2025高考数学二轮复习：切线放缩 专项训练【含答案】

微专题11切线放缩

［考情分析］切线放缩思想一直是导数中重要的思想之一，某些求函数的最小值或证明不等

式的问题，巧用切线放缩，会有意想不到的效果.一般试题难度较大.

-思维导图

过函数图象上一点的切线方程「

必备利用切线放缩求最值

函数的单调性一常见

知识一题型利用切线放缩证明不等式

函数的最值一切

线

放

缩

e*>x+l-一

一放缩时选择不等式不恰当

InxWx-1—必备常见

-运用切线不等式时等号取舍错误

e*Nex—解法误区

—求最值时忽略验证等号能否取到

Inx一

e

典型例题

考点一利用切线放缩求最值

【典例1】已知函数兀r)=lnx—

(1)若八工)在［1,+8)上单调递减，求实数〃的取值范围；

(2)若。=1,求小)的最大值.

解(1)由题意，/'(%)='—(x+l)ex+aWO在［1,+8)上恒成立,

从而——,

x

设g(x)=(x+l)d—4x21),

X

则g'(X)=(X+2)H+4>0,

所以g(x)在［1，+8)上单调递增，故g(x)min=g(l)=2e—1,

因为aWg(x)恒成立，所以tz<2e—1,

故实数a的取值范围为(-8,2e-l］.

(2)方法一设9(x)=e%—%—1,则“(x)=ex—1,

令”(x)>0,则％>0,令“(x)<0,则％<0,

所以夕(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故9(x)min=9(0)=0,所以9(x)20,

故廿三1+1.

当a=l时，

«r)=ln%—痣+1=111%—e^^-e^+x

=lnx-e^+inx+xWlnx—(x+lnx+l)+x=­1,

当且仅当x+lnx=O时等号成立，

设〃(x)=x+lnx(x>0),则I(x)=l+->0,故v(x)在(0,+8)上单调递增，

x

结合〃口=1—1<0,〃(1)=1>0知”(X)在(0,+8)上有零点，

e

即方程X+111X=O有实根，所以/(X)max=­L

1

方法二当a=1时，fix)=Inx—%廿+W%〉。)，f'(x)=--(x+1)^+1=(x+l)lRx-eJl,

x

设力(x)=l—e^x〉。)，贝I〃(x)=一~^<0,

xx2

所以〃(x)在(0,+8)上单调递减，

又〃0=2—4>0,/z(l)=l—e<0,

所以〃(x)在(0,+8)上有唯一的零点xo,

当x£(0,xo)时，/z(x)>0,所以，(x)>0,

故人x)在(0,X0)上单调递增，

当x£(xo,+8)时，〃⑴<0,所以，(x)vo,

故启)在(X0,+8)上单调递减，

从而7(x)max=/(%0)—InXo—玉)e0+%0,

又/z(xo)=——e"°=0,

Xo

所以e"=L,两边取对数得lnxo=一配，

xo

故/(xo)=lnxo-xe^°+xo=_xo—xo-+xo=-1,

oxo

即火X)的最大值为一1.

跟踪训练1已知函数外)=〃x+lnx+l,若对任意的x>0,Xx)^xe2x恒成立，求实数Q的

取值范围.

解方法一(切线放缩，利用e^Nx+l)

对任意的x>0,/(x)Wxe1V恒成立，

等价于这二也立1)在(0,+8)上恒成立.

X

因为xe2^—(lnx+l)=e2x+lnx—(lnx+l)^(2x+lnx+1)—(lnx+l)=2x,

所以xe冬一(lnx+l)》@=2.

XX

当且仅当2x+lnx=0时等号成立（方程显然有解）,

卜©2%—（inx+i,

即IXJmin=2,

所以QW2.

方法二（隐零点）

1n1—1~1

因为/（x）=qx+lnx+l,所以对任意的x>0,/（XlWxe"恒成立，等价于qWe2^--------在（0,

+8)上恒成立.

令m(x)=e2x—\x>0),

x

则只需aWm(x)min即可,

,.//、2x2e2x+lnx

贝n冽'(x)=----------,

X2

再令g(x)=Z/e级+Inx(x>0),

则gf(x)=4(x2+x)e2x+->0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增,

x

因为[)=金一21n2<0,g(l)=2e2>0,

8

所以g(x)有唯一的零点Xo,且1<xo〈l，

4

所以当0vx〈xo时，m'(x)<0,当x>xo时，m'(x)>0,

所以冽(x)在(0,xo)上单调递减，在(xo,+8)上单调递增，

因为21版2瓶+lnxo=o,

所以In2+21nxo+2xo=ln(—Inxo),

即ln(2xo)+2xo=ln(—ln%o)+(—Inxo),

设s(x)=lnx+x(x>0),则/(x)=1+l>0,所以函数s(x)在(0,+8)上单调递增,

x

因为s(2xo)=s(—Inxo),所以2xo=-Inxo>

即e2x0=J_,2=_lnxo>

xoxo

2xlnxo+11

所以加(x)三加(Xo)=e°-=l_g^o_l=2)则有a&2,

xoXoxoxo

所以实数。的取值范围为(一8,2].

考点二利用切线放缩证明不等式

【典例2)已知函数兀0=

(1)设x=0是/)的极值点，求〃?的值，并讨论大x)的单调性;

(2)当mW2时，证明：»>0.

(1)解由题意，/'(x)=e，一一—,

x+m

因为x=0是於)的极值点，

所以/(0)=1——=o,解得机=1,

m

拓〃/、厘1(x+l)ex—1

故/(工)=^----=----------,x>—1,

x+1x~\-1

令u(x)=(x+1)6^—1(x>—1),

则u'(x)=(x+2)ex>0,

所以〃(X)在(-1,+8)上单调递增，

又〃(0)=0,所以当一14<0时，w(x)<0,故，(x)<0；

当x>0时，〃(x)>0,故，(x)>0,

从而火x)在(一1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

(2)证明方法一当冽W2时，ln(x+加)2e%—ln(x+2),下面先证e^Nx+l,

令%—1(%£R)，贝Ig'(x)=ex—1,

所以/(x)<OOx<0,gr(x)>00x>0,

从而g(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故g(X)min=g(0)=0,

所以g(x)三0,从而e^Nx+1,当且仅当x=0时等号成立，

再证ln(x+2)Wx+1,令h(x)=ln(x+2)—%—l(x>—2),

1x+1

贝(x)=---1=--,

x+2x+2

所以〃(x)>0O-2<x<-l,h'(x)<OOx>-l,

从而〃(x)在(一2,—1)上单调递增，在(一1,+8)上单调递减，

故〃(x)max=〃(-1)=0,所以〃(X)WO,

故ln(x+2)WX+1,当且仅当％=—1时等号成立，

综上所述，有ln(x+2)Wx+lWe"且两个等号不能同时成立，

所以ln(x+2)<ex,

故ln(x+2)>0,

xx

因为当加W2时，f<x)=G—\n(x-\-m)^e—\n(x-\-2)9所以於)>0.

方法二当加W2时，於)=6^—ln(x+加)ln(x+2),

令8(%)=^一111(%+2),x>—2,

周//、x1a+2)e“一1

则g。)=旷-----=----三一，

%十2x十2

令A(x)=(x+2)e^-l(x>-2),

则/a)=a+3)e〉o,

所以〃(x)在(一2,+8)上单调递增，

结合〃(-1)=1—1<0,/z(0)=l>0,知存在唯一的xo使7z(xo)—0且xo£(—1,0),

e

当—2<x<xo时,h(x)<0,所以g'(x)〈0,

当x>xo时，/z(x)>0,所以g'(x)>0,

从而g(x)在(一2,xo)上单调递减，在(xo,+8)上单调递增，

X

故g(X)min=g(X0)=e°—ln(X0+2),①

因为/z(xo)=(xo+2)ex°—1=0,

所以e%=^,

xo+2

两边取对数得xo=—ln(xo+2),

代入①得g(xo)=-----(_xo)=(x0+D>0,

xo+2xo+2

所以g(x)>0，即e^—ln(x+2)>0,

因为当mW2时，fix)e^—ln(x+2),所以/(x)>0.

跟踪训练2已知函数/(x)=lnx一层/+办.

⑴试讨论於)的单调性；

⑵若a=1,求证：当x>0时，/(X)<e2x—^2-2.

(1)解危)的定义域为(0,+°°),当。=0时，/(x)=lnx在(0,+8)上单调递增;

当心0时，/(x)=l—2凰+『—2-+ax+l=—3—1)(2公+1),

XXX

当0<x<l时，f(x)>0,当x>l时，f(x)<0,

aa

所以火X)在』上单调递增，在I，上单调递减；

当«<0时，/(x)=("T)(2ax+l),

当0<x<--L时，f(x)>o,当x>--L时，/(x)<o,

2a2a

所以兀0在上单调递增，在［—2?+8)上单调递减.

(2)证明当a=l时，«r)=lnx—N+x,要证当x>0时，/(X)<e2x—^2-只需证Inive?%—%

令g(x)=e2x—2x—1,则g'(x)=2e2v—2=2(e2v—1),

当x>0时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，所以g(x)>g(o)=o,

所以当x>0时，e2x>2x+1,所以e2^—x—2>x—1.

令/z(x)=x—1—Inx,x>0,则(x)=l-当0<x<l时，h'(x)<0,当x>l时，h'(x)>0,

x

所以/z(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以〃0)„加=〃(1)=0,

所以当x>0时，”(x)2%(1)=0,即当x>0时，x-l^lnx,

所以当x>0时，e”—x—2>x—12lnx,即Inxve^—x—2,

所以当x>0时，/(X)<e2x—x2—2.

［总结提升］

当要证明的不等式中既含有又含有Inx时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问

题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、

同构等技巧.常用的切线放缩有：

1X

(1)廿2%+1;(2户2V;(3)1—WlnxW%—1;(4)lnxW—.

xe

在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将旷或Inx放缩掉，再来证明不等式,

这是指对共生式一种可以考虑的方向.

注意：解题中若要用不等式e"2x+l,e"2ex,l-IwinxWx—1等进行放缩，需要先给出证明.

X

热点突破

1.(2023•武汉模拟)已知函数外)=—「a(x+l)(x2l),g(x)=(x—l)lnx,其中e为自然对数

的底数.

(1)若4)巳0恒成立，求实数a的取值范围;

(2)若Q取(1)中的最大值，证明：/(x)Nga).

(1)解方法一由题意，/(x)20<4exi—Q(X+1)三OOQW9一,

x+1

设h(x)=——(x^l),

x+l

则，,(尸鼠＞。,

所以〃(X)在［1,+8)上单调递增,

从而〃(X)min=%(l)=；,

因为恒成立，所以QW；

故实数q的取值范围是I

e1一］

方法二由题意，/(x)200cx1—Q(x+l)20OaW---,

x+1

易证F2x+1,所以旷一12元当且仅当x=l时取等号,

pX~l

从而----2=1I-

x+1x+lx+lx+l1+12

pX-l1pX_l1

又当x=l时，J=L所以J的最小值为

x+l2x+12

尸11

因为“wJ恒成立，所以

x+12

故实数q的取值范围是I

1y-1—1

(2)证明由题意知，°=>Hx)=e^i—x于

所以以启g(x)——〒丸L，nx,

易证InxWx—l,所以当时，(%—l)lnx^(x—I)2,

y—I—10丫2—Qv—I—32丫2—3x~I-3

下面证明e，r—1)2,只需证幺一扫工，即证式一三立＜1,

222-1

2丫2-31-I-3

设9(x)=〃2；i('ND,

则,(x)=—(.二3)(x二2)

2尸1

aa

所以，(x)>00><2,<p'(x)<001Wx<1^,x>2,

从而9(x)在上孑上单调递减，在卜之)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

又夕(1)=1,研2)=2

2e

o丫2—3y—I—3

所以9(x)Wl,即当、三1时，^1,

2cx1

丫+

所以F一1一十1三(X—1>,

因为(x—l)2^(x—l)lnx,

4-1

所以1---r--—^(x—l)lnx,

故/(©Ng。:)成立.

2.已知函数次工)=廿+2］2—3%.

⑴求函数，(x)在区间［0,1］上的零点个数；(其中，(x)为小)的导数)

(2)若关于x的不等式")》|<：2+(a—3"+1在口，+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

解(1)函数｛x)=F+2x2—3x的导数，(x)=eA'+4x-3,

则/(x)=e"+4x—3在区间(0,1)单调递增，

又/(0)=1-3=-2<0,f(l)=e+4-3=e+l>0,

则函数/(x)在区间［0,1］上只有一个零点.

⑵若关于“的不等式小后¥+(L3)X+1在［1‘+8)上恒成立，

整理得aW《一工一1,

x2x

即求函数g(x)=可一工一1在口，+8)上的最小值，

x2x

由得g，所以不一:十?至二产T

x2x力21xz2

由得y/=ex—1,

可得当x>0时，y'>0,

函数〉=e"一x—1单调递增，当x<0时，函数y=e“一x—1单调递减，

则e^—x—lNO,即0%三%+1,

当x三1时,——1)1!1］)(“1—1=1>0,

x22X222

则g(X)=N—1―1在［1,+8)上单调递增，

x2x

aa

可得g(x)min=g(l)=e—5,贝！］aWe—g.

3.设函数八工)=。^—xlnx,其中Q£R.

⑴若加)在定义域上是增函数，求实数。的取值范围；

7

(2)若。证明：4)>0.

e2

(1)解方法一由题意知，f(x)=tzex—Inx—1(x>0),且，(%)三0恒成立,

匕匕2、lnx+l

所以心------,

人/、lnx+l八、

令g(x)=-「(zx>0)，

--1—Inx

贝Igr(^)=-________，

当0<x<l时，1一1>0,lnx<0,所以g'(x)>0,

X

故g(x)在(0,1)上单调递增，

当x>l时，--1<0,Inx>0,所以g'(x)<0,

x

故g(x)在(1,+8)上单调递减,

从而g(x)max=g(l)=-,

e

因为q》g(x)恒成立，所以

e

+

故实数°的取值范围是°°1

方法二由题意，，(%)=4^一111'一1(工>0),且，(x)与0恒成立，

所以。2虫In上y—1I—,1

易证InxWx—l,e^Nex,

所以1112c±lw(x—1)+1=工(工=1,当x=i时，皿土1=1,

exee

因为恒成立，所以

e

+

故实数。的取值范围是:，°°1

22

(2)证明方法一当时，f(x)=aox—x\nx^—^—xinx=2ox^2—x\nLJ,

e2e2

Cxlnx\

2

下面证明e"l-2j>o,

只需证2—吗>0,

尸2

当0〈xWl时，显然对了WO,

尸2

所以不等式2—吗>0成立，

下面证明当X>1时该不等式也成立，

人7/、xlnx,1、

令h(x)—2gX:2

向7//、xlnx—Inx—I

则h'(x)=-----------,

gXz

令r(x)=xlnx—Inx—l(x>l),

贝U/(x)==lnx+l-

x

令n(x)=lnx+l-

则