2025高考数学二轮复习：圆锥曲线的方程与性质 专项训练【含答案】

微专题36圆锥曲线的方程与性质

［考情分析］圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容，常以选择题、

填空题以及解答题第(1)问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等.

-思维导图

一-利用定义法求圆锥曲线的标准方程

圆锥曲线的定义1——圆

必备锥需血「一求椭圆、双曲线的焦点三角形面积、离心率等

圆锥曲线的标准方程一一rz曲里到一一求双曲线的渐近线

知Tz、线

椭圆、双曲线、抛物线的几何性质」

的

方一抛物线的焦点弦问题

程

在椭圆、双曲线的已知条件中构建关与

性

于的关系式，进行求解必备质常见「双曲线的定义中忽略“绝对值”致错

一误区一忽略离心率的范围

利用抛物线构造与焦半径相关的几何解法L

图形来构建已知量与P的关系，进行,

求解

典型例题

考点一圆锥曲线的定义与标准方程

22

【典例1】(1)(2023•汕头模拟)已知点P是椭圆$+：=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为分,

Fl,且COS/EP/，2=；,则△尸尸1尸2的面积为()

A.6B.12C.也D.2也

答案D

22

解析对于椭圆j+：=l有Q=3,b=2,C=3，设修bi|=冽，\PF2\=n,

则根据椭圆的定义得冽+〃=2q=6,

又cosZFPF~冽(23)2_(m+一2mn_20_36-2冽〃-20_j_

2mn2mn2nm3

2

解得见?=6,SAPF^=1mnsinZF1PF2=1X6X1—(j)=2A/2.

(2)(2023・德阳模拟)设抛物线N=12》的焦点为F,经过点尸(2,1)的直线I与抛物线相交于/,

2两点，又知点尸恰为48的中点，则磔尸|+|&q=.

答案8

解析抛物线炉=12了的焦点为网0,3),准线方程为y=—3,如图，分别作/M,BN,尸。垂

直于准线于点N,Q,

根据抛物线的定义，|NP|=MM，\BF\=\BN],

•抛物线的准线方程为了=-3,.,.|尸0|=4,根据梯形中位线的性质可得M3+IB尸|=MM+

|即=2|尸。1=8.

跟踪训练1(1)(2023•鹰潭模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为

基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图

所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为旧的双曲线的一部分围绕其旋

转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为4cm,

下底直径为6cm,高为9cm,则喉部(最细处)的直径为()

B."m

4

D&m

C.2/cm

3

答案D

解析该塔筒的轴截面如图所示，以。为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点。且与

0c垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设4与5分别为上、下底面对应点.

由题意可知必=2,切=3,刃一冲=9,设4(2,m),则5(3,m—9),

设双曲线的方程为三一M=l(a>0,6>0),

a1b1

因为双曲线的离心率为410=[1+1)

I2,所以6=3〃

所以方程可化简为9x2—y=9层，(*)

36—m2==9a2,

将/和3的坐标代入(*)式可得

81-(m-9)2=9a2,

解得。=返，

3

则喉部的直径为2a=^（cm）.

3

（2）（多选）（2020•新高考全国I）已知曲线C：加x2+秋2=i.（）

A.若加>心0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若加=心0,则C是圆，其半径为由

C.若加〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=上「^x

D.若加=0,〃>0,则C是两条直线

答案ACD

2

11

解析对于A,当加〉心0时，有±>±>0,方程化为X7+彳=1,表示焦点在〉轴上的椭圆，故

nm-LA

mn

A正确；

对于B,当7力=心0时，方程化为/+产=工表示半径为的圆，故B错误;

nvn

对于C,当加>0,〃<0时，方程化为丁一一一[=1,表示焦点在X轴上的双曲线，其中

mn

b=y^,渐近线方程为y=±\P^x；当机<0,”>0时，方程化为:一]=1,表示焦点

nm

在y轴上的双曲线，其中口，6='二1,渐近线方程为y=±'二勺，故C正确;

\]n\]m\in

对于D,当加=0,心0时，方程化为>=表示两条平行于x轴的直线,故D正确.

考点二椭圆、双曲线的几何性质

【典例2】⑴（2023・宁波模拟）设椭圆：,+，=1（心6>0）的右焦点为/（0,0）,点4360）在椭圆

外，P,。在椭圆上，且尸是线段N。的中点.若直线尸0,小的斜率之积为一%则椭圆的

离心率为（）

答案B

解析如图，取P。的中点为连接0M,PF,

则由题意可得，\PA\=2\PM\,\AF\=2\FO\9

所以所以尸尸〃MO,

因为直线尸。，PF的斜率之积为一；，所以女PQ女QM=一

设尸(xi,yi)92(X2,J2),

两式相减可得⑴+切⑺一切+任+”加一玖)=0,

a2扶

即。1+歹2)31一歹2)=上

（X1+X2）（X1-%2）4

即kpQ'koM=-----

6Z22

即£=；,所以椭圆的离心率为e=\/1*=£.

a22\la2\]a22

(2)(2023・新高考全国I)已知双曲线C：三一匕=1(心0,6>0)的左、右焦点分别为B,F2点A

%

在C上，点3在y轴上，瓦7,瓦方，记1=一：为，则C的离心率为

解析方法一依题意，设|/五2|=2小，

则|87囹=3刃=|BFi|,\AFi\=2a+2m,

2

在RtA^BFi中，91n2+（2a+2m）=257*

则（。+3%）（。一加）=0,

故a=m或a=-3〃?（舍去），

所以|4Fi|=4a,\AF2\=2a,\BF2\=\BFi\=3a,

则|48|=5a,

所以在LAFiFz中，cosZF1AF2=

整理得5c2=9层,

方法二依题意，得E(—c,0),F2(C,0),

令/(xo,次)，B(0,t),

因为F2A=一幺33,

3

57

贝ijxo=；c,次=一/，

33

又瓦瓶

所以京福=鼠-3^-(c,Z)=|c2-|?2=0,

则f=4c2,

又点4在。上，

整理得器一空=1,

9标9b2

则法—亟2

949b2

所以25c2b2-16c2a2=9462,

即25c2(c2—a2)—16a2c2=9a2(c2—a2),

整理得25c4—50a2c2+904=0,

则(5。2—9°2)(5°2—02)=0,

解得5c2=9/或5c2=a2,

又e>l,

所以e=E或e=:(舍去)，

故e

5

跟踪训练2(1)(多选X2023•邯郸模拟)已知双曲线C：三一三=1(心0,6>0)的左、右焦点分别

a2-bz

是E，F2,过产i作圆/+产=层的切线/,切点为〃，且直线/与双曲线C的左、右两支分

别交于/,2两点，则下列结论正确的是()

A.若°=3,6=4,则出厂1|+田尸21=26

B.若BF2工BFi,则双曲线C的渐近线方程为了=±2X

C.^\MB\=2\MFr\,则双曲线。的离心率是V13

D.若M是5Fi的中点，则双曲线C的离心率是近

答案ABD

解析如图所示，对于A,由。=3,6=4,得c=5,所以i|=5,QM=3,\MF\\=4.

设|班图=机，则\BFi\=m+6.

在△3F1尸2中，由余弦定理可得cos/gF2=8+6)2+1。2一怔:4,解得加=]0,

2X10(m+6)5

则|8尸2|=10,|5Fi|=16,从而|3E|+|BB|=26,故A正确；

对于B,由5F2_L3FI,得OA/〃B尸2,因为。为B凡的中点，所以M为8尸1的中点.

由题意可知\MFi\=b,贝ij|3尸2尸2。，\BFi\=2b.

由双曲线的定义可得内尸i|一|出囹=26—2a=2a,即b=2a,

则双曲线C的渐近线方程为了=±2工，故B正确；

对于C,^\MB\^2\MFx\,得|AFi|=36,贝U|AF2|=3b-2a.

在△BF1F2中,由余弦定理可得cos/时应=(如-3)2—(36—2a)2=2,

2X36X2cc

整理得。=3,则6=\/胃2+1=迤，故c错误；

a22

对于D,因为M,O分别是3居，BA的中点,

所以0M〃比"所以|皮得=2°,\BFi\=2b.

由双曲线的定义可得出用|一|瓦司=26—2a=2a,

即6=2°,则e=；&2+1=玷，

故D正确.

(2)Fi,尸2是椭圆C的两个焦点，尸是椭圆C上异于顶点的一点，/是△刊“尸2的内切圆圆心,

若△PR尸2的面积等于△"'1g的面积的3倍，则椭圆C的离心率为

答案!

2

解析由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方.设点尸的纵坐标为抄，点/的纵坐

标为”，内切圆半径为广，椭圆长轴长为2°,焦距为2c,

则△晔=»忸典=

S35A/^F2=3x|FIF2|,

得升=3”,

又S丛PF[F2-S△/尸2+S△0p+

IPF2，

即力|FiF2|=|r-|FiF2|+|r-|PFi|+|r-|PF2|,

又”=r,化简得“|尸西|=»（四尸2|+|尸川|+|尸尸2|）,即3X2c=2c+2a,

解得。=2c,可得离心率为，=1

a2

考点三抛物线的几何性质

【典例3】⑴（2023•北京模拟）已知抛物线C：产=2.3>0）的顶点是坐标原点O,焦点为尸，A

是抛物线C上的一点，点N到x轴的距离为2/.过点/向抛物线C的准线作垂线，垂足为A

若四边形/8。尸为等腰梯形，则p的值为（）

A.1B.也C.2D.2也

答案C

解析如图所示，过点/（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线，垂足为£.设准线交x轴于点

D.

因为四边形N50尸为等腰梯形，所以|。2|=|4印ZFOB=ZOFA.

所以弘.

又NBDO=N4EF=90。,

所以ABDO咨AAEF,所以|。。=尸©=§

所以|Z)E|=+10F|+阀=券.

所以阿=|郎哼

由抛物线的定义可得|/F|=|N3尸当.

在直角三角形AEF中，\AF\=^,\EF\=^,\AE\=yA=^.

由勾股定理可得@2+(2/)2=M2,解得p=2.

(2)(多选X2022・新高考全国II)已知O为坐标原点，过抛物线C：产=2"3>0)焦点厂的直线

与。交于4,2两点，其中/在第一象限，点”30).若=贝！1()

A.直线的斜率为2#

B.\OB\=\OF\

C.|^5|>4|OF|

D.ZOAM+ZOBM<180°

答案ACD

解析对于A,由题意，得解’°)因为|NF|=MM，且9,0),所以必=包产=》，将其

对于B,由选项A的分析，知直线的方程为>=2加1—f],代入产=2.，得12日—13"

+302=0,解得尤=》或苫=),所以XB=%,所以期=一；p,所以|。8|=出1后=?^⑹，

故B不正确；

117S

对于C,由抛物线的定义及选项A,B的分析，得[45]=/+切+,=立P+?=在?>22，即

网>4]。尸故C正确；

对于D,易知|。/|=个，\AM\=^p,\OB\=^p,\BM\=^p,

332_1_25o_2

3F+L—|0间_16。+16，P

则CQSAOAM=

2\O3A\L-\AM\―…而5

2XLT

77I107_2

。砰+同仔一。『一十4一'―B

cosZOBM>0,

2\OB[\BM\2X4叵pF

33

所以NCMM<90。，ZOBM<90°,所以/O/M+/O3M<180。，故D正确.

综上所述，选ACD.

跟踪训练3（1）（2021•新高考全国I）已知。为坐标原点，抛物线。：俨=2川g>0）的焦点为尸,

P为C上一点，尸尸与x轴垂直，。为x轴上一点，且尸。，。？若尸0|=6,则C的准线方程

为.

答案x=-j

2

解析方法一（解直角三角形法）由题易得。尸|=§NOPF=/PQF,所以tanZOPF

2

\OF\\PF\3

=tanZPQF,所以,即2=f,解得p=3,所以。的准线方程为苫=

\PF\\FQ\n62

方法二（应用射影定理法）由题易得|。引=§\PF\=p,\PF^=\OF[\FQ\,即p2=；X6,解得

p=3或p=0（舍去），所以C的准线方程为x=一；

（2）（多选）（2023•东莞模拟）已知抛物线C：『=4x,。为坐标原点，点P为直线x=-2上一点,

过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为/,B,则（）

A.抛物线的准线方程为x=-1

B.直线一定过抛物线的焦点

C.线段A8长的最小值为4也

D.OPLAB

答案ACD

解析由抛物线C：f=4x可知，焦点为网1,0）,准线方程为x=-1,故A正确;

设尸（-2,⑼，显然直线为斜率存在且不为零，设为后1,方程为y—m=h（x+2）,

■p2=4x

与抛物线方程联立y’

y—m=ki（x-\-2）,

得hy2—4y+8左i+4冽=0,

因为我是该抛物线的切线，

所以/=（—4）2—4左i（8Ei+4切）=0,即2k4+mki—1=0,

且点工的纵坐标为一3=4

2klk\

代入抛物线方程中可得点/的横坐标为

k\

设直线尸3斜率存在且不为零，设为左2,

同理可得2杉+%左2—1=0,且点8的纵坐标为一3=2,横坐标为

2k2kiki

显然左i,左2是方程2R+冽左一1=0的两个不相等的实根，

所以左1+左2=一个，左1左2=—L

22

2_2

因为人%=警

1___1_—2左1+左2

ki后

所以OPLAB,故D正确；

7

由上可知的斜率为二,

m

直线的方程为y—二

k\

即ml^y—2mk\=2A：?x—2,

又2好+冽左i—1=0,所以加左1=1—2后,

所以（鱼一2硝》一2（1—2后）=2好x—2,即（1一2后融=2左G—2）,

所以直线45一定过点（2,0）,显然该点不是抛物线的焦点，故B不正确；

由题意知，直线45的斜率不为0,设直线45的方程为、=町+2,4（»,y）,5（X2,J2）,

,|x=my+2,--

由，得产一4冽歹一8=0,

y2=4x,

所以芹+为=4冽，yiy2=18,

所以|48|=7（1+〃?2）©1+诩2—4%方］=寸（1+加2）（16%2+32）

=4^m4+3m2+2=4^^+i）2->4^2,当且仅当加=0时，等号成立，故C正确.

［总结提升］

求圆锥曲线的标准方程，求椭圆与双曲线的方程、离心率以及渐近线时，将已知条件中的椭

圆、双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a,b,c的关系式进行求解.在解决抛物线方

程、性质及应用问题时，关键利用定义构造与焦半径相关的几何图形进行求解（如三角形、直

角梯形等）来沟通已知量与p的关系.

热点突破

1.（2023•北京模拟）已知抛物线产=2px（p>0）的准线过双曲线q-y2=l的一个焦点，则p等于

（）

A.1B.2C.4D.8

答案C

2

解析抛物线产=2尸0>0）的准线方程为x=-§双曲线;一产=1的左焦点的坐标为（-2,0）,

右焦点的坐标为（2,0）,因为抛物线f=20x的准线过双曲线三一产=1的一个焦点，所以彳=2,

解得p=4.

2.（2023•江苏决胜新高考大联考）中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺

术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台.大剧院的平面投影是椭圆C,其长轴长度约为212m,

短轴长度约为144m.若直线/平行于长轴且C的中心到/的距离是24m,贝心被C截得的

线段长度约为（）

A.140mB.143m

C.200mD.209m

答案C

解析设该椭圆焦点在x轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示,

设椭圆的方程为1,a>b>0,由题意可得2a=212,26=144,

即。=106,6=72,代入方程，得圣+二=1,

1062722

因为直线/平行于长轴且C的中心到/的距离是24m,

令y=24,得|2x|=U也"200（m）.

3.（2023・齐齐哈尔模拟）已知抛物线C：炉=8x的焦点为R〃•为C上的动点，N为圆N：%2

+V+2x+8y+16=0上的动点，设点〃■到y轴的距离为力则也见+”的最小值为（）

A.1B.也C乃D.2

22

答案D

解析根据已知得到尸(2,0),圆4：(x+l)2+(y+4)2=1,所以4(—1,-4),圆4的半径为1,

抛物线。的准线为/：、=-2,过点M作垂足为点瓦则|Affi|=d+2,

由抛物线的定义可得d+2=|〃E|=|〃F|,

所以L+d=pW|+|MF|一2N|/M+|MF|—l—2NME|—l—2=^FnT^—1—2=2.

当且仅当N,M分别为线段4F与圆/、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，\MN\+d

的最小值为2.

4.(2023•张家口模拟)已知b2分别是双曲线C：三一片=1(心0,6>0)的左、右焦点，P

azb1

为双曲线。上的动点，尸1尸2尸10,|尸尸1|一|尸仍|=6,点尸到双曲线C的两条渐近线的距离分

别为di，<h,则47跖等于()

A.5-B.1—2C14.4"D.2

3525

答案B

解析由尸迅2|=2C=10,得C=5.

因为|PE|一|尸尸2|=2a=6,所以。=3.

又因为C2=/+62,所以6=4,

故双曲线。的方程为尤一与=1,

916

所以两条渐近线的方程为y=i|x.

设尸(xo,yo),则型—四=1,

916

故――同=16.

|xo-,o

不妨设"1=

+1

卜1rLM

则刈=/「4]

wJ2+i

5。16x47

臣E9》

II=144

所以did2=而X问=

W+iytl+iU+i—25

所以々菽=9.

5.（2023・日照模拟）已知椭圆C：气+，=1（。>6>0）的左、右焦点为尸1,加，点/（—2,2）为椭

圆C内一点，点。（。，6）在双曲线瓦：一：=1上，若椭圆上存在一点尸，使得B4|+|尸7囹

=8,则。的取值范围是（）

A.（-^5+1,5]B.[3,5]

C.（-^5+1,2^51D.[3，A/5]

答案A

解析点。（a,b）在双曲线E：-—亡=1上，所以a?一炉=4.

44

所以椭圆左焦点Fi的坐标为（一2,0）.

因为以|+厂历|=8,所以|E4|+2a一|尸尸i|=8,

所以||B4|一|尸尸||i=|8-2a|W|ZE|=2,

所以3WaW5.

因为后一〃=4,所以62=次-4.

44

点力（-2,2）为椭圆C内一点,所以石<1,

a2-b

所以々+.<1

出原一4

所以a4—]24+16>0,

所以a>y/5+1或a<\f5—1.

综上，m+l<aW5.

6.（2023•湖南名校教研联盟联考）2023年6月4日，神舟十五号返回舱顺利着陆，人们清楚

全面地看到了神舟十五号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆

场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位42和一个移动拍摄机位C根据当时气候与地理

特征，点C在抛物线：>=42（直线y=0与地平线重合，y轴垂直于水平面.单位：十米，

36

下同.C的横坐标XC>6也）上，/的坐标为（-36,2）.设。（0,-2）,线段/C,DC分别交抛

物线于点M,N,8在线段上.则两固定机位43的距离为（）

A.360米B.340米

C.320米D.270米

答案B

解析设M(xi,yi),Ng,方)，C(xc,yc),4(—36,2),0(0,-2),

根据条件有元〃病；DC//DN,iC=(xc+36,yc-2)fAM=(Xi+36fyi-2),

DC=(xc,yc+2),DN=(X2,玖+2).

**•(xc+36)(yi—2)—(xi+36)(yc—2)=0,xc(y2+2)—%2(yc+2)=0.

由题意知xc,xi,%2互不相等，把yc=邑分别代入上两式化简得XE+36(XC

363636

+xi)+72=0,xc=运，消去xc得xi=一①——.

X2X2~\~2

A/N的方程是〉一P2="——（X—X2）,

Xl-X2

即广三=E（LX2）,

3636

:.MN的方程为y—迢=[-2+f1]•匚寇，

362+工2

_A_

则»=二±色

2xi2+X2

36

・・・JW经过定点（一2,2）.

・••点B的坐标为（一2,2）.|45|=34,即两固定机位力,5的距离为340米.

7.（多选）（2023•鞍山模拟）已知居，凡分别是双曲线C：[一/=1的左、右焦点，点M是该

双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段E,圾为直径的圆经过点“，则（）

A.双曲线。的渐近线方程为夕=±5

B.以线段E尸2为直径的圆的方程为炉+/=3

C.点M的横坐标为2或一2

D.△板1凡的面积为近

答案CD

解析由双曲线方程知，a=2,6=1,...C的渐近线方程为＞=±$,A错误;

c=~\la2-\-b2=yl5,...以为仍为直径的圆的方程为9+产=5,B错误；

出卜手彳邛=2，/=—2,

由彳中或，

x2+y2=5,卜一±1卜_±1,

・,•点〃的横坐标为2或一2,C正确；

[wl=1,s△孙马=3•/1园•囚尸小，D正确.

8.(多选)(2023・湖北省十一校联考)已知椭圆C：：+1=1(0助<3)的两个焦点分别为歹1(0,

—c),凡(0,c)(其中c>0),点P在椭圆C上，点0是圆瓦7+任一4)2=1上任意一点，|尸。

十/仍|的最小值为2,则下列说法正确的是()

A.椭圆。的焦距为2

B.过正2作圆£的切线，所得切线的斜率为±2也

C.若4,2为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点尸的两点，则直线E4与总的斜率之

积为工

5

D.上必一|尸尸2|的最小值为4—2由

答案ABD

解析圆£：/+①-4)2=1的圆心£(0,4),半径，=1,显然圆£与椭圆C相离，而点尸在

椭圆。上，点。在圆£上，

于是|尸0|+尸尸2户/£|一r+|巴司引£尸2|—1=4—c—1=3—c,当且仅当P,。分别是线段EF2

与椭圆C、圆£的交点时取等号，

因此3—c=2,解得c=l,则椭圆。的焦距为2,且椭圆C的方程为芷+^=1,A正确；

32

得左=±2也，B正确；

设尸(xo,yo)9A(xi,yi)9有5(一制,—yi),

3xi~\-2yi=6,

3x?+2y?=6,

a

即yi-yl=--(xS-竭),

直线E4,四的斜率分别为后，kpB

因此届-但="=Y，c错误;

xo-xixo+xix?2

\PQ\-\PF^\PE\~r~(23-\PFi|)=\PE\+|PFi|-1-2^3\EFx|-1-2^3

=4-(-C)-1-2^3=4-2A/3,

当且仅当P,。分别是线段与椭圆C、圆£的交点时取等号，D正确.

9.(2023•泉州模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：产=6工的焦点为用过。［―5'°,

的直线/与C交于43两点.若/的面积等于面积的2倍，则邑H=.

|即|--------

答案

解析如图所示，过/作也41垂直准线于点小，过8作381垂直准线于点3,

由抛物线的定义可知，\AF\=\AAx\,\BF\=\BBi\,

因为抛物线C：/=6②则°],

设△040的面积为S,则尸的面积也为S,ZUB9的面积为2S,

所以S“DF=SAABF,即AD—AB,即4为BD的中点，

所以四=也匆=回=1

\BF\\BBx\\BD\2

10.(202