2025高考数学二轮复习：立体几何综合（五大考向）专项训练（含解析）

2025高考数学考二轮专题复习-第十四讲-立体几何综合(五大考向)-专项训练

-：考情分析

命题解读考向考查统计

2023•新高考I卷，

18(1)

.高考对立体几何综合的考

12024•新高考I卷，

查，重点是平行关系

17(1)

(1)了解空间向量的概念，2022•新高考n卷，

了解空间向量的基本定理及其20(1)

意义，掌握空间向量的正交分2023•新高考n卷，

解及其坐标表示。20(1)

垂直关系

(2)掌握空间向量的线性运2024•新高考n卷,

算及其坐标表示，掌握空间向17(1)

量的数量积及其坐标表示，能2022•新高考I卷，

点到面的距离

用向量的数量积判断向量的共19(1)

线和垂直。2022•新高考I卷，

(3)用几何法进行平行、垂19(2)

直关系的证明，以及能用向量2022•新高考n卷，

法证明立体几何中有关线面位20(2)

求二面角

置关系的一些简单定理。2023•新高考n卷,

(4)能用向量法解决异面直20(2)

线、直线与平面、平面与平面2024•新高考n卷,

的夹角问题，并能描述解决这17(2)

一类问题的程序，体会向量法2023•新高考I卷，

在研究空间角问题中的作用。18(2)

已知二面角求其他量

2024•新高考I卷，

17(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了线面平行关系的证明和已知二面角求长度问题。n

卷考查了线线垂直关系的证明和二面角正弦值的求解。难度适中，不过解题的证明方

法还是比较少见的，大家要注意。例如I卷是利用垂直关系的性质来考查平行，二面

角既可以用定义法也可以建系解决。预计2025年高考第（1）问还是主要考查平行与

垂直的判定与性质，第（2）问主要考查利用空间向量的相关知识解决空间角的问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.（2024新高考I卷-17）如图，四棱锥P-/3CD中，上4,底面4BCD,

PA=AC=2,BC=1,4B=6

P

B

（1）若/。，尸2,证明：平面P3C；

（2）若2DLOC,且二面角/-的正弦值为半，求4D.

2.（2024新高考H卷-17）如图，平面四边形48CD中，48=8,CD=3,

AD=5拒,ZADC=90°,NBAD=30°,点、E,产满足/£AF=-AB,将

△4EF沿EF对折至！PEF,使得PC=4^3.

(1)证明：EF_LPD；

（2）求面尸CD与面尸3月所成的二面角的正弦值.

高考真题练

一、解答题

1.（2022新高考I卷-19）如图，直三棱柱/8C-44G的体积为4,A/田。的面积为

2亚.

⑴求/到平面48c的距离;

⑵设。为4c的中点，AAi=AB,平面4BCL平面/2乌4,求二面角/-AD-C的正

弦值.

2.（2023新高考I卷•18）如图，在正四棱柱/BCD-44GA中，/8=2,4<=4.点

4,与,c?,。?分另U在棱上，AA,=\,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明：B2C2//A2D2.

(2)点尸在棱上，当二面角尸-4。2-3为150。时，求B2P.

3.(2022新高考H卷-20)如图，PO是三棱锥尸-Z8C的高，PA=PB,AB1AC,E

是尸8的中点.

(1)证明：OE〃平面P/C；

(2)若乙4BO=NCBO=30。，尸。=3,PA=5,求二面角C-4E-2的正弦值.

4.(2023新高考n卷-20)如图，三棱锥/-BCD中，DA=DB=DC,BDA.CD,

NADB=NADC=60°,£为3c的中点.

AF

(1)证明：BCVDA-

(2)点/满足而，求二面角。-48-尸的正弦值.

知识点总结

一、直线的方向向量

1、直线的方向向量

如图8-153所示，/为经过已知点/且平行于已知非零向量"的直线.对空间任意一点

。，点尸在直线/上的充要条件是存在实数使丽=E+i①，其中向量;叫做直线

/的方向向量，在/上取刀=",则式①可化为

C^=OA+tAB=OA+t[OB-OA^=(l-t)OA+tOB@

①和②都称为空间直线的向量表达式，当，=3，即点P是线段48的中点时，

而=；(a+砺)，此式叫做线段48的中点公式.

2、共面向量

如图8-154所示，已知平面a与向量£,作况=£,如果直线。4平行于平面a或在平

面a内，则说明向量。平行于平面平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

oaA

3、共面向量定理

如果两个向量Z,［不共线，那么向量方与向量£,刃共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对使p=xa+yB.

推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（尤，咒，使

AP=xAB+yAC；或对空间任意一点。，有方-刃=+y就，该式称为空间平面

48c的向量表达式.

②已知空间任意一点。和不共线的三点/,B,C,满足向量关系式

OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）的点尸与点N,B,C共面；反之也成立.

二、空间向量的数量积运算

1、两向量夹角

已知两个非零向量"，b,在空间任取一点。，作a=Z,OB=b,则NNOB叫做向量

a,［的夹角，记作（°,可，通常规定0V4万，如果那么向量°,［互

相垂直，记作。_1_尻

2、数量积定义

已知两个非零向量b,则忖Wcos（a,可叫做a,B的数量积，记作心3,即

a-b=|a||S|cos^a,^.零向量与任何向量的数量积为0,特别地，°.°=忖.

3、空间向量的数量积满足的运算律:

（4〃）.5=几（。.可，a-b=b'a（交换律）；

Q.0+C）=Q.B+Q.0（分配律）.

三、空间向量的坐标运算及应用

1、设4=（%,〃2M3），5=（伪也,。3），则a+1=（q+4，%+&。3+4）；

a-b=^a{-bx,a2-b2,a3-b^；

Aa=（^Aai9Aa2,Aa3）；

a-b=axb{+a2b2+a3b3；

a//b\b7^0I=>tZj=独,。2=%2，a3=劝3；

Q

_L5=>axb{+a2b2+a3b3=0.

XIZ

2、设4（Q，J,B[x2,y2,z2）,贝U43=05-O/=（%2-再,%-必/2-zj.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标

减起点的坐标.

3、两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知Q=（%,42M3），3=（4也也），贝二击；+/+〃§2；

W==Jb；+片+&2；

a-b=+a2b2+a3b3；

%b[+a2b2+a3b3

costa,b

Ja；+a；+%2JbJ++b；

②已知N(X]Ji，zJ,B(x2,y2,z2),则卜目=J(X]-%『+(M-%丫+(4-z?『，

或者4(43)=四.其中4(48)表示/与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公

式.

4、向量.在向量B上的投影为.cos,3)=；^.

四、法向量的求解与简单应用

1、平面的法向量：

如果表示向量［的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作

nla,如果〃_La,那么向量”叫做平面a的法向量.

几点注意：

①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量［是平面的

法向量，向量加是与平面平行或在平面内，则有加•〃=().

第一步：写出平面内两个不平行的向。=(占，zj,6=(x2,,z2)；

第二步：那么平面法向量溢=(x,y,z),满足匕=°n尸+步+z%=0.

n-b=0〔打2+抄2+ZZ2=0

2、判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线〃，6的方向向量分别为九b.

若aIIB,即a则a〃6；

若Q_L加，即a•1=(),贝!

②直线与平面的位置关系：直线/的方向向量为平面a的法向量为为，且La.

若2II万，即Q=4〃，贝!J/_La；

若a-Ln，即〃•〃=0,贝！Ja//a.

na

L

3、平面与平面的位置关系

平面a的法向量为居，平面£的法向量为&.

若H,||&，即既=标2'则a〃P；若41%,即耳•元2=0,则a_L£.

五、空间角公式

1、异面直线所成角公式：设1分别为异面直线4上的方向向量，。为异面直

线所成角的大小,则cos。=kos(a,6)|=".

1'〃a^b

2、线面角公式：设/为平面a的斜线，Z为/的方向向量，3为平面a的法向量，。为

I与a所成角的大小,则$亩0=卜0$(°,〃，=.二产..

1''a\\n

3、二面角公式：

设％,”2分别为平面&，4的法向量，二面角的大小为。，贝！]0=("],"2)或万-

In,-n\

(需要根据具体情况判断相等或互补)，其中IcosOkl昌2.

NN

六、空间中的距离

求解空间中的距离

1、异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的

正射影性质直接计算.

如图，设两条异面直线a,6的公垂线的方向向量为万，这时分别在a,6上任取/,8

两点，则向量在力上的正射影长就是两条异面直线a,6的距离.则

d=|万•二上也川即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量

\n\\n\

和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

/为平面口外一点（如图），元为平面a的法向量，过力作平面口的斜线N8及垂线

AH.

\~AH^AB\-sin(9=|AS|•|cos<AB,n>|=|AB|纥;=吗川

—耳.卜|n|

|«|

名校模拟练

一、解答题

1.（2024•江西九江三模）如图，已知四棱锥尸-/BCD的底面/BCD为直角梯形,

JT

ABIICD,AB1BC,/BAD=-,AB=ADQPAD为等边三角形.

(1)证明：PB±AD；

27T

(2)若二面角的大小为彳，求二面角/-PB-C的正弦值.

2.(2024•安徽芜湖•三模)如图，三棱锥/BCD中，平面48。，平面/CD,平面

4BD_L平面3cZ),平面/CD_L平面3CQ,

⑴求证：AD,2。CD两两垂直;

(2)若。4=1,。8=2,"7=3,尸为力2中点，。为/C中点，求8。与平面PDC所成角的正

弦值.

3.(2024・四川成都•三模)如图，三棱柱4BC-/成G所有棱长都为2,/B、BC=60。,

。为4c与NG交点.

(1)证明：平面BCD,平面Mg；

⑵若DB\二与,求二面角4-CBrq的余弦值.

TT

4.（2024•江西南昌•三模）如图1,四边形/BCD为菱形，ZABC=-,E,尸分别为

AD,DC的中点，如图2.将AA8C沿/C向上折叠，使得平面N8C1平面/CFE,将

0£尸沿Ek向上折叠.使得平面DENJL平面/CFE,连接AD.

⑴求证：A,B,D,E四点共面：

（2）求平面AEDB与平面FDBC所成角的余弦值.

5.（2024・北京顺义•三模）如图在几何体中，底面48CD为菱形,

ZABC=60°,AE//DF,AE±AD,AB=AE=2DF=4.

（1）判断4D是否平行于平面CER并证明；

（2）若面E4B_L面/3CZ）；求：

（i）平面N3C。与平面CEF所成角的大小;

（ii）求点/到平面CE尸的距离.

6.(2024•安徽合肥•三模)如图一：等腰直角中且ZC=2,分别沿三角

形三边向外作等腰梯形ABB2A,,BCC2B3,CAA3C3使得

TT

AA2=BB2=CC2=1,ZCAA3=NBA^=1，沿三边AB,BC,CA折叠，使得

44，与23，。2c3，重合于4,4,。，如图二一

⑴求证：44］，4G.

(2)求直线CG与平面所成角0的正弦值.

7.(2024•河北秦皇岛•三模)如图，在三棱柱NBC-48G中，CA=CB,四边形

7T

为菱形,^ABB}=y,AC.YB.C.

(1)证明：BC=BB-

(2)已知平面/平面4BB4,求二面角B-CG的正弦值.

8.(2024•河南•三模)如图，在直三棱柱/BC-4BC中，。是棱3c上一点(点。与

点C不重合)，且/OLDC,过4作平面BCC4的垂线/.

(1)证明：U/AD-,

(2)若/c=cq=2,当三棱锥G-/CD的体积最大时，求/C与平面NDG所成角的正

弦值.

9.(2024•江苏宿迁•三模)如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而

成，4G为半个圆柱上底面的直径，ZACB=90°,AC=BC=2,点、E,尸分别为

AC,48的中点，点。为南的中点.

(1)证明：平面BCD//平面GEF；

(2)若尸是线段G尸上一个动点，当CG=2时，求直线4尸与平面BCD所成角的正弦值

的最大值.

10.(2024•广东汕头三模)如图，在四棱锥P-48C。中，底面48CD是边长为2的正

方形，P/_L平面/BCD,PA=2,M是中点，N是中点.

P

(1)证明：直线AW//平面尸48；

(2)若丽=3品，求平面PCD与平面G&W的夹角的余弦值.

11.(2024•浙江绍兴三模)如图，在直三棱柱48。-481G中，AB1BC,

AB=BC=BBl=6,D、E分别为“、理的中点，设平面皿加交棱8c于点尸.

产

⑴求职；

(2)求二面角C.-DF-C的平面角的正切值.

12.(2024•湖南长沙•三模)如图，在四棱台48co-44GA中，ADHBC,

4B工DDi，CD=2,AD=3,BC=4,ZADB=3Q°.

⑴证明：平面ADDXAX1平面ABCD；

(2)若4UAD,四棱台的体积为笔1,4G=2,求平面/BCD与平面

COAG夹角的余弦值.

13.(2024・山东烟台•三模)如图，在直三棱柱48C-48c中，AB=BC=BBX=2,

M,N分别为BBi,/C中点，且GM，1'

(1)证明：C.M1AXN.

(2)若。为棱44上的动点，当。N与平面/BC所成角最大时，求二面角/-DM-N的

余弦值.

14.(2024・四川成都・三模)中国是风筝的故乡，南方称“鹤”,北方称“莺”.如图，某种

风筝的骨架模型是四棱锥尸-ABCD,其中/尸=2,CB=CD=CP=4,AC

交2D于点O.

(1)求证：平面P4C_L平面尸3D；

⑵若/C=2后，且二面角P-/C-8为三，求直线尸8与平面尸4D所成角的正弦值.

15.(2024•山东青岛•三模)如图所示，多面体4BCDE尸，底面A8CD是正方形，点。

为底面的中心，点〃•为EF的中点，侧面4DE尸与8CE尸是全等的等腰梯形，EF=4,

其余棱长均为2.

(1)证明:MO1平面ABCD；

⑵若点尸在棱CE上，直线2P与平面所成角的正弦值为考1,求EP.

16.(2024•新疆喀什三模)如图，在正四棱台/BCD-48cA中，7出=60。,

48=244=4,E是CD的中点.

(1)求证：直线/C,平面衣0。4；

(2)求直线EDX与平面ABB{A{所成角的正弦值

17.(2024•浙江・三模)如图，在三棱柱/8C-4耳G中，底面N8C是边长为2的正三

JT

角形，平面4CC/T底面/8C,ZA1AC=^,44=2,E,尸分别是4C,8G的中

点，P是线段E尸上的动点.

(1)当P是线段E尸的中点时，求点P到平面么8片4的距离；

(2)当平面PCC,与平面BB&C的夹角的余弦值为嚏1时，求EP.

18.(2024•湖南邵阳•三模)如图所示，四棱锥尸-中，PAV^ABCD,

ABHCD,ABLAD,AP=AB=2AD=2CD,E为棱PC上的动点.

P

(1)求证：BCLAE；

(2)若丽=2反，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.

19.(2024•江西新余•二模)如图，在四棱锥P-/3C。中，底面/8CO是直角梯形,

ABHCD,AABC=90°,且尸/==PC=PB.

(1)若。为4D的中点，证明：平面尸OC，平面/BCD；

⑵若/CZM=60。，AB=^CD=},线段上的点“满足方面=彳方，且平面PC8与

平面/C核夹角的余弦值为这，求实数2的值.

20.(2024•贵州六盘水•三模)已知四棱台四。-48cB的上、下底面分别是边长为

2和4的正方形，平面40。4，平面48cD,441=3,DD、=5,

cosN4RD=-等，点尸为。，的中点，点。在棱8c上，且80=3。。.

(1)证明：尸。〃平面

(2)求二面角Q-AP-功的正弦值.

21.(2024・新疆・三模)已知底面48CD是平行四边形，上4,平面/BCD,PA//DQ,

PA=3DQ=3,AD=2AB=2,JLZABC=60°.

p

Q

D

B

(1)求证：平面尸/C，平面8。；

(2)线段尸C上是否存在点使得直线与平面PC。所成角的正弦值是半.若存

在，求出言的值；若不存在，说明理由.

22.(2024・浙江绍兴•三模)如图，在三棱锥/-BCD中，是正三角形，平面

平面3cO,BDLCD,点E是3c的中点，Ad=2OE.

⑴求证：。为三棱锥外接球的球心；

(2)求直线AD与平面BCD所成角的正弦值；

(3)若/BCD=60。，BG=ABD.求平面应与平面所成锐二面角的余弦值最大时

2的值

参考答案与详细解析

考情分析

命题解读考向考查统计

2023•新高考I卷，

18(1)

.高考对立体几何综合的考

12024•新高考I卷,

查，重点是平行关系

17(1)

(1)了解空间向量的概念，2022•新高考n卷，

了解空间向量的基本定理及其20(1)

意义，掌握空间向量的正交分2023•新高考n卷,

解及其坐标表示。20(1)

垂直关系

(2)掌握空间向量的线性运2024•新高考n卷，

算及其坐标表示，掌握空间向17(1)

量的数量积及其坐标表示，能2022•新高考I卷，

点到面的距离

用向量的数量积判断向量的共19(1)

线和垂直。2022•新高考I卷，

(3)用几何法进行平行、垂19(2)

直关系的证明，以及能用向量2022•新高考n卷,

法证明立体几何中有关线面位20(2)

求二面角

置关系的一些简单定理。2023•新高考n卷,

(4)能用向量法解决异面直20(2)

线、直线与平面、平面与平面2024•新高考n卷,

的夹角问题，并能描述解决这17(2)

一类问题的程序，体会向量法2023•新高考I卷，

在研究空间角问题中的作用。18(2)

已知二面角求其他量

2024•新高考I卷,

17(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了线面平行关系的证明和已知二面角求长度问题。n

卷考查了线线垂直关系的证明和二面角正弦值的求解。难度适中，不过解题的证明方

法还是比较少见的，大家要注意。例如I卷是利用垂直关系的性质来考查平行，二面

角既可以用定义法也可以建系解决。预计2025年高考第（1）问还是主要考查平行与

垂直的判定与性质，第（2）问主要考查利用空间向量的相关知识解决空间角的问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.（2024新高考I卷•17）如图，四棱锥P-48CD中，尸/，底面48CD,

PA=AC=2,BC=1,AB=C.

（1）若4D_LP8,证明：ND〃平面P8C；

（2）若4DLDC,且二面角/-的正弦值为半，求4D.

【答案】⑴证明见解析

(2)73

【分析】（1）先证出平面尸28,即可得4D/4B,由勾股定理逆定理可得

BC1AB,从而AD//BC,再根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）过点D作。E//C于E,再过点E作于尸，连接。尸，根据三垂线法可

知，ND尸E即为二面角-。的平面角，即可求得tan4）尸£=而，再分别用

的长度表示出。区£尸，即可解方程求出NO.

【详解】(1)(1)因为上4_L平面48c而4Du平面48CD,所以尸

又AgPB,PBCP4=P,PB,P4u平面P4B,所以40_L平面尸42,

而/3u平面P/8,所以4D24B.

因为8c2+48?=AC?,所以8cl/5,根据平面知识可知/。/ABC,

又仁平面PBC,BCu平面PBC,所以/D//平面尸8C.

(2)如图所示，过点D作。E//C于E,再过点E作跖，CP于尸，连接。尸，

因为尸/_!"平面48cD,所以平面尸NC_L平面48CD,而平面PNCCI平面48co=NC,

所以DEI平面尸/C,又EF1CP,所以CP_L平面尸，

根据二面角的定义可知，ND厂E即为二面角4-CP-。的平面角，

BPsinZDFE=^,即tan/D^E=V^.

7

因为/£>_LOC,设=x,则。£)="-C，由等面积法可得，。£=&生二，

2

又CE=J(4一百一/(1)=丁,而A£FC为等腰直角三角形，所以跖=今等,

XA/4-X2

故tanNDFE=-2—=a,解得x=V3,即AD=V3.

4一%

2A/2

2.(2024新高考II卷・17)如图，平面四边形ZBCD中，AB=8,CD=3,

__„2__-__-]__►

AD=5ZADC=90°,NB4D=30",点、E,尸满足荏=《而，AF=-AB,将

△AEF沿EF对折至！PEF,使得PC=4也.

(1)证明：EFLPD；

(2)求面PCD与面歹所成的二面角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

8A/65

)65

【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得访=2,利用勾股定理的逆定理可证得

EF1AD,则EF，PE,E尸，。E,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明尸建立如图空间直角坐

标系E-az,利用空间向量法求解面面角即可.

【详解】⑴由4B-8,4D=5瓜石竦石,力=”,

^AE=2y/3,AF=4,又/BAD=3。",在△/£产中，

由余弦定理得EF=J/E?+N尸-2NE./FCOS/5/D=J16+12-2-4.2百=2,

所以/炉+E尸2=/＞，则/E_LEF,即斯工

所以EFLPE,EFLDE,又PECDE=E,PE、DEu平面尸

所以斯人平面PDE,又尸Du平面PDE,

故EF上PD；

(2)连接C£,iZADC=90°,ED=3y/3,CD=3,则CE，=EZ^+C。，=36,

在APEC中，PC=4瓜PE=2瓜EC=6,EC2+PE2=PC2,

所以尸E_LEC,由(1)知PELEF,又ECCIEF=E,EC、EFu平面23CD,

所以尸E_L平面/BCD,又E£>u平面48cD,

所以PELED,则PE,E£ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-孙z,

贝!|E(0,0,0),P(0,0,2A/3),0(0,360),C(3,3A/3,0),F(2,0,0),A(0,-2^3,0),

由尸是48的中点，得8(4,26,0),

所以无=(3,373,-273),PD=(0,3A/3,-25/3),~PB=(4,25-26),PF=(2,0,-273),

设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为"=(不加=(x2,y2,z2),

XAZ

H辰=3%+3乖1y「2mZ、=0m-PB=42+26%-2/32=0

则《

拓•丽=3岛1-2G4=0m-PF=2X2—2cz2=0

令必=2,%=6,得否=0,4=3,%=-1/2=1,

所以1=(0,2,3),加=(6,一1,1),

所以回,/，同=/=7|上=若，

设平面PCQ和平面/所成角为6,则sin6=Jl—co平叵,

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为返.

65

高考真题练

一、解答题

1.（2022新高考I卷•19）如图，直三棱柱NBC-48c的体积为4,4/啰。的面积为

2a.

⑴求/到平面42c的距离；

⑵设。为4c的中点，AAy=AB,平面4BCL平面/8月4,求二面角/-HD-C的正

弦值.

【答案】（1）及

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得平面建立空间直角坐标系，利用空

间向量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱4BC-4耳G中，设点A到平面48c的距离为h,

V9

则A-A,BC-h=VA]_ABC=；S"BC•二§^ABC-A^q=§

解得/z=V2>

所以点A到平面43c的距离为亚；

(2)取42的中点E,连接AE,如图，因为所以4石，为8,

又平面ABC±平面ABBH,平面AtBCc平面ABBM=A、B,

且/Eu平面/助14，所以/£_L平面43C,

在直三棱柱ABC-中，BBJ平面ABC,

由BCu平面48C,BCu平面/8C可得/E_L3C,BB,1BC,

又AE,BB、u平面ABB4且相交，所以BC1平面ABB.A,,

所以3。,248乌两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由（1）得4E=,所以/4=/8=2,A1B=2A/2,所以8C=2,

则/（0,2,0）,4（0,2,2）,8（0,0,0）,C（2,0,0）,所以4c的中点。（1,1,1）,

则丽=（1,1,1）,回=（0,2,0）,前=（2,0,0）,

m•BD=x+y+z=0

设平面ABD的一^a法向量m=(xj,z),则

m•BA=2y=0

可取浣=(1,0,-1),

设平面瓦兀的一个法向量”=(a,瓦c),贝！|一/\

[n-BC=2a=0n

可取为=(0,1,-1),

则侬/刎一一加、厨m-n11

所以二面角/-助-。的正弦值为jl=j=字.

2.(2023新高考I卷-18)如图，在正四棱柱/BCD-48cA中，/2=2,/4=4.点

4也,。2，。2分另!1在棱4^，2综81,001上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2//A2D2.

⑵点尸在棱84上，当二面角尸-4c2-3为150。时，求B2P.

【答案】⑴证明见解析；

(2)1

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

(2)设尸(0,2,㈤(04244),利用向量法求二面角，建立方程求出入即可得解.

【详解】(1)以C为坐标原点，所在直线为x/,z轴建立空间直角坐标系,

如图，

则C(0,0,0)6(0,0,3),与(0,2,2),2(2,0,2),4(2,2,1),

.♦.瓦心=(0,-2,1),=(0,-2,1),

B2c2〃&D?,

又B2c2,42不在同一条直线上，

B2C2//A2D2.

(2)设尸(0,2,4)(0044),

则*=(-2,-2,2),南=(0,-2,3-㈤,也=(-2,0,1)，

设平面尸4G的法向量，=(x,y,z),

n-AC=-2x-2y+2z=0

则—27，

n-PC2=-2y+(3-A)z=0

令z=2,^J=3-A,x=2-1,

A/=(A—1,3—A,2)9

设平面42c2。2的法向量m=(a,b,c),

m-4G=~~2a-2b+2c=0

则一，

fhD2C2=-2a+c=0

令a=l,得b=l,c=2,

/.m=(1,1,2),

I/__In-m6yfi

:.\cos(n,m)\=|一=LI=|cosl50°|=—,

1'71"％V6V4+(A-l)2+(3-2)2112

化简可得，A2-42+3=0,

解得4=1或4=3,

，尸(0,2,1)或尸(0,2,3),

:.B2P=1.

3.(2022新高考n卷20)如图，P。是三棱锥尸-48C的高，PA=PB,AB1AC,E

是PB的中点.

(1)证明：OE//平面PNC；

(2)若乙48。=/。8。=30。，尸。=3,P4=5,求二面角C-/E-8的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

呜

【分析】(1)连接8。并延长交NC于点。，连接"、PD,根据三角形全等得到

OA=OB,再根据直角三角形的性质得到即可得到。为的中点从而得到

0E//PD,即可得证；

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根

据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】(1)证明：连接3。并延长交/C于点。，连接PD,

因为尸。是三棱锥P-48C的高，所以P。/平面28C,/O,8。u平面/8C,

所以尸O_L/。、POLB0,

又PA=PB,所以204三APOB,即。/=。2,所以/O4B=/OA4,

yLABIAC,即/B/C=90。，所以/O4B+/CMD=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以NODA=NOAD

所以即/。=。。=。8,所以。为5。的中点，又E为总的中点，所以

OEHPD,

又0E<Z平面尸4C,PDu平面尸4C,

所以0E〃平面P/C

(2)解：过点A作Nz//OP,如图建立空间直角坐标系,

因为「。=3,AP=5,所以04=dAD?-P0?=4，

又NOBA=NOBC=30°,所以8。=20/=8,则ND=4,AB=443,

所以/C=12,所以O（2G,2,0）,B（4A0,0）,尸（26,2,3）,C（0,12,0）,

所以E[36,1,|）,

贝！J万=13百」,胃，AB=（4V3,0,0）,就=（0,12,0）,

二——r3

一/、ri'AE=3v3x+y+—z=0

设平面的法向量为〃=（%//）,贝3_2令2=2,则

n-AB=4A/3X=0

尸-3,x=0,所以屋（°，一02）；

二一r3

-、„,m-AE=3V36Z+/7+—c=0

设平面ZEC的法向量为加=（z〃,仇°）,贝！_2,

m-AC=12b=0

令a=也,则。=一6,6=0,所以冽=（G,0,-6）；

/-----\n-m-124A/3

所以cos（〃⑺=丽=而百一寸.

设二面角C-AE-B的大小为6,则|cosq=卜05（几,冽，,

所以sin6=Jl-cos2e=二,即二面角C-4E-3的正弦值为1.

4.（2023新高考H卷-20）如图，三棱锥/-BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,

ZADB=ZADC=60°,E为3c的中点.

(1)证明：BCLDA；

(2)点尸满足而=万2，求二面角。-48-尸的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

【分析】(1)根据题意易证3cl平面4DE,从而证得5CLD4；

(2)由题可证平面8C。，所以以点E为原点，瓦)，匹，口所在直线分别为x/，z

轴，建立空间直角坐标系，再求出平面482/2尸的一个法向量，根据二面角的向量公

式以及同角三角函数关系即可解出.

【详解】(1)连接/瓦DE,因为E为BC中点，DB=DC,所以。EJ.8C①，

因为。/=O8=OC,NADB=NADC=60°,所以与均为等边三角形，

AC=AB,从而NE_L8C②，由①②，AE^}DE=E,4E,DEu平面4DE,

所以，3cl平面4DE,而/Ou平面4DE,所以8C_LD4.

(2)不妨设DA=DB=DC=2,-：BD1CD,:.BC=20DE=AE=①.

AE2+DE2=4=AD2,AEIDE,又；4E工BCQECBC=E,DE,8Cu平面8c£>

/E_L平面80

以点E为原点，所在直线分别为x/,z轴，建立空间直角坐标系，如图所

zK：

设D(&0,0),4(0,0,V2),B(0,V2,0),£(0,0,0),

设平面0/8与平面43尸的一个法向量分别为勺=（石,%,zj,%=（々，&/2）,

二面角。-48-尸平面角为6,而刀二（0,行,-行）,

因为丽=次=卜0,0,/），所以川-行,0,夜），即有万^卜也,。,。）,

匕二取e所以涓a」』）；

—A/2Z2—0

,取%=1,所以〃2=(04,1)，

二0

所以’际M=郦4•%土及97T号-X/A’从而si"=

93

所以二面角……的正弦值为字.

知识点总结

一、直线的方向向量

1、直线的方向向量

如图8-153所示，/为经过已知点/且平行于已知非零向量£的直线.对空间任意一点

。，点尸在直线/上的充要条件是存在实数人使丽=如+小①，其中向量£叫做直线

/的方向向量，在/上取方=£,则式①可化为

OP=OA+tAB=OA+t^OB-OA^=（\-t）OA+tOB@

①和②都称为空间直线的向量表达式，当，=g，即点P是线段48的中点时，

存=g（E+砺），此式叫做线段48的中点公式.

2、共面向量

如图8-154所示，已知平面a与向量Z,作况=£,如果直线。4平行于平面a或在平

面0内，则说明向量々平行于平面平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

如果两个向量Z,［不共线，那么向量方与向量£,3共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对（xj），使p=xa+yB.

推论：①空间一点P位于平面4BC内的充要条件是存在有序实数对（尤/）,使

AP=xAB+yAC或对空间任意一点0,有赤-E=+y就，该式称为空间平面

48c的向量表达式.

②已知空间任意一点。和不共线的三点4,B,C,满足向量关系式

OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）的点尸与点N,B,C共面；反之也成立.

二、空间向量的数量积运算

1、两向量夹角

已知两个非零向量Z,b,在空间任取一点0,作方=3,0B=b,则4405叫做向量

a,B的夹角，记作«,可，通常规定0«依②工不，如果伍力=],那么向量入B互

相垂直，记作〃

2、数量积定义

已知两个非零向量〃，b,则同Wcos伍日叫做a,3的数量积，记作a•个即

a%=WWcos（q,B）.零向量与任何向量的数量积为0,特别地，=W.

3、空间向量的数量积满足的运算律：

（2。）.5=/1（〃.回，a-b=b-a（交换律）；

〃•倒+c）=q・B+q・c（分配律）.

三、空间向量的坐标运算及应用

1、设4=（%,〃2，。3），3=（4也也），贝!Ia+否=（%+4,〃2+-2，。3+4）；

a-b=（^ax-bx,a2-b2,a3-）；

Aa=（X%,4a2，丸〃3）；

a-b=aQ]+a2b2+a3b3；

a/!b\b6）=>^=独,a2=Zb2,a3=Ab3；

a_L6=aQ]+a2b2+a3b3=0.

2、设/（Xi，M，zJ,5（x2,y2,z2）,JUiJAB=OB-OA=（x2-xi,y2-yl,z2-zj.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标

减起点的坐标.

3、两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知Q=(%,42M3)，3=(可也也)，贝!J。二

a-b=%b[+a2b2+a3b3；

afy+a2b2+a3b3

cos(a9b)=

JQj+22+%2Jb；+b；+

4(%,(M-%(4-z?)2,

②已知弘,均)，B(x2,y2,z2),则%目=%『+丫+

或者“43)=|方卜其中4(48)表示/与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公

式.

四、法向量的求解与简单应用

1、平面的法向量：

如果表示向量［的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a