2025高考数学考点剖析：空间向量与立体几何【含答案】

2025高考数学考点剖析精创专题卷七-空间向量与立体几何

一、选择题

1.某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm,上、下

2

底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯一高

3

度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯

套的厚度）（）

W

A.竺兀cm?。至兀州2

B.24兀cm2D.25兀cm2

33

2.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.在鳖膈P—/5C中,

产/,平面48C，ACLCB，PA=2BC=2-AC=也，则此四面体的外接球表面

积为（）

A.3兀B.8兀C-9兀D-------71

3

3.已知/,m,"表示不同的直线，a,0,Y表示不同的平面，则下列四个命题正

确的是（）

A.若〃/1，且加〃a，则/〃加B.若a_1_，mlla>〃_L/?，则加〃〃

C.若加〃/，且加_La，则/_LaD.若加_）_〃，mVa,，则a_L，

4.在正四棱台/BCD-中,已知AB=2,44]=4耳=1，则侧棱5片与底

面ABCD所成角的正弦值为（）

B.正

A，

3

5.在正方体48co—48]G2中，E,尸分别为258c的中点，贝版)

A.平面BgF1平面BDDlB.平面B[EF1平面A[BD

C.平面BXEFH平面AXACD.平面B\EF〃平面4c1。

6.如图，在四棱锥P-48CD中，底面/8Q?是正方形，£是户。的中点，点尸满足

CF=2FB.若P4=a,PB=b,PC=c,则FE=()

.I、、

7.已知空间向量a=(2,-1,3),6=(-1,4,-2),c=(l,3"),若这三个向量共面，则

实数2等于()

A.1

B.2

C.3

D.4

8.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体

的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所

示的“曲池”，它的高为4,AA1,BB[,Cq,均与''曲池"的底面垂直，底面扇

环对应的两个圆的半径分别为2和4,对应的圆心角为90。，则图中异面直线ABX与CDX

所成角的余弦值为（）

Ct

二、多项选择题

9.如图，在菱形28。中，48=1±，ZBAD=60°,沿对角线8。将△45。折起,

3

使点4C之间的距离为20.若户，Q分别为线段8。，C4上的动点，则下列说法正

A.平面ABD1平面BCD

B.线段户Q长度的最小值为0

C.当2。=。。，4尸。=。5时，点。到直线PQ的距离为普

D.当2Q分别为线段8。，C4的中点时，QQ与2。所成角的余弦值为手

10.如图，正方体4BCD-48001的棱长为L线段上有两个动点£F,且

A.当点£运动时，4c±ZE总成立

8.当£向2运动时，二面角Z-£尸-3逐渐变小

C.二面角E-AB-C的最小值为45°

D.三棱锥A-BEF的体积为定值

11.已知在直三棱柱4BC-481G中，底面是一个等腰直角三角形，且4B=BC=BB］,

E,F,G,例分别为gG，4g，AB,BC的中点，贝女）

A.GB［与平面ZCG4夹角的余弦值为半

B.4B］与BQ的夹角为T:T

C.AXMH平面EFB

D.平面ABXC_L平面AXMC

三、填空题

12.在正方体45CD-481G3中是5。的中点，求£>£与CD］两条异面直线所成角的

余弦值为.

13.已知平面四边形28。中，点8,。在线段/C两侧，且线段2C的垂直平分线为

直线8。，其中AD=12,45+40=15,现沿8。进行翻折，使得点Z到达点H的

位置，且4到。的距离为3,连接H8,A'C,A'D,则四面体45CD体积的最大值

为.

14.如图，由直三棱柱Z8C-Z£G和四棱锥。-BBC。构成的几何体中，

ABAC=90°,AB=1,BC=BB、=2,£>G=。。=6，平面CCQ，平面・0

为线段8c上一动点，当BP=时，直线。户与平面ABQ所成角的正弦值为义.

四,解答题

15.如图，在三棱锥/—BCD中，平面23。，平面BCD,AB=AD,。为8。的中

点.

A

(1)证明：OALCD；

(2)若△OC。是边长为1的等边三角形，点£在棱2。上，DE=2EA,且二面角

£-5。-。的大小为45。，求三棱锥5CO的体积.

16.已知直三棱柱NBC-481G中，侧面24耳8为正方形，AB=BC=2,£尸分别

为/C和CG的中点，。为棱48上的点，BF±451-

(1)证明：BFLDE-

(2)当耳。为何值时，面与面。任所成的二面角的正弦值最小？

17.如图，四面体28Q?中，ADVCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,£为/C的

中।占八、、•

(1)证明：平面BE。，平面20；

(2)设AB=BD=2,NZCB=60。，点尸在8。上，当△/人7的面积最小时，求

CF与平面所成的角的正弦值.

18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框28。，2%■尸的边长都是1,且平面

48CC平面26斤；活动弹珠(大小不计)M,N,G分别在线段/CBF,28上移

动,CM=BN,4F〃平面MNG,记BG=a(0<a<1).

(1)证明：MG，平面28£尸；

(2)当M/V的长度最小时，求二面角5的余弦值.

19.如图①，已知三棱锥P-48C,图②是其平面展开图，四边形28。为正方形,

△45£和48。厂均为正三角形，O,G分别为ZC必I的中点，AB=C.

(1)求证：0GL4P；

(2)求二面角C-力-8的余弦值;

CM34

⑶若点》在棱吒上，满足m="选z，-，点/V在棱附上，且

求」PN的取值范围.

PB

参考答案与详细解析

一、选择题

1.答案：C

解析：根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线

长的士,即4cm,下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即2cm,上底面

3

圆的半径是岑cm,所以杯套的表面积5=兀义22+”12+?卜4=］兀卜《12卜故选

C.

2.答案：B

解析：根据题意，平面48C，BCu平面48C，所以上4_LBC，

又/CJ,C5，PAAC=A,尸Z,ZCu平面上4。，所以5。，平面上4C，

将鳖麝尸—/5C补全成长方体，如图，

则此四面体的外接球的半径为LpB,G+f+忖=V2，

22

其外接球的表面积为s=4nR2=87r-

故选：B.

3.答案：C

解析：若〃/a，且加〃a，则/与。可能平行，可能相交，可能异面，A选项错误；

若a_L/?，mHa>n工0，则777与〃可能平行，可能相交，可能异面，B选项错误;

两条平行直线，其中一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直，C选项正确；

若加，加J_a，nil/3>贝Ua与力可能平行可能相父，D选项错误.

故选：C

4.答案：B

解析：

由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且与为等腰梯形，过点及做吕,

过点A做QNLBD,由线面角的定义可知，侧棱8及与底面48C。所成角即为

NB[BM,

由条件可得,BBX=\，B[D]=e，BD=26,^B]D[=MN=6，BM=BD=g

则也〕=交，所以△同氏以为等腰直角三角形，

'V⑺2

所以NB[BM=45°，即sinZB.BM=—.

故选：B.

5.答案：A

解析：对于A选项：在正方体48co-48012中，因为£F分别为28,6c的中点，

所以及7/4C,则有EF1BD,又由正方体的性质可得EE±DD[，又BDDDX=D,

从而EEL平面ADD].又因为EEu平面片所，所以平面与EEL平面ADA，所以A

选项正确.

对于B选项：因为平面平面BOQ=BD,由选项A知平面8]EP_L平面BC）n,

若平面片所，平面4&D,则平面与所，显然不成立，所以B选项错误.

对于C选项：由题意知直线幺4与直线与£必相交，故平面乌斯与平面Z/C有公共

点，所以C选项错误.

对于D选项：如图，连接/C,AB[,BXC,易知平面48c〃平面4CQ,

又因为平面28。与平面与所有公共点片，故平面4G。与平面片所不平行，所以

D选项错误.故选A.

6.答案：C

解析：由题意知巫=PE—尸尸=1•尸£>—（尸C+CR）

=g(PB+BD)—PC—：CB=g(BD+PB)—PC—：(PB—PC)

=-(BA+BQ--PC--PB

236

=；(PA—PB+PC-PB)—；PC—、PB

171

=-PA—_PB+-PC

266

17,1

=—a——b+—c.

266

故选C.

7.答案：A

解析：由题意得，存在实数x,y,满足a=x/>+yc,即

-x+y=2,x=-1,

解得卜=1,故实数2等

(2,—1,3)=(―x+v,4x+3y,—2.x+2y),所以<4x+3y=—1,

—2x+Ay—3,A=1,

于L

8.答案：A

解析：设上底面圆心为下底面圆心为。，连接。a，oc,OB,OXBX,aq,

以。为原点，分别以OC,OB,0a所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

标系，则C(2,0,0),2(0,4,0),4(0,2,4),D/4,0,4)-则⑷=(2,0,4),

叫=(0,—2,4).

、/心

所g以icos(CD,,AABV,\)=।-C-D--[n---A--B-]1=—j=—16■)==—4,

'/皿||皿720x7205

又异面直线所成角的范围为[o.],故异面直线/用与CR所成角的余弦值为，.故选

A.

二、多项选择题

9.答案：ABD

解析：取8。的中点。，连接OA,0c在菱形ABCD中，28=,ABAD=60°,

3

所以CM=OC=A8sin60°=^^x"=2.

32

因为ZC=20,所以。42+。。2=力。2,所以o/j_oc.

又因为=。为8。的中点，所以。4,5。，同理可得。8。，

因为。4_L0C,OALBD,OCBD=0,0C,BDu平面6。，所以。4_L平面

BCD.

因为。4u平面Z8O所以平面48。，平面8。，故A正确.

又0A上BD,OA1OC,0CLBD,故以。为原点，OB,OC,所在直线分别

为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

,4

Q

X

(2A、<2/3、

则3—,0,0,C(0,2,0),/(0,0,2),D--—,0,0.

、3,、3,

当/。=。。，4尸。=。5时，0(0,1,1),P-事,0,0，PQ=，

DP=1—3,0,0J,

177T

.-------------------(1i

所以点。到直线PQ的距离为

错误.

(2n20

设尸(a,0,0)-^-<a<^-,Q(x,y,z),设C。=ACA,2e[0,l],得

I33J

=.+8,_1+2,

0(0,2-22,22),\PQ\=J(—a)2+(2-22)2+(22)2

当a=0且2=|■时，|P。1mm=0,故B正确.

当P，Q分别为线段8。，C4的中点时，尸(0,0,0),2(0,1,1),Pg=(0,1,1),

,4D=f--,0,-2^,

LJ

设PQ与2。所成的角为e，则cose=IPQZDI2

116

|P0||皿V2x

3

所以也与/。所成角的余弦值为手，故D正确.故选ABD.

10.答案：ACD

解析：对于A,连接4G，g,ABV

因为四边形为正方形，所以用A，4G，

因为AA,1平面,BRU平面4用。1。1，所以±A.A,

又4cl42=4,4G，//u平面4GC4，所以耳£＞］，平面46以・

又因为&Cu平面4GC4,所以印£＞］，4。，同理可证ZD］，4c.

又因为ZD］BXDX=DX,U平面48Q1，所以&CL平面力为2，又因为

ZEu平面48］2，所以4。，ZE总成立，故A正确.

对于B,连接BD,平面E/斤即平面,平面EFA即平面48百，所以当£向已

运动时，二面角Z-EE-8的大小不变，故B错误.

对于C,建立如图所示的空间直角坐标系,

则Z(1』,O),5(0,1,0),

所以AB=(—1,0,0),

因为£尸在BQ上，且EF=5~,

131

故可设E(/,l—//)，-<r<l,则NE=(/—1,T,1),

由题易知平面26c的一个法向量为〃=(0,0,1),

AW*/——x0

设平面Z8£的法向量为nt=(x,y,z),贝U<

m-AE=(^-l)x-(y+z=0,

取y=l,贝i1z=f,x=0,故用=(0』,/),设二面角£—45—C的平面角为，，则6

为锐角，

\m-n\_|(0,1,0-(0,0,1)|_t

所以cos。=|cos(»i,n)|=-I，又一</V1,

1^ll«lJt2+1J7+i后2

6

所以当，=1时，cos。取得最大值注，，取得最小值45。，故C正确.

2

对于D,因为必7谢=,义£/*34=,*也*1=变，点/1到平面£历的距离即为点

1

△BEE2224

Z到平面8。2瓦的距离，为孚，所以匕=；*曰'孚='，为定值，故D正

确.故选ACD.

11.答案：BCD

解析：如图①，以8为原点，BC,BA,AB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立

空间直角坐标系，设48=2,则有/(0,2,0),8(0,0,0),C(2,0,0),G(0,l,0),G(2,0,2),

4(0,0,2),;.G4=(0,—1,2),AC=(2,-2,0),CQ=(0,0,2),5G=(2,0,2),

^=(0,-2,2).

图①

n-AC=2x-2y=0.

设平面zcc/i的法向量为〃=(x，y，z)，则有1'令x=i,可得平面

n-CCl=2z=0,

ACCAAX的一个法向量为n=(1,1,0),则cosG8])=上,当=—-尸。=—或，

'/|〃|阿|72x7510

GB[与平面ACQA,夹角的正弦值为吟,则余弦值为噜,A错误.

cosg,AB)==2亚42后=1'AB'与BC'的夹角的余弦值为1，

则其夹角为二，B正确.

3

如图②，连接用Af,EM,没BEBXM=0,连接。尸，E,例分别为gG，BC

的中点，，BXEHBM且BrE=BM,EMBB｝为平行四边形，则。为"片的中点.

图②

又少为4片的中点，，OFIIAXM,又u平面EFB,AXM仁平面EFB,AXMH

平面EFB,C正确.

连接48,如图②，由题可知平面4MC即为平面Z/C,且BC±BBX,

又ABBB[=B,48,A5]U平面45吕4，平面4asi4,又481u平面

2844,则又四边形为正方形，则又5CAXB=B,

8c,ZRu平面48C,所以4B11,平面48C,又力与u平面45c，，平面48C_1_

平面48C,即平面48]C_L平面4MC,D正确.故选BCD.

三、填空题

12.答案：巫

5

解析：如图，取C/1的中点4，连接REyCEi,EEp

则DDJ/CC,,CCJ/EE,，所以DDJIEEy旦DD[=CCX=EEX,

故四边形DDRE是平行四边形,

则DEgE\，故NCRE]即为£>£与CQ所成角（或其补角），

设正方体的棱长为2,由勾股定理得DR=CE[=6CD[=2V2,

在由余弦定理得富尸、2粤,

r

故QE与C"两条异面直线所成角的余弦值为巫.

5

故答案为：巫

5

13.答案：18行

解析：如图，BD=12,45+40=15,所以4点在以8,。为焦点，长轴长为15的

椭圆上，该椭圆中：2c=12,2a=15,即c=6,a=—,因止匕6=1/一°2=2,

22

9

由椭圆性质知/点到直线BD的距离的最大值为6=

2

设/C与交于点。，因为即BDLCO,

又COA'O=O,CO,4。＜=平面HOC,所以80上面HOC,

^A,BCD~§BD-S^A，OC=4S^AOC9

39

HC=3,因止匕HO+OC〉3,而HO=C。，因此巳＜/'。9-9

22

22

S^OC=^A'C-^A'O-^A'Q=脚吟,

所以4。19时，也，。,取得最大值3马Is4i-9厂9J;2，

即嗔BCD取得最大值4X券=18贬.

故答案为：18vL

D,

B

14.答案：1

解析：以力为坐标原点，AC,44—48的方向分别为*,y,z轴的正方向建立空间

直角坐标系.

D

&CX

则/(0,0,0),C(V3,0,0),G(G,2,0)。(6,1,2),5(0,0,1),男(0,2,1),所以

BBl=(0,2,0),=(V3,1,1)-

BB,en=0,

设平面A8Q的法向量〃=(x,y,z),所以1

BD•〃=0,

所以]2；=0'

+y+z=0,

取》=百，可得平面ABQ的一个法向量〃=(G,0,—3),设BPrBC,2G[0,1],

所以。。=£>8+28C=(血—百1,—1—X),所以

V3|32-3+3+32|^,.1,,5，益土、BP1

—=-----1=解得e2=—或2=一一(舍去)，所Re以rl——=-.

42V3-7(V32-A/3)2+1+(2+1)226BC2

因为BC=2,所以AP=1.

四、解答题

15.答案：(1)证明见解析

⑵—

6

解析：(1)证明：因为48=/。，。为8。的中点，所以

又平面NAD_L平面5cZ),/。<=平面/8。，平面48。平面5cz)=，

所以/O_L平面8a2又CD<z平面8。，所以NOJ_CD.

(2)如图，取。。的中点月连接。尸，则CELHD.

过点O作OGIIFC交8c于点G,则OG，5。.所以OG,OD,OA两两垂直.

以点。为坐标原点，分别以OG,OD,04所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标

系Oxyz,如图所示,

(6i)

则。(0,0,0),8(0,—1,0)，£>(0,1,0),C^-,-,0.

。，会

设2(0,0,4),a>0,又DE=2EA,则,所以8E=

8C=母|,0、.

7

设平面8cE的法向量为〃=(x,y,z),

42a

n-BE--y-\-----z=0.

33

则

na

n•BC=——x+—y=0.

22

令*,贝!］歹二一1,z=2,所以〃二

a

易知平面8。的一个法向量为所=(0,0,1),因为二面角£-BC-。的大小为45。,

G、I

匚du。J\m'n\L

所以cos45°二----~T

又a>0,得a=1,即OA=1,

所以/=_SABS.OZ=—X-x2xlx—xl=—

33122Jo

16.答案：(1)证明见解析

(2)B.D=-

12

解析：(1)因为£尸分别是ZC和CG的中点，且4s=5。=2,

所以CF=1,BF=亚.

连接2E由8/，4耳，AB//A[B],得BFL4B,

于是4F=^BF2+AB2=3,

所以/C=y]AF2-CF2=2V2.

由江+叱=3,得4B上BC,

故以6为坐标原点，以氏4,BC,54的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直

角坐标系，

则3(0,0,0),£(1,1,0),厂(0,2,1),防=(0,2,1).

设用。=加(04加W2),则。(加,0,2),

于是。E=(l—掰,1,—2).

所以斯•£>£=(),所以5尸，。£.

(2)平面84cle的一个法向量为〃]=(1,0,0).

设面。任的一个法向量为%=(x,y,z),DE=(l-z«,l,-2),EF=(-1,1,1),

DE•%=0”（l-m）x+y-2z=0

则2,所以＜

EF•%=0-x+y+z=0

令x=3,得^=加+1,z=2-m,

所以吗=（3,加+1,2-冽）,

所以cos

227

+

2

设面BAG。与面。田所成的二面角为0，

贝!]sin。=J1-cos2），

1Ji

故当加•时，面A81GC与面。任所成的二面角的正弦值最小，为三,

即当用。=；时，面与面。任所成的二面角的正弦值最小.

17.答案：（1）证明见解析

⑵孚

解析：（1）证明：因为在△45。和△CBD中，AD=DC,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以也△CS。，所以/5=CS.

又因为E为/C的中点，所以

因为£为/C的中点，所以。

又BE£>£=£，所以平面6£。.

又因为/Cu平面Z。，所以平面BED，平面

(2)由(1)得AB=CB,又N/CS=60。，所以△48。为等边三角形.

因为28=8。=2,所以/5=。5=/。=2,BE=y/3.

因为AD=DC,

所以△4DC是等腰直角三角形，所以4D=CD=&,DE=1.

因为DE?+BE?=BD?,所以。ELBE,

于是在中，设方为的边8。的高，

则由等面积可得lx2x/z=LxlxG,即/Z=18.

222

连接EE由(1)知平面6&Z

又EFu平面BED,所以/CJ_£E,于是当3。时，△ZCF的面积最小,

A7o1

此时所=/z=组，BF=-,DF=—,

222

所以此时尸为线段6。上靠近点。的四等分点.

以£为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

/IT\

则E(0,0,0),2(1,0,0),C(-l,0,0),5(0,V3,0),£>(0,0,1),F0,^-,-,

所以CE=1,—,^5=(-1,73,0),^D=(-1,0,1).

I44J

设平面的法向量为胃二(x,y,z),

n,A.B——x+A/SV—0,1—(―/—

则即x==z,令y=l,则〃=.

n-AD=-x+z=0,

26

所以|cos〈〃,CF〉|=l"S

\n\\CF\

J1+—+—xV3+l+3

V1616

故直线b与平面所成的角的正弦值为迪.

18.答案：(1)证明见解析

⑵」

3

解析：(1)证明：因为4F7/平面例NG,且4Fu平面Z8日;

平面ABEF平面MNG=NG,

所以4F7/NG.

因为8G=a(0<a<l),

所以CM=BN=6a,

则4G=1-Q,AM=V2(l—a),

„„AMAGarri'.iixr-<//nz--

即---=——=----,所以MG7/BC.

CMBGa

因为所以

又平面48cz)J_平面/8£尸，平面4SCZ)ABEF=AB,〃&<=平面/18。,

所以MGJ_平面

(2)由(1)知，MG平面2%汽,

因为NGu平面/啊；所以“GLNG,

所以MN7NG?+MG?=M+(l_a)2=,2/—2q+]=卜]”£|+!>^,

当且仅当a=工时，等号成立.

2

所以当/W的长度最小时，BG=~,G为/8中点.

2

以点6为坐标原点，BA,BE,8c所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

则2(1,0,0),5(0,0,0),N《,g,0

则Z/=-！0,；,MN=0,g「；，1,0,1

m-AM=—x+—z=0,

22

设平面Z/V7/V的法向量为=(x,y,z),贝小

m•MN=-y--