2025高考数学考过关检测5 统计与概率数 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题过关检测五统计与概率

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2023•新高考〃,3）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作

抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和

200名学生，则不同的抽样结果有（）

A.C搞C琉种B.ClooC^oo^

C.C瑞嘲。种D.C招0C翁。种

2.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单

位:kg）并整理下表：

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

生产数61218302410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量中位数小于1050kg

B.100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

3.某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x（单位:元）

和销售额兴单位:元）的数据，整理得到下面的散点图.

已知销售额y=单价xx销量号根据散点图，下面四个经验回归方程类型中最适宜作为服装销量z

与单价x的经验回归方程类型的是（）

b

A.z=a+bxB.Z=Q+x-

4.已知在盒中有大小、质地相同的红色、黄色、白色的球各4个，分别编号为1,2,3,4,现从中任

意摸出4个球,则摸出白球个数的均值是（）

A.1B.|琮D.|

5.某学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩，将学生的成绩按照

[50,75）,[75,100）,[100,125）,[125,150]分成4组，制成的频率分布直方图如图所示.现用比例分配的

分层随机抽样的方法从[75,100）,[125,150]这两组学生中选取5人,再从这5人中任选2人，则这2

人的数学成绩不在同一组的概率为（）

[频率/组距

0.016r-------1-1

0.012^-1~~

0.0081--[――

y上__.

5075100125150数学成绩/分

A.—B.—C.-D.—

6.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种淇中“净”和“丑”需要画脸谱，“生”“旦”只略施脂粉,

俗称“素面”现有男生甲、乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动，其中

女生丙想扮旦角,男生甲想体验画脸谱的角色，若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个，则

甲、丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为（）

7.盒中有2个红球,3个黑球,2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球

1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（）

27319

A；B为C.-D.-

8.如图，高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离

均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落,将随机地向两

边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球.若一个小球从

正上方落下，落到3号位置的概率是（）

12345

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据X132,…―,由这组数据得到新样本数据》142,…g淇中yt=Xi+c（i=\,2,--,n）,c为

非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.为了解某种植区推动出口后的亩收入（单位:万元）情况,从该种植区抽取样本，得到推动出口后

亩收入的样本均值刀=2.1,样本方差$2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布

N（L8,012）,假设推动出口后的亩收入y服从正态分布N（兄$2）,则（）（若随机变量Z服从正态

分布NQ，）,则尸（Z<〃+cr户0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0,5

C.P（y>2）>0.5D./,（y>2）<0,8

11.（2024•广西南宁模拟）甲、乙、丙、丁4人做传接球训练J求从甲手中开始，等可能地随机传向

另外3人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人,如此不停地传下去,

假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在甲手中的概率为2,易知必=0/2=!下列选项

正确的是（）

A/3=g

为等比数列

-111

"一居产

D.第4次传球后，球落在甲手中的不同传球方式有20种

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.若随机变量齐3（100⑼，且£（X）=20,则D（^X+3）=.

13.某学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了解同学们对学校关于对手机管理的意见，计

划采用分层随机抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本.若从高一、高

二、高三抽取的人数恰好组成一个以|为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数

为.

14.某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试.参加考试的49名学生的数学成

绩的方差为2.在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来

算，那么全班50名学生的数学成绩的标准差为.

四'解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产

品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.

品级

机床合计

一级品二级品

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)依据小概率值a=0.010的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差

异.

2

[TAI,7_n(ad-bc)

★(a+b)(c+d)(a+c)(b+d>

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

16.(15分)(2024・广西4月模拟)为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活

动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩(满分：100分)分成7

组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].整理得至收口下频率分布直方图.

(1)求a的值并估计该村村民成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);

(2)从成绩在[30,40),[80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人,再从这6人中任选3人，记这

3人中成绩在[80,90)内的村民人数为X,求X的分布列与期望.

17.（15分）（2024•广西南宁一模）某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产.

（1）在试产初期，该款血液试剂的1批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检

测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次

品率为去.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流

水线并由工人进行抽查检验.已知批次1的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%,求工人在

流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；

（2）已知切比雪夫不等式:设随机变量X的期望为E（X）,方差为。（才）,则对任意£>0,均有P（\X-

E（X）］2£）〈缪.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为80%,现随机选择了100份血

液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，显示有效的份数不超过60

份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信.

18.（17分）某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计,结果如下表.

年份20192020202120222023

年份代码X12345

使用扫码支付的人次V为人512161921

（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式y=c+/nx,通过

散点图（图略）可以发现了与x之间具有相关性.设。=lnx,利用。与x的相关性及表格中的数据

求出了与x之间的经验回归方程，并估计2024年该商场使用扫码支付的人次；

（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案.方案一,使用现金支付，每满200元可参加1

次抽奖活动，抽奖方法如下:在抽奖箱里有8个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑

球有5个）,顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球,若摸出3个红球，则打7折;若摸出2个红球，则打

8折，其他情况不打折.

方案二，使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有:的

O

概率享受8折优惠，有|的概率享受9折优惠，有♦的概率享受立减10元优惠.

若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.

①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与均值；

②试比较小张选择方案一与方案二付款朋B个方案更划算？

A

附:对于一组具有线性相关关系的数据。由）,（/2力），/必），…，体"）淇经验回归方程为y=

A

A2(ti-t)(y;-y)Stiyt-ntyA

bf+a,b='~~j―=一1一~jr，a=y-bt.

Z(ti-t).tj-nt

相关数据而u0.96,£a)i~6.2,£gy,u86,ln6al.8(其中o=lnx).

19.(17分)(2023•新高考/,21)甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续

投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投

篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第z•次投篮的人是甲的概率；

nn

(3)已知:若随机变量X•服从两点分布，且尸(X=l)=l-P(X=0)=//=1,2,…，%则£(2X)=2在记前

i=li=l

n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(F).

专题过关检测五统计与概率答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.D解析由题意，初中部和高中部总共有400+200=600（人），按照比例分配的分层随机抽样的

原理，应从初中部抽取黑x60=40（人），从高中部抽取%x60=20（人）.

600600

第一步，从初中部抽取40人，有（480种方法，第二步,从高中部抽取20人，有C至。种方法，

根据分步乘法计数原理,一共有C需0C患。种抽样结果.故选D.

2.C解析由6+12+18=36<50,6+12+18+30=66>50,得中位数在［1050,1100）范围内，故A错误;

亩产量低于1100kg的稻田生产数为6+12+18+30=66,捻=66%<80%,故B错误；

亩产量最大值在［1150,1200）范围内，最小值在［900,950）范围内，故极差在（1150-950,1200-900）范

围内，即200kg至300kg之间，故C正确；

900x—+950x—+1OOOx—+1050x—+1100x—+1150x—=1042,大于1000kg,故D错误.

100100100100100100'D

故选c.

3.B解析由题中散点图可知j与x成线性相关，设经验回归方程为了=%+息,由题意2=（,所以

z=?+k,对应B最适合.

4.C解析设摸出的白球的个数为4则入=0,1,2,3,4,所以尸（犬=0）=印=总尸（X=l）=空=

C12L12

224pz_^4^8__5632pzy_A\_^4^8_1

495,

所以摸出白球个数的均值是用O=ox£+lx急+2x^+3嚏+4^T

5.D解析由题意可知，数学成绩在［75,100）的学生的频率为0.012x25=0.3,数学成绩在［125,150］

的学生的频率为0.008x25=0.2.

用比例分配的分层随机抽样的方法从［75,100）,［125,150］这两组学生中选取5人，则其中有3人的

成绩在［75,100）,有2人的成绩在［125,150］,从这5人中任选2人，

这2人成绩不在同一组的概率尸=等=2=|.

6.B解析三人选角的不同结果共43种，若甲如愿，则已满足题意,故乙、丙可随机选择，此时共

2x42=32种；

若甲未如愿,则丙必选旦角，则甲选生角或旦角，乙只能选净角或丑角，共2x1x2=4种.

所求概率为磬=高.

4316

7.A解析从盒中任取1球，是红球记为4,是黑球记为在,是白球记为出,则4出第3彼此互斥,

设第二次抽出的是红球记为事件瓦则

232311

尸(4)=缄(42)=/(出)=缄(B|4)q尸(Bl/?)/。(阴色)三,尸(8)=尸(阴4)尸(小)+尸(阴/2)尸(4)+尸(阴4

IIIo44

、c/,、23,31.212

3)JP(Z3)=—

7v/7X—8I—7X—4I—7x—4=—7.

8.C解析记一个小球从正上方落下，落到3号位置的事件为M一个小球从正上方落下，落到3

号位置，需要4次碰撞中有2次向左、2次向右，则一个小球从正上方落下落到3号位置的概率

为P(M)=Clx(|)2X(|)2=|.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.CD解析%=-2%z,y=工(2/+nc)=五+c,故A错误;两组样本数据的样本中位数相差c,

ni=lnM=1)

1九_1n_

故B错误必=-2(X-X)2,Sy=-£[(%i+c)-(%+c)]2=S电故C正确;X极差=%max-Xmin)极差=(%max+。)-

ni=izni=l

(%min+c)=Xmax-Xmin,故D正确.

10.BC解析由题意知,N(L8,0.12),八NQ.IOF).：-p(x<1.8+0.1)~0.8413,.t.P(X>1.8+0.1)=1-

0.8413=0.1587..,.P(X>2)=P(X>1.8+2x0.Y)<P[X>1.8+0.1)~0.1587,.：A错

误.P(X>2)<P(X>L8)=0.5,.：B正确.：'P(Y>2)=P(Y>2A-0A)=P(Y<2.1+0.1)-0.8413,.：C正确,D

错误.故选BC.

ll.BC解析第〃次传球之后球在甲手中，则第次传球之后球不在甲手中，其概率为1-2」，

第«次传球有三分之一的可能传给甲，故尸"=*/〃」),故尸一小，故｛%1｝为等比数列，选

项B正确得故P"=：-女]严，选项C正确岛=；-卜(孑=|,选项A错误陷=；-7X(-

443443443944

1)3=盘故第4次传球后,球落在甲手中的传球方式有34X^=21种，选项D错误.故选BC.

三'填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.1解析因为¥B(100,p),所以现町=1000=20,解得)三，

所以O(X)=100双12)=100X：X[=16.

故。(％+3)=9葭。(凶=*16=1.

13.900解析高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以|为公比的等比数列,设从高二年级

抽取的学生人数为X,则从高一、高三年级抽取的人数分别为|x,|x.

由题意可得|x+x+|x=38,所以x=12,故|x=18.

设该校高一年级的学生人数为〃，再根据瑞=生，求得”=900.

1900n

14.|解析设参加考试的49名学生的数学成绩为双人1,2,3,…,49),平均成绩为元小明的数学成

绩为X50.

49

E(Xi-50

由题意得当厂=2,则全班50名学生的数学成绩的标准差为

50I49149

i空闲,杂田+入。园.空同+0_卜9x2+0_7

、50-150-150-Y50-5。

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为黑="

2004

乙机床生产的产品中一级品的频率为黑=|.

(2)零假设为Ho理机床的产品质量与乙机床的产品质量没有差异.

22

7_n(ad-bc)_400X(150X80-120X50)^1N„,衣

/=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200X200X270X13。“1O-256>6.635=XO.OIO.

依据小概率值a=0.010的独立性检验，推断“0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品

质量有差异.

16.解⑴由题图可知,10(34+0.01+0.015+0.03x2)=1,解得a=0.005,该村村民成绩的平均数约为

(35+45+95)x0.05+(55+65)x0.3+75x0.15+85x0.1=64.5.

(2)从成绩在［30,40),［80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在［30,40)的村民有

6x募*=2人,成绩在［80,90)的村民有4人，从中任选3人比的取值可能为

1,2,3/(X=1)=警=t，P(X=2)=符="(X=3)=符=i

则X的分布列为

X123

131

P

555

1a1

故E(X)=\x—+2*闩+3Xg=2.

17.fi?(1)设批次1的血液试剂智能自动检测合格为事件4人工抽检合格为事件民由已知得

尸⑷=就/(四=1号=得则工人在流水线进行人工抽检时,尸(即)=畿=KX禁=

±UUZUZU)ZU70

⑵设100份血液样本中检测有效的份数为X.

假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下

X-B(\00,0.8),E(㈤=100xO.8=8OQ(R=l00><0.8义(1-。8)=16.

由切比雪夫不等式可知尸(X〈60)WP(|T80|220户黑=0.04.

即在假设下,100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04,此概率很小，据此

我们有理由推断该企业的宣传内容不可信.

18.解(1)计算知歹=5+12+1；+19+21=(=14.6,

A5_____

E32厂5万歹

86-5X0.96X14.61八

所以d二是——x----------=10,