2024中考数学重难点专练：规律探究问题（含解析）

重难点02规律探究型问题

【命题趋势】

规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以

选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形改变规律、点的坐标规律等。基

本解题思路：从简洁的、局部的、特别的情形动身，通过分析、比较、提炼，发觉其中规律，进而归纳或

猜想出一般结论，最终验证结论的正确性。探究规律题可以说是每年中考的必考题，预料2024年中考数学

中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以驾驭其基本的考试题型及解题技巧是特别有必要的。

【满分技巧】

一.从简洁的状况入手：

从简洁的状况入手：求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二.新定义型问题

一般与代数学问结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数学问：

--关注问题中的不变量和变量：

在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量

是如何改变的，细致视察变量的改变与序号（一般为加之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在.

三.驾驭一些数学思想方法

规律探究型问题是指在肯定条件下，探究发觉有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往

给出了一组改变了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、视察、分析、猜想来探究规律.它体现了

“特别到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题实力，视察、联想、归纳实力，以及探究

实力和创新实力.题型可涉及填空、选择或解答.

【限时检测】（建议用时：30分钟）

一、选择题

1.（2024贵州省毕节地区）下面摆放的图案，从其次个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90。得到,

第2024个图案中箭头的指向是（）

®GQ©®G

A.上方B.右方C.下方D.左方

【答案】C

【解析】如图所示：每旋转4次一周,2024+4=504…3,

则第2024个图案中箭头的指向与第3个图案方向一样，箭头的指向是下方.

故选：C.

2.（2024河北省）对于题目：“如图1,平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形

的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”

甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x,再取最小整数

甲：如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取〃=13.

乙：如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取〃=14.

丙：如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的返倍时就可移转过去；结果取〃=13.

2

A.甲的思路错，他的〃值对

B.乙的思路和他的〃值都对

C.甲和丙的〃值都对

D.甲、乙的思路都错，而丙的思路对

【答案】B

【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为〃=14；

乙的思路与计算都正确；

乙的思路与计算都错误，图示状况不是最长；

故选：B.

3.（2024湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点4、4、4…4在x轴上，A、5、区…a在直线y

=Y3x上，若4（1,0）,且△4笈4、笈4…氏都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部

3

分）的面积分别记为S、£、&…S.则S可表示为（）

A.2"5B.22n-1V3C.2?…5D.2”5

【答案】D

【解析】

•••△/心玲、△454…即用都是等边三角形，

出〃45〃4氏〃…〃48,54〃笈4〃笈4〃…〃氏/"1,△4旦4、△454…都是等边三角形,

•.•直线了=返了与x轴的成角/反2i=30°,Z（2415=120°,

3

；.//4=30°,

/.OAi=A\Bi,

(1,0),

・・・45=1,

同理N第4=30°,…，ZOBnAn=30°,

・••晟42=的2=2,氏4=4,…，尻4=2”：

易得N仍14=90。,…，4H=90。，

:・BB=^,尻3=2遂，***?BnB/\=2〃«，

al

.\S=lxixG券，星=，X2X2«=2«,…，&=lx2X2"V3=

故选：D.

4.（2024湖南省娄底市）如图,在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120。

的AB多次复制并首尾连接而成.现有一点P从A（A为坐标原点）动身，以每秒2万米的速度沿曲线向右运

3

动，则在第2024秒时点P的纵坐标为（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】点运动一个行用时为12°公2--=2秒.

1803

如图，作CD_LAB于。，与AB交于点E.

在RtAACD中，ZADC=90°,ZACD=-ZACB=60°,

2

.•.ZC4D=3O°,

:.CD=-AC=-X2=1

229

:.DE=CE-CD=2-l=l,

.二第1秒时点尸运动到点E,纵坐标为1;

第2秒时点尸运动到点3,纵坐标为0；

第3秒时点尸运动到点尸，纵坐标为-1；

第4秒时点尸运动到点G,纵坐标为0；

第5秒时点尸运动到点”，纵坐标为1；

.••点尸的纵坐标以1,0,-1,0四个数为一个周期依次循环,

•.­2019-4=504...3,

.•.第2024秒时点P的纵坐标为是-1.

故选：B.

5.（2024湖南省张家界市）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OA8C绕点、。顺时针旋转45°

后得到正方形的出G,依此方式，绕点。连续旋转2024次得到正方形6^2024^024^024,那么点击24的坐标是（

B.(1,0)C.(一'2，一72)D.(0,-1)

22

【答案】A

【解析】•・•四边形以回是正方形，且总=1,

：.A(0,1),

・・,将正方形OABC绕点、。逆时针旋转45°后得到正方形OA\BC,

：.At（返，返），4（1,0）,4（返，-返），…，

2222

发觉是8次一循环，所以2024+8=252…余3,

・••点乐24的坐标为（、：~“乙）

22

故选：A.

6.（2024山东省荷泽市）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点。动身，按“向上

一向右一向下一向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路途如图所示，第一次移动

到点A,其次次移动到点4……第n次移动到点4,则点AO24的坐标是（）

y

A\AiAsAc个

OA4A/AiN12x

A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)

【答案】c

【角军析】4(0,1),4(1,1),4(1,0),4(2,0),4(2,1),4(3,1),・・・，

20244-4=504-3,

所以&24的坐标为（504X2+1,0）,

则击24的坐标是(1009,0).

故选：C.

7.(2024云南省)按肯定规律排列的单项式：咒-Z……，第刀个单项式是()

A.(-1)i/tB.(-1)中】

C.(-1)〃7/向D.(-1)十

【答案】A

【解析】V/=(-1)一丁…，

-/=(-1)2-1/X2+1,

£=(-1)3-1/x3+1,

9/i、4-12X4+1

X,

11_Z1、5-12X5+1

X—\-17X,

由上可知，第〃个单项式是：（-1）…/用，

故选：A.

8.（2024四川省广元市）如图，过点4（0,1）作y轴的垂线交直线/：/=退了于点4,过点4作直线/

3

的垂线，交p轴于点4,过点4作y轴的垂线交直线,于点4,…，这样依次下去，得到△444,△444,

△4446,…，其面积分别记为S,£,则Soo为（）

【答案】D

【解析】：点4的坐标是(0,1),

.•.如。=1,

•••点4在直线了=叵上，

3

OAi=2,44=y/3，

・,•/2=4,

・•・以3=8,

.,.044=16,

n

得出0An=2,

*,*44加1=2"

・・・04198=2"8,^4198^199—21)8*

VS=1(4-1)・«=旦«,

22

,**A2A1//^200^4199,

△444s△49849必200,

故选：D.

9.（2024河南省）如图，在△刃夕中，顶点。（0,0）,A（-3,4）,B（3,4）,将△以6与正方形然切组

成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第70次旋转结束时，点〃的坐标为（）

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【答案】D

【解析】\'A(-3,4),B(3,4),

••.45=3+3=6,

・・,四边形/皿为正方形,

；.AD=AB=6,

：.D(-3,10),

・.・70=4X17+2,

・••每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△物8与正方形/aZ?组成的图形绕点。顺时针旋转2次,

每次旋转90°,

.•.点〃的坐标为（3,-10）.

故选：D.

10.（2024内蒙古赤峰市）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：

①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，绽开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉;

②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2024次操作时，余下纸片的面积为（）

A.22024B.—1—C.」一D.—1—

220182201922020

【答案】C

【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，绽开后沿折痕剪开，

第一次：余下面积

2

其次次：余下面积无二，

22

第三次：余下面积Sqhg，

23

当完成第2024次操作时，余下纸片的面积为Som1—,

020192019

故选：C.

二、填空题

11.（2024山东省泰安市）在平面直角坐标系中，直线，：y=x+l与y轴交于点4,如图所示，依次作正方

形OAiBiCi,正方形CxAiBiCz,正方形CiA-iBiCi,正方形...，点4,4,4,4,....在直线1上，

点a,G,G,a,……在x轴正半轴上，则前〃个正方形对角线长的和是

【答案】V2（2"-1）

【解析】由题意可得，

点4的坐标为（0,1）,点4的坐标为（1,2）,点4的坐标为（3,4）,点4的坐标为（7,8）,........,

「・如1=1,G4=2,G4=4,G4=8,.......,

.•.前〃个正方形对角线长的和是：V2（阳+G4+G4+G4+-+G-14）=&（1+2+4+8+…+2小），

设S=l+2+4+8+…+2”,贝!|2s=2+4+8+…+2"42",

则2S-5=2'-1,

：.S=2"-1,

.♦.1+2+4+8+…+2"T=2"-1,

.•.前A个正方形对角线长的和是：V2X（2〃-1）,

故答案为：&

12.（2024山东省潍坊市）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点。，它们的

半径分别为1,2,3,依据“加1”依次递增；一组平行线，h,kh,"…都与x轴垂直，相邻两

直线的间距为1,其中，。与y轴重合若半径为2的圆与，在第一象限内交于点半径为3的圆与，在第

一象限内交于点…，半径为加1的圆与乙在第一象限内交于点只，则点只的坐标为.（〃为正

整数）

【答案】（n,-^2n+l）

【解析】连接外，0P2,OPa,h、卜、4与x轴分别交于4、4、4,如图所示：

在Rt△勿出中，小尸1,如=2,

；"出=JOPJ-OA/M722-12=

同理：A2P2=4§2.22=A3P3—^2_j2="s/y,.....,

二•A的坐标为（1,遂），鸟的坐标为（2,泥），总的坐标为（3,6），……,

…依据此规律可得点只的坐标是（刀，｛（n+]）2_门2），即（"，y）2n+l）

故答案为：（刀，^2n+l）•

13.（2024浙江省衢州市）如图，由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形。

（1）将一个"7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴

上，顶点B,D位于y轴上，0为坐标原点，则丝的值为

0A

（2）在（1）的基础上，接着摆放其次个“7”字图形得顶点储，摆放第三个“7”字图形得顶点F2,依此

类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fa,…，则顶点出泌的坐标为

【答案】⑴;⑵（卓，4。55

【解析】（1）依题意可得，CD二1,CB=2

•.*ZBDC+ZDBC=90°,Z0BA+ZDBC=90°

・・・NBDONOBA

又NDCB=NB0A=90°

AADCBs△BOA

.DCOB1

"CB"0A"2

依据题意标好字母，如图所示

依题意可得CD=1,CB=2,BA=1.・・BD=，5

易得△OABs△GFAs△HCB

.*.C，南）.F（南，）

••・由点C到点F横坐标增加了管,纵坐标增加了书,

.••，F。（小+等n,嗜+哼n）

.,.F2O24（#+芈X2024,呼+WX2024）

丫555

即心（如呼，4M

0

14.（2024广西玉林市）如图，在矩形A3CD中，AB=8,BC=4,一发光电子起先置于AB边的点尸处，

并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着依方向放射，碰撞到矩形的边时均反射，

每次反射的反射角和入射角都等于45。，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2024次后，则它与AB边的碰

撞次数是—.

【答案】672

【解析】如图,

D

依据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到动身点(6,0),且每次循

环它与边的碰撞有2次，

•.■2019-6=336...3,

当点尸第2024次遇到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为(6,4)

它与川边的碰撞次数是=336/2=672次，故答案为672

15.(2024四川省攀枝花市)正方形4耳£&,432c2&，3c，…按如图所示的方式放置，点4,4，

人,…和点与，B2,用，…分别在直线》=丘+仪人＞0)和x轴上.已知点4(。,1)，点4(1,0)，则的坐

标是—.

【答案】(47,16)

【解析】由题意可知A纵坐标为1,4的纵坐标为2,4的纵坐标为4,4的纵坐标为8，…,

4和C2，&和c§，4和C4的纵坐标相同，

,C2,C3,C4,C5的纵坐标分别为1,2,4,8,16,...

依据图象得出G(2,D，C2(5,2),C3(ll,4),

直线c,c2的解析式为y=gx+g，

A的纵坐标为16,

:.C5的纵坐标为16,

把y=16代入y=；x+g,解得x=47,

."5的坐标是(47,16),

故答案为(47,16).

三、解答题

16.(2024山东省威海市)

(1)阅读理解

如图，点、A,6在反比例函数尸上的图象上，连接力反取线段48的中点C.分别过点4C,6作x轴的垂

X

线，垂足为£,F,G,6F交反比例函数y=l•的图象于点〃点反F,G的横坐标分别为〃-1,n,加1(n

X

>1).

小红通过视察反比例函数y=工的图象，并运用几何学问得出结论：

X

AE+BG=2CF,CF>DF

由此得出一个关于」一，2,之间数量关系的命题：

n-ln+1n

若n>l,则.

(2)证明命题小东认为：可以通过“若a-620,则的思路证明上述命题.

小晴认为：可以通过“若a>0,b>0,且a+621,则的思路证明上述命题.

请你选择一种方法证明(1)中的命题.

［解析］(1)'：AE+BG=2CF,CF>DF,AE=1,BG=1,DF=L,

n-ln+1n

J+J>2.

n-ln+1n

故答案为：

n-ln+1n

299

(2)方法一：・・•工+上-2=」+n+n-n-2n+2r______2____丁

n-ln+1nn(n-l)(n+1)n(n-l)(n+1)

V/7>1,

.*.77(/?-1)(77+1)>0,

11-2>o,

n~ln+1n

J+J>2.

n~ln+1n

2

方法二：:nTj+1=A>I,

2n2-l

n

n-ln+1n

17.(2024山东省威海市)

(1)方法选择

如图①，四边形"切是。。的内接四边形，连接⑶BD,AB=BC=AC.求证：BD=AIKCD.

小颖认为可用截长法证明：在应上截取座=4〃连接/曲“

小军认为可用补短法证明：延长切至点儿使得加=4力“

请你选择一种方法证明.

(2)类比探究

探究1

如图②，四边形485是。。的内接四边形，连接AC,BD,6c是。。的直径，48=AC.试用等式表示线段力〃

BD,切之间的数量关系，井证明你的结论.

探究2

如图③，四边形465是。。的内接四边形，连接阳BD.若回是。。的直径，NMC=30°,则线段四,

BD,切之间的等量关系式是.

(3)拓展猜想

如图④，四边形切是。。的内接四边形，连接/GBD.若欧是。。的直径，BC：AC-.AB=a：b：c,则

线段BD,切之间的等量关系式是

【解析】(1)方法选择：・・・"=8。=/

AZACB=ZABC=QO°,

如图①，在初上截取小4〃，连接力必

*：ZADB=ZACB=60°,

・•・是等边三角形，

：.AM=AD,

NABM=ZACD,

VZAMB=ZADC=120°,

^△ABgXACD(AAS)f

：.BM=CD,

:・BD=B^DM=CAAD、

(2)类比探究：如图②，

•・,族是。。的直径，

：.ZBAC=90°,

\'AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°，

过/作MLLAD交初于M,

9：ZADB=ZACB=45°,

・・.△/如是等腰直角三角形,

：.AM=AD,ZAMD=45°,

:・DM=®AD,

：.ZAMB=ZADC=13,5O,

,?ZABM=ZACD,

:.XAB哙MACD(AAS),

:・BM=CD,

：.BD=B帆DM=CD^血AD；

探究2如图③，・・•若戈?是。。的直径，ZABC=^O°,

：.ZBAC=90°