2025高考数学一轮复习：概率与统计的综合问题【含答案】

对点练78概率与统计的综合问题

【A级基础巩固】

1.（2024.西安调研）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生,

统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）按照分层随机抽样，从［40,50）和［80,90）中随机抽取了9名学生.现从已抽取

的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试•记推荐的3名学生来自［40,50）的

人数为X,求X的分布列；

（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布N（〃，/），其中，〃

为周末运动时间的平均数；，。近似为样本的标准差s,并已求得s-14.6.可以用

该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周

末运动时间在［43.9,87.7］之外的人数为匕求P（y=3）（精确到0.001）.

参考数据1：当t〜N@,『）时，—+。）心0.6827,尸3一〃+

2。户0.9545,P〃一〃+3。）〜0.9973.

参考数据2：0.81869=0.1651,0.18143^0.0060.

2.(2024.长沙调研)随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满

足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果

肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱.某“闹闹”水果店对某

品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：

试销单价式元)

产品销量y件

(1)经计算相关系数厂七一0.97,变量x,y线性相关程度很高，求y关于x的经验

回归方程；

(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值

大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做

残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望.

参考公式：线性回归方程中’,二的最小二乘法估计分别为,=

鼻(%-x)(y-y)

,>a=y-bx

N(x；-x)

3.为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用

寿命进行调查统计，随机抽取A型和3型设备各100台，得到如下频率分布直方

图:

频率

辆

().00()6--------------------------

0.0005-----------------------------------

0.0004——-I--------

0.00()3--------------------------------------------

0.00()2--------

ol-----------------------------------►

15002000250030003500400()使用寿命/小时

A型

B型

（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表:

超过2500小时不超过2500小时合计

A型

B型

合计

根据上面的列联表，依据a=0.01的独立性检验,能否认为使用寿命是否超过2500

小时与型号有关？

（2）用分层随机抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从

这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望;

（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时

才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备（更换设备时间忽略不计），A

型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时

耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应

选择哪种型号的设备，请说明理由.

H（od-be）2

附：性=（.小（.小（.），n=a+b+c+d.

八（a十。）（c十（a十c）（。十d）

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

【B级能力提升】

4.(2023-日照模拟)第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举

办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.

wFIFAWORLDCUP

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、

中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来

2

扑点球，而且门将即使方向判断正确也有)的可能性扑不到球.不考虑其他因素，

在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球

的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到

球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去.假设传出的球都

能接住.记第九次传球之前球在甲脚下的概率为处，易知pi=l,以=0.

①证明：］Q—为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较pio与qio的大

对点练78概率与统讨的综合问题答案

1.解(1)运动时间在［40,50)的人数为3000X0.02X10=600.

运动时间在［80,90)的人数为3000X0.01X10=300.按照分层随机抽样共抽取9

人，则在区间［40,50)内抽取的人数为6,在区间［80,90)内抽取的人数为3.

.•.随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X-0)-eg-84'P(X—1)—eg—14'

P(X=2)=警点,小=3)=普=东

所以随机变量X的分布列为

X0123

13155

P

84142821

(2)//=r=35X0.1+45X0.2+55X0.3+65X0.15+75X0.15+85X0.1=58.5,L

5^14.6.

43.9=58.5—14.6=〃-a,

87.7=58.5+14.6X2=〃+2a

)),0.6827+0.9545

•••P(43.9WW87.7)=尸〃一aWW〃+2。)勺------〜----------=0.8186,

/.P(t<jn—<7或t>〃+2o)=l—0.8186=0.1814,

0.1814).

39

.*.P(y=3)=d2X0,1814X0.8186

^220X0.0060X0.1651^0.218.

4,,‘口-3+4+5+6+7

2.解(1)由已知，付x==5

20+16+15+12+6

y==13.8,

5

石孙=313,135,

55

A邑(xi—x)Cy,-y)Y^xiyi—5xy

则,='=5一5―

石(X/-x)2石君一5/

313—5X5X13.832

-135-5X52-103.2,

所以a=y—6x=13.8—(—32)X5=29.8,

所以丁=-3.2%+29.8.

(2)当尤=3时,y=20.2；当％=4时,y=17；

AA

当x=5时，y=13.8；当龙=6时，y=10.6；

当x=7时，y=7A.

因此该样本的残差绝对值依次为0.2,1,1.2,1.4,1.4,

所以“次数据”有2个.

“次数据”个数X可取0,1,2.

◎1CgC」3

p(x-o)-crio,P(X—D—eg―5,

p(X=2)=野=旦

力egW

所以X的分布列为

X012

133

P

10510

则数学期望E(X)=0X1X|+2X^=1.

3.解⑴由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有100X(0.0006+0.000

5+0.0003)X500=70台，则A型不超过2500小时的有30台，同理，3型超过

2500小时的有100X(0.0006+0,0003+0.0001)X500=50则3型不超过

2500小时的有50台.列联表如下：

超过2500小时不超过2500小时合计

A型7030100

B型5050100

合计12080200

零假设为Ho：使用寿命是否超过2500小时与型号无关,

2,200X(70X50—30X50)2

因为100X100X120X80^8,333>6,63?=xo.oio,

所以依据a=0.01的独立性检验，我们推断Ho不成立，

即认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.

(2)由(1)和分层随机抽样的定义可知A型设备有3台，3型设备有5台,

所以X的取值可能为0,1,2,3,

__cl_A__clci_i5

Pp(rXY―0m)一翼一28,尸p(rXy—1n)—以—28'

”_2L凶一些__Cl_X

P(X―2)—以—56'尸p(rXy—3)1—以―56'

所以X的分布列为

X0123

515151

P

28285656

5,15,15,19

E1(X)=0X—+1X—+2X—+3X—=-

zo2.6JOJOo

⑶由频率分布直方图中的频率估计概率知，A型设备每台更换的概率为0.3,所

以10台A型设备估计更要换3台；3型设备每台更换的概率为0.5,所以10台5

型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用71=(10+3)X1+10X2X0.75X2

500X10-4=16.75(万元)，选择B型设备的总费用y2=(10+5)X0.6+

10X6X0.75X2500X10-4=20.25(万元)，

所以选择A型设备.

4.解(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为

门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0,1,2,3,易知X〜3，

所以P(X=幻=&*&"乂［1)3卜,k=0,1,2,3,

故X的分布列为

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E(X)=3X^=3.

⑵①证明第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,

则当时，第冏一1次传球之前球在甲脚下的概率为外.1,第〃一1次传球之前

不在甲脚下的概率为

则pn=pn-lX0+(l—pn-l)X^

1.1

=一中"-1十，，

1

即Pn"=-3Pn-l—2

又pi—g=l,所以卜j}是以|为首项，T为公比的等比数歹工

1

+-

②由①可知=3

所以小—Ld+铲手

112

所以qio=］（l一210）=］与一

C1）」3，

故pio<qw.

多选题加练（十）讨教原理、概率、随机变量及其分布

1.CD［（x+~j的展开式共有7项，A不正确;

其通项Tr+l=C&x6-{|；=C62%6-2r,

令6—2r=0,解得r=3,

所以常数项为Cg23=160,B不正确；

令x=l,则（1+J6=36=729,C正确；

所有项的二项式系数的和为26=64,D正确.］

2.BCD［甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生,

所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确；

甲得到A卡片的概率为看=不C正确；

甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为

C1A?1

7J-=1，D正确.］

3.ABD［由分布列的性质，可得焉+。+6=1,

解得a+b=y,①

因为E（X）=1,

所以0Xa+lX6+2xl=l,

o

即。号2，②

12

联立①②解得a=7o,b=%3

1211

所以D（X）=（0—1）2X-+（1—l）2X-+（2—l）2Xg=^,

因为y=2X—1,所以E（y）=2E（X）—1=1,

14

D（y）=4D（X）=4X-=-]

4.BC[对于A,因为

所以尸（A3）WP（3）=0.5,A不正确；

对于B,因为AGB,所以事件A,3不可能同时发生，所以尸（A4）=0,则P（B|A）

P（BA）一〜

=p（A）=0<0.5,B正确；

对于C,因为AG3,所以事件A,3不可能同时发生，所以P（AB）=0<0.25,C

正确；

对于D,因为AGB,所以P（AB）=P（A）.

p（AB）P（A）

若A=0,则P（A|_B）=p（B）—=p=0'D不正确.]

5.BCD[若该家庭中有两个小孩，样本空间为。=｛（男，男），（男，女），（女,

男），（女，女）｝,“=｛（男，女），（女，男）｝,N=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝,

131

MN=｛（男，女），（女，男）｝,则M与N不互斥，P（M）=2，P（N）=a，P（MN）=Q

于是尸（MN）WP（M）P（N），所以M与N不相互独立，则A错误，B正确；

若该家庭中有三个小孩，样本空间为。=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，

男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝,

〃=｛（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），

（女，女，男）｝,

N=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝,MN='（男,

男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)},则M与N不互斥，

313

p(M=a，^(A0=2>P(MN)=W，

于是P(“V)=P(M)P(N),

所以〃与N相互独立，则C和D均正确.]

6.BC[对于A,第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；

同理，第2,3,4封信各有3种投法.

根据分步乘法计数原理，共有3X3X3X3=81种投法，故A错误；

对于B,先排4本不同的数学书有A?种排法，再将2本不同的物理书插空有Ag种

排法，所以共有A3Ag=480种不同的排法，故B正确；

对于C,因为X〜N(0,<?),且P(XW2)=0.8,

所以P(0<XW2)=P(XW2)—P(XW0)=0.8—0.5=0.3,故C正确；

对于D,因为X〜5(10,0.7),

所以D(X)=10X0.7X(1-0.7)=2.1,

所以。(2X+1)=22XD(X)=4X2.1=8.4,故D错误.]

7.AD[X〜N(80,36),故〃=80,4=36,(r=6,

对于A,根据正态分布的对称性得到P(X>8O)=3，正确；

V一QQ

对于B,二~服从标准正态分布，错误；

对于C,P(X<80)=1,则y〜《6,目，

故D(y)=6X；X(l—；)=|,错误；

对于D,P(Y>3)=C图X(1―习2+

%)晨(1-0+%)6=*正确.]

42

8.AC[从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为正=予则Xi〜

ikE(Xi)=3x|=|,D(Xi)=3x|x|=||,

从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X2,则X2的可能取值是0,1,2,

3；

1

-

则P(X2=0)=

do-6?

P(X2=D=瞽H，

P(Y_9x_cic|_A

P(X2-2)—c%-10

p(Y_刀4」

P(X2—3)—C3-30

所以随机变量X2的概率分布列为

X20123

1131

p

62To30

数学期望E(X2)=0X-1+lX^+2X^+3X^=|；

D(X2)=(o-DM+(1—§2只+(2—§2温+(3_§2*4=另

故E(X