2024学年天津市红桥区高二数学上学期期末模拟试卷（附答案解析）

2024学年天津市红桥区高二数学上学期期末模拟试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号.

2.本卷共9题，每小题4分，共36分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样

的方法，从该校全体学生中抽取〃人进行调查研究.若抽到男生20人，则〃=（）

A.60B.45C.35D.25

2.由1,2,3三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（）

A.—B.—C.JD.一

6323

3.给定数组5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,则错误的是（）

A.中位数为3B.标准差为亚C.众数为2和3D.第85百分位数为4

5

4.从1、2、…、9中任取两数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两

个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

在上述事件中，是对立事件的是（）

A.①；B.②④；C.③；D.①③.

5.要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布

直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从口20,130）间抽取人数为b,则6为（）

频率

组距

0.020--

0.010--

0.005--

°10011012013010150成绩

6.数列｛。〃｝满足4+i=3a“，a3+a4=2,则。4+%=

1

A.2B.3C.6D.8

7.在等比数列｛g｝中，q=；,公比4=2,则%与生的等比中项是（）

A.2B.4C.±2D.±4

8.记S“为等差数列｛4｝的前w项和，若名+勾=16,兀=110,则几=（）

A.240B.225C.120D.30

9.一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗

经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别

排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

第II卷

一、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分

10.已知数歹!]｛〃“｝的前”项和S"满足且[，出+1,生成等差数列，则q=;

11.已知数列｛%｝为等比数列，%=1、。8a9=-8,则4=

12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

的展开式中，常数项为

14.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

种.（用数字填写答案）

15.3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有种.（请用具体数字作答）

三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知的展开式中前三项的二项式系数和为37.

⑴求“；

（2）求展开式中的常数项.

17.已知等差数列｛%｝前〃项和为S“（〃eN+）,数列也,｝是等比数列，4=3,4=1,4+$2=10,

a5-2b2=a3.

2

(1)求数列｛4“｝和g"｝的通项公式;

巴2,〃为奇数

⑵若c“=S",设数列｛%｝的前〃项和为(，求百.

为偶数

18.已知等差数列｛%｝满足％=S?+1,S3=%+2,其中S,为｛凡｝的前〃项和，递增的等比数列｛，｝满足:

々=1,且伪，b2,H-4成等差数列.

(1)求数列｛%｝、｛2｝的通项公式;

(2)设｛凡为“｝的前〃项和为北，求7“

+4)2

(3)设£,=1,｛C“｝的前〃项和为4,若42工恒成立，求实数2的最大值.

(5,+”)也+1I"n+1

19.已知数列｛%｝的前〃项和S,“cN*,且%=17.

⑴求4;

(2)求数列｛叫的前〃项和S"；

仁,求证：［＜'|二3"+2.

⑶设数歹£〃｝的前〃项和1,且满足2=

(解析版)

第I卷

3

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号.

2.本卷共9题，每小题4分，共36分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样

的方法，从该校全体学生中抽取〃人进行调查研究.若抽到男生20人，则〃=（）

A.60B.45C.35D.25

【答案】B

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【思路】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可；

【解答】由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人，

所以分层抽样的比例为然;=3，所以〃=2700x^=45

12006060

故选：B.

2.由1,2,3三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（）

A.-B.-C.1D.-

6323

【答案】B

【知识点】计算古典概型问题的概率

【思路】利用古典概型概率公式求解即可.

【解答】由题意得L2,3三个数字中只有1个偶数，且设概率为P,

所以P=g,即任取1个数，恰为偶数的概率是：，故B正确.

故选：B

3.给定数组5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,则错误的是（）

A.中位数为3B.标准差为迫

5

C.众数为2和3D.第85百分位数为4

【答案】D

【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的中位数、计算几个

数的众数

4

【思路】求得数组的中位数判断选项A；求得数组的标准差判断选项B；求得数组的众数判断选项C；求

得数组的第85百分位数判断选项D.

【解答】将数组5,4,3,5,3,2,2,3,1,2从小到大依次排列为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,

3+3

则中位数为、=3,故选项A判断正确;

1+2+2+2+3+3+3+4+5+5

平均数为=3,

W

标准差为

一3）2+3X（2-3）2+3X（13）2+（4-3）2+2X（53）2—卜2回,

故选项B判断正确；

众数为2和3,故选项C判断正确；

由10x85%=8.5,可得第85百分位数为5.故选项D判断错误.

故选：D

4.从1、2、…、9中任取两数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两

个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

在上述事件中，是对立事件的是（）

A.①；B.②④；C.③；D.①③.

【答案】C

【知识点】写出某事件的对立事件、互斥事件与对立事件关系的辨析

【思路】根据题意，分析从1,2,3,…，9中任取两数，其中可能的情况即基本事件，进而依次分析四

个事件，看其中包含的事件是否对立，即可得答案.

【解答】根据题意，从1,2,3,…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个

奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，

①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；

②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；

③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；

④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与

“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.

故选：C.

5

5.要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布

直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从口20,130）间抽取人数为人,则万为（）

口100110120130140150成绩

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、抽样比、样本总量、各层总数、总

体容量的计算

【思路】先由频率之和为1解得。值，计算可得口20,130）之间的学生人数，根据抽样比可求得人

【解答】由题得10x（0.005+0.035+“+0.020+0.010）=1,所以。=0.030.

在［120,130）之间的学生：100创00.030=30人，

现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，

20

应从［120,130）间抽取人数为濡x30=6,故匕=6.

故选：C.

6.数列｛%｝满足。“+1=3。.，生+。4=2,则4+生=（）

A.2B.3C.6D.8

【答案】C

【知识点】根据数列递推公式写出数列的项

【思路】根据数列中项的关系式，即可求解.

【解答】①+4=3%+3%=3（/+%）=6.

故选：C

7.在等比数列｛4｝中，%=（，公比4=2,则%与%的等比中项是（）

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】D

【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算、确定等比中项

【思路】先通过等比数列的通项公式计算的%，进而可得其等比中项.

6

【解答】解：因为a3a5==^x23j=16）

所以4与%的等比中项是±4,

故选：D.

8.记S“为等差数列｛q｝的前〃项和，若%+%=16,S10=110,则%=（）

A.240B.225C.120D.30

【答案】A

【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算

【思路】根据等差数列的性质和求和公式可得4=8,%=14,进而可得出=16,结合等差数列性质运算

求解即可.

【解答】因为数列｛%,｝为等差数列，则%+%=2%=16,即%=8,

又因为百。=10（"；〜）=5（%+%）=110,可得%=14,

则等差数列｛q,｝公差〃=竽?=2,可得氏=%+d=16,

所以$=15/=240.

故选：A.

9.一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗

经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别

排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

【答案】D

【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题

【思路】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.

【解答】四书、五经必须分别排在一起，共有A；A：A；=5760种，

若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有A；A：A；=288种，

则共有5760-288=5472种.

故选：D.

第H卷

7

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分

10.已知数歹!J｛q,｝的前“项和S"满足S"=2a“-q,且[，出+1,生成等差数列，则q=

【答案】22"

【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、利用an与sn关系求通项或项、写出等比

数列的通项公式

【思路】根据题意，得到%=2%7伽")，得到｛%｝为等比数列，列出方程组，求得勾=2,再由等比数

列的通项公式，即可求解.

【解答】由数列｛%｝的前〃项和S“满足S“=2%-q,

当a»2时，=2a“_[—%,两式相减可得=2a”_](w22),

又由01Mz+l,%成等差数列，所以4+03=2(02+1),即%+4%=2《2%+1),

解得4=2,所以数列｛。“｝是以2为公比的等比数列，

所以数列｛%｝的通项公式为«„=2".

故答案为：2；2".

11.已知数列｛6｝为等比数列，4=1、%%=-8,则&=

【答案】-2

【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算

【思路】根据等比数列性质，1的=。必6,求出“5=-2,进而得到答案.

【解答】因为数列｛6｝为等比数列，卬=1、08a9=-8,

所以=—8，所以。16=—8,

又=005=-8,所以,5=_8,即g5=_2,

所以R==—2.

故答案为：-2

12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.

8

3

【答案】1/0.3

【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题

【思路】根据古典概型计算即可

【解答】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率「=木.

3

故答案为：—.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸=正

,3

故答案为：—

役3Y

13.在—+4的展开式中，常数项为_____.

3%2

【答案】20

【知识点】求指定项的系数

【思路】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.

炉3）

【解答】因为

令12-4r=0,可得r=3,

所以常数项为3°C：=20.

故答案为：20.

14.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

种.（用数字填写答案）

【答案】16

【知识点】实际问题中的组合计数问题

【思路】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从6人中任选3人的选法种

数减去没有女生的选法种数，即可解出.

9

【解答】［方法一］:反面考虑

没有女生入选有c：=4种选法，从6名学生中任意选3人有c：=20种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种.

故答案为：16.

［方法二］:正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有C；・C：=12种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有C>C：=4种，则不同的选法共有12+4=16种.

故答案为：16.

【总结】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有1位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种

数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出.

15.3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有种.(请用具体数字作答)

【答案】72

【知识点】不相邻排列问题

【思路】利用插空法求解即可.

【解答】3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有可用=72种

故答案为：72

三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知卜-2］的展开式中前三项的二项式系数和为37.

⑴求”；

(2)求展开式中的常数项.

【答案】(1)〃=8；

(2)1792.

【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数

【思路】(1)写出前三项二项式系数，根据和为37,列方程求出〃的值；

(2)利用通项，并令x的指数为0,求出常数项.

10

【解答】（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是C3c；,C，

所以C：+C；+C：=1+77+

BPn2+77-72=0,

解得〃=8或"=-9（舍去）

2）｛x-^\的展开式中通项为=5-2）%干（04兀幺,jteN）,

4

由8-§左=0时，可得左=6,即第7项为常数项，

所以展开式中的常数项为=4（-2）6=1792.

17.已知等差数列｛““｝前”项和为S“（〃eN+）,数列也,｝是等比数列，％=3,优=1,4+$2=1。,

（1）求数列①“｝和出」的通项公式；

A九为奇数

⑵若C,=S"'，设数列｛q｝的前〃项和为（，求凡.

4，”为偶数

【答案】⑴%=2"+1,"=2"'

【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项

公式

【思路】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列出」的公比为4（0工0）,根据等差等比数列通项公

式基本量的计算可得结果.

（2）求出5“="5+2）,代入求出c“，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.

【解答】（1）设等差数列｛《｝的公差为d,等比数列他,｝的公比为q（4/0）,

4]=3,by—1,Z?2+S?=1。，。5—2b2~,

11

所以％=2〃+1,—

/八./八4.c〃(3+2〃+1)/小

(2)由(1)矢口，S=---------------=n(n+2),

2

因此当〃为奇数时，c„=—^7=--一二，当〃为偶数时，C"=2"T,

n(n+2)nn+2

7352-1

所以L=G+c2+q+c4+c5+•--+cln_x+c2n=(1-1+|--|+---+—)+(2'+2+2+---+2")

3352n-l2n+l

_1___1_2(1-4")_l+22n+l___1_

一_2〃+11-4--32n+l'

18.已知等差数列｛4｝满足%=Sz+1,S3=%+2,其中S,为｛%｝的前〃项和，递增的等比数列出｝满足：

4=1,且4，b2,&-4成等差数列.

(1)求数列｛%｝、｛2｝的通项公式；

(2)设｛%为“｝的前〃项和为北，求7.

(a+4)2

(3)设、-,｛Q｝的前“项和为4,若A2工恒成立，求实数2的最大值.

(5“+〃)也+]'"«+1

【答案】⑴«„=2n-l；bn=y-';(2)7；=(”-1)3+1；(3)

【知识点】判断数列的增减性、错位相减法求和、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题

【思路】(1)设等差数列的公差为d,由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得

q+2d=2q+d+1

<3xM=,从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列｛〃｝公比为4,由已

一+2i++

知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出｛"｝的通项公式.

(2)由错位相减法即可求出前〃项和

1110

(3)由⑴可知s"=",整理可得布一由裂项相消法可得4==1-/“口、口,由42—-

恒成立可得(〃+l)-2恒成立，结合，(w+1)-"，的单调性即可求出实数2的最大值.

【解答】解：(1)设等差数列的公差为d,a3=S2+l,S3=a4+2,

q+2d—2q+d+1

••<3x2d9「.q=1,d=2,a—2〃—1.

3〃]H----——=q+3d+2n

设等比数列也｝公比为q(其中q>0),因为4=1,

由2%=4+4-4,可得q2-2q-3=0,解得4=3或T(舍去)；

12

所以数列｛〃｝的通项公式为2=3。

(2)由(1)得见•优=(2〃-l>3"T,

贝(jTn=1x3°+3*3+5x3?+…+(2〃一3)x3"-2+(2〃一l)x3"T①.

37；=1x31+3x3?+5x33+…+(2〃一3)X3”T+(2〃一l)x3"②

由①减去②得-27；,=1+2(3*+32+33+……+31)-(2〃-1)・3",

则-27；=1+2x4；1，所以｛2｝的前〃项和(=5-1>3"+1.

(3)由(1)可知，S“=q〃+d=n+1)-2=n2,

刖C-Q"+3)(2〃+3)11

川"(1+〃).3'H-(H+1)-3"n-3"-1(zz+l)-3"

“，11111

1•AT=1--------T------i-------7+•,•H--------i7------7-----

2x312x313x32nx3n-1("+1)x3〃

1I%/、I