2025高考数学一轮复习基础知识清单

第一章集合与常用逻辑用语、不等式

一、集合

1.集合的含义与表示

⑴集合的概念

把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要

素:确定性、互异性、无序性.

⑵常用数集及其记法

N表示自然数集,N*或N+表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数

集,R表示实数集.

(3)集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是a£M,或者a空M,两者必居其一.

⑷集合的表示法

①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法:把集合的所有元素二出来,写在花括号内表示集合.

③描述法：｛x|x具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.

④图示法:用数轴或Venn图来表示集合.

(5)集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.

②含有无限个元素的集合叫做无限集.

③不含任何元素的集合叫做空集I。1

2.集合间的基本关系

(1)子集、真子集、集合相等

名称记号意义

子集A£B(或B3A)A中的任一元素都属于B

AGB,且B

真子集A£B(^B2A)

不属于A

集合A中的任二元素都属于B,B中的

A=B

相等任二元素都属于A

⑵已知集合A有n(n2l)个元素,则它有至个子集,2仁1个真子

集,ZhL个非空子集,至2个非空真子集•

3.集合的基本运算

(1)并集：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称

为集合A与B的并集,记作AUB.

⑵交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集

合,称为A与B的交集,记作AAB.

(3)补集:[uA={x|xeU,且x空A}.

二、常用逻辑用语

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念(若A={x|x满足条件

p},B={x|x满足条件q})

若poq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件ACB

P是q的充分不必要条件p=q且qbpASB

p是q的必要不充分条件p》q且q=pBSA

P是q的充要条件poqA=B

P是q的既不充分也不必要条件p奏q且q劣p——

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)全称量词命题:Vx£此p(x),它的否定:mx£M,「p(x).

⑵存在量词命题：入£M,p(x),它的否定:V2yM二M2①

全称量词命题的否定是存在量闻能题,存在量词命题的否定是全称量

词命题.

三、等式性质与不等式性质

1.两个实数比较大小的方法

a~b>Ooa>b,

a-b=Ooa=b,（a,bGR）.

{a-b<Ooa<b

2.等式的性质

性质1对称性:如果a=b，那么师；

性质2传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;

性质3可加（减）性:如果a=b,那么a±c=b土c;

性质4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;

性质5可除性:如果a=b,cWO,那么也2

CC

3.不等式的性质

性质1对称性:a〉bo?包；

性质2传递性:a>b,b>c=Q£；

性质3可加性:a〉boa+c>b+c;

性质4可乘性:a>b,c>0。怂辿£；a>b,c<0。胆®£；

性质5同向可加性:a>b,c>d=>更吠殳乜；

性质6同向同正可乘性:a〉b>0,c>d>0=>变辿4；

性质7同正可乘方性：2>13〉0=>211>13"（11£'1122）.

四、基本不等式

1.基本不等式:而三审.

(1)基本不等式成立的条件:日汹地.

⑵等号成立的条件：当且仅当晅L时,等号成立.

(3)其中一叫做正数a,b的算术平均数,而叫做正数a,b的几何平

均数.

2.几个重要的不等式

(1)a2+b2^2ab(a,bGR).

⑵3m22(为b同号).

ab3

⑶abW(半尸(a,b£R).

⑷色!》(等/g,b£R).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y

有最小值诙

⑵已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy

有最大值；筮.

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、

三相等”.

五、二次函数与一元二次方程、不等式

1.二次函数解析式的三种形式

(1)一般式:f(x)ua-Y+bix+c-l昆壬。］.

(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(aWO),顶点坐标为

(3)零点式:f(x)=a(x-xi)(x-X2)(aWO),xbX2为f(x)的零点.

2.三个“二次”间的关系

判别式△=b2-4acA>0A=oA<0

y.X

二次函数y=ax2+bx+co/xi'x

(a>0)的图象x\V

一元二次方程有两相异实根有两相等实没有实

2X1,X(X1<X)

ax+bx+c=0(a>0)的根22根X1=X=~

22a数根

ax2+bx+c>0(a>0)的解集，[冬']/?甚或且<白1,1R

ax2+bx+c<0(a>0)的解

集00

3.分式不等式与整式不等式

⑴々>0(〈0)of(x)-g(x)>0«0).

gkx)

(2)半，0(WO)of(x)•g(x)20(W0)且g(x)WO.

gkx)

(3)黑治0笔弓>0。通分,再化为整式不等式.

4.简单的绝对值不等式

x|>a(a>0)的解集为(-8,-a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集为

(~a,a).

第二章函数

一、函数的概念及其表示

1.函数的概念

⑴函数:设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意二个数X,

按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯二确定的数y和它对

应,那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),

x£A.

(2)一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数

的定义域相同，并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.

2.函数的表示法

函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.

3.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同

的式子来表示,这种函数称为分段函数.

4.常用结论

(1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.

(2)在函数的定义中，非空数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的

子集.

⑶分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的

定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的

并集.

二、函数的基本性质

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

①增函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间ICD,如果Vxi,x2e

I,当X《X2时,者」有f(Xi)(X2),那么就称函数f(x)在区间I上单调

递增.

②减函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间ICD,如果Vxi,X2e

I,当X《X2时,都有f(xj>f(X2),那么就称函数f(x)在区间I上单调

递减.

⑵单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数

y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调

区间.

⑶VXi,X2wI且Xi#X2,有f"i)小”2)«0)或(x-x2)•[f(X1)-

f(x2)]>0«0)of(x)在区间I上单调递增(减).

2.函数的最值

一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足：

⑴Vx£D,都有f(x)WM,

(2)x°£D,使得f(x0)=M.

那么称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义可得y=f(x)的最小值.

3.函数的奇偶性

⑴偶函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果Vx£D,都有-x£D,

且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数•

(2)奇函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果Vx£D,都有-x£D,

且f(-X)(X),那么函数f(x)就叫做奇函数•

⑶偶函数的图象关于通对称,奇函数的图象关于坐标反点对称.

4.周期性

(1)周期函数:一般地,设函数f(X)的定义域为D,如果存在一个非零

常数T,使得对每一个x£D都有x+TED,且f(X+T)=f(x),那么函数

f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

⑵最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的

正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

5.对称性

(1)对称轴:f(a+x)=f(a-x)of(x)图象关于直线x=a对

称,f(a+x)=f(b-x)o对称轴

(2)对称中心:f(a+x)+f(a-x)=2bof(x)图象关于点(a,b)对

称,f(a+x)+f(b-x)=0o对称中心(§2,o).

⑶对称性的四个常用结论

①若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a

对称.

②若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心

对称.

③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线

x=.对称.

特别地，当a=b,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,y=f(x)的图象

关于直线x=a对称.

④若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点

(a,b)对称.特别地，当b-0,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0

时,y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.

6.常用结论

(1)在公共定义域内，增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数.

(2)函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)〈0)在公共定义域内与y=-f(x),

的单调性相反.

(3)复合函数的单调性：同增异减.

(4)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关

于原点对称的区间上具有相反的单调性.

⑸函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x:

①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).

②若f(x+a)-,则T=2a(a>0).

f(x)

③若f(x+a)=_,则T-2a(a>0).

f(x)

三、幕函数

1.幕函数的定义

一般地，函数E叫做幕函数，其中x是自变量，a是常数.

2.常见的五种幕函数的图象

3.幕函数的性质

(1)塞函数在(0,+8)上都有定义.

⑵当a>0时,塞函数的图象都过点和鱼©，且在(0,+8)上单

调递增.

⑶当a<0时,幕函数的图象都过点&J),且在(0,+8)上单调递减.

(4)当a为奇数时,y=x0为专函数;当a为偶数时,y=x"为假函数.

四、指数与指数函数

1.指数与指数运算

(1)根式的性质

①(诋)n=g(a使皆有意义);

②当n是奇数时,VKa;当n是偶数时,V^=|a|=[°,°

(2)分数指数幕的意义

m__

①aK="a他(a>0,m,n£N*,n>l);

②an(a>0,m,n£N,n>l);

③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数塞没有意义.

⑶实数指数幕的运算性质：a「・金火，出)三签,(ab)rm宜(其中

a>0,b>0,r,sWR).

2.指数函数的图象与性质

项目0<a<la>l

y

图

象L

0X。

定义域:R

性值域：4上1

质过定点或n

当x>0时,0<y<1;当x>0时,y>1;

当x<0时,y>l当x<0时,

在R上是减函数在R上是增函数

3.常用结论

⑴指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),

a

(2)如图所示是指数函数①y=ax,②丫』',③丫=己@y=d'的图象,则

c>d>l>a>b>0,即在第一象限内，指数函数y=ax(a>0,且aWl)的图象

越高,底数越大.

五、对数与对数函数

1.对数的概念

一般地,如果a=N(a>0,且aWl),那么数x叫做以a为底N的对数,

=

记作xlogaN,其中良叫做对数的底数,此叫做真数・

以10为底的对数叫做常用对数,记作l^N.

以e为底的对数叫做自然对数,记作InN.

2.对数的性质与运算性质

(1)对数的性质：logal=。,logaa=1,alogaN=N(a>0,且aWl,N>0).

(2)对数的运算性质

如果a>0,且aWl,M>0,N>0,那么：

①1Oga(MN)=10,gaM+10gaN；

②]oga^=logaM-logaN;

③(n£R).

(3)对数换底公式：logab=警四(a>0,且aWl;b>0;c〉0,且cWl).

logca

3.对数函数的图象与性质

项目a>l0<a<l

1J

彳二1尸log/X=1

图象弋、。，0）一

17f(i^J

尸log/

定义域鱼一±°°）

值域R

过定点（!?Q,即x=l时,y=0

性当x>l时,y>0;当X>1X<0；

质

当0〈x〈l时,馍当0〈x〈l时，次

在(0,+8）上是增函数在(0,+8）上是减函数

4.反函数

指数函数y=ax（a>0,且aWl）与对数函数a隰w（a>0,且aWl）互为

反函数,它们的图象关于直线与对称.

5.常用结论

n

（1）logab•logba=l,logamb=^logab.

⑵如图给出4个对数函数的图象,则b>a>l>d>c>0,即在第一象限，

不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.

(3)对数函数y=logax(a>0,且aWl)的图象恒过点(1,0),(a,1),

六、函数的应用

1.利用图象变换法作函数的图象

⑴平移变换

［y=7w+^l

上碌>0)个

移单位长度

{尸/⑺}

地>0)个‘

单位长度下及3>0)个单位长度

移单位长度

y=/(%)u

、yw\/vx/v»>/^

(2)对称变换

①y=f(X)关于工轴对称-yu匚g(戏.

②y=f(x)关于'轴时巩y=£(-立.

③y=f(x)关于原点对称》y=—f(二x).

x

@y=a(a>0,且aWl)关于产“对称》y=］州赵.32。2_且且壬］).

(3)翻折变换

保留H轴上方图象

①y=f(x)将工轴下方图象翻折上去.

保留y轴右侧图象，并作其,

②y=f(x)关于v轴对称的图象

2.函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y=f(x),我们把使£应过的实数x叫做函数y=f(x)的

零y占八八.

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)=0有实数解o函数y=f(x)有委点=函数y=f(x)的图象与x

独有公共点.

(3)函数零点存在定理

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有

f(a)f(b)〈O,那么，函数y=f(x)在区间鱼垃内至少有一个零点，即存

在c£(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=0的解.

⑷若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一

个零占

(5)二分法

对于在区间［a,b］上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通

过不断地把它的零点所在区间二使所得区间的两个端点逐步

逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

3.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,aWO)

二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,aWO)

f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a#l,bW

与指数函数相关的模型

0)

f(x)=blogx+c(a,b,c为常数,a>0且aW

与对数函数相关的模型a

l,b#0)

与幕函数相关的模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数，aWO)

4.常用结论

(1)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

⑵左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身,利用

“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再

进行变换.

第三章一元函数的导数及其应用

、导数的概念及意义、导数的运算

1.导数的概念

(i)函数y=f(x)在x=x()处的导数记作C/Q或y'

#(x0)=lim电二lim户久。+Ax=a。).

4%-O&r一0

(2)函数y=f(x)的导函数(简称导数)记作*(x)或y，.

f(%+zix)-f(%)

Ax

2.导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x()处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点

P(xo,f(x。))处的切线的斜室，相应的切线方程为y-f(xQ)-

f'(XO)•(X-XO),.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f(x)气(C为常数)fz(x)=0

f(x)=xa(aWR,且awo)f'(x)

f(x)=sinxfz(x)=cos_x

f(x)=cosXf'(x)=-sinx

f(x)=ax(a>0,且aWl)f'(x)=axlna

f(x)=exf'(x)=E

f'(x)=：

f(x)=logax(a>0,且a#l)

f(x)=lnxf'(x)」

X

4.导数的运算法则

若尹(x),g，(x)存在，则有

[f(X)±g(x)]zm立士；

[f(x)g(x)]'域士£G」g，.3、；

「/(%/_r(x)g(x)-f(x)g'(x)((\/n\.

L贰7」羡了鸡⑶声⑴，

[cf(X)]'=cf'(X).

5.复合函数的定义及其导数

复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为

y/,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数

的乘积.

6.常用结论

区分在某点处的切线与过某点的切线

(1)在某点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅有一条.

⑵过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.

二、导数与函数的单调性

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

f'(x)>0f(x)在区间(a,b)内单调递增

函数y=f(x)在区

『(x)<0f(x)在区间(a,b)内单调递减

间(a,b)上可导

『(x)=0f(x)在区间(a,b)上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步,确定函数的定义域；

第2步，求出导数e(x)的零点;

第3步，用『(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给

出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单

调性.

3.常用结论

⑴若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则当x£(a,b)时,f'(x)20恒

成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则当xW(a,b)时,f'(x)<0

恒成立.

⑵若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间，则当x£(a,b)时,f'

(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间，则当xe(a,b)

时,(x)〈0有解.

三、导数与函数的极值、最值

1.函数的极值

(1)函数的极小值

函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的

函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧fz(x)<0,右侧f

(X)>0,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极

小值.

(2)函数的极大值

函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的

函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧fz(x)>0,右侧f：

(W)《Q,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极

大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间［a,b］上有最值的条件

如果在区间［a,b］上函数y=f(x)的图象是一条连续丕断的曲线,那么

它必有最大值和最小值.

⑵求函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤

①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值；

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值必以0比较,其中最

大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

3.常用结论

对于可导函数f(x),“f，(x0)=0”是“函数f(x)在x=x。处有极值”

的必要不充分条件.

第四章三角函数、解三角形

一、任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.角的概念的推广

⑴定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

按旋转方向不同分为正角、负角、零角;

⑵分类:

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成

一个集合5={8|B=a+k・360°,k£Z},即任一与角a终边相同的

角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义

长度等于生校长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符

号rad表示.

⑵公式

角a的弧度数公式a1」(1表示弧长)

r

角度与弧度的换算①1。=—rad;(2)1rad=(―)°

180n

弧长公式l=£gjr

扇形面积公式S=-lr=-ar2

22

3.任意角的三角函数

(1)设a是一个任意角，a£R,它的终边OP与单位圆相交于点

P(x,y),贝！Jsina=y,cosa=x,tana=((xW0).

⑵任意角的三角函数的定义(推广)：设P(x,y)是角a终边上异于顶

点的任意一点，其到原点。的距离为r,则sina=】cosa=-,tan

rr

a=-(XT^0).

X

(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、

四余弦.

sinCLcosCLtanCL

4.常用结论

(1)象限角

象

限T第二象限角)[a|2E+^<a<2版+7T法eZ

角

的T第三象限角)同瓦+兀而卷

集23<21eZ

合

〈(第四象限角)何2而+羿“<2.+2兀,比e：

(2)轴线角

终边落在工轴上的剧｛a|a=AMeZ)

线..

，一(终边落在y轴上的角)a|a=尹而辰Z]

山7终边落在坐标轴上的角)同a=挈辰Z|

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.

⑵商数关系:"也tana(an+-,keZ).

cosa2

2.三角函数的诱导公式(下表中kez)

公式sin(a+k,2Ji)=cos(a+k・2")=tan(a+k,2Ji)=

sinacosatana

公式sin(Ji+a)=cos(JI+a)=tan(JI+a)=

-sina-cosatana

公式sin(-a)=-sin

cos(-a)=cosatan(-a)=-tana

a

公式sin(n-a)=sincos(n-a)=-costan(n-a)=-tan

四aaa

续表

公式

sin(；-a)=cosacos(：:-a)=sina

五

公式

Sin(；■+a)=cosaCOS0+a)=-sina

八

温馨提示:诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，其中

的奇、偶是指］的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.

三、三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(1)sin(a±B)=§上旦_acos_土CQGa,篁工~

⑵cos(a±B)=£.OE.…,a,,c,o§…反王£工口_,9,£工口_月,..

⑶tan(a±」)=tan些a的.

1+tanatan^

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a.

2tana

⑶tan2a=■

l-tan2a

3.补充公式

⑴辅助角公式:一般地，函数f(a)=asina+bcosa(a,b为常数)

可以化为f(a)=Va2+b2sin(a+0)(其中tan。=与或

a

f(a)=Va2+b2cos(a-。)(其中tan。节.

(2)降幕公式:cos2a=1+c°s2a,sin2a2a

(3)升幕公式:1-cosa=2sin2p1+cosa=2cos2^.

(4)半角公式：sin

tan^=±Jl-cosa_sina_l-cosa

1+cosa1+cosctsina

四、三角函数的图象与性质

1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k£Z)

函数二y=sinxy=cosxy=tanx

y

图象0\n\/xu

i

24.空J半。供：2力

定义

RR

域x^kjn+-)

值域L二！LU]R

周期性2JI2JIJI

奇偶性奇函数.偶函数奇函数

[2kJi-p

增区间、3二,"31

2kJI+H].LZK12'2k.J

减区间［纵工•怨工"」无

对称

(KzizQJL专©(y,0)

中心(K

对称

无

轴方程

2.用“五点法”画丫=人5皿（3*+。）（A>0,3〉0）一个周期内的简图时,

要找五个关键点

713n

3X+。0JI2n

2T

Tl3TT

o-(pIT-(P2TT-(P

XLL

0)0)0)0)3

y=Asin(ax+°)0A0-A0

3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin（sx+0）（A>0,s〉O）的图

象的两种途径

lS|^y=sin%的图象TIS（出产sin式的图象

横坐标变为原来的［倍

向左（右座移配个单位长度

步

I得到茎jn（%+⑼的图象卜骤

2T得到尸sinyc的图象|

横坐标变为原来的/倍向左（右评移圉个单位长度

得到尸sin®%+p）的图象上H得到产sin（6；%+夕）的图象

纵坐标变为原来的4倍纵坐标变为原来的4倍

«/V»

得到尸4sin（0%+0的图象

4.常用结论

⑴对称性与周期性

①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离

是;个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是;个周期.

②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是称个周期.

⑵奇偶性

若f(x)=Asin(sx+0)(A,«WO),则

①f(x)为偶函数的充要条件是。q+k”(k£Z).

②f（x）为奇函数的充要条件是。二kn（kez）.

(3)函数y=Asin(3x+0)图象的对称轴由ax+。=knk£Z确定;

对称中心由ax+。=k口，k£Z确定其横坐标.

五、余弦定理和正弦定理

1.余弦、正弦定理的内容及其变形

在4ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为4ABC的外接

圆半径,则

定理余弦定理正弦定理

aJ.bjtc：二zbc.dA；

b?=c2tg2二2°或9§,巨；

内容—=2R

sinAsinBsinC

c./a^+b2二2mbeos__c

Ab2+c2-a2

COSA=------------；

2bc(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

c2+a2-b2

变形COSBn=------------；(2)a:b:c=§j.qAJL英工B.wIR；

2ca

厂a2+b2-c2(3)——生空——=—=2R

COSC=------------sinA+sinB+sinCsinA

2ab

2.三角形常用面积公式

(l)s=|a•ha(ha表示边a上的高).

(2)S=|absin旦』=%£曳口―

(3)S=|r(a+b+c)(r为内切圆半径).

3.常用结论

在4ABC中，常有以下结论:

(1)a>boA>BosinA>sinB,cosA<cosB.

⑵三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.

⑶三角形的面积S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)(p=|(a+b+c)).

第五章平面向量、复数

一、平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向.的量叫做向量，向量的大小称为向量的长

度(模).

⑵零向量:长度为9的向量,记作0.

⑶单位向量:长度等于1个单位长度的向量.

⑷平行向量:方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量,规定:零

向量与任意向量平行.

⑸相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

定义法则(或几何意义)运算律

空(1)交换律:a+b=b+a;

加法:求两个向量三角形法则(2)结合律：一

和的运算

3(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四出形法则

减法:求两个向量

差的运算.向量a

加上b的相反向a-b=a+(-b)

量,叫做a与b的a

差

(1)入a=m；

(2)当人＞0时，入a的方入(Pa)；

数乘:求实数人与向与a的方向相同；(入+u)a=A献戛月;

向量a的积的运算当入〈0时，入a的方向入(a+b)=Xa+A,b

与a的方向相反；(入，R为实数)

当人=0时，入a=0

3.常用结论

(1)一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指

~,―,—>—>—>

向最后一个向量终点的向量，即4"2+&43+4344+…+41V人/44，

特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.

(2)若F为线段AB的中点,0为平面内任意一点，则。管(。4+。8).

—>—>—>

(3)若A,B,C是平面内不共线的三点，则P4+PB+PC=0oP为4ABC的

重心，易胃(蓝+启.

(4)对于任意两个向量a,b,都有||aHb||W|a土b|W|a|+|b|.

二、平面向量基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理

⑴定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一

平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2,使a=入©+入2e2.

⑵基底:若以,e2不共线,我们把｛e1,e2｝叫做表示这一平面内所有向

量的一个基底.

2.向量的坐标运算

⑴向量加法、减法、数乘运算的坐标表示及向量的模

设a=(xi,yi),b=(x2,y2),入£R,贝Ia+b=(xi+x2,yi+y2),a-b=(X1-X2,.

丫匚丫2),入a=(人工12Ayj,Ia|力好+资.

⑵向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

―>

②设点A(xi,yi),B(x2,y2),则4B=(x2-xby2-yi),

2-2

ABI=J(%2一石)+(y2yi).

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,y2),若bWO,则a,b共线⑵记

4.常用结论

已知P为线段AB的中点，若A(Xi,yJ,B(X2,y2),则点P的坐标为

(岩,在产)；已知^ABC的顶点A(Xi,yJ,B(X2,y2),C(X3,y3),则

AABC的重心G的坐标为(%+；+的空管).

三、平面向量的数量积及平面向量的应用

1.向量的夹角

—>—>

已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，作O4=a,OB=b,那么

NAOB称为向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是

2.投影向量

B

J__e__L

C41B、D

如图，设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,考虑如下变换:过ZB的起

点A和终点B,分别作b所在直线的垂线,垂足分别为4,Bb得到

称上述变换为向量a向向量b投影,4工1叫做向量a在向量b

上的投影向量,且a在b方向上的投影向量为|a|cos6/二当•b,

。为a与b的夹角.

3.平面向量的数量积

已知两个非零向量a,b,。为a,b的夹角，那么数量|a||b|cos。叫

做向量a与b的数量积(或内积)，记作a•b.

4.平面向量数量积的性质

⑴若e是单位向量,则a•e=e•a=|a|cos。(。为a,e的夹角).

(2)a±boa,b=0.

(3)当向量a,b同向时,a•b=|a||b|,当向量a,b反向时,a•b=

二［且］1bl.特别地,a,a=|a「或|a|=\a•a.

(4)cos。==7(。为2,1)的夹角).

\a\\b\

(5)|a,b<_|a||bj_.

5.平面向量数量积的运算律

⑴交换律:a,b=b,a;

(2)分配律：(a+b),c=a,c+b,c;

(3)对任意入£R，(入a),b=A,(a,b)=a,(入b).

6.平面向量数量积有关性质的坐标运算

若a=(xi,yi),b=(x2,y2)(。为a,b的夹角)，则:

(l)a•b^XiX2+yiy2;

(2)a±boxix2+yiy2=0;

a•bxx+yy

(3)cos9=.1212

“।J好+光,卜什秃

7.常用结论

有关向量夹角的两个结论

(1)若a与b的夹角为锐角，则a•b>0;若a•b>0,则a与b的夹角为

锐角或0.

⑵若a与b的夹角为钝角，则a・b〈0;若a・b〈0,则a与b的夹角为

钝角或”.

四、复数

1.复数的有关概念

(1)复数的概念:形如a+bi(a,b£R)的数叫做复数，其中i叫做虚数

单位,a,b分别是它的实部和虚部.当且仅当b=0时,a+bi为实数；当

bWO时,a+bi为虚数；当a=0且bWO时,a+bi为纯虚数.

(2)复数相等:a+bi=c+dio然以且£^(a,b,c,d£R).

(3)共辄复数:a+bi与c+di共辄一蛇久口二二4(a,b,c,dWR).

―>

(4)复数的模:设复平面内的点Z表示复数z=a+bi(a,beR),向量。Z

的模叫做复数z=a+bi做,bRR)的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即

z|=|a+bi=Va2+b2.

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+bi-—一对应》复平面内的点Z(a,b);

(2)复数z=a+bi-一一对应》平面向量

3.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设zi=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,

d£R.

1--------7(a+6i)±(c+</i)=(a±c)+(6±(/)i

1—；—T(a+6i)(c+(/i)=(ac-6</)+(a</4-6c)i

----,a+biac+bd.be—ad.

叼11k百="+西广t

⑵复数加法的运算律:设乙,Z2,z3ec,则复数加法满足以下运算律:

①交换律:Z1+Z2=Z2+Z1;

②结合律：(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

(3)复数乘法的运算律:设Z1,z2,z3ec,则复数乘法满足以下运算律:

①交换律:Z1Z2=Z2Z1；

②结合律：(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3).;

③乘法对加法的分配律：Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.

4.常用结论

(1)(l+i)2=+2i;^=i;^=-i.

1-11+1

(2)i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(n£N).

⑶关于复数z的方程(不等式)在复平面上表示的图形

①aW|z|Wb表示以原点0为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆

环；

②|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.

第六章数列

一、数列的概念

1.数列的定义

一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每

一个数叫做这个数列的项.

2.数列的通项公式

如果数列｛aj的第n项a”与它的反号口之间的对应关系可以用一个

式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

3.数列的递推公式

(1)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表

示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

(2)由递推公式求通项的常用方法：

方法转化过程适合题型

----

累加法(a2ai)+(a3a2)+…+(anan-i)-anaian+i-an=f(n),f(n)

可求和

%i=f(n),f(n)可

a2^^3义...义口口-1义

累乘法an

。2。口-2。口―]求积

由an+i-pan+q化为an+i+m=p(an+m),构

造区+m｝为等比数列，其中a+i=pa+q

构造法p-1nn

(pWl)

4.数列的前n项和

数列｛aj的前n项和Sn=ai+a2+a3+•••+an-i+an,则an=|J'_q；>?

(3九3九一1，几N4・

二、等差数列

1.等差数列的有关概念

⑴定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的

差都等于同二个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做

等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为小

包段(n£N*),d为常数.

⑵等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是E等,其中A叫

做a与b的笠差史项.

2.等差数列的有关公式

等差数列｛aj的首项为ai,公差为d.

(1)通项公式:an=g吐当dWO时,等差数列｛a„｝的通项公式

an=dn+(a「d)是关于n的一次函数.

(2)前n项和公式:Sn=n&+W^d=g%R当dWO时,等差数列｛aj

的前n项和公式Sn=$?+(a-乡n是关于n的二次函数(没有常数项).

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,m£N*).

(2)若｛an｝为等差数列，且m+n=p+q,则am+an=.ap+aq(m,n,p,qWN*).

⑶若｛aj是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mWN*)是公差为

色的等差数列.

(4)数列Sm,S211rsm,S3m-S2nl，…(mWN*)也是等差数列，公差为IDM.

⑸若数歹U｛aj,｛bn｝均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则

an—^2n-l

如^2n-l

(6)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质

s

①若项数为2n,则S偶-Sw=nd,目=工.

S偶an+i

_==—

②若项数为2nl,贝US偶二1)q,S奇二照5,S奇—Sfflan,--'—'

s偶n-1

4.【常用结论】

(1)已知数列｛为｝的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数)，则数列｛aj

一定是等差数列,且公差为P.

⑵在等差数列｛an｝中,ai>0,d<0,则出存在最大值;若a《0,d>0,则S」

存在最小值.

三、等比数列

1.等比数列的有关概念

⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于

同二个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的

公比,公比通常用字母q表示(显然qWO),定义的表达式为如，1

an

(n£N*);

(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.

即G是a与b的等比中项=a,G,b成等比数列=G?=ab.

2.等比数列的有关公式

(1)通项公式:an=M].

⑵前n项和公式：

力的，q=1,

Sn=|ai(l-qn)a-aq一《

(二丁二不r厂n”「

3.等比数列的性质

已知｛4｝是等比数歹U,S”是数列｛aj的前n项和.

(1)若k+l=m+n(k,1,m,n£N*),则有％•ai=am\an.

⑵相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak,ak+m,ak+2m,…仍是

等比数列，公比为小

(3)当qWT,或q=-l且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3Tl-S2炉…仍成等比

数列，其公比为小

4.【常用结论】

n

(1)等比数列｛aj的通项公式可以写成an=cq,这里cWO,qWO.

⑵等比数列｛aj的前n项和(可以写成Sn=Aq-A(A#O,q#l,0).

⑶数列｛aj是等比数歹(J,朴是其前n项和.

①若ai•a2....an=Tn,则Tn,警,警,…成等比数列.

Tn^2n