2025高考数学一轮复习：立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题（学生版）

第07讲立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题

（9类核心考点精讲精练）

I喀.考情探究•

立体几何中的动点轨迹问题，是一个备受关注的重要专题，它在各级各类考试中占据一席之地，特别

是在高考中亦常有所见。此类题型不仅是检验学生空间想象能力、思维能力和创新意识的有效手段，也是

培养学生数学核心素养的重要途径。

在高考复习备考过程中，其试题常以选择、多选、填空等形式呈现，设计巧妙，注重知识间的交汇与

融合，题型新颖灵活，旨在全面考查学生的综合素质。通过此类题型，不仅能够检验学生对各部分知识间

的纵向和横向联系的掌握程度，还能够激发学生的创新意识和创新能力，渗透数学思想方法，充分体现新

课程标准的要求和数学核心素养的培育目标。

然而，由于这类问题通常涉及较为复杂的空间几何体结构特征，对于许多学生而言，确实存在一定的

挑战和难度。

12•考点梳理

考点7截面问题

考点8轨迹、截面、动点、范围多选题踪合

考点9轨迹、截面、动点、范围大题综合

知识讲解

方法点睛1：对于立体几何的综合问题的解答方法：

1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

2、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动

点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、

性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；

4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有

解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

方法点睛2：立体几何中的轨迹问题：

1、由动点保持平行性求轨迹.

（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.

2、动点保持垂直求轨迹.

（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂

直关系转化为平行关系求轨迹.

3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹.

（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；

（2）利用空间坐标计算求轨迹.

4、由动点保持等角（或定角）求轨迹.

（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面；（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；（3）利用空间坐标

系计算求轨迹.

5、投影求轨迹.

（1）球的非正投影，可能是椭圆面；（2）多面体的投影，多为多边形.

6、翻折与动点求轨迹.

（1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用空间

坐标运算求轨迹.

考点一、轨迹形状

典例引领

1.（浙江，高考真题）如图,斜线段AB与平面1所成的角为60。，B为斜足，平面。上的动点尸满足ZPAB=3O。,

则点尸的轨迹是

2

C.椭圆D.双曲线的一支

2.（北京•高考真题）平面a的斜线A8交a于点8,过定点A的动直线/与A3垂直，且交a于点C,则动

点C的轨迹是（）

A.一条直线B.一个圆C,一个椭圆D.曲线的一支

3.（北京・高考真题）如图，在正方体42C。-A4cR中，P是侧面8月C。内一动点，若尸到直线BC与直

线G2的距离相等，则动点尸的轨迹是（）

C.双曲线D.抛物线

4.（天津•高考真题）如图，定点A,8都在平面。内，定点Pee,尸C是a内异于A和8的动点,

且「CLAC,则动点C在平面a内的轨迹是（）

A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点

C.一段弧，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点

5.（重庆•高考真题）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的

平面内的轨迹是（）

A.直线B,椭圆C,抛物线D,双曲线

6.（浙江•高考真题）如图，AB是平面“的斜线段，A为斜足，若点P在平面4内运动，使得MBP的面积为

定值，则动点P的轨迹是

C.一条直线D.两条平行直线

7.（重庆•高考真题）若三棱锥的侧面ABC内一动点P到底面的距离与到棱的距离相等,

则动点P的轨迹与VA6C组成图形可能是（）

3

AA

8.（北京•高考真题）如图，动点尸在正方体ABC。-A耳G2的对角线2,上，过点P作垂直于平面88QQ

的直线，与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=/（x）的图象大致是（）

即时性测I

1.（2023•浙江•一模）已知线段A3垂直于定圆所在的平面,B,C是圆上的两点，//是点3在AC上的射影,

当C运动，点H运动的轨迹（）

A.是圆B.是椭圆C.是抛物线D.不是平面图形

2.（2023•云南保山•二模）已知正方体ABCD-A耳G2,。为上底面A4clp所在平面内的动点，当直线。。

4

与。4的所成角为45。时，点。的轨迹为（）

A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆

3.（2024•广东梅州•一模）如图，正四棱柱ABCD-A4GR中，的=2AB=2,点尸是面上的动点,

若点P到点2的距离是点尸到直线AB的距离的2倍，则动点P的轨迹是（）的一部分

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

4.（2023•全国，模拟预测）已知空间中两条直线4、4异面且垂直，平面।且4ua,若点尸到乙、4距

离相等，则点P在平面a内的轨迹为（）

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

5.（2023•云南文山•模拟预测）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）

是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角/不同时,可以得到不同的截口曲线，

它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥轴

截面半顶角为截口曲线形状与6,。有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当6=a时，截口曲线

为抛物线：当夕＜。时，截口曲线为双曲线.其中6,现有一定线段其与平面方所成角。（如

C.当°=二，7=^时，「是抛物线D.当夕=?,/=?时，「是圆

4434

6.（2024•浙江温州•一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱ABC-AqG，8E=2EC，点尸是侧棱A4上

的动点，且AP=2CG，H为线段FB上的动点，直线CHc平面AEG=M，则点M的轨迹为（）

5

4G

R

A.三角形（含内部）B.矩形（含内部）

C.圆柱面的一部分D.球面的一部分

7.（2023•贵州黔西•一模）在正方体AQ中，点”为平面A网A内的一动点，4是点M到平面AOAA的距

离，&是点M到直线2C的距离，且4=几4（/1>0）（几为常数），则点M的轨迹不可能是（）

A.圆B,椭圆C.双曲线D.抛物线

考点二、轨迹长度

典例引领

1.（2023•湖北省直辖县级单位•模拟预测）已知正方体ABCO-ABIGA的棱长为2,M为棱3c的中点，N

TT

为底面正方形ABCD上一动点,且直线MN与底面ABCD所成的角为,则动点N的轨迹的长度为.

2.（2024・四川南充•二模）三棱锥A-3CD中，AB=AC^AD^4,BC=CD=DB=6,尸为△BCD内部及

边界上的动点，AP=2A/2,则点尸的轨迹长度为（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

3.（2024・全国•模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD的体积为逑，底面ABCD的四个顶点在经过球心的截

3

TT

面圆上，顶点尸在球。的球面上，点E为底面ABCD上一动点，PE与P。所成角为则点E的轨迹长度

0

为（）

A.岳B.4扃C.坐D.孚兀

7T

4.（2。23•湖北襄阳•模拟预测）如图，二面角f的大小为“已知42是,上的两个定点，且皿=4,

冗

C"DSAB与平面9所成的角为于若点A在平面80内的射影H在海⑦的内部（包括边

界），则点”的轨迹的长度为（）

6

aC

671

D.

2。弋

5.（2024•江西・二模）已知正方体43。-4用弓2的棱长为4,点/满足6/=3〃。，若在正方形为与弓，

内有一动点尸满足3P//平面AM，，则动点尸的轨迹长为（）

A.4B.>/17C.5D.4近

6.（2023•江西赣州•二模）在棱长为4的正方体48。-A耳G2中，点尸满足9=4”，E,歹分别为棱

BC,C。的中点，点。在正方体ABC。-4瓦。19的表面上运动，满足A。//面的，则点2的轨迹所构成

的周长为（）

A,也B.2历C.2D.晅

333

7.（2024・广西南宁•一模）在边长为4的菱形ABCD中，ZABC=120°.将菱形沿对角线AC折叠成大小为30。

的二面角B'-AC-D.若点E为B'C的中点，尸为三棱锥方-ACD表面上的动点，且总满足AC，£F,则

点/轨迹的长度为（）

A.4+屈-贬B.4+.+&C.4+底-屈D.4+#+夜

22

8.（22-23高三下•江苏南京•阶段练习）如图，在矩形ABC。中，AB=y[2AD=4,E,F,G,H分别为A3,

BC,CD,AD的中点，AC与3。交于点。，现将△AE",△BEF,ACFG,£>G”分别沿EH,EF,

FG,GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，8与C重合，重合后的点分别记为M,N,。为

肱V的中点，则多面体MVEFGH的体积为;若点尸是该多面体表面上的动点，满足尸Q，ON时，点尸

的轨迹长度为.

7

即时检测

1.（2024•江苏•一模）在棱长为2as>0）的正方体ABC。-A4G2中，点M，N分别为棱AB,QG的中点.已

知动点尸在该正方体的表面上，且尸ATPN=0,则点P的轨迹长度为（）

A.12aB.12mC.24〃D.24兀〃

2（2023•河北•模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正

______JT

四棱锥）P—A3CD的底面正方形边长为2,其内切球。的表面积为动点。在正方形A5CD内运动，且

满足OQ=OP,则动点。形成轨迹的周长为（）

2兀3兀4兀5兀

A.—B.—C.—D.—

11111111

3.（2024・四川成都•三模）在棱长为5的正方体ABC。-A瓦G2中，。是中点，点P在正方体的内切

球的球面上运动，且CPLAQ,则点尸的轨迹长度为（）

A.小式B.2百兀C.TD.5兀

4.（2024•辽宁•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体A3CD-A4CQ1中，已知N,尸分别是棱CA，

AA，8C的中点，。为平面夕的V上的动点，且直线。片与直线的夹角为30。，则点。的轨迹长度为（）

71

A.-B.兀C.2兀D.3兀

2

8

5.（23-24高一上•浙江绍兴•期末）已知点P是边长为1的正方体AB。-A4G2表面上的动点，若直线AP

与平面ABCD所成的角大小为J,则点尸的轨迹长度为（）

4

A.3&B.2&+7IC.^^（4+兀）D.2>/2+—

6.（2024•陕西铜川•模拟预测）在正四棱台ABCO-ABIGD中，48=244=4百，AA[=y/10,P是四边

形ABCO内的动点，且A/=4,则动点P运动轨迹的长度为（）

5A/3TI4A/3TT5Azi兀

D.2缶

332

7.（2024•全国•模拟预测）在三棱锥A-BCD中，底面BCD是等边三角形，侧面A5D是等腰直角三角形，

AB=AD坨,P是平面内一点，且AP=1,若AC=#，则点P的轨迹长度为（）

A匝B.®C.也D.巴

3333

8.（2023•青海•模拟预测）在正四棱台ABC。-A4G2中，43=2?!,g=4百,朋=J16,点尸在底面ABCD

内，且4尸=4,则尸的轨迹长度是.

考点三、轨迹区域面积

典例引领

I____________________

1.（2023•四川成者B•三模）如图，A3为圆柱下底面圆。的直径，C是下底面圆周上一点，已知

TT

ZAOC=-,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足BCLAD,则点。的轨迹所围成图

形的面积为.

C

2.（2024・四川成都•二模）在所有棱长均相等的直四棱柱A与GR中，NBA。=60,点尸在四边形

明耳8内（含边界）运动.当GP=*CG时，点P的轨迹长度为g,则该四棱柱的表面积为（）

A.16+4A/3B.8+2括C.4+6D.4下

3.（2022•山东潍坊・三模）已知正方体A8CZ）-的棱长为1,空间一动点尸满足4尸，，且

NAPE=ZADBt,则tanZAPS,=，点尸的轨迹围成的封闭图形的面积为.

9

4.（2023•上海•模拟预测）正方体ABCD-ABIGA的边长为1，点必N分别为边的中点，p是侧面

ADRA上动点，若直线RW与面C/N的交点位于一C/N内（包括边界），则所有满足要求的点尸构成的图

形面积为

5.（2023,广西•一模）如图，在正方体ABCD-ABCA中，AB=2,尸是正方形ABCQ内部（含边界）的一

个动点，则（）

D\

C

A.有且仅有一个点尸，使得QP，瓦CB.〃平面CPG

C.若DP=；DB,则三棱锥尸-8月C外接球的表面积为16兀D.M为。2的中点，若与平面ABC。

7T冗

所成的角为一则点P的轨迹长为万

即时便测

1.（2024•四川成都•二模）在正方体ABC。-AMGR中，点尸在四边形4442内（含边界）运动.当

GP=?cq时，点尸的轨迹长度为空，则该正方体的表面积为（）

A.6B.8C.24D.54

2.（23-24高二上•北京平谷•期末）已知四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABC。，PA=PB=4^＞底

面ABCD是边长为12的正方形，S是四边形及其内部的动点，且满足PSW6,则动点S构成的区域面

积为（）

A.4岛B.12KC.247rD.24指

3.（2022・福建三明•模拟预测）已知正方体A8CZ）-A瓦G2中，AB=2百，点E为平面人出。内的动点，设

直线AE与平面48。所成的角为a,若sina=述,则点E的轨迹所围成的面积为.

10

4.（2024•北京延庆•一模）已知在正方体ABC。-44G2中，AB=l,夕是正方形ABC。内的动点，PA之尸。1，

则满足条件的点尸构成的图形的面积等于（）

11兀兀

A.-B.-C.—D.—

84168

5.（22-23高三上•江西抚州•期中）已知菱形ABCD的各边长为2,/。=60.如图所示，将ACD沿AC折起，

使得点。到达点S的位置，连接S3,得到三棱锥S-ABC,此时Sfi=3.若E是线段S4的中点，点歹在三棱

锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持AC则点尸的轨迹的面积为.

6.（2024•四川绵阳•三模）如图，正方体ABCO-AB'C'D的棱长为3,点M是侧面上的一个动点（含

边界），点P在棱CC'上，且|PC[=1.则下列结论不正确的是（）

A.若保持=则点〃的运动轨迹长度为gk

B.保持PM与3D垂直时，点〃的运动轨迹长度为2近

C.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为2M

99

D.当M在点时，三棱锥笈-M4P的外接球表面积为下兀

考点四、轨迹中长度的最值及范围

典例引领

1.（2022•青海西宁•二模）在棱长为3的正方体ABC£>-ABG2中，尸为△ACj内一点，若尸片。的面积为

—,则A尸的最大值为.

2

2.（17-18高二下•山西大同•阶段练习）已知正方体的ABC。-ABG2棱长为2,点跖N分别是棱3C,CR

的中点，点尸在平面内，点。在线段AN上，若尸M=如，则PQ长度的最小值为.

11

3.（23-24高三上•河北承德・期中）如图，在直三棱柱A2C-A4cl中，JLBC,=朋=4,,

若尸为空间一动点，且怛4|=而，则满足条件的所有点P围成的几何体的体积为若动点P在

侧面MGC内运动，且归闾=而，则线段3尸长的最小值为

即时检测

1.（2024•江西宜春・模拟预测）如图，在四面体ABCD中，VABC和ACD均是边长为6的等边三角形，DB=9,

则四面体ABCD外接球的表面积为；点E是线段的中点，点尸在四面体ABCD的外接球上运动，

且始终保持EF^AC,则点F的轨迹的长度为.

2.（2023.山东枣庄•二模）如图,在棱长为1的正方体ABCD-中，〃是A4的中点，点尸是侧面CDD©

上的动点，且.〃平面明C,则线段长度的取值范围为（）

12

3.（2023•陕西西安・模拟预测）已知正方体ABC。-的棱长为2vlp是正方形88。。（含边界）内

的动点，点尸到平面ABC的距离等于歧，则。，尸两点间距离的最大值为（）

3

A.273B.3C.3啦D.2n

考点五、轨迹中体积的最值及范围

典例引领

1.（2024•重庆・三模）已知棱长为1的正方体ABCD-481Gz）1内有一个动点跖满足=,且MB=1,

则四棱锥M-ADRA体积的最小值为.

2.（2023・福建龙岩•二模）正方体A8CD-A瓦G2的棱长为2,若点M在线段8G上运动，当AMC的周

长最小时，三棱锥M-C与，的外接球表面积为（）

A.47tB.8兀C.16兀D.32兀

即时检测

1.（2024•山东•模拟预测）如图，正方形ABCD和矩形AB所所在的平面互相垂直，点P在正方形ABCD及

其内部运动，点。在矩形ABE尸及其内部运动.设AB=2,AF=6,若以，尸E,当四面体外。石体积最

大时，则该四面体的内切球半径为.

2.（2024•山东青岛•三模）已知长方体ABC。一ABCB中，A8=2,8C=3,惧=4,点P为矩形内

一动点，记二面角P-AD-5的平面角为。，直线PC与平面ABCD所成的角为夕，若a=〃，则三棱锥

产-明Q体积的最小值为.

考点六、轨迹中空间角的最值及范围

典例引领

1.（2021•山东滨州•二模）在正方体A8C。-A£GR中，M是棱。2的中点，P是底面ABCD内（包括边

13

界）的一个动点，若〃平面ABG，则异面直线与AG所成角的取值范围是（）

兀717171兀

A.B.C.D.,7t

6,33,23

2.（2023•江苏盐城•三模）动点”在正方体ABCD-ABC，从点与开始沿表面运动，且与平面的距

离保持不变，则动直线AM与平面所成角正弦值的取值范围是（）

£V3

A.B.C.!在D.

3,3JV

3.（17-18高三上•江西鹰潭•阶段练习）如图，已知平面aB=l,A、2是直线/上的两点，C、D

是平面△内的两点，且D4，/,CBll,AD=3,AB=6,CB=6.尸是平面。上的一动点，且直线尸口,

PC与平面a所成角相等，则二面角尸-3c-。的余弦值的最小值是（）

4.（2024•陕西咸阳・模拟预测）已知正方形ABC3的边长为2,P是平面ABCD外一点，设直线PB与平面

ABCD的夹角为a,若PA+PC=2&,则a的最大值是（）

即时

1.（2021・湖南永州•模拟预测）已知正四面体A-BCD内接于半径为坡的球。中，在平面BCD内有一动

2

点P,且满足AP=4&，则忸尸|的最小值是;直线针与直线所成角的取值范围为.

2.（2023・河南•模拟预测）正方体48Cr>-A4GR的棱长为a,M为4月中点，尸为平面ABCD内一动点，

若平面用尸。与平面和平面ABCD所成锐二面角相等，则点P到C的最短距离是（）

A.—aB.-aC.—aD.a

325

3.（23-24高三下•青海西宁•开学考试）如图，正四面体ABCD的棱长为2,点E在四面体ABCD外侧,且AAED

14

是以E为直角顶点的等腰直角三角形.现以AD为轴，点E绕AD旋转一周，当三棱锥E-BCD的体积最小

时，直线CE与平面所成角的正弦值的平方为（）

D.3

12

考点七、截面问题

典例引领

1.（2024•江苏南京•模拟预测）已知SQ=2,底面半径QA=4的圆锥内接于球。，则经过S和。①中点的平

面截球。所得截面面积的最小值为（）

25-25万25c=

AA.7TB.—71C.—7CD.5兀

234

2.（2024•全国•模拟预测）在正方体48a>-ABC。中，E,尸分别为棱A耳，。，的中点，过直线跖的

平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为s,最大值为S,则±=（）

S

A«R2「廊n6

2255

3.（2024•广东广州•二模）用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台.根据祖晅原

理（"塞势既同，则积不容异”），推导出球台的体积/台=:也（33+34+/），其中小々分别是两个平行平

面截球所得截面圆的半径，场是两个平行平面之间的距离.已知圆台QQ的上、下底面的圆周都在球。的

球面上，圆台。。2的母线与底面所成的角为45。，若圆台上、下底面截球。所得的球台的体积比圆台。

的体积大9兀，则球O的表面积跖与圆台。02的侧面积S,的比值"的取值范围为.

4.（22-23高三下•湖北武汉•期中）在正四棱台ABCZ）-A4G2中，AB=2AtB],AA1-2V3,M为棱4G的

中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD截该正四棱台的截面面积是（）.

A.—B.C.10^D.672

42

5.（2024•北京丰台•二模）”用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，

可以得到不同的截口曲线利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出

15

两个相同的椭圆（图1）,光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图2是一个射灯投影的直观图，圆锥P0的轴截

面APB是等边三角形，椭圆。1所在平面为则椭圆0］的离心率为（）

D-T

即

1.（2024・四川泸州•三模）已知正方体ABCD-A4GR的棱长为2,尸为。A的中点，过A,B,尸三点作平

面a,则该正方体的外接球被平面a截得的截面圆的面积为（）

A13兀c16兀cCC1471

A.----B.-----C.3兀D.-----

555

2.（2024・云南曲靖•模拟预测）正方体A2CZ）-A4GR外接球的体积为4月无，E、F、G分别为棱

A与、AR的中点，则平面EFG截球的截面面积为（）

3.（2024•广西•模拟预测）在三棱锥V—ABC中，平面侬C,VA^l,AB=AC=BZVAC=~,

点尸为棱AV上一点，过点尸作三棱锥卜-ABC的截面，使截面平行于直线V®和AC,当该截面面积取得

最大值时，CF=（）

.710RV17_V5NA/13

3423

4.（23-24高二上•四川德阳•阶段练习）已知正三棱锥A-5co的外接球是球。，正三棱锥底边BC=3,侧

棱A5=26，点E在线段上，且BE=DE,过点£作球。的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）

业,3兀1171.971.

A.B.[2兀,3可C.——,4KD.——，4兀

444

5.（2024•重庆•三模）在三棱锥A-3CD中，为正三角形，ABC。为等腰直角三角形，BC±CE»BC=1,

AC=6则三棱锥A-BCD的外接球。的体积为；若点E满足BA=38E，过点E作球。的截面，当

截面圆面积最小时，其半径为.

考点八、轨迹、截面、动点、范围多选题综合

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典例引领

I_____________________

1.（2024•重庆•模拟预测）已知正方体A8CD-AAG2的棱长为2,M为的中点，N为ABCD（包含边

界）上一动点，乂为平面4耳上一点，且人四，平面ABCD,那么（）

A.若MN二应,则N的轨迹为圆的一部分

B.若三棱柱M的侧面积为定值，则N的轨迹为椭圆的一部分

C.若点N到直线与直线。C的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分

D.若与A8所成的角为：7T，则N的轨迹为双曲线的一部分

2.（2024•广东广州•模拟预测）在棱长为1的正方体A2CD-A4GB中，若点P为四边形BBQ。内（包括

边界）的动点，N为平面ABC£>内的动点，则下列说法正确的是（）

A.若2BP=PD\,则平面PAC截正方体所得截面的面积为日

7T

B.若直线QN与A5所成的角为则点N的轨迹为双曲线

C.若1M+|PC|=6,则点尸的轨迹长度为兀

D.若正方体AG以直线82为轴，旋转〃°5>0）后与其自身重合，则〃的最小值是120

3.（2024•辽宁大连•二模）在棱长为2的正方体ABC。-AqGR中，M为CQ中点，N为四边形42%内

一点（含边界），若耳N〃平面BMD,则下列结论正确的是（）

A.NBJNC、B.三棱锥瓦-N5M的体积为；

C.点N的轨迹长度为20D.tan/4N4的取值范围为[1,6]

4.（2024・重庆•模拟预测）已知正方体ABCD-A与G2的棱长为1，空间中一动点P满足

8P=23C+〃B4（4〃eR）,M,N,Q分别为e,AB,A。的中点，则下列选项正确的是（）

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AG

A.存在点P,使得AJ〃平面MN。

AK1

B.设AG与平面MN。交于点K,则方G=£

（_z]KJ

c.若44c=30。，则点尸的轨迹为抛物线

D.三棱锥P-QMN的外接球半径最小值为匕自

4

5.（23-24高二上•广东清远•期末）如图，在正方体中，点尸为线段4c上的动点，则下列

结论正确的是（）

B.当AP=gaC时，DXPLAP

冗

C.若平面ABCD上的动点〃满足=则点M的轨迹是椭圆

D.直线与平面A2P所成角的正弦值是:

6.（23-24高二上•湖北•期末）如图，点尸是棱长为2的正方体A8C。-的表面上一个动点，b是线

段44的中点，则（）

18

A.当P在平面3C£片上运动时，三棱锥尸-的体积为定值

7T7T

B.当p在线段AC上运动时，2尸与AG所成角的取值范围是---

62_

C.当直线AP与平面ABCD所成的角为45时，点尸的轨迹长度为兀+40

D.当尸在底面上运动，且满足「尸〃平面4c2时，线段尸尸长度的取值范围是,2应］

7.（2024・湖南长沙•二模）在正方体ABC。-A耳G2中，AB=1,E为的中点，尸是正方形33。0内部

一点（不含边界），则（）

A.平面EB。J_平面4G。

B.平面BB|C|C内存在一条直线与直线断成30。角

C.若尸到2c边距离为d,且所2一屋=1,则点尸的轨迹为抛物线的一部分

D.以“AA2的边A2所在直线为旋转轴将，44,2旋转一周，则在旋转过程中，A到平面做C的距离

的取值范围是一+

8.（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）用平面。截圆柱面，圆柱的轴与平面a所成角记为夕，当6为锐角

时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家。劭de〃力创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个

大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于1的上方和下方，并且与圆柱面和a均相切.下列结论中正确

的有（）

A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等

B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等

C.所得椭圆的离心率e=cos。

a

D.其中QG2为椭圆长轴，R为球。|半径，有氏=47/12111

9.（2024•浙江台州•二模）己知正方体488-4蜴62的棱长为1,P为平面ABC。内一动点，且直线〃尸

7?

与平面ABCD所成角为E为正方形4ADR的中心，则下列结论正确的是（）

A.点尸的轨迹为抛物线

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B.正方体ABCD-的内切球被平面\BC{所截得的截面面积为T

6

C.直线CP与平面CDDG所成角的正弦值的最大值为"

3

D.点M为直线上一动点，则MP+ME的最小值为J上台

即时检测

1.（2024・辽宁大连•一模）正四棱柱ABC。-AAGR中，AA}=2AB=2,动点尸满足AP=aAC+ZM4，且

a,be（O,l）,则下列说法正确的是（）

A.当■时，直线AC_L平面8P与

B.当。+/?=1时，P5+P耳的最小值为加

C.若直线族与片A所成角为I，则动点P的轨迹长为交

42

D.当a+»=1时，三棱锥尸-ABC外接球半径的取值范围是与雪

2.（2024,河北保定•二模）已知正三棱柱ABC-4耳。1的所有棱长均为2,0为的中点，平面a过点A与直

线A。垂直，与直线B81,CG分别交于点E,尸,p是^但'内一点，且4尸=2,贝U（）

A.E为的中点

B.CD/la

c.尸为CG的中点

D.FP的最小值为后正一4班

10

3.（2024・浙江•三模）在棱长为1的正方体ABCO-ABGD中，已知区产分别为线段与。，2cl的中点，

点、P满足DP=2DR+〃DB2e[0,l]，zze[0,l],贝U（）

A.当4+〃=1时，三棱锥。-尸即的体积为定值

1Q71

B.当%=〃=：,四棱锥尸-ABC。的外接球的表面积是:

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