2025高考数学二轮复习：数列求和及其综合应用 专项训练【含答案】

第2讲数列求和及其综合应用

［考情分析］1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法2数列的综合

问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证

明不等式等3主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等.

考点一数列求和

【核心提炼】

1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的

1F-3

过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：---=4?kJ；

n(n+k)k

11

2几一1In+1J.

4层一12

2.错位相减法求和，主要用于求｛斯6“｝的前〃项和，其中｛斯｝,协〃｝分别为等差数列和等比

数列.

考向1分组转化法

例1(2023・咸阳模拟)已知数列｛斯｝满足。"+L2a“=〃-1,且的=1.

(1)证明：数歹£0“+”｝为等比数列，并求数列｛。“｝的通项公式；

⑵记数列｛an｝的前n项和为S„,若S„<2024,求〃的最大值.

=

⑴证明Van+i~2ann—l,且m=l,

即+i+几+1=2斯+2〃=2(即+〃).

由于m=l,则m+l=2W0,/.an+n^0.

则皿±也=2.

数列｛斯+〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

得。,,+"=22厂1=20,则。“=2"一〃，

即数列｛。”｝的通项公式为a„=2"-n.

n

⑵解,：an=2-n,

S”=ai+02+03+…+斯

=(2-l)+(2z-2)+(2*3-3)4---卜(2"一菊

_卅1——%+1)

2

■:S"<2024,即2"+1-2-，^^<2024,

2

当〃=10时，2"+1—2-胞土9=1991；

2

当〃=11时，2«+1-2-^2：^1)=4028.

2

，满足Sn<2024的n的最大值为10.

考向2裂项相消法

例2(2023,长春模拟)在公差不为0的等差数列｛斯｝中，44=5,且。2，。3，。6成等比数列.

(1)求｛斯｝的通项公式与前n项和Sn；

(2)设b”=」一,求数列｛儿｝的前〃项和T„.

解(1)因为在公差d不为零的等差数列｛斯｝中，

44=5,又。2,。3,。6成等比数列，

〃4=Qi+3d=5,

所以.

cfl,=a2a69

.®+3d=5,

即.,।

(ai+2(7)2=(ai+<7)(ai+5J),

a\=-1,

解得•

d=2,

=

则ana\~\~(n-1)d=-14-2(n-1)=2〃-3,

S+斯)=〃(一1+2「-3)=〃2z几

n22〃机

(2)由(1)可知，瓦—

-1-

-—~\2n—32n—1J,

(2九一3)(2〃一1)2

可得数列｛儿｝的前n项和

考向3错位相减法

例3(2023•全国甲卷)记S〃为数列｛斯｝的前〃项和，已知42=1,25'=〃斯.

(1)求｛斯｝的通项公式；

。"+1

⑵求数列〔2〃J的前n项和Tn.

=

解(1)因为1Snnan,

当〃=1时,2al=〃i,即M=0；

当〃=3时，2(1+4)=3。3,即。3=2,

当〃22时，2S"i=5—1)斯.1,

==

所以2Sn—2Sn-\nan—(n—\)an-\2an,

化简得(〃一2)斯=(〃-1)即_1,

则当〃N3时，-,

an-\n-2

则_^叽.斯—1.........03

an_\an_2a-i

n~\n~22

n~2n—31

即®="T,

42

又因为42=1,

所以an=n—l,

当〃=1,2时都满足上式,

所以斯=〃一19nN*.

(2)令6"=如n

2/

则A尸＞+历+…+瓦_i+b〃

=».•+”①

/=1+?+...+口+—②

2"22232"2"+i

由①一②得/忖+»・•・1n

2〃2〃+i

2+〃

即Tn=2

2"

规律方法（1）分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或

差.

（2）裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.

⑶用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“SJ和“qS,、

的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“50一曲“”的表达式.

跟踪演练1（1）（2023・淮南模拟）已知数列｛为｝满足斯+1一即=2",且6=1.

①求数列｛。“｝的通项公式；

a

②设b„=^,求数列»"｝的前n项和Tn.

a〃斯+1

解①,数列｛斯｝满足斯+1-斯=2〃，且41=1,

・•・当时，

Ctn~（Cln—+（即-1—源-2）+…+（。2-〃1）+〃1=2"1+2"?+…+2+1=2〃-1.

当n=l时也成立，・・・斯=2"—1（〃£N*）.

=---------2"

anan+i（2"—1）（2〃】一1）

二11

2〃一12〃+i—1'

・•・数列｛儿｝的前〃项和

4=1—122-l]+C2-l23—Jd------bL”一12〃+i—J=1——.

2〃「I

（2）（2023•上饶模拟）已知数列｛斯｝为非零数列，且满足I+力I+力“（1+/=2硬罗.

①求数列｛。“｝的通项公式；

②求数列｛J的前n项和Sn.

解①当〃=1时，1+1=2,解得ai=l,

6Z1

当心2时,由"加以…"力=2彗，

得卜加+）。+士]=2十

两式相除得工+1=2〃，即即=--一•,当〃=1时，41=1也满足，所以斯='一--.

an2〃一12〃一1

②由①可知，—=2"-1,

an

所以‘~=力2"—n,

an

所以&=(lX21-l)+(2X22-2)+(3X23-3)4——\-(n-2n-n)

=(1X21+2X22+3X23H——bn-2M)-(l+2+34——\~n),

令许=1+2+3+…

2

Z>„=1X21+2X22M-3X234---\~n-2n,

则2Z>„=1X22+2X23+3X244---1-(«-1)-2"+«-2»+1,

-Z;„=21+22+23H----\-2n-n-2',+1,

,2(1-2,!)~+i

—b"=a-------w2n+1,

1-2

=n+1

bn(n—l),2+2,

:.Sn=bn一Cn=(n一l),2w+1+2一"("+1)

考点二数列的综合问题

【核心提炼】

数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、

数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的

图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、

性质，结合不等式的相关知识求解.

例4(1)分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形

成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物

的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，

且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15。.若从外往里最大的正方形边长为9,则第5个

正方形的边长为()

A以B小C.4D逃

483

答案C

解析设第〃个正方形的边长为许，

则由已知可得an=an+isin15°+斯+icos15°,

•斯+i11y/6

ansin150+cos15°^sin6003

...{&}是以9为首项,牛为公比的等比数列,

Q5=〃iq4=9X4=4.

(2)(2023•郑州模拟)“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫

的日本人又把它带到亚洲I,因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个

正整数，如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到

1.对任意正整数〃0,按照上述规则实施第〃次运算的结果为即(〃£N),若Q5=1,且出«=123,4)

均不为1,则。0等于()

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

答案B

3a“+1,。”为奇数,

解析由题知许+1修，.为偶数,

因为的=1,则有,

若。4为奇数，则。5=304+1=1,得04=0,不合题意,所以04为偶数，且。4=2°5=2；

7不合题意,

若。3为奇数，则。4=3备+1=2,所以。3为偶数，且。3=204=4;

若。2为奇数，则。3=302+1=4,得。2=1,不合题意,所以。2为偶数，且。2=203=8；

得。只，不合题意,

若为奇数，则(22=301+1=8,所以01为偶数，且。1=202=16；

若仅为奇数，则。1=3俏+1=16,可得ao=5；若为偶数，贝l|ao=2ai=32.

综上所述，QO=5或QO=32.

规律方法数列的“新定义问题”,主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运

算等，关键是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还

是数列的基础知识.

跟踪演练2⑴若三个非零且互不相等的实数XI,X2,X3成等差数列且满足上+1=2,贝U称

XIX2X3

xi,X2,%3成一个等差数列”•已知集合Af={R>W200,%£Z},则由M中的三个元素组

成的所有数列中，“6等差数列”的个数为()

A.101B.100C.50D.51

答案B

解析由三个非零且互不相等的实数XI,X2,X3成等差数列且满足1+上=2,

XlX2X3

2%2=%1+、3,

可得1.12

一~I--=一，

1X1X2X3

消去X2,并整理得(2xi+x3)(xi—X3)=o,

所以X1=X3（舍去），X3=-2X1,

于是有X2=--XI.

2

在集合｛刈x|W200,xGZ｝中，三个元素组成的所有数列必为整数列，

所以xi必为2的倍数，且xi昼[-100,100],xiWO,故这样的数组共100组.

（2）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点

是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果该塔形几何体的最上

层正方体的棱长等于1,那么该塔形几何体中正方体的个数是.

答案7

解析设从最底层开始的第"层的正方体棱长为斯，则由题意得｛斯｝为以8为首项，?为公

比的等比数列，

其通项公式为==

=2--+Z

22

令以=1,得〃=7,故该塔形几何体中正方体的个数为7.

专题强化练

一、单项选择题

1.数列｛斯｝满足2斯+1=斯+斯+2，且。8，Q4040是函数4）=%2—8x+3的两个零点，则。2024

的值为（）

A.4B.-4

C.4040D.-4040

答案A

解析因为。8,。4040是函数外）=%2—8%+3的两个零点，

即。8,。4040是方程％2—8%+3=0的两个根,

所以恁+。4040=8.

又2q〃+i-斯+斯+2,

所以数列｛斯｝是等差数列，

所以m+处040=242024=8,

所以42024=4.

2.（2023・阜阳模拟）在数列｛斯｝中，已知斯+1+斯=3-2〃，则｛许｝的前10项和为（）

A.1023B.1024

C.2046D.2047

答案C

解析,**Q〃+1+斯=3•2〃，

「・z+ai=3义2,Q4+〃3=3X23,

46+^5=3X25,。8+。7=3义27,QIO+Q9=3X29,

则｛斯｝的前10项和为3X（2+23+25+27+29）

2-29X4

=3X=2046.

1-4

3.已知函数｛x）=N+6x的图象在点/（I,八1））处的切线的斜率为3,数列的前〃项和

为S",则$2026的值为（）

2023„2024

AA.-------B.-------

20242025

c2025p2026

20262027

答案D

解析由题意得，（x）=2x+b,

：.f（1）=2+6=3,解得b=l,

=层+〃，

1__11

••,

层+〃几（〃+1）nn+1

._11,11.11.11_1_2026

•c•02026-1--1----------1---------r•••H——1----------——.

223342026202720272027

4.（2023・佛山模拟）已知数列｛斯｝的通项公式为斯=层+协+2,若对于〃£N*,数列｛斯｝为递

增数列，则实数左的取值范围为（）

A.左2——3B.左2——2

C.k>—3D.k>—2

答案c

解析因为数列｛斯｝为递增数列，所以。〃+1>为,

即（〃+1）2+左（"+1）+2>层+初+2,

整理得左>一(2〃+1),

因为当〃£N*时，次〃)=—(2〃+1)单调递减，

A«)max=Al)=-(2Xl+l)=-3,所以左>一3.

5.已知数列｛斯｝的通项公式为斯=(〃+1)2",若不等式2层一3〃一5<(4一2)许，对任意〃£N*

恒成立，则整数丸的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析诙=(〃+1)2”,由2层一3rl—5<(4一2)。“得(2〃-5)(〃+1)<(4一4)(〃+1)2”,

所以y4一九

2n

①一5]

即4—2>L2"Jmax,

令、

因为bn-bn

当场W4时，bn—6»_1>0,

即儿>从.1,数列单调递增;

当〃25时,bn~bn-l<0,

即儿<儿_1,数列单调递减,

Q5

且b^—,bs=,b4>bs,

1632

由数列的单调性可知儿的最大值为64=9，

16

所以4—A>~~,BP^<—,

1616

又因为力GN*,所以4的最大值为3.

6.(2023•盐城模拟)将正整数〃分解为两个正整数卬依的积，即左2,当左1，右两数差

的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如20=1X20=2X10=4X5,其中4X5即为20的

最优分解，当片，依是〃的最优分解时，定义次〃)=|质一依则数列—")｝的前2023项的和

为()

A.51012B.51似2—1

C.52023D.52023—1

答案B

解析当月=2碎GN*)时，

由于52k—5kX5k,

此时大529=印一51=0,

当〃=2左一1(左GN*)时，由于52尸1=5k-1义5”,

此时火52"-1)=|5"—5尸1|=5"—5…，

所以数列贸5")｝的前2023项的和为

(5-1)+0+(52-5)+0+(53-52)+04----F(51011-5'o'^+O+CS1012-5'012-1.

二、多项选择题

7.设数列｛。“｝的前"项和为S,，且S,=2a“一1,Z>„=log2a,I+i,贝！J()

A.数列｛〃“｝是等比数列

B.斯=(一2)「1

)2n—1

C.Q，+Q2+*+…+晶=-----

3

D.｛a〃+b“｝的前"项和为7“=2”-1+巴丁

答案ACD

解析由已知a=2〃〃-1,当〃=1时，可得41=1.

选项A,&一&」=斯=2斯一2斯」，斯=2斯」，可得数列｛劣｝是以1为首项，2为公比的等比

数列，故A正确；

选项B,由选项A可得Q〃=2Q"_I,a\=l,

所以斯=2"一I故B错误；

1—4八4〃一1

选项C,数列｛晶｝是以1为首项,4为公比的等比数列，所以al+ai+aj-\----\-an=----------

1—43

D2n一1

=-----故C正确；

3

选项D,因为b〃=log2Q〃+i=〃，斯+为=2〃一1+小

。=—+皿±1)=2"—1+世《,故D正确.

1-222

8.(2023・唐山模拟)如图，△45。是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△，山Ci,再

连接△，向G的各边中点得到△，2瓦。2,…，如此继续下去，设△4&C”的边长为斯,AA〃B〃Cn

的面积为贝！1()

A.Mn=--an

4

B.晶=的。5

C.Q1+Q2+…+飙=2-22n

J3

D.M1+A/2H-----\-M<—

一n3

答案ABD

解析显然△么“瓦C7是正三角形,

因此监=—an,故A正确；

4

由中位线性质易得斯即｛斯｝是等比数列，公比为J因此就=。3。5,故B正确;

11-&

=

ai-AB=1,々1+42+…+0?=1

21」

2

=2-2广"，故C错误；

Mi=：xi2=；,｛斯｝是等比数列，公比为;

则｛•｝也是等比数列，公比是:,

跖+A/2+…+M尸y

4

故D正确.

三、填空题

9.（2023•铜仁质检）为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学

习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组

织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.统计发现，10个班级的

平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70,公差为2,则这10个班级的平均成绩的第

40百分位数为.

答案77

解析记10个班级的平均成绩形成的等差数列为｛为｝,贝U。“=70+2（〃-1尸2〃+68,

又10X40%=4,

所以这10个班级的平均成绩的第40百分位数为％土竺=匹土方=77.

22

10.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数

列，这个常数称为该数列的公和.已知数列｛以｝是等和数列，且m=—2,02024=8,则这个

数列的前2024项的和为

答案6072

解析依题意得〃1+。2=。2+。3=的+。4

=。4+45=…，

故=的=悠=…=42023=-2,

。2=。4=。6=~=。2024=8,

贝(I$2024=1012X(—2)+1012X8=6072.

11.若数列｛。”｝中不超过人间的项数恰为a(〃,加©N*),则称数列｛如｝是数列｛斯｝的生成数

列,称相应的函数人加)是数列｛a〃｝生成｛6,”｝的控制函数.已知斯=2",角力=加,则如=

答案5

解析由题得机=63,所以穴63)=63,

因为2W63,22W63,23W63,24W63Z=32W63,

26=64>63,

所以663=5.

12.(2023•江苏联考)已知田，“2,…，a“(〃GN*)是一组平面向量，记S,=m+a2H---\-a„,

若a„=(4-n,l),则满足a„A.Sn的n的值为.

答案5或6

解析记6“=4—〃的前n项和为Tn,

则—+4—")〃=上《

22

因为〃”=(4—%1),

「7几一几2]

所以S〃=〃i+a2H-----1-««=(3,1)+(2,1)H------F(4—〃,1)=12'J,

又ttn-LS",

所以a〃S〃=(4-3X7..n