2025高考数学考过关检测六 解析几何 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题过关检测六解析几何-专项训

练

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

L椭圆9+3=1的长轴长为6,则该椭圆的离心率为()

2.(2024•河南三模)过抛物线V=8x的焦点的直线交抛物线于“4两点，若中点的横坐

标为4,则|“用=()

22

3.已知双曲线Ca一会=1(心0,6>0)的一条渐近线被圆N+产10尸0截得的线段长等于8,

则双曲线C的离心率为()

AV15

4.已知4-3,0),8(3,0),C(0,3),一束光线从点尸(-1,0)出发经/C反射后，再经上点D反射,

落到点E(l,0)上，则点D的坐标为()

B仔2)

C.(l,2)D.(2,l)

5.已知抛物线V=8x的焦点为£经过点尸(1,1)的直线I与该曲线交于A,B两点，且点尸恰

好为AB的中点，则+|3n=()

6.(2022・全国甲，文11)已知椭圆谆+昌电乂〉。)的离心率为例分别为C的左、右

顶点,3为C的上顶点.若文•砒=-1,则C的方程为()

r2”2”2

C.—+D—+}^=1

G：(x+2)2+y2=i,C2：(x-2)2+/=49,Ci

7.已知圆动圆C满足与G外切且与C2内切,若/为

上的动点，且说・M=0,则|说|的最小值为()

A.V2B.V3C.2D.V5

8.瑞士著名数学家欧拉在17世纪证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直

线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作A/8C43=ZC=4,

点5(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M(x-a)2+e-a+3)2=r2相切.则圆/上的点到直线

x-y+3=0的距离的最小值为()

A.2V2B.3V2C.4V2D.6

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知椭圆+的左、右焦点分别是E尸2,左、右顶点分别是出血,点尸是椭圆

上异于小闫2的任意一点，则下列说法正确的是()

人|「人|+|尸尸2|=5

B.直线口1与直线PA2的斜率之积为［

C.存在点P满足NEP£=90°

D.若AFiPB的面积为4而，则点P的横坐标为上花

10.(2024•广东广州二模)双曲线具有如下性质:双曲线在任意一点处的切线平分该点与两

22

焦点连线的夹角.设。为坐标原点，双曲线C喘-与=10>0)的左、右焦点分别为尸1/2,

右顶点A到一条渐近线的距离为2,右支上一动点尸处的切线记为/,则()

A.双曲线C的渐近线方程为尸号x

B.双曲线C的离心率为争

C.当尸尸轴时，甲理=竽

D.过点F［作凡K，/,垂足为K,QK|=2而

11.(2024•新高考/,11)造型7可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知

曲线C过坐标原点O,且曲线C上的点满足横坐标大于-2,到点尸(2,0)的距离与到定直线

x=a(a<0)的距离之积为4,则()

A.〃=-2

B.点(2a,0)在曲线C上

C.曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点(沈,词在曲线C上时,次<-47

十/

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.(2022・全国甲，文14)设点/在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在O/上，则。/的方

程为.

13.圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后,反射光线经过

另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物

22

线的对称轴.已知椭圆C：a+方=1(心6>0)过点(3,1).由点尸(2,1)发出的平行于X轴的光线

经过抛物线G：y2=16x反射到椭圆C上后,反射光线经点(-4,0),则椭圆C的方程

为.

14.已知抛物线Z-.x2=4y的焦点为凡圆尸犹2+什-1)』4与抛物线Z在第一象限的交点为

则m=gFAB周长的取值范围为.

四'解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.(13分)已知点网｝,0),直线/:x=3动点尸到点F与到直线I的距离相等.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

⑵过轨迹C上一点〃(3,迎)作圆(x-2)2+f=i的两条切线，分别与轨迹C交于异于〃点的

43两点，求M即

16.(15分)已知椭圆，+3=1(心6>0)的左、右焦点分别为尸的,离心率为串过点尸2且斜

率不为0的直线与椭圆交于A,B两点,AF1/F2的周长为4+2V3.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设O为坐标原点，求|雨+砺|的取值范围.

2

17.(15分)已知椭圆产r今+产=1的右顶点为/,点M(xo,yo)是椭圆尸上异于/的一点,〃AUx

轴于点Nf是〃N的中点，过动点M(xo,yo)的直线l:x^+4y0y=4与直线48交于点C.

(1)当xo=|时，求证:直线I与椭圆P只有一个公共点；

(2)求证:点C在定直线上运动.

18.（17分）（2024・九省联考）已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线C于

A,B两点，过点尸与直线/垂直的直线交抛物线C于D,E两点,其中点B,D在x轴上方

分别为/5QE的中点.

⑴证明:直线上W过定点；

（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求AGMN面积的最小值.

22

19.（17分X2024•湖南长沙模拟）定义一般地，当拉0且屏1时，我们把方程会+鑫="。>6>0）

22

表示的椭圆Q称为椭圆a+a=1（Qb>0）的相似椭圆.

（1）如图,已知点尸（苗,0）尸2（b,0）〃为OO：N+y2=4上的动点,延长为/至点N,使得

也W|=|〃Ri|,EN的垂直平分线与尸2N交于点尸，记点P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;

（2）在条件⑴下，已知椭圆Q是椭圆C的相似椭圆，跖,M是椭圆Q的左、右顶点点。是

Q上异于四个顶点的任意一点，当4e2（e为曲线C的离心率）时,设直线。跖与椭圆C交

于点4及直线QNi与椭圆C交于点。，瓦求恒用+的值.

专题过关检测六解析几何答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.B解析因为椭圆9+《=1的长轴长为6,所以椭圆的焦点在了轴上，且加=32=9,所以椭

圆的离心率为等=|.

2.B解析设/(RM),5(x2,”),由题意知警=4,由抛物线的焦半径公式得

|叫=8+2)+(&+2)=2'^^+4=2、4+4=12.故选口

3.D解析双曲线宏-a=1(心0/>0)的渐近线方程为产壬9,即即26x=0.

圆的方程/+产10尸0可化为X2+(J_5)2=25,则圆心为(0,5),半径为5,

圆心到渐近线的距离为［8之,由弦长公式可得8=2125-弄,

化简可得b2=ya2,-'-c2=a2+b2=ya2,JS'Je=^=|.

4.C解析根据入射光线与反射光线的关系，分别作出关于NQBC的对称点G,H,连

接GH灰BC于D,则点D即为所求,如图.

由题意知/C所在直线方程为尸x+3尸(-1。,设G(x,y),

仁=%+3

则F2'解得x=-3,y=2,即G(-3,2).

1%+1=-15

由BC所在直线方程为>=-x+3,£(l,0),同理可得”(3,2),

所以直线G"的方程为歹=2.

联立%二一+3,解得x=i,片2,即。(1,2).

5.B解析抛物线产=h中,°=4,其焦点厂(2,0),准线方程x=-2,过点/,瓦尸作准线的垂线,

垂足分别为(图略).

由抛物线定义可知,|/尸|+田尸|=MM+|8N|.

而尸恰好为的中点，故尸火是梯形/BMW的中位线，故MM+但M=2|PR|,

又尸(1,1),故1PAi=1+卜3,

所以月+田/1=2x3=6.

6.B解析由题意知M1(口0)血(见0)以0,6),

22

则BA^BA2=(-a,-b),(«,-/))=-a+b=-1,®

,1,_1用2」_02-1)2_1b2

即从等②

联立①②，解得.2=9,左=8.故选B.

7.B解析易知圆G的圆心Ci(-2,0),圆G的半径为尸1=1.圆G的圆心G(2,0),半径为

r2=7.|CiC21=4<|n-n\,

所以圆G内含于圆Q.

设圆C的半径为凡则｛因二L

故|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=4,

故圆心c的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为a,c2.

设该椭圆的方程为《+《=1(。>6>0),焦距为2c(c>0),

贝2〃=8,可得。=4;由2c=4,可得c=2;b=Va2-c2=2V3,

所以点C的轨迹方程为最+*1.

ioiz

由国•领=0,得CM±CiM,S.\C^M\=l,

由椭圆的几何性质可得1Mlmm=6C=2,故|由|mm=/司扁/取|2=百.

8.A解析因为在A/台。中48=/C=4,所以8c边上的高线、垂直平分线和中线合一,

A

则其“欧拉线”为A/BC边BC的垂直平分线AD.

因为点3(-1,3),点C(4,-2),

所以o(|；).

因为直线BC的斜率为号=-1,所以3c的垂直平分线的斜率为1.

-1-4

所以5c的垂直平分线方程为j-|=x-|,即x-y-1=0.

因为“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切，

所以圆心伍止3)到“欧拉线”的距离为上詈十，可得厂=鱼.因为圆心(a,*3)到直线

x-y+3=0的距离为电浮=3/，所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为

3V2-V2=2V2.

二'选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BD解析由题意得。=5力=2有,°=有产1(-芯,0)产2(花,0)/1(-5,0)3(5,0),短轴一个顶

点S2(0,2V5),\PFi|+\PF2\=2a=l0,A错误；

设尸(无，顼则日+东1，1=20(点),

皿1鹏2=喜x专=为=20(1<)x木=[,B正确；

因为tan/。为凡=需=芸=所以0°</。昆尸2<45°,从而ZF1B2F2=2Z

\UD2\ZV5Z

0&B<90°,而P是椭圆上任一点，当尸是短轴端点时NEPF2最大,因此不存在点P满足

NEPF2=90°,C错误；

S&PF[F?一3尸i尸211ypl=西网=4相网=4,则噂+||=l,xp=±V5,D正确.

22

10.ACD解析对于A,由双曲线C:京-%=1。>0）可知。=2低右顶点/（2祈,0）,其渐近线

方程为了=与乎,由右顶点A到一条渐近线的距离为2,不妨取渐近线法-2圆=0,则

:黄：：=2,解得6=逐,故双曲线C的渐近线方程为了=上系x=号%,A正确；

对于B,由。=2有力=但得c=J（2俑2+（有）2=5,故双曲线。的离心率为£=*=*B

错误；

对于C,由c=5可知凡（5,0）,当尸尸2”轴时，将x=5代入葛一（=1中，得产5x（弟1）,所以

y=土当即得|尸尸2尸亭由于P在双曲线右支上，故=-^,C正确；

对于D,如图，连接尸入并延长交EK的延长线于点E,

由题意知『K为NEPE的角平分线，因为F,K1/,所以|「人|=,K为RE的中点，又O为

R&的中点，故QK|三尸闺三（|尸印|「7切）=!（甲/1卜干「2|）=1'20=2伤,口正确.

故选ACD.

11.ABD解析:曲线C上的点到点尸（2,0）的距离与到定直线x=a（a<0）的距离之积为4,

而点。在曲线C上，点。到点尸的距离为2,到定直线x="（"0）的距离为图,.：2—（/）=4,

；.a=-2.；.A正确.

设点M（x,y）为曲线C上任意一点，则x>-2.由点/到点尸（2,0）的距离与到定直线x=-2的

距离之积为4,可得曲线C的方程为（X+2）7（X-2）2+y2=4（x>-2）.

将点（2夜,0）的坐标代入上述方程式左边，有（2夜+2）J（2近-2）2+02=4=右边,.：点（2迎,0）

在曲线C上，.:B正确.

由(x+2)jQ-2)2+y2=4(x>-2),得曲线C的方程为炉=(2)2«一2)2@>-2)设

而)=(展)2-(x-2)2(x>0),则/(X)=-2M；X：；；3"6)(x>0).令8(丫)=/+4/-16@>0),则g((x)=3x2+8x

.：在区间(0,+8)内,g(x)恒大于0..：函数g(x)在区间(0,+co)内单调递增.

又g(l)=-ll<0,g(2)=8>0,.JxiC(l,2),使得g(xi)=0..：当o<x<xi时,g(x)<0/(x)>(V(x)单调

递增，当X>X1时,g(x)>0/(x)<0於)单调递减..次x)在X=X1处取得最大值，即当X=X1时产取

得最大值，且产的最大值为人X1).又於1)次2)=1,・：产的最大值大于1,即Vmax>l.・：曲线。

在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.

当点（xo』o）在曲线C上时，有羽=（：J2-（X（）-2）2W（-，）2,.JoW：（xo>-2）,・：D正确.

uXQ+ZXQ+ZXQ+Z

故选ABD.

三'填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分

I2.(x-1)2+O+1)2=5解析(方法1)设/(3,0)f(0,l),则线段Z2的垂直平分线方程为

4=3(%-|),即y=3x-4.

二注。解得X=1,

由

y=-1

即圆心〃■的坐标为(1,-1).

设。/的半径为r,

贝！］^=（3-1）2+12=5.

故所求。Af的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.

（方法2）设圆心M（a,l-2a）,OM的半径为r,贝！］^=（4/-3）2+（1-20）2=（0-0）2+（1-2^-1）2,

整理可得-10。+10=0,即a=l.

则圆心必1,-1),故所求OM的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.

13.椅+《=1解析由题设知,抛物线G：产⑸的焦点为(4,0),

lo2

由点尸(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线G反射后必过点(4,0),再经过椭圆C反

射经过(-4,0),

可知(4,0卜(-4,0)为椭圆C的两个焦点,

故c=4,而(3,1)在椭圆C上,

2+工=1，二；8,即椭圆0的方程为4+1=1.

由次十y4可得

♦52_16,

14.2(4,6)解析如图所示.

由卜2+(y-1)2=4,解得｛;_，'故m=2.

\x>0,y>0,

(X—「(Xt,2、

由｛/=4y,解得［y=所以"(代).

%=t,Y=t

由.%2+(y-1)2=4,解得,=；+在笆所以5&1+返/1

由抛物线的定义，知4F=/C,

AFAB的周长=FA+FB+AB=AC+AB+BF=BC+2=y/¥i^+4.

因为当(0,2),所以14-/+46(4,6).

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.解(1)设点尸(x,y),根据题意得=|x+1|,

化简得动点P的轨迹C的方程为j2=|x

(2)S*A/(3,V2),(x-2)2+j72=l,Zx=3即圆的一条切线力(3,-鱼).

设过M的另一条切线斜率为扁件0,则切线方程为广金=左(>3),又设5(修/1).

y-V2=k(%-3),

得/品+答2=。,

由方程组■22

y5

••V2+J；I=^,JI=^

;直线为下历=3-3),其与圆相切,

,|2/c-0-3fc+V2|1.，鱼

一千=1/"=不

",-yi=［.：'8满足j2=|x,•

.:荏=(裳，¥),.：［明=|祠考.

'2a+2c=4+2V3,

16.ft?(1)由题意得c_V3

a~~5

(a—2

解得｛：行故"=4-3=1.

所以椭圆C的方程为£+俨=1.

(2)因为尸2(V5,0),所以设直线48的方程为x=my+V3^4(xi,yi),S(X2?^2).

住+y2=1

由,4'消去工得(加2+4»2+2百加y-1=0,

久=my+V3,

2V3m

"以=干,

(为丫2=-而-

又。4+。8=(修+工2/1+'2)=(即1+町2+27^/1+/),所以|。4+OB\

22

J(my1+my2+2A/3)+(yt+y2)

3

令e(0,；］,所以萼%=焙等=苧=36户+31.

m2+4V，4」"(4+4)2(m2+4)2

t2

因为二次函数y=36/+3t在te(0月上单调递增，所以y=36/2+3/e(0,3],

37n2+48

因此\OA+(m2+4)2m=0时取得最大值),

所以|。4+。8|£（0,2F].

%2

17.证明（1）不妨设/＞0,当配、时，由/+说=1得”三,

所以直线I的方程为*+4x3=4,即

55o4

356

y=-X+-X--

84

由

解得5

4

X2+21-

丁y-

y-5

故直线/与椭圆尸

所以直线/与椭圆P只有一个公共点.

（2）因为M（x。）。）（不妨取次＞O）,"AUx轴f是KN的中点，所以8（%o考）

yp

因为次＞0,所以无中2,所以直线48的方程为vT（x-2）,即y=-^x-2）,

%0-N4%0-N）

作0%+4yoy=4,

联立Jy=%(02)得保+2R-2xo)x=4xo-8+4y*

【2(XQ-2)'

22

又因为?+羽=1,所以羽=吟，

因此%Q+2（1-4）-2£0x=4xo-8+4（l-?）,即为o-2）2x=-（xo-2）2,

所以x=-2,所以点C在定直线x=-2上运动.

18.（1）证明由抛物线C:f=4x,得/（1,0）,因为直线与直线DE垂直，所以两条直线斜率

都存在且不为0,

设直线4民。£分别为x=加了+1/=加2歹+1,有加1加2=-1,

消去x可得产-4机iy-4=04=16m：+16>0,故H+H=4加1/1竺=-4,

贝!]xi+X2=m\y\+1+m1J2+1=mi(yi-Hv2)+2=4mj+2,

故手=2/+1,空=2如，

即〃（2相+1,2如）,同理可得N（2m；+1,2加2）,

y

当2田+厚2m|+l时，则痴尸2翦鲁募+1俨2吟D+2加,

x2m^+l+2m1(62+61)x2mj+1-27nlm2-2近

即y=~F~K;v_2m?-1)+2m1=-

/啰-呜\1/牝\+恤m2+ml7712+恤m2+ml7712+团1

xl-2mim2

m2+mlm2+ml

由如加2=-1,得>=-----1+2=_1_@一3),故x=3时，有y=-(3-3)=0,此时MV过定

7712+mi7712+mim2+ml^2+ml

点，且该定点为(3,0),

当2喑+1=2痛+1时，即讨=m|时,又如加2=-1,即m\=±\时，有/跖门:=2+1=3,亦过定点

(3,0),故直线过定点，且该定点为(3,0).

(2)解由4(xi,人1)乃(%2必),£(工3必),。(工4/4),

贝！］〃瓦由yj=4xi,於=4x2,得厂号之。-口)+歹1=~^-------7^+%丫为二

%3-%i12yiyi4丫3+丫1ys+yiys+yi

T~~4

4%十

为+yiys+y?

(上+辽，

同理可得/如：了=2+2詈，联立两直线，即为?】弋7】有义+2詈=/+

y4+y274+72Iy=钮_|_丫2y4ys+yiys+yiy4+y2

V74+72丫4+丫2'

言？即4论4+>2)+71y3。4+〉2)=4论3+>1)+>2Mp3+)1),有尸尔，；；：,；，：3^,，，),

、4+丫24(y4+y2-ys-yi)

由w=-4,同理为必=-4,

故%=y2y4(73+月)少。3(74+丫2)y2y3y4+y。2y4-yiy3y4-y，2y3-4(y2+y4-yi-y3)

=1,故XG=」,

'’4(丫4+丫2少3少1)