已知关于x的多项式a久-b与3/+%+2的乘积的展开式中不

含尤的二次项，且一次项系数为-5,则a的值为()

A.--B.-C.-3D.3

33

【变式3-2](23-24七年级•全国・专题练习)小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：(久2+

3%—2)(%—a).

(1)小万在做题时不小心将％-a中的x写成了久2,结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值；

(2)小鹿在做题时将/+3%-2中的一个数字看错成了人，结果展开后的式子中不含x的一次项，则上的值可

能是多少？

【变式3-3](16-17七年级•四川成都・期末)已知4+3+1)(/-2彳+〃)的展开式中不含/和/项.

(1)分别求相、力的值；

(2)化简求值:(m+2/7+l)(m+2n-1)+(.2rr^n-4mn2+m3')4-(-m)

【题型4利用整式乘法解决与某个字母取值无关的问题】

【例4】(23-24七年级•湖南常德.期中)知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax-

y+6+3久-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合

并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=

0,则a=-3.

理解应用：

(1)若关于x的多项式2爪2-3久-m(3-5x)的值与x的取值无关，求m值；

(2)已知力=(2x+l)(3久一1)一久(5+3y),B=2x2-3xy+4,且24—6B的值与x的取值无关，求y的值.

【变式4-1](23-24七年级•陕西咸阳•阶段练习)已知4=/+3久一a,B=-%,C=炉+3久2+5,若4•B+C

的值与x的取值无关，当久=-4时，A的值为()

A.0B.4C.-4D.2

【变式4-2](23-24七年级•四川成都•期中)若代数式(2x+2)(3比+m)-2x(3%+6)的值与x的取值无关，

则常数a=

【变式4-3]（23-24七年级•浙江金华・期末）若代数式x（5k久-3xy）-（fc-3）（3久2y-4/）的值与y无关，则

常数k的值为（）

A.2B.-2C.-4D.4

【题型5利用整式乘法解决污染问题】

【例5】（23-24七年级.贵州遵义・期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：（24/y3—■+

6x2y2）（-6x2y）--4x2y2+3xy-y,你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（）

A.—18久3y2B.18x3y2C.—2x3y2D.|x3y2

【变式5-1]（23-24七年级•湖北十堰•期末）右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数式

被墨水污染看不清了.

（1）求被墨水污染的代数式；

（2）若被污染的代数式的值不小于4,求x的取值范围.

【变式5-2]（23-24七年级•上海奉贤•期中）小红准备完成题目：计算（10%+2）（/-x）.她发现第

一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了.

（1）她把被遮住的一次项系数猜成3,请你完成计算：（f+3x+2）（炉-尤）；

（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的.”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系

数是多少？

【题型6利用整式乘法解决误看问题】

【例6】（23-24七年级•山东荷泽・期中）某同学在计算一个多项式乘4/时，因抄错运算符号，算成了加上4/,

得到的结果是3/+2K-1,那么正确的计算结果是（）

A.-4x4+8%3—4x2B.4%4+8%3—4%2

C.-4x4+%3—4x2D.4x4-8x3—4x2

【变式6-1]（23-24七年级•江西萍乡•期中）小颖在计算一个整式乘以3ac时，误看成了减去3ac,得到的答

案是[儿-3ac-|防，该题正确的计算结果应是多少？

【变式6-2]（23-24七年级•江西九江•阶段练习）已知B均为整式，A=（xy+l）（xy-2）-2%2y2+2,

小马在计算4+B时，误把“一”抄成了“-”，这样他计算的正确结果为-/必.

(1)将整式力化为最简形式.

(2)求整式8.

【变式6-3](23-24七年级•河南南阳•阶段练习)甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3久+6),由

于甲抄错为(2x—a)(3x+6),得到的结果为6/+11%一10；而乙抄错为(2%+a)(x+6),得到的结果为

2x2—9%+10.

(1)你能否知道式子中的。，。的值各是多少？

(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案.

【题型7整式乘法的应用】

【例7】(23-24七年级•浙江杭州•阶段练习)有总长为/的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的

宽度为a.

墙墙

(1)如图1,①园子的面积为(用关于/,。的代数式表示).

②当1=100,a=30时，求园子的面积.

(2)如图2,若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一一(填增大或减小)，并求此时园

子的面积(写出解题过程，最终结果用关于/,。的代数式表示).

【变式7-1](23-24七年级.黑龙江哈尔滨•期中)一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上地

板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a元/平方米，地板

的价格(a-10)元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？

卫生恒

卧室

厨房

客厅

4y

【题型8整式乘法中的规律问题】

【例81(23-24七年级•四川成都・期中)观察:下列等式(x-l)(x+1)=%2-l,(x-1)(/+x+i)=婷—i,

(X—l)(x3+X2+X+1)=X4—L..据此规律，当(X—1)(久6+%5+%4+%3+%2+%+1)=0时，代数式

/024-2的值为.

【变式8-11(23-24七年级•广东揭阳•期中)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020

年11月份的日历，我们任意用一个2X2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的

数减去较小的数，你发现了什么规律？

2020年“月

H—.四K六

1734567

891011121314

15161718192021

22232425262728

2930

(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为.

(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果

没有，请说明理由.

【变式8-2](23-24七年级•福建宁德・期末)“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进

行研究.

小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧.

例如：

24x26=100x(2x3)+4x6,结果为624；

42X48=100X(4x5)+2x8,结果为2016；

小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧.

例如：

45x65=100x(4x6+5)+25,结果为2925；

35x75=100x(3x7+5)+25,结果为2625；

(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算63x67的速算过程；

(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；

(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘.请你直接用含有字母

的等式表示该规律.

友情提示：如果两个正整数和为10,则称这两个数互补.

【变式8-3](23-24七年级•福建宁德・期中)下图揭示了(a+b)”("为非负整数)的展开式的项数及各项系

数的有关规律.请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过514天是星期.

121

\/\/

1331

\/\/\/

I4()()1

...(a+b)1=a+b

...(a+6)2=a2+2ab+b2

33

...(a+b)=a+3a2。+3ab2+/

...(a+b)。-

【题型9整式乘法中的新定义问题】

【例91(23-24七年级•陕西榆林•期末)【问题背景】现定义一种新运算“。”对任意有理数m,n,规定：mQn=

mn(m—n).

例如：102=1x2x(1—2)=-2.

【问题推广】(1)先化简，再求值：(a+6)。(a—b),其中a=5b=—1；

【拓展提升】(2)若％2y。(%。y)=/yQ一”yP,求p,g的值

【变式9-1](23-24七年级•浙江宁波・期中)定义J：4=ad—bc,如，^|=1X4-2x3=-2.已知

4=产+；11B=|%+1x-ll(〃为常数)

mx—12%11%—1%+11

(1)若B=4,求％的值；

(2)若4中的n满足2x2"+i=22时，且力=B+2,求8久3-4久+3的值.

【变式9-2](23-24七年级•湖南株洲•期末)定义：如果一个数的平方等于-1,记为产=-1,这个数i叫做

虚数单位，把形如a+万(。、6为实数)的数叫做复数，其中。叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部,

它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：(2-。+(5+3。=(2+5)+(-1+3)i=7+

2i；(1+i)x(2—i)=1x2+1x(—i)+2xi+ix(—i)=2+(-1+2)i—产=2+i—(—1)=3+i

根据以上信息，完成下列问题:

(1)计算：落j4.

(2)计算：(l+i)x(3-4i)；

(3)计算：i+下++j4+j5+…+j2023

【变式9-3](23-24七年级.内蒙古乌兰察布•期末)定义：L(4)是多项式A化简后的项数，例如多项式4=x2+

2比一3,则LQ4)=3,一个多项式A乘多项式8化简得到多项式C(即C=2x8),如果L(4)ML(C)WLQ4)+

1.则称B是A的“郡园多项式”如果L(4)=L(C),则称8是A的“郡园志勤多项式”.

⑴若4=x—2,B=x+3,则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由；

(2)若4=%-2,B=久2+。％+4是关于天的多项式，且8是A的“郡园志勤多项式”，则£1=；

(3)若4=/一x+3m,B=/+%+m是关于尤的多项式，且2是A的“郡园志勤多项式“，求小的值.

【题型10整式乘法中的几何图形问题】

【例10】(23-24七年级•辽宁辽阳•期中)现定义了一种新运算“⑥”，对于任意有理数a,b,c,d,规定(a,b)因

(c,d)=ad—bc,等号右边是通常的减法和乘法运算.例如：(1,3)0(2,4)=1X4-2X3=-2.

请解答下列问题：

(1)填空：(-2,3)0(4,5)=；

(2)若(2/+1,九久一1)⑤(5,%-2)的代数式中不含x的一次项时，求n的值；

(3)求(3x+1,%-2)0(%+2,%-3)的值，其中/-4-x+1—0；

(4)如图1,小长方形长为a,宽为b,用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形4BCD内，

其中4B=5,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设左下角长方形的面积为S「右上角长

方形的面积为S2.当251-352=20,求(2a+瓦—6b)⑤(6—3,3a—66)的值.

【变式10-1](23-24七年级•浙江温州•期中)小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料

裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示：

耳

(1)用含a,6的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积.

(2)当a?+4b2=592,ab=48时，求阴影部分面积.

【变式10-2](23-24七年级.广东佛山•期中)如图，长为y(cm),宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块,

除阴影A,8外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm.

(1)小长方形的较长边为_cm(用代数式表示)；

(2)阴影A的一条较短边和阴影8的一条较短边之和为(2x-y+4)cm,是一的(填正确/错误)；阴影A和

阴影8的周长值之和与久(填有关/无关)，与丫_(填有关/无关)；

(3)设阴影A和阴影8的面积之和为Scm2,是否存在x使得S为定值，若存在请求出x的值和该定值，若不

存在请说明理由.

【变式10-3](23-24七年级•上海青浦•期中)如图所示，有4张宽为a,长为6的小长方形纸片，不重叠的

放在矩形2BCD内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②.EF=2GH

(1)用含a、b的代数式表示：AD=；AB=

(2)用含a、b的代数式表示区域①、区域②的面积；

(3)当ag,6=弓时，求区域①、区域②的面积的差.

参考答案与试题解析

整式的乘法【十大题型】

【苏科版2024]

＞题型梳理

【题型1由整式乘法求代数式的值】.............................................................1

【题型2由整式乘法求字母的值】................................................................1

【题型3利用整式乘法解决不含某项问题】.......................................................2

【题型4利用整式乘法解决与某个字母取值无关的问题】...........................................2

【题型5利用整式乘法解决污染问题】...........................................................3

【题型6利用整式乘法解决误看问题】...........................................................3

【题型7整式乘法的应用】......................................................................4

【题型8整式乘法中的规律问题】...............................................................5

【题型9整式乘法中的新定义问题】.............................................................6

【题型10整式乘法中的几何图形问题】...........................................................7

►举一反三

【题型1由整式乘法求代数式的值】

【例1】(23-24九年级上•安徽铜陵•期中)已知a?+a—1=0,则代数式(a+2)(a-2)+a(a+2)值

为.

【答案】-2

【分析】由已知得a2+a=l,然后对所求式子展开后进行变形，再整体代入计算即可.

【详解】解：Va2+a-l-0,

••a?+a=1,

:.(a+2)(a—2)+a(a+2)=a?-4+a?+2a=2(ci2+a)—4=2x1—4=-2)

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

【变式1-1](23-24七年级•福建泉州•期中)若a—6=3,ab=-4,则(a—2)(b+2)值为.

【答案】-2

【分析】本题主要考查代数式的值及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题先把所

求整式进行展开，然后再代值求解即可.

【详解】解：—b=3,ab=—4,

(a-2)(/?+2)

=ab+2(a—h)—4

=-4+6—4

=-2；

故答案为：-2.

【变式1-2](23-24七年级•山东聊城•期中)如果(5—a)(6+a)=12,那么一2a2-2a+8的值为.

【答案】-28

【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出-。2一

a=-18,再根据一2。2—2a+8=2(—a2—a)+8进行求解即可.

【详解】解：：(5-a)(6+a)=12,

**•30-6a+5a—a?=12,

；♦—a?—CL——18,

—2a2-2a+8=2(—a2—a)+8=-18X2+8=-28,

故答案为:-28.

【变式1-3](23-24七年级•福建•期中)已知/一3久一1=0,则代数式式一IOX+2019值为.

【答案】2022

【分析】由x2-3xT=0,变形X2=3X+1,利用此等式进行降次，化简整体代入计算即可.

【详解】由X2-3XT=0,变形X?=3X+1,X2-3X=1,

X3-10X+2019,

=x(3x+l)-10x+2019,

=3X2-9X+2019,

=3(X2-3X)+2019,

=3+2019,

=2022.

故答案为：2022.

【点睛】本题考查代数式的值，关键是把条件等式变形会降次，会整体代入求值.

【题型2由整式乘法求字母的值】

【例2】(23-24七年级・安徽合肥•期中)已知(元+a)(x+6)=/+〃ix+12,m、a、b都是整数，那么根的可能值的

个数为()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得。+。=如ab=n,再进行分类讨论，从而解决此题.

【详解】解：(x+a)(x-^b)=x2+bx+ax+ab=x2-^{a+b)x-^ab.

*.*(x+a)(x+b)=x2+mx+12,

/.a+b=m,ab=12.

*.*m>a、b都是整数,

・,•当a=\时，则b=\2,此时m=«+/?=l+12=13；

当a=-l时，则b=-12,此时m=a+b=-1-12=-13；

当a=2时,则b=6,此时根=。+/?=2+6=8；

当a=-2时，则b=-6,此时m=«+Z?=-2-6=-8；

当〃=3时，则。=4,此时m=。+6=3+4=7；

当〃二-3时，贝！JZ?=-4,止匕时m=a+b=-3-4=-l；

当〃二12时，则Z?=L此时m=a+b=12+l=l3；

当〃二12时，则b=-L止匕时m=〃+/?=-12-1=-13；

当a=6时,则b=2,此时m=a+/?=6+2=8；

当a=-6时，贝！Jb=-2,止匕时m=a+b=-6-2=-?>；

当〃=4时，则b=3,此时机=。+/?=4+3=7；

当a=-4时，贝！Jb=-3,此时m=a+b=-4-3=-l.

综上：加=±13或±8或±7,共6个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本题

的关键.

【变式2-1](23-24七年级.江苏扬州.期中)若(％+1)(%—3)=M+租％一3,则zn值是.

【答案】-2

【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出产-2%-3=%2+mx-3是解题的关键.

根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m的值即可得到答案.

【详解】解：•.•(%+1)(%—3)=x2+mx—3,

Ax2+x—3x—3=%2+mx—3，

/.x2—2x—3=%2+mx—3,

Am=-2.

故答案为：-2.

【变式2-2](23-24七年级•浙江杭州•期中)不论x为何值，(%+2)(%+a)=%2+ax+2%+2a=%2+(a+

2)x+2a,(x+2)(%+a)=%2+fcx+6,则/c=.

【答案】5

【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出〃的值以及〃与人的关系，然后可得答案.

本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】V(x+2)(%+a)=%2+ax+2x+2a=x2+(a+2)x+2a,

又+2)(%+a)=x2+fcx+6,

.*.x2+(a+2)%+2a=/+k工+6,

：・a+2=k,2a=6,

•••a=3,

.**/c=3+2=5.

故答案为：5.

【题型3利用整式乘法解决不含某项问题】

【例3】(23-24七年级•山东聊城•期末)已知多项式M=/—3a久+6,N=x+3,且MN=4当多项式A

中不含x的2次项时，a的值为()

A.-1B.--C.0D.1

3

【答案】D

【分析】本题考查的是整式的乘法一多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键.根据题意

列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可.

【详解】解：：MN=(x2-3ax+6)(%+3)

=x3—3a久2+6X+3X2—9ax+18

=/+(3-3a)/+(6-9a)x+18

A=MN=/+(3-3犷+(6-9a)x+18

:多项式A中不含尤的2次项时，

3-3a=0

/.a=1

故选D.

【变式3-1](23-24七年级•河南商丘・期末)已知关于x的多项式。久-b与3/+久+2的乘积的展开式中不

含尤的二次项，且一次项系数为-5,则a的值为()

11

A.--B.-C.-3D.3

33

【答案】c

【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含％的二次项，则二次项的

系数为0.根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为

-5的要求建立方程组，即可求解.

【详解】解：(ax-6)(3x2+%+2)；

=3ax3+ax2+2ax—3bx2—bx—2b；

=3ax3+(a-3b)/+(2a—b)x—2b；

多项式a%-b与3/+%+2的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为-5；

.(a—3b=0

Fa-b=-5；

解得：的二:，

••CL—3;

故选：C.

【变式3-2](23-24七年级•全国・专题练习)小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：(/+

3%—2)(%—a).

(1)小万在做题时不小心将尤-a中的x写成了久2,结果展开后的式子中不含x的二次项，求。的值；

(2)小鹿在做题时将产+3久-2中的一个数字看错成了上结果展开后的式子中不含x的一次项，则％的值可

能是多少？

【答案】(l)a=-2

(2)fc=1或一6

【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键.

(1)根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为0,即可求出答案，

(2)根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为0,即可求出答案.

【详解】⑴解:(%2+3%-2)(x2-a)

=x4-ax2+3x3—3ax—2x2+2a

=%4+3x3-(a+2)x2—3ax+2a

・・•展开后的式子中不含x的二次项，

・•・a+2=0,

解得Q=-2；

(2)解：①若将％2+3%-2中的3看成上

(x2+kx-2)(%+2)

=%3+2x2+kx2+2kx—2x—4

=7+(2+fc)x2+(2k—2)x-4,

・・•展开后的式子中不含x的一次项，

・•・2k—2=0,

k=1.

②若将％2+3%-2中的一2看成k,

(%2+3%+fc)(x+2)

=%3+2x2+3x2+6%+fcx+2fc

=7+5/+(6+k)x+2k,

・・•展开后的式子中不含x的一次项，

・•・6+k=0,

解得k=-6.

③若指数2看作％,当k=0时，

原式二(1+3%—2)(%+2)

=3%2+5%—2

不符合题意；

④若指数2看作鼠当k=1时，

原式=(%+3%—2)(%4-2)

=4x2+6x—4,

不符合题意;

k=1或一6.

【变式3-3](16-17七年级•四川成都•期末)已知(f+znx+DCx2-2x+〃)的展开式中不含％2和一项.

(1)分别求机、〃的值；

(2)化简求值：(m+2n+l)(m+2«-1)+(2m2n-4mn2+m5)4-(-m)

【答案】(1)根的值为2,〃的值为3(2)2w〃+8/-1；83

【分析】(1)先将题目中的式子化简，然后根据(/+TH%+1)(•一2%+九)的展开式中不含%2和第3项，可

以求得相、儿的值；

(2)先化简题目中的式子，然后将相、几的值代入化简后的式子即可解答本题.

【详解】解：(1)(%24-mx+l)(x2—2x+n)

=x4-2x3+nx2+mx3-2mx2+mnx+x2-2x+n

=x4+(-2+m)x3+(n-2m+l)x2+Cmn-2)x+n

*.*(X2+mx+1)(%2—2x+71)的展开式中不含%2和％3项,

(-2+m=0解得｛:聂

(n-2m+1=0

即机的值为2,〃的值为3；

(2)(m+2n+l)(m+2n-1)+(2m2n-4mn2+m3)4-(-m)

=[(m+2n)+1][(m+2n)-1]-2mn+4n2-m2

2

=(m+2n)-1-2m«+4n2-m2

=m2+4mn+4n2-1-2mn+4n2-m2

=2mn+8n2-1

当祖二2,行3时，

原式二2x2x3+8x32-1=83.

【点睛】本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键.

【题型4利用整式乘法解决与某个字母取值无关的问题】

【例4】(23-24七年级•湖南常德•期中)知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式。％-

y+6+3x-5y-l的值与X的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把％、y看作字母，a看作系数合

并同类项，因为代数式的值与l的取值无关，所以含%项的系数为0,即原式=(a+3)%-6y+5,所以a+3=

0,则a=-3.

理解应用：

(1)若关于％的多项式27n2-3%-m(3-5%)的值与久的取值无关，求？n值；

(2)已知/=(2%+l)(3%—l)—%(5+3y),F=2x2-3xy+4,且22-68的值与支的取值无关，求y的值.

【答案】(l)m=|

Q)y=|2

【分析】(1)先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与久的取值无关，即可求出答案；

(2)先把/进行化简，然后计算24-6B,结合多项式的值与％的取值无关，即可求出答案.

【详解】(1)解：2m2—3%—m(3—5x)

=27n2—3x—3m+5mx

=(5m—3)x+2m2—3m,

•・•其值与％的取值无关，

・•・5m—3=0,

解得：m=I，

即：当m=|时，多项式27n2一3%-m(3一5%)的值与％的取值无关；

(2)解：•・•/=(2%+l)(3x-1)-x(5+3y),B=2x2-3xy+4,

・•・2A-6B=2[(2x+l)(3x-1)-x(5+3y)]-6(2%2-3xy+4)

=2(6x2—2%+3%—1—5%—3xy)-12x2+18xy—24

=12x2—8x—2—6xy—12x2+18xy—24

=12xy—8x—26

=4x(3y-2)-26；

•••24—68的值与式无关，

•••3y-2=0,即y=|.

【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

【变式4-1](23-24七年级•陕西咸阳•阶段练习)已知4=/+3%-a,8=C=7+3/+5,若/•8+C

的值与x的取值无关，当％=-4时，A的值为()

A.0B.4C.-4D.2

【答案】B

【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出

4的值是多少，然后用它加上C,求出+C的值是多少，最后根据4-B+C的值与尤的取值无关，可

得x的系数是0,据此求出a的值，最后代入求值即可.

【详解】W："A-x2+3x—a,B——x,C—x3+3/+5,

"B+C

=(%2+3%-a)(-%)+(x3+3x2+5)

=—x3—3x2+ax+x3+3x2+5

=ax+5,

A-B+C的值与无的取值无关，

a—0,

A=x2+3x—a=x2+3x,

当x=-4时，A=(-4)2+3x(-4)=4,

故选：B.

【变式4-2](23-24七年级仞川成都•期中)若代数式(2x+2)(3x+m)-2x(3x+6)的值与x的取值无关，

则常数m.

【答案】3

【分析】此题考查整式的混合运算，先运算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并，进而根据与

尤的取值无关得到2爪-6=0,解方程即可.

【详解】解：(2%+2)(3%+m)-2x(3久+6)=6x2+2mx+6%+2m-6x2—12%=(2m-6)x+2m,

•••代数式的值与x的取值无关，

2m—6—0,解得m=3,

故答案为：3.

【变式4-3](23-24七年级•浙江金华・期末)若代数式x(5fcv-3xy)-(fc-3)(3x2y-4/)的值与y无关，则

常数k的值为()

A.2B.-2C.-4D.4

【答案】A

【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y的取值无关，

可知关于y的项的系数为0,从而可以求得左的值.

【详解】解：x(5fcx—3xy)—(fc-3)(3x2y—4x2)

=Skx2—3x2y—3k久2y+4fcx2+9x2y-12x2

——3kx2y+9kx2+6x2y—12x2

=(—3k+6)x2y+9fcx2-12x2

•关于y的代数式：x(5kx—3xy)-(fc-3)(3x2y-4/)的值与了无关，

-3fc+6=0,

解得k=2,

即当k=2时，代数式的值与y的取值无关.

故选：A.

【题型5利用整式乘法解决污染问题】

【例5】(23-24七年级.贵州遵义•期末)小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：(24婷>3一■+

6x2y2)(-6x2y)=-4x2y2+3xy-y,你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是()

A.-18x3y2B.18x3y2C.—2x3y2D.|x3y2

【答案】B

【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解.

【详解】解：(-4/卢3k>)•(-6丹)=24疗-18-卢6//，

■=18xJy2.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键.

【变式5-1](23-24七年级•湖北十堰•期末)右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数式

被墨水污染看不清了.

(1)求被墨水污染的代数式；

(2)若被污染的代数式的值不小于4,求x的取值范围.

-<2r+5XJr-2)

【答案】(1)一2万一4；(2)%<-4.

【分析】(1)根据题意，被墨水污染的代数式=(2x+5)(%—2)—(2/+3%—6),再结合整式的乘法法则及

加减法则解题，注意运算顺序；

(2)由(1)中结果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解题.

【详解】解：(1)由已知可得，

(2尤+5)(x-2)—(2x2+3x-6)

=2x2—4%+5x—10—2x2—3%+6

=—2x—4；

(2)由已知可得，一2支一424

-2x>8

解得x<-4.

【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解

题关键.

【变式5-2】(23-24七年级•上海奉贤•期中)小红准备完成题目：计算x+2)(%2-%).她发现

第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了.

(1)她把被遮住的一次项系数猜成3,请你完成计算：(/+3x+2)C?-x)；

(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的.”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系

数是多少？

【答案】(1)x4+2x3—x2—2%；(2)1

【分析】(1)根据多项式的乘法进行计算即可；

(2)设一次项系数为Q,计算(/+Q%+2)(/-%),根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0,据

此即可求得a的值，即原题中被遮住的一次项系数.

【详解】解：(1)(f+3x+2)(x2-x)

=——/+3x3-3x2+2x2—2x

=x4+2x3—x2—2x

(2)设一次项系数为a,

(%2+ax+2)(x2—x)

=-%3+ax3—ax2+2%2-2x

=x4+(a—l)x3+(2—a)x2—2x

•・•答案是不含三次项的

a-1=0

a=1

【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键.

【题型6利用整式乘法解决误看问题】

【例6】（23-24七年级.山东荷泽•期中）某同学在计算一个多项式乘4/时，因抄错运算符号，算成了加上4/,

得到的结果是3/+2K-1,那么正确的计算结果是（）

A.-4%4+8%3—4x2B.4x4+8x3-4x2

C.-4x4+x3-4x2D.4x4—8x3—4x2

【答案】A

【分析】设这个多项式为M,根据题意可得M=-/+2X-1,最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可

解答.本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法

则是解题的关键.

【详解】解：设这个多项式为M,

•••计算一个多项式乘4小时，因抄错运算符号，算成了加上4/,得到的结果是3/+2x-1,

M+4x2=3x2+2x-1,

.,.M=3x2+2x-1—4/=—x2+2x—1,

正确的结果为（――+2x—1）（4/）=-4x4+8x3—4%2,

故选A.

【变式6-1]（23-24七年级.江西萍乡•期中）小颖在计算一个整式乘以3ac时，误看成了减去3ac,得到的答

案是[be-3ac-]ab,该题正确的计算结果应是多少？

【答案】abc2—2a2be

【分析】本题主要考查了整式乘法运算，根据一个整数减去3ac,得到的答案是[be-3ac-|尤，得出这个

整式为（be-3ac-lab+3ac,然后用3ac乘这个整式得出结果即可.

【详解】解：根据题意得：

/I2\

3acI-be—3ac--ah4-3acj

=3ac（^-bc—^-ab\

\33）

=abc2—2a2bc.

故该题正确的计算结果应是ab/_2a2bc.

【变式6-2](23-24七年级•江西九江•阶段练习)已知4、B均为整式，A=(xy+l)(xy-2)-2x2y2+2,

小马在计算4+B时，误把“土”抄成了“-”，这样他计算的正确结果为-久2y2.

(1)将整式4化为最简形式.

(2)求整式B.

【答案】⑴f2y2一秒;

(2)8=—xy.

【分析】(1)根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可；

(2)根据题意可得4-B=-x2y2,根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；

本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则.

【详解】(1)4=(久y+1)(孙—2)-2/y2+2,

=x2y2—2xy+xy—2—2x2y2+2,

=—22—xy；

(2)由题意，得4—8=—/y2

由(1)知4=-%2y2—尤y,

—x2y2—xy—B=—x2y2,

'.B=—xy.

【变式6-3](23-24七年级.河南南阳•阶段练习)甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+6),由

于甲抄错为(2x—a)(3x+6),得到的结果为6/+11久一io；而乙抄错为(2久+。)(久+6),得到的结果为

2%2—9%+10.

(1)你能否知道式子中的。，。的值各是多少？

(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案.

【答案】(l)a=-5,b=—2

(2)6/-19%+10

【分析】(1)按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到2b-3a=11①，2b+a=-9②，解关于①②

的方程组即可求出。、6的值；

(2)把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果.

【详解】(1)根据题意可知，甲抄错为(2x—a)(3x+6),得到的结果为+—10,

那么(2x—a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x—ab=6x2+11%—10,

可得2b-3a=110

乙抄错为(2%+a)(x+b),得到的结果为2/—9x+10,

可知(2x+a)(%+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2—9%+10

可得2b+a=-9(2),

解关于①②的方程组，可得a=-5,b=—2；

(2)正确的式子：

(2%-5)(3%-2)=6%2-4%-15%+10=6x2-19x+10

【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问题

的关键.

【题型7整式乘法的应用】

【例7】(23-24七年级•浙江杭州•阶段练习)有总长为/的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的

宽度为a.

墙墙

图1图2

(1)如图1,①园子的面积为一(用关于/,a的代数式表示).

②当1=100,a=30时，求园子的面积.

(2)如图2,若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一一(填增大或减小)，并求此时园

子的面积(写出解题过程，最终结果用关于/,a的代数式表示).

【答案】⑴①—2a)；②1200

(2)增大;al—2a2+a

【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键.

(1)①先用/和a的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把2=100,a=30代入①中的代数式

进行计算即可；

(2)由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积.

【详解】(1)解：①•••总长为宽为a,

.,.园子的长为：Q—2a),

.,.园子的面积为：aQ-2a)；

故答案为：aQ-2a)；

②当2=100