2024学年绵阳市某中学高二数学（上）期末考试卷（附答案解析）

2024学年绵阳市三台中学高二数学（上）期末考试卷

一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分）

1.（5分）抛物线>=4尤2的焦点坐标是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,专）D.（2，0）

―>

2.（5分）已知点A（2,1,-1）关于y轴的对称点为3,则|力以等于（）

A.3V2B.2V6C.2D.2V5

3.（5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数

比为3：4：3,要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人

数为（）

A.52B.48C.36D.24

2

4.（5分）若直线/过点（-3,-2）,且与双曲线v--必=1过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则

4

直线I的方程为（）

A.2x+y-8=0B.2x+y+8=0C.lx-y+8=0D.2x-y-6=0

5.（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志

愿者，则甲恰好不安排到3号教室的概率为（）

2311

A.-B.-C.-D.-

3443

6.（5分）已知直线/：fcc+y+2-4=0过定点点尸（x,y）在直线2x-y+1=0上，则|MP|的最小值是

（）

A.5B.V5C.—D.—

55

7.（5分）已知MO2,0）,圆C：x2-4x+y2=0,动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心尸的

轨迹方程是（）

A.x2一加=1（x2l）B.—-/=1（x>V3）C.x2-^=lD.--/=1

3333」

8.（5分）己知打，尸2是椭圆C：，+箕=l（a〉b>0）的左、右焦点，8是C的下顶点，直线硒与C

的另一个交点为4且满足点，端,则C的离心率为（）

A.立B.迪C.工D.如

5522

二、多选题：（本题共3小题，每题6分，共18分）

1

（多选）9.（6分）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1⑷这9个数字（每张卡片

上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件A,“从中任意抽取

1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件B,“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”

记为事件C.则下列说法正确的是（）

A.事件A与事件C是互斥事件B.事件8与事件C是对立事件

C.事件A与事件B相互独立D.P（AUB）=P（A）+P（B）

（多选）10.（6分）已知抛物线丁=2℃（p>0）的焦点尸到准线的距离为4,直线/过点尸且与抛物线

交于A（4,yi）,B丫2）两点，若Af（m,2）是线段A8的中点，贝!J（）

A.p=4B.抛物线的方程为丁=16了C.直线/的方程为y=2x-4D.|AB|=10

（多选）11.（6分）如图，已知斜三棱柱ABC-A向G中，ZBXC=\/痴匕=学/.CAAr=pAB

=AC=1,A4i=2,点。是SC与8G的交点，则下列结论正确的是（）

A.AO=+AC+AA^B.\AO\=^-

C.AO1BCD.平面ABC_L平面BiBCG

三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分）

12.（5分）两平行直线/i：ax+3y+l—0,h：x+（a-2）y+a=0的距离为.

13.（5分）已知1,xi，xi,X3,X4这5个数的平均数为3,方差为2,则xi，小孙尤4这4个数的方差

为.

14.（5分）已知圆O：^+/=9,椭圆C：9+?=1的左、右焦点分别为F2,。为坐标原点，P为

椭圆C上一点，直线OP与圆。交于点M,N,若|PF1|・|PB|=4,贝|J|PM?FN=.

四、解答题：（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）

15.（13分）已知圆M与y轴相切，其圆心在无轴的负半轴上，且圆M被直线x-y=0截得的弦长为2a.

（1）求圆M的标准方程；

（2）若过点P（0,3）的直线/与圆M相切，求直线/的方程.

16.（15分）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再

2

掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛(五局三胜制)，其中每局中甲获胜的概率为|,乙获

胜的概率为3每局比赛都是相互独立的.

(1)求比赛只需打三局的概率；(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.

17.(15分)高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按

如下方式分成五组，第一组[13,14),第二组[14,15)…第五组[17,18],如图是按上述分组方法得

到的频率分布直方图.

(1)若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数.

(2)请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数(精确到0.01).

(3)设机，〃表示该班两个学生的百米测试成绩,已知m,«G[13,14)U[17,18],求事件“依-川

>2”的概率.

18.(17分)如图所示，直角梯形ABC。中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四边形即CE为

矩形，CF=V3,平面EZC平面A8CD

(1)求证：〃平面4BE；

(2)求平面ABE与平面EFB夹角的余弦值；

⑶在线段。F上是否存在点尸，使得直线成与平面.所成角的余弦值为竽若存在，求出线段

3尸的长度，若不存在，请说明理由.

19.(17分)已知双曲线C：/一，=l(a>0,6>0)的左、右焦点为B、F2,虚轴长为4a,离心率为近,

过C的左焦点/1作直线/交C的左支于A、B两点、.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若4a=4&,求的大小；

3

(3)若M(-2,0),试问：是否存在直线/,使得点M在以A5为直径的圆上？请说明理由.

4

2024-2025学年四川省绵阳市三台中学高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

题）

12345678

答案CDCBABCA

一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分）

1.（5分）抛物线＞=4/的焦点坐标是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,勺D.舄，0）

【分析】把抛物线y=4f的方程化为标准形式，确定开口方向和〃值，即可得到焦点坐标.

【解答】解：抛物线y=4%2的标准方程为p=也开口向上，焦点在y轴的正半轴上，

故焦点坐标为（0,。），

16

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4f的方程化为标准形式，

是解题的关键.

2.（5分）已知点A（2,1,-1）关于y轴的对称点为8,则|八|等于（）

A.3V2B.2V6C.2D.2逐

【分析】根据点对称的性质可得点3的坐标，由两点间的距离公式可得|我|.

【解答】解：由题意，点A（2,1,-1）关于y轴的对称点为B（-2,1,1）,

由两点间的距离公式可得以2|=7（-2-2）2+（1-I）2+（-1-I）2=2V5.

故选：D.

【点评】本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法及空间中两点间的距离公式的应用，属于基础题.

3.（5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数

比为3：4：3,要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人

数为（）

A.52B.48C.36D.24

【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得.

【解答】解：用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为:

5

3

x120=36.

3+4+3

故选：C.

【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

4.（5分）若直线/过点（-3,-2）,且与双曲线？-y2=i过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则

4

直线I的方程为（）

A.2x+y-8=0B.2x+y+8=0C.2x-y+8=0D.2x-y-6=0

【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线/的斜率，由点斜式即得/的方程.

2

【解答】解：直线/过点（-3,-2）,且与双曲线？v-必=1过第一和第三象限的渐近线互相垂直，

4

如图，由?-y2=1可知双曲线在第一和第三象限的渐近线方程为：y=lx>

直线I与之垂直，则直线/的斜率为-2,

又直线/过点（-3,-2）,故直线/的方程为y+2=-2（x+3）,即2x+y+8=0.

故选：B.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线方程的求法，是基础题.

5.（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志

愿者，则甲恰好不安排到3号教室的概率为（）

2311

A.-B.-C.-D.-

3443

【分析】基本事件总数n=“=6,甲恰好不安排到3号教室包含的基本事件个数m=废心=4,由此

能求出甲恰好不安排到3号教室的概率.

【解答】解：安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生，

每个教室恰好安排一位志愿者，

基本事件总数n=朋=6,

甲恰好不安排到3号教室包含的基本事件个数m=6超=4,

则甲恰好不安排到3号教室的概率为p="=：=|.

n63

6

故选：A.

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.(5分)已知直线/：丘+y+2-％=0过定点”，点尸(X,y)在直线2x-y+1=0上，则|“尸|的最小值是

()

A.5B.V5C.手D.y

【分析】先求定点，再根据点到直线距离公式求解点到直线上动点距离最小值即可.

【解答】解：由fcc+y+2-Z=0得y+2=)t(1-x),所以直线/过定点-2),

依题意可知也用的最小值就是点M到直线2x-j+l=0的距离，

由点到直线的距离公式可得|MP|而兀==V5.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属

于基础题.

7.(5分)已知M(-2,0),圆C：/-4x+y2=0,动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心尸的

轨迹方程是()

22

A.X2—y=1(尤Nl)B.y-y2=l(x>V3)

C.r―日=1D.式—V=1

【分析】由题意，得到圆C的圆心和半径，设出动圆P的半径，分别讨论动圆尸与圆C相内切和外切

两种情况，结合双曲线的定义以及a,b,C之间的关系，列出等式进行求解即可.

【解答】解：易知圆C的标准方程为(x-2)2+9=4,

所以圆C是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆，

不妨设动圆P的半径为r,

若动圆尸与圆C相内切，

此时圆C在动圆P内，

可得|PM=r，\PC\=r-2

所以|PM-|PC|=2<|MC|=4,

则动点尸是以M,C为焦点的双曲线的右支，

此时a=l,c—2,

所以6=Vc2—a2=V3,

7

则动圆圆心尸的轨迹方程为好―1=1(x'l),

若动圆尸与圆C相外切，

可得|PM=r，\PC\=r+2

所以|PC|-|PM=2<|MC|=4,

则动点尸是以M,C为焦点的双曲线的左支，

此时a=l,c—2,

所以6=Vc2—a2=V3,

则动圆圆心尸的轨迹方程为好―1=1(xW-1),

2

综上，动圆圆心尸的轨迹方程为X2-5=1.

故选：C.

【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力.

22

8.(5分)已知尸1，后是椭圆C：京+翥=l(a>b>0)的左、右焦点，B是C的下顶点，直线3P2与C

—>—>

的另一个交点为A,且满足F1416B,则C的离心率为()

A.—B.—C.-D.—

5522

【分析】利用椭圆的定义及勾股定理用。表示出IAEI，\AF2\,在RtZWBB中求出COSA,再在△ARB

中，通过余弦定理得到|&尸2/与片的关系，即可求出离心率.

【解答】解:如图，\BFi\=\BF2\=a,令一凡|=m,贝！J|AB|=2」-m,

即(〃什。)2=(2a-m)-+O1,得巾=当，

则|AQ|=.,|A8|=a+|a=|a,

4a

在RtAAFiB中，有cosA=需=嘉=占

\AB\—5

在△ABB中，由余弦定理得：|&尸2|2=|40|2+|/尸2|2-2|/0|・|4尸21cos4

8

.・%=(»+等_2x£xgx.沁

解得£=v.

a5

故选：A.

【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查焦点三角形的解法，是中档题.

二、多选题：(本题共3小题，每题6分，共18分)

(多选)9.(6分)一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字(每张卡片

上标1个数)，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件4“从中任意抽取

1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件B,“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”

记为事件C.则下列说法正确的是()

A.事件A与事件C是互斥事件B.事件B与事件C是对立事件

C.事件A与事件B相互独立D.P(AUB)=P(A)+P(B)

【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断8；利用相互独立事件的定义判断C；

利用古典概型、列举法判断D

【解答】解：一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1国这9个数字(每张卡片上标

1个数)，

“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件4”从中任意抽取1张卡片，卡片

上的数字不超过6”记为事件8,

“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C.

样本空间为Q={1,2,3,4,5,6,7,8,9),

A=[2,5,8},B={1,2,3,4,5,6},C={7,8,9).

•；ACC={8},事件A与事件C不是互斥事件，故A错误；

VBUC={1,2,3,4,5,6,8,9},Bnc=0,

事件B与事件C为对立事件，故B正确；

•••PQ4B)=:,P(2)=|=1,P⑻=合|,

：.P(AB)=P(A)P(B),即事件A与事件8相互独立，故C正确；

•.,PQ4UB)=I，

：.P(AUB)"(A)+P(B),故。错误.

故选：BC.

9

【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

（多选）10.（6分）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点尸到准线的距离为4,直线/过点尸且与抛物线

交于A（xi，%），B（X2,>2）两点，若M（m,2）是线段48的中点，贝U（）

A.p=4

B.抛物线的方程为丁=16苫

C.直线/的方程为y=2x-4

D.|AB|=10

【分析】由焦点到准线的距离可求得p=4,则可判断A正确，8错误；利用斜率坐标计算公式几何中

点坐标计算公式可求得直线/的斜率，从而求得/的方程，可判断C正确；yi+y2=2（4+尤2）-8=4,

所以X1+X2—6从而|AB|=|AF|+|8F|=XI+X2+4=10判断D正确.

【解答】解：根据题意及抛物线的几何性质可得p=4,故A正确；

故抛物线的方程为y2=8x,焦点尸（2,0）,故2错误；

又比=8x「yl=8X2,且2）是AB的中点，

.".yi+y2=4,yl—泥=8xt—8x2，

...上及=^=2,.•.直线/的方程为y=2x-4.故C正确；

％2yi+yz

，»，yi+y2=2（X1+X2）-8=4，，XI+X2=6,

/.\AB\=\AF\+\BF\=XI+X2+4=10,故D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，点差法的应用，化归转化思想，属中档题.

（多选）11.（6分）如图，已知斜三棱柱ABC-ASG中，ABAC=\^BAA1=y,/.CAA1=pAB

=AC=1,AAi=2,点。是BiC与BQ的交点，则下列结论正确的是（）

A.AO=久48+AC+A4i)B.\AO\=^

C.AO.LBCD.平面平面SBCCi

10

【分析】利用空间向量的线性运算，逐步把A用基向量表示出来即可判断A；对于8,C,D,则可以

选择48=a,AC=b,人①=c为平面的一组基，分别用a,b,c表示出相关向量，再运用向量数量积

~»―»

的运算律求向量模长和验证向量垂直，即可判断2,C；对于。项，计算推得再由

AE±BC即可证得AE_L平面BiBCCi,最后由线面垂直得面面垂直即可.

【解答】解：对于4因4。=4B+B。=48+；(4。-48+441)=；(48+2。+441),故A正确；

T->TT-->->T->

对于8，不妨设4B=a,AC=b,AA1=c,贝U{a,b,c}构成空间的一个基底.

—>—>—>—>--»—>—>—>

则依题意：1可=1以=1，1。1=2，a-b=0,b-c=1,a-c=-1,

,—T1T—T

由A可得，AO=—(ci+b+c),

贝UM。/=i(a2+庐+/+2a•b+2b•c+2a•c)=三，即|/。|=—,故5正确；

422

，一—一T—,,1t—t1

对于C,因BC=b-a,故4。,BC=—(cz+b+c),(b-a)=—(-1+1+1+1)=1WO,

故c错误；

对于。，如图取BC的中点E,连接AE,

,T1—T1TT

贝!ME=^AB+AC)=j(a+&),

因为AB=AC,E为BC的中点，所以AEL3C,

又AE•BBi=：(a•c+b•c)=；(-1+1)=0,故有

因为BCCBB尸B,BC,班iu平面BiBCG，

所以AE_L平面BiBCCi，又AEu平面ABC,

故平面A3C_L平面BiBCG，即。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属中档题.

三、填空题：(本题共3小题，每题5分，共15分)

11

12.（5分）两平行直线/i：tw+3y+l=0,，2：x+（a-2）y+a=O的距禺为—j—

【分析】利用平行线求解a,结合距离公式求解即可.

【解答】解：由/1〃6时，求出。=3,由此能求出直线/i与/2之间距离.

解析:当时,有｛黑一（3；二

解得〃=3,/.Zi：3x+3y+l=0,；2：x+y+3=0,即3x+3y+9=0,

•••直线Z1与/2之间距离为d=韶=手.

故答案为：竽.

【点评】本题考查两直线间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意距离公式的合理运用.

13.（5分）己知1,XI,x2,X3,X4这5个数的平均数为3,方差为2,则为，物尤3,尤4这4个数的方差

为；•

---4---

【分析】根据1,%1，X2，%3，%4这5个数的平均数求出制，X2，%3，%4这4个数的平均数，再利用公式

计算出好+好+蟾+就=54和X1，%2，X3，%4这4个数的方差.

【解答】解：因为1,xi，X2,X3,X4这5个数的平均数为3,方差为2,

所以g+%2+久3+%4+1）=3,即X1+X2+X3+X4~14,

所以X1，%2，%3，%4这4个数的平均数为元=；X（/+久2+%3+%4）=]

42

所以应当警史兰一32=2,即就+媛+以+媛=54,

所以XI，x2，13，%4这4个数的方差为1（好+好+港+%外一元2=：X54—（今2=*

故答案为：

4

【点评】本题考查了平均数，方差的计算公式，是基础题.

14.（5分）己知圆。：/+丁=9,椭圆C：9+?=1的左、右焦点分别为F2,。为坐标原点，P为

椭圆C上一点，直线OP与圆O交于点M,N,若FR|・|PBI=4,贝6.

【分析】利用|PQ|+|PB|=2a求出|0P|,然后将1PM・|尸可转化为|0M2Top产求解即可.

【解答】解：根据已知圆。：f+V=9,椭圆C：9+?=1的左、右焦点分别为Q,F2,

作图如下，

12

222

令点P(X0,yo),因为|「&|+\PF2\=2a=>\PF1\+\PF2\+2\PF1\\PF2\=4a,

并且根据题意知|P尸1|,|尸尸2|=4,所以(%O+c)2+羽+(%o-c)2+羽+8=4a2,

因此就+yl=2/-c2-4

=10-3-4

=3,

所以|PM|•\PN\=(|OM|-\OP\X\ON\+|OP|)=\OM\2-|OP|2=9一(/+诏)=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查圆与圆锥曲线综合应用，属于中档题.

四、解答题：(第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分)

15.(13分)已知圆M与y轴相切，其圆心在无轴的负半轴上，且圆〃被直线尤-y=0截得的弦长为2a.

(1)求圆M的标准方程；

(2)若过点P(0,3)的直线/与圆M相切，求直线/的方程.

【分析】(1)根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解；

(2)分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解.

【解答】解：⑴因为圆心在x轴的负半轴上，所以设圆环(x-a)2+y2=r(a<0)

又圆M'与y轴相切，所以⑷=r,即r=-a.

圆心0)到直线尤-y=0的距离为"

所以(粤)2+"1)2=。2,解得。=-2,则r=2.

故圆的标准方程为(x+2)2+/=4.

(2)由(1)知，圆心为M(-2,0),r=2,

因为22+32>4,所以点尸在圆M外，过圆M外一点作圆〃的切线，其切线有2条.

①当/的斜率上不存在时，直线/的方程为x=0,

圆心M(-2,0)到直线x=0的距离为2,

所以直线x=0与圆M相切.

13

②当/的斜率上存在时，设/的方程为y=fcv+3,即Ax-y+3=0,

则圆心M到/的距离d=早寻=2,解得k=j

Vl+k212

止匕时/的方程为5x-12y+36=0.

综上，/的方程为5x-12y+36=0或x=0.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题.

16.(15分)在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再

掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛(五局三胜制)，其中每局中甲获胜的概率为|,乙获

胜的概率为右每局比赛都是相互独立的.

(1)求比赛只需打三局的概率；

(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.

【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式可解；

(2)根据相互独立和时间事件乘法公式可解.

【解答】解：(1)设事件A="甲前三局都获胜”，事件8="乙前三局都获胜”，

Eiic/c、1111c/4、2228

P(A)=-x-x-=-,

比赛只需打三局的概率为：P=P(4UB)=P(A)+P(B)=^=|,

(2)甲需要打三局的概率为：Pi=|,

甲需要打五局的概率为：P3=|x|x|=^,

甲需要打四局的概率为：P2=|x|=|,

则甲最终获胜的概率为：P=|+|+5=||,

【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

17.(15分)高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按

如下方式分成五组，第一组[13,14),第二组[14,15)…第五组[17,18],如图是按上述分组方法得

到的频率分布直方图.

(1)若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数.

(2)请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数(精确到0.01).

(3)设相，〃表示该班两个学生的百米测试成绩，己知根，«6[13,14)U[17,18],求事件“依-川

>2”的概率.

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【分析】（1）根据频率分布直方图能求出成绩在［14,16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中

成绩为良好的人数.

（2）由频率分布直方图能求出众数落在第二组［15,16）内，由此能求出众数；数据落在第一、二组的

频率是0.22V0.5,数据落在第一、二、三组的频率是0.6>0.5,所以中位数一定落在第三组中，假设中

位数是无，贝U0.22+（%-15）X0.38=0.5,由此能求出中位数.

（3）成绩在［13,14）的人数有2人，成绩在［17,18）的人数有3人，由此能求出结果.

【解答】解：（1）根据频率分布直方图知成绩在［14,16）内的人数为：

50X018+50X038=28人.

...该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人.

（2）由频率分布直方图知众数落在第三组［15,16）内，

众数是誓=15.5.

数据落在第一、二组的频率=1X0.04+1X0.18=0.22<0.5,

数据落在第一、二、三组的频率=1X0.04+1X0.18+lX0.38=0.6>0.5,

中位数一定落在第三组中，

假设中位数是无，则0.22+（x-15）X0.38=0.5,

解得x=詈=15.74,

.••中位数是15.74.

（3）成绩在［13,14）的人数有50X0.04=2人，

成绩在［17,18）的人数有；50X0.06=3人，

设m,n表示该班两个学生的百米测试成绩

'：m,nG［13,14）U［17,18］,

事件川>2”的概率

C£C£_3

【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分

布直方图的合理运用.

15

18.(17分)如图所示，直角梯形ABC。中，AD//BC,AD±AB,AB=3C=2AD=2,四边形EDCF为

矩形，CF=V3,平面即Cf\L平面ABCD

(1)求证：〃平面A3E；

(2)求平面ABE与平面EFB夹角的余弦值；

(3)在线段上是否存在点P,使得直线8尸与平面ABE所成角的余弦值为孚，若存在，求出线段

3尸的长度，若不存在，请说明理由.

【分析】(1)取。为原点，D4所在直线为x轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面

TT—TTT_

ABE的法向量n与向量DF,根据DF"=0证明DF_Ln；从而证明〃平面ABE；

(2)求平面的法向量拓，再计算平面A3E与平面所成锐二面角的余弦值;

TT——

(3)设DP=a。尸，Ae[0,1],求向量BP与平面ABE的法向量n所成角的余弦值，列出方程解方程得入

—>

的值，从而求出|BP|的值.

【解答】解：(1)证明：取。为原点，ZM所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

如图所示;

2,0)£(0,0,V3),F(-1,2,V3),

BE=(-1,-2,旧)，AB=(0,2,0),

设平面48E的法向量为蔡=(x,y,z),

(—X—2y+V3z=0

(2y=0

16

不妨设九=(V3,0,1),

—>__

又DF=(-1,2,V3),

TTLr—

；・DF・n=—V3+0+V3=0,

TT

：.DF±n；

又平面ABE,

：.DF//^ABE；

—>—>

(2)•:BE=(-1,-2,V3),(-2,0,V3),

设平面B跖的法向量为蔡=(a,b,c),

.(—a—2b+A/3C=0

I-2a+V3c=0

令c=4,则〃=2E，b=V3,

.*.m=(2V3,V3,4),

.._.mn.105731

••COSuni-~=9

\m\x\n\2xV3131

平面ABE与平面EFB夹角的余弦值是笔^；

—>—>

(3)设DP=ADF=入(-1,2,V3)=(-A,2入，V3A),Ae[0,1]；

—»

：.P(-入，2入，V3X),BP=(-人-1,2入-2,V3A),

又平面A8E的法向量为蔡=(V3,0,1),

•••直线BP与平面ABE所成角的余弦值为半，

设与平面ABE所成角为。，