2025高考数学第一轮复习：导数中的“距离”问题（八大题型）（解析版）

第12讲专题导数中的“距离”问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：曲线与直线的距离........................................................2

题型二：曲线与点的距离..........................................................7

题型三：曲线与圆的距离..........................................................8

题型四：曲线与抛物线的距离.....................................................11

题型五：曲线与曲线的距离.......................................................13

题型六：横向距离...............................................................18

题型七：纵向距离...............................................................22

题型八：直线与两曲线交点的距离.................................................25

03过关测试....................................................................26

亡法牯自与.柒年

//\\

导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距

离问题，再利用导数法来求距离的最值.方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到

直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数

求解最值.

题型一：曲线与直线的距离

9

【典例1-1](2024•广西桂林•二模)已知函数/(x)=(x-/")2+(ae*-3〃z)2(〃?eR)的最小值为X,则正实数

()

A.3B.3e-2C.3e2D.3或3e-

【答案】D

【解析】(x-ni)2+(aex-3m)2表示点A(x,ae，)与点B{m,3m)的距离的平方，

点A在曲线y=〃e"上，点B在曲线y=3x上，

如图，可得。＞0,

设与y=3x平行的直线与曲线y=oe”相切于点尸5，°e'。).

y'=aex,ae'»=3,…①

点A(x,ae£)与点8(机,3机)的距离的平方的最小值等于点P(x0,ae9)到直线y=3尤的距离.

3,...p>一3M=3…②

MM、1

结合①)G)得％o=°，〃=3,或%=2,a=3e-2.

故选：D.

【典例1・2]若函数％=sin2石——-(%jG[0,^-]),函数，2=出+3,贝|J(%一+(%一的最小值为()

A亚兀B.(28)2

,~V272

C(1+]8)2D(万-3/+15y

1272

【答案】B

【解析】设z=（F-/）2+（y—3）2,则Z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方.

=sin2%--—（%!目。,"］）

•••父=2cos2%

•・•直线%=电+3的斜率为1

JT

二令x'=2cos2x=l，解得x=7，则M=。,

6

即曲线％=sin2x「且在（工,0）处的切线和直线y=尤+3平行,

26

TT

则最短距离为点%。）至口一+3的距离北

・•・（不—%2）2+（y—%）2的最小值为(»+18)2

72

故选：B

【变式L1】点M是曲线/（力=上上的动点，则点“到直线V=%+2的距离的最小值为（）

x

A.V2+—B.V2-—C.述D.正

2e2e22

【答案】C

【解析】因为/'（%）=与竺，

当0<%<e时，尸（x）>0,y（x）单调递增;

当x>e时，r（A-）<o,/（》）单调递减.

由:("=三T=1,所以f+lnx-LO,

易得函数丫=1+12-1为在(0,+")上单调递增函数，％=1为零点，

此时M的坐标为(1,0),

由点到直线的距离公式可得M到直线y=x+2的距离的最小值为边.

2

故选:C.

【变式1-2](2024•高三・安徽合肥・期中)点P,。分别是函数=3x-4,g(x)=Y—21nx图象上的动点，

贝UIPQF的最小值为()

33

A.-(2+ln2)2B.-(2-ln2)2

22

C.-(l+ln2)2D.-(l-ln2)2

【答案】D

【解析】当函数g(x)=*-2Int在点。处的切线与〃x)=3x_4平行时，最小.

??1

,

g(x)=2x—f令g'(x)=2x——=3得x=2或％=—不(舍)，所以切点为。(2,4—21n2),

xx2

所以IPQI的最小值为切点2(2,4-21112)到直线/(x)=3x-4的距离d=+工2一4]=|21n2-2|,

\/10710

2

所以IPQF的最小值为屋=(1-ln2)2.

故选：D.

【变式1-3](2024•陕西西安.二模)若21n%-周一%+3=0,x2-y2+5=0,则(为_%丫十回一力丫的最小

值为()

A.2A/2B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】由题意，设函数/(x)=21n;r-x+3,x>0,直线y=x+5,

设直线y=x+)与函数y=的切点为尸(x。,%)

22

可得「(无)=--1,可得:优)=--1=1,解得%=1,可得%=2,

xxo

即切点坐标为尸(1,2),则切点到直线x-y+5=0的距离为d==2&,

V2

又因为(网『+(%-%丫表示点P到直线X-y+5=0的距离为平方，

所以仿一％y+(X-％y的最小值为d?=8.

故选：C.

【变式1-4】已知函数〃x)=ae*-(a-l)x+l—a(a>。)，g(x)=x+Z>,点尸与。分别在函数y=/(x)与

y=g(x)的图象上，若归。|的最小值为百，则6=()

A.-1B.3C.-1或3D.1或3

【答案】A

【解析】因为尸(x)=ae*—(a-l),令/''(x)=l,解得尤=0,

而/(0)=。+1-。=1,

则函数>=/(元)的图象在点(o,D处的切线方程为y=丈+1,

则IPQ1mto=&,即点(0,1)到直线x-y+6=。的距离为0,

所以与"=/，解得6=3或人="，

当人=3时，y=x+3与函数/(x)=〃e"—(〃—l)x+l—a(a>0)的图象相交，

所以6=-1.

故选：A.

【变式1-5］若实数a,6,c,d满足”手=手=1,则m-cP+S-d)?的最小值是()

ba-1

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【解析】由伫至=1,得6=a-2e°,令“x)=x-2e',则/(x)=l—2e*,

b

令/(x)=0得x=—ln2,当x>—ln2时，/(x)<0,/(x)单调递减，当x<-ln2时,/(x)>0,/(x)单调递

增；

由^~^=1,得4=—c+2,令g(x)=—x+2,

a—1

〃x),g(x)的图像如下图：

则(a-c)2+(b-表示y=上一点与y=g(x)上一点N(c,d)的距离的平方,

显然，当过M点的的切线与g(x)平行时，|MN|最小,

设y=/(x)上与y=g(x)平行的切线的切点为弧(如％),由=-1,解得％=0,

|0-2-2|2

所以切点为M)(0,-2),切点到y=g(元)的距离的平方为|=8,

V1+1

即(a—c)~+{b—d\的最小值为8；

故选：A.

【变式1-6】已知实数。，b,c,"满足|ln(a_l)_〃+|c_d+2]=0,则(a-c)?+S-d＞的最小值为()

A.2A/2B.8C.4D.16

【答案】B

【解析】由Iln(a_1)+1c_d+2|=0得，ln(a—T)—b=O,c—d+2=O,即b=ln(a—1),d=c+2,

("0)2+(6-疗的几何意义为曲线〃=皿.-1)上的点(。力)到直线1=。+2上的点(城)连线的距离的平方,

不妨设曲线y=ln(x-l),直线y=x+2,设与直线y=x+2平行且与曲线y=ln(x-l)相切的直线方程为

y=x+m,

显然直线y=x+2与直线y=》+%的距离的平方即为所求,

由y=ln(x_l),得y'=」7，设切点为(%,%),

X-L

_^=1

%=2

则，解得m=-2,

y0=ln(x0-l)Jo=0

二.直线y=x+2与直线y=的星巨离为^^=20,

(a-c)2+(6-d)2的最小值为8.

故选：B.

题型二：曲线与点的距离

【典例2-1】若点490)与曲线y=e'上点尸的距离的最小值为2vL则实数f的值为()

.In2「彳In2-。In3一In3

A.4----B.4-----C.3+—D.3+——

3232

【答案】D

【解析】先设切点B,再根据导数几何意义以及最值列式解得实数t的值.因为2A>1,所以，>0,由题意得

以A为圆心，2出为半径的圆与曲线y=e*相切于点B,设可占，eW),则在B点处切线的斜率为铲，所以

eXi

-----ex'=—1

<Xy—t/.—z)2—(%|—/)—12=0

d(X「t¥+(*¥=26

%—t<0%—t=—3,(e'1)~=3.1.&=—In3,f=—In3+3,D.

【典例2-2】(2024.河北石家庄•石家庄二中校考模拟预测)设点A«,0),尸为曲线>=，上动点，若点A,P

间距离的最小值为石，则实数t的值为()

/-53In28In3

A.y/5B.-C.2d----D.2H----

222

【答案】C

【解析】设尸(X,/),则|AP『=(xT)2+e%记g(x)=e2，+(x-)2,

g\x)=2e^+2(x-t),易知g'(x)=2e2*+2(xT)是增函数,且g'(x)的值域是R,

；.g，(x)=0的唯一解%,且x<%时，g'(x)<0,x>x。时，g'(x)>0,即g*)-=g(%),

2A

由题意g(x())=+(%-f)2=6,而g'(尤0)=+2(%-f)=0,x0—t=-e°,

2x

e2M+e4M=6,解得e°=2,x0=殍.

_In2

:.t=e2xn°+/=2H—.

故选：C.

【变式2-1](2024.高三.广东汕头.开学考试)若点4(0,。与曲线y=lnx上点B距离最小值为2石，则实数

/为___.

【答案】|ln3+3

【解析】设点8的坐标为(办山〃?)，对函数y=lnx求导得y=J,

t—Inm

由题意可知，直线AB与曲线y=lnx在点8处的切线垂直，则勉=y=-加，

—m

得Z=+In帆,

由两点间的距离公式得|AB|=yjm2+（^-lnm）2=+m4,

由于〔AB]的最小值为2g,即/+/=12,m＞0,解得利=百，

因止匕，/=3+lnV3=3+—ln3.

2

故答案为：1ln3+3

题型三：曲线与圆的距离

【典例3-1】（2024.高三.山东青岛・期末）已知动点P,。分别在圆M：（尤-1!1〃2）2+（）；-9）2=；和曲线

y=lnx上，则|尸目的最小值为_.

【答案】忘一；

【解析】由题意得知（出加,根），即圆心/在y=e，上，半径为?

故|尸0的最小值等于|MQ|的最小值减去半径g,

设O（”,ln”），由于＞=^与＞=Inx关于y=x对称，

|MQ|的最小值等于。到直线＞的距离的最小值的2倍，

由y=lnx,可得y=L,令工=1,解得〃=1,

xn

故y=in尤在点Q（1,O）处的切线与y=X平行，此时Q（i,o）至I]y=X的距离最小，

目,|l-0|V2

最小值为匕—=—,

故|MQ|的最小值为白？2后，

则|尸0的最小值等于④-；.

故答案为：42--

【典例3-2】(2024•浙江宁波•模拟预测)已知龙，私〃£尺且xwO,机2+川=1,则%—根产+”—2十〃

的最小值是()

A.272B.9-472C.1+2&D.8

【答案】B

【解析】代数式(1+%—加产—％—2+=(l+x-m)2+^x-l+-

2

可以看成点A(八孔)到点3(1+羽％+—-1)距离的平方，点A(zn,〃)在平面直角坐标系sO.中，表示单位圆

x

/+?=1上的点,

22

点B(1+x,x-\-----1)表示曲线，G)=S-2H-----上的点,如下图所示:

X5—1

22

%2)=2,由，(s)=s-Z+Q=W-E".一1，

2

所以曲线()=s—2+—在点。(2,2)处的切线方程为:y-2=-(x-2)ny=—1+4,

5-1

此时直线0。与直线y=-％+4垂直于点0(2,2),交圆于点C,

由数形结合思想可以确定:

2

当点A(叫”)运动到C点时，当点B(l+x,x+—-1)运用到点。(2,2)时，AB?有最小值，即

x

AB1=(OD-1)2=(V22+22-1)2=9-472，

故选:B

【变式3-1］若x、a、b为任意实数,若(a+13+S-2)2=l,则(x-af+(lnx-b)2最小值为()

A.272B.9C.9-4亚D.272-1

【答案】C

【解析】由(。+1)2+(6-2)2=1可得(仍)在以(-1,2)为圆心，1为半径的圆上，

(x-a)2+(ln.b)2表示点与点(x,lnx)的距离的平方，

即表示圆(x+l)2+(y-2)2=1上动点到函数y=lnx图像上动点距离的平方.

设(“7,1M)为y=hu,上一点，且在处的y=lnx的切线与和(-1,2)连线垂直，可得

Inm-21

--------------=-1,

m+1m

即有Inm+m2+m=2,

由/(m)=lwn+M+m在机>0时递增，且=可得根=1,即切点为(1,0),

圆心与切点的距离为d=7(1+1)2+(0-2)2=272,

由此可得(x-a-+(lar-b)2的最小值为(2A/2-I)2=9-472.

【变式3-2］若P,。分别是函数y=V与圆(x+3『+y2=l上的点，则|PQ|的最小值为

【答案】V5-1/-1+V5

【解析】设圆(x+3y+y2=l的圆心为C(-3,0),半径为厂=1,

当PC垂直于抛物线在点尸处的切线时，IPQI取得最小值，为|PC|-r,如图所示，

设点P(九〃)，则直线PC的斜率为怎c=-7-且病=〃，

m+3

由％2=y矢口，y'—2x,

所以在点P处的切线的斜率为k=2m,

因为直线PC与切线垂直，所以曰・2相=-1,所以2/=_3-机，

m+3

所以(2m3+2)+(m+1)=0,即(%+l)(2m2-2m+3)=0,

因为2，/-2根+3=2(根-工)2+9>0恒成立，所以："+1=0,即加=-1,

22

此时,

所以归C|-r=)(一1+3)2+(1-0)2一1=近-1,即IPQI的最小值为逐-1.

故答案为：A/5-I.

【变式3-3】已知点P为函数/(x)="的图象上任意一点，点。为圆。-1)2+尸=1上任意一点，则线段PQ

长度的最小值为()

A.V2-1B.1C.72D.73-1

【答案】A

由圆的对称性可得只需考虑圆心M(1,O)到函数/(尤)="图象上一点的距离的最小值.

设Ax)图象上一点N(九e),令f(x)图象上一点N(m,e")的切线为/

由Ax)的导数为f'(x)=e,即切线/的斜率为k=e"’,

当MNJ_/时，圆心V(l,0)到函数/(x)=e，图象上一点的距离最小，

此时工=-e^,即有2"+机一1=0,

m—1

由g(x)=e"+x-l,可得g，(x)=2e"+l>0,g(x)递增，又g(0)=0,

所以根=0,N(0,1),

所以点(0,1)到点。的距离最小，且为灰,

则线段尸。的长度的最小值为0-1，

故选：A.

题型四：曲线与抛物线的距离

【典例4-1】设+1]nq-，+^-(a>0,b6R),当a,6变化时，6)的最小值为

【答案】y/2-l.

【解析】='(々一人)2+1]na—~—j+—,

函数表示点A(a,lna)和台["?]的距离力口上B的纵坐标，

2

画出"x)=lnx和p=亍的图像，如图所示：

^AB+BC=AB+BD-1=AB+BF-1<AF-1,当钻尸共线时等号成立.

^g(x)=x2+(lnx-l)2,贝ijg〈x)=2见匚~+2x,g*(l)=O,

x

当X>1时，2叵」>-2,故g'(x)=2生王1+2x〉0,函数单调递增;

XX

当0<x<l时，2蛆二!■<一2,^g'(x)=211^+2x<0,函数单调递减.

XX

§(XL=<?(1)=2>^AF-1<V2-1.

综上所述：力的最小值是a-1.

故答案为：V2-1-

【典例4-2】设O=J(x-a)2+1lnx-f]+f+i.(aeR),则£)的最小值为

A.正B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【解析】由题可得：设/(x)=lnx,g(x)=1x2,所以。为g(x)上任意一点到f(x)上任一点及抛物线焦点的

lnl

距离之和，所以距离表达式为Jf+(1n尤一1)2，令g)=犬+(功彳_1)2,h\x)=2^+^-，显然在[。,1]

递减，口,+◎递增所以〃(x)1nto=〃⑴=2,故jY+dnx-l)?最小值为友

【变式4-1](2024.湖北.模拟预测)设£>=无一a/+(e*-2&『+a+l,其中e=2.71828,则。的最小值

为()

A.y/2B.V2+1C.73D.73+1

【答案】A

【解析】令2(元,e)P(a,2«),则点。在函数/(x)=e，图象上，尸在函数g(x)=26的图象上,

容易知道g(x)=2石图象是抛物线V=4尤图象的上半部分，

记抛物线焦点为歹(1,0),过尸作抛物线的准线/：x=-l的垂线，垂足为如图所示：

则。-a)2+(e%-2孙+a+l=\PQ\+\PM\=\P^+\PF\>\FQ\,

当且仅当户在线段尸Q上时，取最小值.

设这时Q点坐标为。(如寸),又尸(x)=e，,

已用一Q

2

所以有寸——_=-l=>e^=l-^0,解得飞=0,即该点为(0,1),

%0—1

所以=点,因止匕4n=0.

故选：A.

题型五：曲线与曲线的距离

【典例5-1】(2024黑龙江哈尔滨.高三哈尔滨三中校考期中)设点P在曲线y=ln(x-1)上，点Q在曲线

y=e'T上，则|PQ|的最小值为.

【答案】72

【解析】由于曲线y=ln(x-l)是由y=lnx向右平移1个单位得到的，y=e.是由y=/现右平移1个单位

得到的，所以「。|的最小值可以看成曲线>=也x上的点与y=d上的点间的最小值，

因为y=，与y=lnx互为反函数，其图象关于直线y=x对称，

所以所求的最小值为曲线y=-上的点A到直线丁=x的最小距离的2倍,

设与直线>=*平行的直线与曲线y=e，相切于点M(x。,*),

因为y=e*,由*=1，得看=。，

所以切点“(0,1),

所以点A到直线y=x的最小距离为d=与=也，

V22

所以归。|的最小值为行，

故答案为：后

【典例5-2】设,c>0,则J(a-6)2+(e"-。r+"(c-6)2+(lnc-6)2的最小值为.

【答案】0

【解析】由两点距离公式的几何意义可知府万71口产表示点(。,内到仅力)的距离，

J(c-b¥+(Inc-b¥表示点(c,lnc)至U(4b)的距离，

而(。©)是丫=一工>0)上的点，(c,lnc)是y=lnx上的点，("6)是>=》上的点，且尸e，与y=ln尤关于

直线y=x对称，

所以J(a-6)2+(e"-6)2+J(c-1)?+(nc-6)2的最小值可转化为y=e，图像上的动点与y=lnx图像上的动

点最小距离，

显然，y=e"与平行y=x的切线《的切点和y=ln无与平行y=x的切线4的切点N,它们之间的距离

|"N|就是所求最小距离，

对于y=e)设切点为(冷兀)，有y'=e"则e'=l,故玉=0,则％=e°=l,故M(0,l),

对于y=lnx,设切点为(4，％)，有>=:，贝lj=l，故％=1，贝U%=lnl=。，故N(l,0),

所以|肱V|=gT=应，所以题设式子的最小值为0.

故答案为：叵.

【变式5-1](2024•湖北襄阳•模拟预测)设点尸在曲线y=e2z+l上，点。在曲线y=l+lnV77T上，则

|「。|的最小值为_.

［答案］：(lMn2)

2

【解析】令/(x)=/a+D、g(x)=ln7^TT分别向上平移一个单位可得y=e2*+2+i、y=l+lnJx+1,而

/(x)与g(尤)关于y=x对称，

・•.当两条曲线在P、。处的切线均与y=x+i平行时，P、。关于y=x+i对称，|尸0|有最小，对应曲线平移到

/⑺、g(元)后，P、。关于，=无对称即可，

.•.令》=尤+1>0,则/(x)=〃z(f)=e",

.•・加⑺=2e"=l有"-竽，贝卜”(一竽)=g,即尸(一殍,g),

।1।1口2

•♦.•P到y=x的距离，」5~T_72(ln2+l),

04

■■\PQ\=2丁二&(1；2+1)

故答案为：同"2+1).

2

【变式5-2】设点尸在曲线>=尤2+1(》20)上，点。在曲线y=GF(xZl)上，则|尸。|的最小值为.

【答案】巫仁枝

44

【解析】由y=/+l,得：x2=y-l,x=±Jy-l.

所以y=x2+l(x»0)与y=K不互为反函数.

则它们的图象关于丁=x对称.

要使|P0的距离最小，则线段P。垂直直线丫=》.

点尸在曲线>=公+1(%20)上，点。在曲线y=VT万上，

设P(x,x2+1),Q(x,y/x-1).

又尸，。的距离为尸或。中一个点到y=x的最短距离的两倍.

以。点为例，。点到直线y=x的最短距离

所以当百'=1,即彳=3时，］取得最小值逑,

248

则|PQ|的最小值等于2x%=半.

故答案为：子

【变式5-3】已知点尸在函数〃x)=xe，+：l的图象上，点Q在函数g(x)=平的图象上，则归0的最小值

为.

x)e\则((0)=1,

在4(0,1)处的切线方程为y-l=lx(x-0),整理可得：好丈+1；

由函数g(x)=F，求导可得：8。)=上手，则g")=l,

在3(1,0)处的切线方程为y-0=lx(x-1),整理可得产x-l；

由直线AB的斜率Ks=W=T，易知：直线A3分别与两条切线垂直..

故答案为：故.

【变式5-4](2024・高三・辽宁・期中)如图所示，动点P,。分别在函数〃x)=e*+x,g(x)=21nx+；上运

动，则|尸。|的最小值为一.

y

f(x)=ex+x

g(x)=21nx+i

1234x

【答案】好

2

【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又/'(x)=e'+l,g'(x)=：在定义域上分别单

调递增、单调递减，所以函数“X）递增的速度由慢到快，g（x）递增的速度由快到慢，设动点p（4%）,

e"+1=—,

x2

。（々,%），当且仅当满足：，(e'1+%)一(21吨+；时，|PQ|取得最小值由图象的示意图不难发

%~X2%

现，该方程组有唯一一组4=0,%=i,所以尸（o,i）,,所以|「。|的最小值为

故答案为：好.

2

【变式5-5】设点尸在曲线y=eX+i上，点。在曲线y=-l+lnx上，则|PQ|最小值为（）

A.&B.272

C.0（1+历2）D.0（1-/〃2）

【答案】B

【解析】.y=e*"与y=-l+lnx互为反函数，其图像关于直线＞=*对称

先求出曲线y=e，+i上的点到直线＞=x的最小距离.

设与直线＞=%平行且与曲线y=e'+i相切的切点尸（七,%）.

/=&*,e*+1=l,解得无o=T...・%=e*i=l.

得到切点p（-u），点P到直线v="的距离〃=号”=&-

"PQI最小值为2及.

故选：B.

【变式5-6］已知函数y=*的图象与函数y=ln（2x）的图象关于某一条直线/对称，若尸，Q分别为它们图

象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（）

A/21D2&ln2厂A/2（1+1II2）

AA.-----dB.-----C.--------D.V2(l-ln2)

242

【答案】D

【解析】设P"为函数y=?图象上任意一点，则6=三，尸（。⑼关于直线『的对称点为Q（6,a）,

又y=ln（26）=lne"=a,即点。修㈤在函数y=ln（2x）的图象上,

所以函数y=［的图象与函数，=ln（2劝的图象关于直线y=x对称,

所以这尸，Q两点之间距离的最小值等于点尸到直线＞=彳距离最小值的2倍,

由y=土，贝!Jy，=J,

22

函数y在点P(%,%)处的切线斜率为女=史，令％=e=1,解得/=ln2,%=1,

222

所以点尸到直线y=无距离的最小值为d=吗斗=应…2),

722

所以这尸，。两点之间距离的最小值为2d=0(1-m2).

故选：D

【变式5-7](2024•高三•宁夏石嘴山•开学考试)已知动点尸、。分别是曲线>=£'和曲线>=2也了上的任

意一点，则线段|P0的最小值为()

A.2A/2B.20(1-ln2)C.拒D.72(1-In2)

【答案】B

【解析】因为v-e*与》=21nx互为反函数，所以其图象关于直线>=尤对称，

先求出曲线v_£"上的点到直线的最小距离，该距离的2倍即为所求.

设与直线y=X平行且与曲线y=e*相切的直线切点为尸(%,%),

1l1l

因为=r，所以^er#=l,解得x°=ln4,

-22

ln4

所以为=ei=泌？=2，即切点为尸(山4,2),

_2-In4

11（）

点P到直线y=%的距高d=r=V2l-ln2,

V2

所以线段|PQ|的最小值为2应(l-ln2).

故选：B

题型六：横向距离

【典例6-1】(多选题)(2024•湖北黄冈•模拟预测)己知函数/(x)=e、，g(x)=lnx+l的图象与直线y=加分

别交于A、B两点，则().

A.m>0

B.Vm>0,曲线y=/(x)在A处的切线总与曲线y=g(x)在8处的切线相交

c.g目的最小值为1

D.3m>0,使得曲线y=/(x)在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线

【答案】ACD

【解析】设42的横坐标分别为也，X2,

贝ljex'=In尤2+1=m

由于6为＞0，故机＞0,故A正确；

当根=1时%=0,4=1,

—（无）=",g〈x）=：,.•/（%］）=（（0）=1,g〈X2）=g'⑴=L

所以曲线y=/（无）在A处的切线总与曲线y=g。）在2处的切线斜率相等，两切线不相交，故B错误；

ml

\AB\=X2―玉=e~-Inm,

设=em-1-lnrn,（//i＞0）,贝ijh\m）=e'"T,是单调递增函数，且〃（1）=0,

所以在（0,1）上〃（租）＜0,〃（加）单调递减，在（1,+℃）上，〃（租）＞0,〃（加）单调递增，

所以I岗加=M®L=Mi）=i，故c正确;

曲线y=f（x）在点A处的切线方程为y-人=/（x-%）,若此切线同时也是曲线y=g。）的切线，可设切点

为（%％）,

xx

y0-e'=e'（毛一玉）

则＜%=lnx0+l,

eX1=——1

I/

消去飞得&T）e"=0,

设0（x）=（x-l）e*-尤，

^（-l）=--+l＞0,^（0）=-l（0,^（2）=e2-2）0,

因为0（无）的图象是连续的，所以°（x）至少有两个零点（可以证明恰有两个零点，因与本题结论无关，在

此从略），

故（西-1）/-再=0有解，进而得到加的值是存在的且大于零的，故D正确.

故选：ACD.

【典例6-2】（2024.江苏苏州.一模）己知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2/+x交于点A,B,

则线段AB长度的最小值为

・小生03+In2

【答案】-^―

【解析】.y=2e*+x，V=2e，+l,设与y=2x-2平行的y=2/+x的切线的点为（无,则切线斜率为

2e与+l,2/。+1=2,%0=—ln2,%=l—ln2,.,.切线方程为y+ln2-l=2(x+ln2),y=2%+ln2+l贝!Jy=2x-2

与y=2x+ln2+l,V”被直线与切线截得的线段长，就是V=。被直线y=2x-2和曲线y=2/+x截得

线段A3的最小值，因为。取任何值时，'=。被两平行线截得的线段长相等，所以令a=0,可得

—In2—13+In2,,./士3+In23+In2

乙=1，4=---------,42=尤8-无4=---,线c段nA3的B取小值一--,故答案为一--.

【变式6-1】已知直线'=〃"分另I］与直线y=5x-5和曲线y=2e'+x交于点M,N两点，则线段MN长度

的最小值是—.

【解析】设与>=5x-5平行且与y=2e，+x相切的直线的切点为&,2e'"+x。）,

x

因为y=2e"+l,?.2e°+1=5,e殉=2,x0=ln2,切点为（In2,4+ln2）,

切线方程为丁一4一In2=5（x-ln2）,即y=5%+4-41n2,

"N长度的最小值就是>=根被V=5%-5与y=5无+4-41n2截得的弦长，

.m+5m+4In2-49-4In2

则有—--------7-----=一7—，

9—41112

故答案为:

5

【变式6-2】直线广相分别与曲线y=；V-21nx,直线y=x-3交于A,8两点，则卜到的最小值为

（）

A.MlB.空C.-D.75

422

【答案】C

d

【解析】由题，设A到直线y=x-3的距离为"，直线y=x-3的倾斜角为a,则sma=画，

又tana=l,卜及"，故最小即d最小，即为当过点A处的切线与直线y=彳-3平行时最小，

由曲线y'=3x-2=l,x>0,得x=l,所以切点为

可求得点A到直线y=x-3的距离最小值为d=「2=逑

g4

故仙瓦皿=V^min=（,

故选：C

【变式6-3］（2024•陕西铜川•一模）直线y=7"分别与直线y=x、曲线y=4x-lnx交于点A,B,则|A@的

最小值为（）

A.-+ln3B.l+ln3C.1+ln3D.2+ln3

22

【答案】B

【解析】由题意可知，直线丫=机与直线y=x的交点根)，直线丫=机与曲线y=4x-lnx交点3(%,相),

满足m=4%-ln%o(%o>0),

则=Bo—M=|x0-(4x0-lnx0)|=|lnx0-3x0|=|3x0-lnx0|,

设/(x)=3x-lnx,x>0,贝ij/'(%)=3—工，

由广(无)>0,得x>g；r(x)<0,得0<x<1,

所以“X)在U上单调递减，在上单调递增，

则〃x)w[J=3xg_ln；=l+ln3,即阿1ml0=l+ln3,

故选：B.

【变式6-4】已知直线>分别与曲线y=e，和曲线y=lnx+l交于P,。两点，则|尸。|的最小值为()

e1

A.1B.eC.-D.；

22

【答案】A

【解析】因为直线y分别与曲线y=e，和曲线y=lnx+l交于P,Q两点，

所以点P的坐标为(Ina,a),点。的坐标为(e",a),

所以|PQ|=k"T-lna|,

设〃a)=ei_lna,则-⑷=e"T_：,

因为函数丫=#|»=-：在(0,+8)上都为增函数，

所以函数:在(0,+。)为增函数，又/")=0,

所以当0<a<1时，r(a)<0,函数〃a)=e"T-lna单调递减，

当”>1时，/'(a)>0,函数/(a)=ei-lna单调递增，

所以=

所以|尸@=卜1一ma,1,当且仅当a=1时取等号，

所以|PQ|的最小值为1.

故选：A.

【变式6-5】已知函数〃尤)=",g(x)=ln>g的图象分别与直线,=机(根>0)交于AB两点，则国的

最小值为()

13

A.2B.2+ln2C.e+9—D.2e—In—

22

【答案】B

Y1

【解析】因为函数",g(x)=ln]+]的图像与直线丫=根分别交于A,B两点，

所以A(lnm,in),B2e"2,"j,其中2e*>lnm，且机>。，

1

所以|AB|=2e2-in”

令h[x)=2e万-lnx(x>0)，

则”(%)=26一5-；,令”(x)=0得：x

所以易得：时，//(%)>0；0<兀<；时，//(x)<0；

即函数h(x｝在上单调递减，在上单调递增,

因此人(x)2=2+ln2,B|J\AB\的最小值为2+ln2.

故答案为：B.

题型七：纵向距离

【典例7-1](2024•四川宜宾•模拟预测)若直线x