2025届高考数学平面向量重难点题型（学生版）

向量《率JUL嗯忙工(17卖410)

近5年考情(2020—2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年/卷第3题，5分平面向量数量积的运算、化简、证明及

数量积的应用问题，如证明垂直、距离

2024年甲卷(理)第9题，5分(1)向量的有关概念

等是每年必考的内容，单独命题时，一

2023年/卷第3题，5分(2)向量的线性运算和向量

般以选择、填空形式出现.交汇命题

2023年〃卷第13题，5分共线定理及其推论

时，向量一般与解析几何、三角函数、

(3)投影向量

2023年乙卷(理)第12题，5分平面几何等相结合考查，而此时向量

(4)平面向量的坐标表示及

2022年北京卷第10题，5分作为工具出现.向量的应用是跨学科

坐标运算

知识的一个交汇点，务必引起重视.

(5)平面向量的数量积及其

预测命题时考查平面向量数量积的几

2020年新高考/卷，第7题,5分几何意义

何意义及坐标运算，同时与三角函数

及解析几何相结合的解答题也是热点

Q

题型一向量的概急辨析易缙题楠理....................................................2

题型二向量的奏直与关线............................................................3

题型三向量的尖角与模茯计算........................................................4

题型四投影向量....................................................................5

题型五用其他向量表示已知向量......................................................6

题型六平面向量共线定理............................................................8

题型七平面向量共线定理的推论......................................................9

题型八极化恒等式求效量积.........................................................11

题型九投影法求效重积.............................................................14

题型十拆分向量求数量积...........................................................15

题型十一建立坐标系解决向量问题...................................................17

题型十二三角形四心的识别.........................................................19

题型十三向量的四心运算...........................................................22

题型十四等和线问题...............................................................24

题型十五通过平面向量共线定理的推论求最值.........................................27

题型十六弁器定理.................................................................29

题型十七向量中的隐圄问题.........................................................32

Q（热点题型）O

题型一向量的概念辨析易错题梳理

9基域知识

1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一■定是相等向量.

4、若两向量共线，则两向量所在的直线有平行和重合两种可能

5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”，要特别注意

6、向量相等具有传递性，即若a=b,b=c,则Q=而向量的平行不具有传递性，即若Q〃匕〃c,未必有

a//co因为零向量平行于任意向量，当b=0时,Q,C可以是任意向量，所以Q与c不一定平行。但若6W0,则

必有Q〃b,b〃C=Q〃C

L（多选）下列结论中正确的是（）

A.若同=忖,则a=b

B.若日|=落贝!

C.若是不共线的四点，则“存=皮”是“四边形4BCD为平行四边形”的充要条件

D.“Z=A的充要条件是“同=帆且日〃户

2.有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若唬则落广不是共线向量；

③若\AB\=|安|,则四边形ABCD是平行四边形；

④若7方=落方=焉则庆=点；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

•M

3.下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等;②模相等的两个平行向量是相等向量;

③若匕;满足同>间,且日与日同向，则日>不

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若云〃〃落则日〃A

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.（多选）下列叙述中错误的是（）

A.若日=优则34>2日B.若4〃日,则日与日的方向相同或相反

—>

C.若日〃幻（〃望则〃〃ID.对任一非零向量落—是一个单位向量

同

题型二向量的垂直与共线

S基础知识

（1）向量共线定理:如果a=4b且bW0,则a//b;反之a〃匕且bW0,贝U一存在唯一一个实数4,使a=Ab.

⑵两个向量4，6的夹角为锐角u>4・b>0且4,6不共线；

两个向量日，声的夹角为钝角o江•日〈。且云，;不共线.

（3）a_L6«a-6=0

⑷若A=（x,y）,则加=（Ax,Ay）

向量共线运算：已知a=（x1,y1）,b=（如纺），则向量6（6#：0）共线的充要条件是为曲一/2gl—0

5.向量2=(1,3),b=(3%—1,%+1),3=(5,7),若(a+b)//(a+c)，且匹=ma+n&则7n十九的值为

()

A.2B.-1-C.3D.J

6.已知向量4=(1,1),b=(—1,1),3=(4,2),若2=就+〃庆4、〃eR,则4+〃=()

A.—2B.—1C.1D.2

7.设向量4=(cosrc,V2sinrr),6=(1,—V2)，其中力C[0,7：].•••

(1)若(a—6)〃唬求实数力的值；

(2)已知c=(m,—1)且匹_L位若fQ)=4•落求/(6)的值域.

8.侈选)已知向量4=(1,V3),b=(cosa,sina),则下列结论正确的是()

A.若4〃立则tana=四

B.若日，九则tana=—空

C.若C与。的夹角为卷，则1=3

O

D.若日与日方向相反，则不在日上的投影向量的坐标是

题型三向量的夹角与模长计算

s基马知识

、a-ba-

4与式夹角公式：cos。=2与4+日夹角公式：cos。=

同同|a||a+&|

模长公式：4・4

注意：涉及这类条件时一般要进行平方

9.已知向量恸=3,帆=2匕与1的夹角为专,则怩—3同=()

O

A.6B.3V6C.3D,372

10.已知向量落才满足同=1,帆=3,J—1=(2,V6)，则归+间=

n.已知向量方=(1,2)了=(4#),若方与广垂直，则4与3+击夹角的余弦值为()

R3

B-J

12.设向量4=(2,一4),厂=(1,—工)，向量方与独勺夹角为锐角，则/的范围为.

13.向量4=⑵力)，日=(—1⑶，若落广的夹角为钝角,则力的范围是

14.已知落广为单位向量，且国一5闻=7,则日与日一声的夹角为()

A-iB-fc4D-f

15.(2024.高三.上海奉贤.期中)已知平面向量4,b的夹角为(，若同=1,馆一同=视，则吼的值为

•••

16.已知康最表示两个夹角为冷的单位向量，O为平面上的一个固定点，P为这个平面上任意一点，当

OP=xe1+ye2时，定义（c,y）为点尸的斜坐标.设点Q的斜坐标为（2,1）,则\OQ\=.

17.（2024•江西宜春•三模）已知a,广均为非零向量，若|24—4=间=2\a\，则日与，的夹角为.

投影向量

S基础知识

777

向量日在日上的技彩向量：整了=闾•cos。•二，其中二是与不同方向的单位向量

-►7

向量日在日上的技彩向式模长：鲁

18.已知匕广是夹角为120°的两个单位向量，若向量4+需在向量方上的投影向量为2落则4=（）

2瓜

A.-2

19.（2024.福建泉州.模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P在直线为+2g+1=0上.若向量a=

（1,2）,则罚在日上的投影向量为（）

20.已知向量4=（—2⑵，日=（1,1）,则日一日在日方向上的投影向量为.

21.已知点人（一1,。。。。。°。。2）,0（-2,°。。。-1）、。⑶。。。。4）,则向量存在

济方向上的投影向量的模长为

A3V1口「3V2八3V15

A，2民2。2D2

22.已知同=2,4与日的夹角为华，3是与日同向的单位向量，则4在声方向上的投影向量为（）

O

A.1B.—1C.cD.—e

23.已知同=3,3是与日方向相同的单位向量.若向量汗在N方向上的投影向量是4落则日••才=M.

24.若向量4=(6,2),(2,3),匹=(2,—4),且4〃落则4在日上的投影向量为()

A(fl)B.(-><)C.(8,12)D.噜

25.(2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知向量4,L满足同=2了=(3,0),日一同=师,则向量:在向量)

方向上的投影向量为()

A.佶,0)B.佶,0)C.",0)D.(1,0)

题型五用其他向量表示已知向量

S基地如以

(1)基本思珞:利用向北的线性运算对巳知向量进行拆分，逐渐带化为只有基底向量的矽式

(2)坐标表示:特定系数法

(3)常见模型补充:向量中的定比分点恒♦式(爪型图)

在△ABC中，。是BC上的点，如果粤=丝，则赤=mAC+-^―AB

CDnm+nm+n

26.在△ABC中，点。满足超=3屈，则（）

A.CD=^-CA+^-CBB.CD=^-CA+^-CB

4433

C.CD=^-CA+^-CBD.CD=^-CA+^-CB

4433

27.若向量4=（2,l）4=（T2）,d=„），则不可用向量1表示为（）

A.^a+bB.-^a-bC.触+和D.触—与

28.如图所示的AABC中，点。、后分别在边8C、4D上，且80=0。.即=2AE,则向量存=（）

•M

a

/\

---'B

A.^-AB+^-ACB.^AB+^ACC.^AB+^ACD.^-AB+^-AC

33666633

29.已知△ABC的边8c的中点为。，点E在△ABC所在平面内，且反5=2差一巨]，若m无+"彳方=

48,则nz+n=()

A.7B.6C.3D.2

30.如图所示，点。在线段BD上，且BC=3CD,则由5=()

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.^-AC-^ABD.^-AC-^-AB

oooo

31.如图，在△ABC中，病=[■左,P是BN的中点，若量=小屈+为记，则m+n=()

32.已知在4ABC中,N是边AB的中点，且4BM=就，设4W■与CN交于点P.记岳=冷4行=亡

⑴用落日表示向量用法，CN；

⑵若2同=同，且存,岳，求伍内的余弦值.

题型六平面向量共线定理

s蠹他知识

平面向量共线定理:三点力，B,。共线=45,丞?共线(功能：证明三点共线)

33.已知向量存=(2,l),BC=(7,m),CD=(3,—1),若4。三点共线，则成=.

34.已知48=3(易+&),CB=&—扇,。。=+翦,则下列结论中成立的是()

A.三点共线B.三点共线C.4,0，。三点共线D.。，B,C三点共线

35.如图，在口ABCD中，点加•为4B的中点，点N在上，3BN=BD.

求证：M,N,。三点共线.

36.已知加=4+5位宿=—2(4—4。，所=3(4—5，则()

A.M,N,P三点、共线B.河，N,Q三点共线

C.Af,P,Q三点共线D.N,P,Q三点共线

37.已知不共线的向量匕比且毋=4+2日BC=-5a+6b,①=74—2人则一定共线的三点是(

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

38.如图，在△ABC中，五=2屈，麓=百苕.

⑴用刀，病表示万方，曲；

⑵若点M满足加=一方存+[■记证明：B,三点共线.

题型七平面向量共线定理的推论

核心•技巧

平面向共线定理的推论一一系数和为1:

已知PC=APA+[iPB

V

/

..

/一

①若4+〃=1,则/_、8、C三点共线；

②若则/.、8、。三点共线，则4+〃=1.

证明

证明①：由6+g=l=>A,_B,。三点共线.

由6+g=1得：PC=xPA+yPB-xPA+(1—x)PB=>PC—PB—x(PA—PB)nBC-xBA.

即方方，离共线，故A,3,。三点共线.

(2)由4,B,。三点共线=>/+g=1.

由4B,。三点共线得.，国共线，即存在实数4使得.=ABA.

故BP+PC=A(BP+PA)=>PC=APA+(1—X)PB.即2=尢沙=1—4,则有a;+g=1.

39.在△ABC中,N是AC上的一点，且岳=^-NC,P是BN上的一点，设NA=mAB+J■怒，则实

OJ-1

ANC

40.（深圳二模）已知△O4B中，而=况，无=2屈，AD与相交于点河，血=251+次重，则有

序数对（x,y）=（）

A-（14）B-（14）c-（14）D-（14）

41.在/\ABC中,已知BD=2DC,无=*,，BE与AD交于点O.若无=xCB+yCA{x,yEA）,则立

+y=•

42.已知点G为△/BC的重心，分别为4B,AC边上一点，。，G,E三点共线，斤为8C的中点，若

AF=AAD+〃后，则4+〃=；-y+—的最小值为.

43.（2024届.湖南师大附中月考（二））A4BC中，。为AC上一点且满足病=［虎，若P为8。上一点,

O

且满足由5=4毋+〃4方以〃为正实数，则下列结论正确的是（）

A.助的最小值为—TB.演的最大值为1

C4+力的最小值为4立了+访的最大值为16

44.如图，在△4BC中，病=［觉，P是BN上的一点，若M=m毋+J■灰,则实数巾=

OJ--L

45.江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）

在△ABC中，已知助=2方方，屈=直，班与人。交于点0.若无=X乐+贝点（外96r），则力

+y=-

46.如图所示，在△ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线48、AC于不同的两点河、N,

若AB=0）,则m,+九的值为（）

A

「9

c-yD.5

47.在△ABC中，后方=3瓦，CF=2FA,E是AB的中点，即与AD交于点P,若前=山岳+加记,

则？72+72=（）

A.4B.4C.4D.1

777

48.如图，在△ABC中，。是线段上的一点，且反?=4说，过点。的直线分别交直线AB,AC于点

M,N.若无法=4■，AN=/iAC^>O,n>Q）,^,U--的最小值是.

49.已知三点A,B,。共线，OB,OC不共线且A在线段BC±（不含BC端点），若刀=xOB+yOC,则

A.不存在最小值B.yC.4D.y

题型八极化恒等式求数量积

核心•技巧

极化恒等式求救量积

在三角形ABC中（M为BC的中点），则有：AB-AC=\AM\2-\BM^

证明（基底法）：因为BC=2BM,

所以翁•前={AM+MB)•(AM+MC)=\AM^-|BM|2•M

50.如图，已知圆。的半径为2,弦长AB=2,。为圆。上一动点，则彩的取值范围为（）

A.[0,4]B.[5-4V3.5+4V3]C.[6-473,6+473]D.[7-473,7+473]

51.（2022•北京高考T10——隐圆+极化恒等式）在△ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P为△ABC

所在平面内的动点，且PC=1,则方•屈的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

52.（2024届长沙一中月考（二））已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,为其外接球的一条直

径，P为正四面体A—8CD表面上任意一点,^\PM-PN的最小值为.

53.（2017年全国2卷（理）712）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则由•

（国+历）的最小值是（）

A.-2B.C.-4D.-1

/O

54.（2019江苏高考）如图，在△4BC中，。是反7的中点,是4D上的两个三等分点由。-CA=4,

BF°.无=—],则说。.无的值是.

55.如图，48是圆O的直径，P是圆弧年上的点，M、N是直径AB上关于O对称的两点，且48=6,

MN=4,则同•国（）

A.13B.7C.5D.3

56.如图，边长为2的菱形4BCD的对角线相交于点。，点P在线段80上运动，若万・N3=1,则向・

刀的最小值为.

D

57.如图，9A4BC中，ZABC=90°,AB=2,BC=2四，河点是线段水7一动点，若以河为圆心半径

为1的圆与线段AC交于P,Q两点,则乐。•觉的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

58.平行四边形ABCD中，岳•而=5,点P满足方•阮=8,则向•历=.

59.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示,分别以正三角

形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知

AB两点间的距离为2,点P为叁上的一点，则可•（屈+历）的最小值为.

60.已知圆。的半径为2,点A满足|前|=3,E,尸分别是。上两个动点，且|说|=26，则巅•4的

13

取值范围是（

A.[4,16]B.[2,6]C.[6,22]D.[1,13]

61.半径为2的圆O上有三点，48、。满足51+京+元=6,点P是圆内一点，则由•历+国•

用的取值范围是.

62.（等和线+极化恒等式）正方形ABC©的边长为4,中心为O.过O的直线，与边人口。,。CD分别

交于点河。,。N,点P满足条件：2赤=4比+（1—冷云,则国•两的最小值为（）

A.0B.—2C.—3D.—7

63.在ZL48C中，8。=3,47=4,ZACB=90°,。在边ZB上（不与端点重合）.延长CD到P,使得

GP=9.当。为AB中点时，PO的长度为；若用=小次+住—nz）屋（馆为常数mWO且

mW,）,则BD的长度是.

题型九投影法求数量积

核心•技巧

技彩法求数量积

^^,PA-PB=PA-PH

对于司•屈=|闻11屈卜os仇其中|巨同cos。是屈在网上的投影,

在Rt/\PBH中|屈卜os。=\PH\，故属•屈=I园11两I,

考虑到cos。可能为钝角，故写成方•无=次•屈.

64.（2020•新高考1卷T7）已知P是边长为2的正六边形4BCC®尸内的一点，则N•存的取值范围是

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)

65.已知圆O半径为2,弦AB=2,点。为圆O上任意一点，则存方的最大值是

•M

Q

I

66.（2023全国乙卷（理）T12——投影法求最值）已知。O的半径为1,直线上4与。O相切于点A,直线

PB与OO交于B,。两点，。为的中点，若灰。|=方，则次•m5的最大值为（）

A.1+^B.1+产C.1+V2D.2+V2

67.在边长为1的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点,^\AD-BP的取值范围为

68.平面四边形4BCD是边长为4的菱形，且乙4=120°.点N是。。边上的点，满足丽=3配.点M

是四边形内或边界上的一个动点,则无法•病的最大值为（）

A.13B.7C.14D.12+2V3

69.如图，是边长2的正方形，P为半圆弧上的动点（含端点）则无百•NA的取值范围为

题型十拆分向量求数量积

核心•技巧

把夹角嵬模长未知的向量拆分成巳知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动点在

国上动，则拆解相关向量甘插入国心对应的点

70.如图,在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,4B=4,ZDAB=60°,E为边上一点，且满足BE=

2CE,若助•赤=4,贝1」施•质5=（）

•M

A.-4B.-8

71.如图在平行四边形ABCD中，已知48=8,40=5,CP^3PD,AP°•炭=2,则N咨初的值是

72.骑自行车是一种环保又健康的运动,如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆4（前轮）,

圆。（后轮）的半径均为血，△ABE,△BEC,△EC©均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的

一点，则在骑行该自行车的过程中，前•N的最大值为.

E\DJ

73.在平面四边形ABCD中，ABAD=,乙BAC=咚，43="，AD=2,47=4.若反3=4存+

66

/LtAD，则/I+〃=()

Dy---------------------NC

B.2V3

74.在△ABC中，AC=3,BC=4,况♦无=8,则AB边上中线CD的长为.

75.如图，在△ABC中，乙BAC=卷，而=2屈，P为CD上一点，且满足前=成瓶+；存（小CR）,

O/

若47=3,48=4,则4P的值为().

p

----b~~

「131

A.-3B.D.-

0・运12

76.已知菱形ABCD的边长为2,乙BAD=120°,点E,F分别在边BC、DC上，BC=3BE,DC=ADF.

若族・/=l,则义的值为

77.（向量的拆分）如图，△ABC中，/。=£,4。=2,口。=通'+2.在△ABC所在的平面内，有一个边

长为1的正方形4DEF绕点4按逆时针方向旋转（不少于1周），则存•说的取值范围是（）

C.[-5,9]D.[-3,4]

题型十一建立坐标系解决向量问题

2^_

tt«<|)

已知夹角的任意三角形正方形矩形

平行四边形直角梯形等腰梯形

78.在矩形ABCD中，AB=1,4D=2,AC与8。相交于点O,过点A作则於。■EC=

2412

A11BR

,25-25,T

79.在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M,N分别是48,AD上的动点，且满足2AM+AN=1,设万

=xAM+%4N,则2x+3y的最小值为

80.（2024.全国.模拟预测）已知在菱形ABCD中，AB=BL>=6,若点M在线段AD上运动，则万•屈

的取值范围为.

81.如图，已知正方形ABCD的边长为3,且2旅=3屈+存，连接3E交CD于F,则（次+2说）・

82.（2024.广东深圳.一模）设点人（一2,0）,B（—/,0）,。（0,1）,若动点P满足|融|=2「耳，且最=4无§

+，则4+2〃的最大值为.

83.给定两个长度为1的平面向量为和西，它们的夹角为冬.如图所示，点。在以O为圆心的圆弧

O

AB上运动.若氏=xOA+9西，其中小yCR,贝U尤+2夕的最大值为.

•M

84.如图，正八边形48coe尸GH中，若通=4%方+〃/（义。，。〃eH）,则4+〃的值为.

85.（2024.高三.河南濮阳.开学考试）大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方

图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD,EFGH均为正方形,AD=

人后=2,则属・毋=.

86.菱形ABCD的边长为2盗，中心为O,乙48。=谭■，河为菱形入瓦刀的内切圆上任意一点，且前=

xBA+0辰5,则2x+y的最大值为.

87.（2024.天津.二模）已知菱形ABCD边长为1,且存・屈=-为线段AD的中点，若尸在线段CE

上，且口尸=龙4+小灰7,则义=，点G为线段AC上的动点，过点G作的平行线交边

于点河，过点河做8c的垂线交边于点N,则（荻+加）•加的最小值为.

88.已知正三角形ABC的边长为2,。是边的中点，动点P满足|西|<1,且M=c毋+0方不，其

中c+则26+g的最大值为.

题型十二三角形四心的识别

核心•技巧

1、若O为AABC重心

—

⑵父+9+R=0；

(3)动点P满足。声=示+4施+N3)/e(0,+00),则P的轨迹一定通过△ABC的重心

⑷动点P满足丽=+乂,—+,_^c—I/IG(0,+00),则动点P的轨迹一定通过4ABC的

I|AB|sinB|AC|sinCJ

⑸重心坐标为：产+于%

\JJ/

2、若。为MBC妻心

（X）OA-OB=OB-OC=OC-OA

（2）|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=\OC[+\AB[

一一「器AT}

（3）动点P满足OP=OA+4——+——"C（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过△ABC

I\AB\cosB|AC|COSCJ

的垂心

3、若O为乙4«7内心

⑵Q・OA+b・OB+c,OC=0

⑶动点P满足历=刀+乂4^-+厘［0,+8）,则P的轨迹一定通过△48。的内心

\\AB\\AC\'

+就

（2）动点P满足5A=°B=℃+4"e（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过

|AB|cosB|AC|cosC

△ABC的外心;

（3）^（OA+OB）-AB=（就+丸）•尻=（dl+研•超=0,则。是△ABC的外心;

89.已知点。为△48。所在平面内一点，若加②—京,=2AO•玩，则点O的轨迹必通过△4BC的

.（填：内心，外心，垂心,重心）

90.已知△4BC所在平面内的动点朋•满足彳法=公正+以反且实数以夕形成的向量汗=,一/辿）与

6=（-1,2）向量共线,则动点双的轨迹必经过△ABC的心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）

91.已知O,N,P,/在△4BC所在的平面内，则下列说法不正确的是（）

A.若|51|=|无|=|示|,则O是△ABC的外心

B.若屈•达=前•法=巨？•无=0,则/是△ABC的内心

C.若历•屈=国•历=用•次，则P是△ABC的垂心

D.若混+航+配=6,则N是△ABC的重心

92.已知0,「,"在4人及7所在平面内，满足|示|=|就|=|%|,屈+屈+户苕=0,且词.届=的.

标=加♦漏，则点O,P,N依次是△48。的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，重心，内心

93.（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.若a（5N+b质+c（53=6,则点。是△48。的重心

B.若刀•空——丝-=质•器——3=0,则点。是的内心

\\AC\\AB\/'\BC\\BA\）

C.若（刀+。面•岳=（而+54）♦就=0,则点。是△ABC的外心

D.若为•西=无・云=元♦刀，则点O是△4BC的垂心

94.点O,G,P为△ABC所在平面内的点，且有|51|2+|sc|2=\OB^+\CA^=|OC|2+\AB^,GA+GB

+GC=0,（国+屋）•存=（刀+用）•於=（用+属）•况=0,贝ij点O,G,P分别为△ABC的

（）

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

95.已知点N,O,P在△ABC所在平面内，且方+屈+4=3两，OA2=OB2=OC2,PA-PB=PB

•同=同•次，则点N,O,P依次是△48。的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

96.若。是△ABC所在平面上一定点，H,N,Q在△ABC所在平面内，动点尸满足同=5田+

A[嚼~+第7），4C（0,+8）,则直线AP一定经过△ABC的心，点H满足

\HA\=\HB\=\HC\，则以是△ABC的心，点N满足遍+A而+而?=6,则N是△4BC的

心，点Q满足@日•了=◎点◎酉=以为则Q是△ABC的心，下列选项正确的是

（）

A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心

C.内心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，内心

题型十三向量的四心运算

核心•技巧

基本思路：利用三角形外心、内心、垂心的几何特征，结合向量运算的几何意义计算求值

97.设。为△ABC的外心，6,AC=8,则51•后方=.

98.（高一下•湖北武汉・期末）△48。中，AB=2,BC=2n，4,点。为△4BC的外心，若而=

mAB+nA。,则实数m=.

99.已知△4BC外接圆的半径为1,圆心为点O,且满足4OC=-2OA-3OB,^]cosZAOB=

•••

,AB-6A=.

100.已知△ABC中，ZA=60°,AB=6,AC=4,。为AA8C的外心，若左5=4存+”万3，则N+”的

值为（）

A.1B.2C.D.4

182

101.（多选）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:三角形的外心、重心、垂心依

次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉

线，该定理则被称为欧拉线定理.设点。、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为的中

点，则（）

OH=OA+OB+OC

A.B-S4ABG=SABCG=S^ACG

C.AH=3OMD.AB+AC=4：OM+2HM

102.已知三角形ABC中，点G、O分别是△ABC的重心和外心，且嘉•丞5=6,|怒|=2,则边及7的长

为.

103.在Rt/\ABC中，/A=等，4,若点G是△ABC的重心,^\GA-（GB+GC）=.

104.（2023高一下•山东青岛•期末）记△ABC的三个内角4BC的对边分别为a,b,c,且b=3,c=2,若

O是AABC的外心，则及5•反5=.

105.（2023高一下•广东珠海・期末）在△4BC中，乙4=60°,BC=V3,。为△ABC的外心，。，E,尸分别

为C4的中点，且无2+矗②+赤2=之，则出宿+无•丸+元•刀=

106.已知点。是△48。的外心，AB=6,BC=8,吕二^^若函:2运十沙后^则%+旬二.

O

107.（多选）在△ABC中，下列说法正确的是（）

A.