2025届高考数学双变量问题题型汇编（原卷版）

双变量问题

【新高考专用】

【知识点1导数中的双变量问题】

1.导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【知识点2导数中的双变量问题的解题策略】

1,转化为同源函数解决双变量问题

此类问题一般是给出含有尤1,X2,>1)，孔⑵的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式

相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.

2.整体代换解决双变量问题

(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a,得到仅含有尤1,无2的式子.

(2)与极值点为，X2有关的双变量问题：一般是根据X1，尤2是方程/(尤)=0的两个根，确定xi，X2的关系,

再通过消元转化为只含有XI或尤2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为尤1，X2的齐次式，然后

转化为关于蔡的函数，把孩看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.

3.构造函数解决双变量问题的答题模板

第一步：分析题意，探究两变量的关系；

第二步：合二为一，变为单变量不等式；

第三步：构造函数；

第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题;

第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.

►举一反三

【题型1双变量单调性问题】

【例1】(2024•四川德阳•一模)已知函数/Xx)=上/_,/+32+2)x—U久〉]，若对任意刈<如

都有/(石)-f(久2)<2xi—2%2，则实数a的取值范围是()

A.(—8,—2)B.[1,+8)C.(-2,|]D.(一8,一那

【变式1-1](2024.四川内江.模拟预测)定义在R上的函数/(%),对ER都有%"(%i)+%27(%2)>

(%1)若f(%。)>/Qoga%)(。>。且。。1)，则下列式子一定成立的是()

21

A.alna<-B.alna<-

ee

C.alna>-1D.alna>-2

ee

【变式1-2](24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(%)=21n%+/一0%.

(1)当a=l时，求/(%)的单调区间；

（2）若对任意0</<*2，都有"，2）-f（%）>1,求a的取值范围.

%2—

【变式1-3]（23-24高二下•辽宁朝阳•阶段练习）己知函数/（切=%—（a+2）lnx—亨.

⑴讨论函数/（%）的单调性；

（2）设g（x）=Inx+2，对任意久1，冷G[3,+8）,且冷>久「使/'（久2）-/（刀1）Na[g（%2）-。（久力]恒成立，求

正实数a的取值范围.

【题型2双变量的最值（范围）问题】

【例2】（2024•广东广州•模拟预测）已知函数/（久）=e*+x,g（x）=Inx+%,若/Oq）=。（右），则打久2的

最小值为（）

A.-eB.--C.-1D.--

e2

【变式2-1]（2024.河北沧州.模拟预测）己知函数/（x）=[若a<6,且/（a）=/（b）,贝防—a

1%INfX<U

的取值范围是（）

A.（In2,l]B.（In2,l）C.（|ln2,l]D.[1,2）

【变式2-2]（2024.广东广州.模拟预测）已知函数/（久）=e*—ax-

（1）若尸（久）20,求实数。的取值范围；

（2）若/■（久）2-|%2+%+匕，求（a+1）6的最大值.

【变式2-3](2024高三下•全国•专题练习)已知函数/(%)=ae%——(awR)有三个极值点冗1，x3(久1V

%2<%3),

⑴求实数4的取值范围；

(2)若第3>2牝，求实数a的最大值.

【题型3与极值点有关的双变量问题】

【例3】(2024.福建泉州.一模)已知%1，%2，是函数/(%)=(%-一%两个极值点，贝！J()

A./+上=—2B./+冷=1C./(%i)+/(%2)=-2D./(%i)+/(犯)=2

【变式3-1](2024•全国•模拟预测)若函数/(%)=aln%+|/_2%有两个不同的极值点％L%2,且£一/(%1)+

%2</(%2)-/恒成立，则实数t的取值范围为()

A.(—8,—5)B.(—8,—5]C.(—8,2—21n2)D.(—8,2—21n2]

【变式3-2](2024•四川德阳・二模)已知函数f(%)=In%+%2—2ax,a6R,

⑴当a>0时，讨论f(%)的单调性；

(2)若函数/(%)有两个极值点久L%2(%1<%2)，求2/(%1)-/(%2)的最小值.

【变式3-3](24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)已知“久)=一较2，+4d-我一5.

(1)当a=3时，求/(无)的单调递增区间；

(2)若f(x)有两个极值点久1，x2.

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：/(第J+/(冷)++%2Vo•

【题型4与切线有关的双变量问题】

【例4X23-24高二下•湖南•期中)已知P(t,t2),过点P可作曲线/(x)=x—Inx的两条切线,切点为(与,/%)),

(%2J(x2)),求修久2[%善)-1]的取值范围()

A.(—1,0)B.[—1,0)C.(—2,—1)D.[—2,—1)

【变式4-1](2024•河北邢台•二模)已知函数/0)=久2+21!!%的图像在4014(久1)),B(X2"(%2))两个不

同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是()

1010

=

A./+%2=2B.xr+x2=-C.%i%22D.xrx2——

【变式4-2](2024・广东・二模)已知/(%)=1ax2+(1—2a)x—2\nx,a>0.

⑴求f(%)的单调区间；

⑵函数/(%)的图象上是否存在两点4(%1①),8(%2①)(其中久1。％2)，使得直线与函数/(%)的图象在%0=

中处的切线平行？若存在，请求出直线A8；若不存在，请说明理由.

【变式4-3](2024.重庆.模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿

法.具体做法如下：如图，设r是/(x)=0的根，首先选取X。作为r的初始近似值，若/(X)在点OoJOo))处

的切线与x轴相交于点(打,0),称久1是厂的一次近似值；用/替代久。重复上面的过程，得到亚，称右是厂的二

次近似值；一直重复，可得到一列数：x0,x1,x2,-,xn,-.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当

%„,1，%„(n£N*)近似值相等时，该值即作为函数〃久)的一个零点r.

^x2lx\x0""

(1)若/(%)=x3+3x2+x-3,当%o=。时，求方程/(%)=0的二次近似值(保留到小数点后两位)；

⑵牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数g(%)=e“-3在点

(2,g(2))处的切线，并证明：ln3<l+1；

(3)若九(%)=x(l-In%),若关于％的方程九(%)=a的两个根分别为%<%2)，证明：x2-%i>e-ea.

【题型5与零点有关的双变量问题】

【例5】(2024.河北衡水.模拟预测)已知函数/(%)=In%+1-ax有两个零点%1，汽2，且%1<%2，则下列命

题正确的是()

2

A.a>1B.+x2<-

i

C.•牝V1D.x2—x1>--1

【变式5-1](2024.四川南充.一模)已知函数〃久)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有两个不同的零点与，

%2，下列关于%1，七的说法正确的有()个

v7Q

①二<2m②％1>----③石④％62>

e?n+2e<x2<3—7n1

A.1B.2C.3D.4

【变式5-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=a]—J,a>0.

⑴若/(%)存在零点，求〃的取值范围；

(2)若%1，%2为/(%)的零点，且％1<%2，证明：晨％1+%2¥>2.

【变式5-3](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知函数/(%)=/Ex-m有两个不同的零点久1，%2,且力=

xf+%2•

(1)求实数机的取值范围；

(2)求证:t<1；

(3)比较t与2及2爪+三的大小，并证明.

ee

【题型6双变量的恒(能)成立问题】

axE

[例6](2024・重庆・模拟预测)已知函数/(%)==axe~,若存在无1G(0,1),x2(一8,0)使得

/(%i)=g(%2)，则实数。的取值范围为()

A.(-00,-2)B.(-2,-1)C.(-1,+8)D.(0,+oo)

【变式6-11(2024・陕西商洛・模拟预测)已知函数/(%)=2%ln%—a/,若对任意的%],%2E(0,+8),当%1>x2

时，都有2/+/(%2)>2%2+/(%1)，则实数。的取值范围为()

A.[卷，+8)B.[1,+8)C.[]1+8)D.[2,+8)

【变式6-2](2024.四川泸州.一模)已知函数/(%)=ax+1—的图像在％=1处的切线与直线％—y=0

平行.

⑴求函数/(%)的单调区间；

(2)若E(。，+8),且%1〉％2时，/(%1)-/(%2)>加后一好)，求实数机的取值范围.

【变式6-3](23-24高二下•湖南林K州•期末)已知f(%)=aln%+—2%(aER且aH0),g(%)=cos%+

xsinx.

(1)求。0)在|-兀,"]上的最小值；

(2)如果对任意的/e[-71,TT],存在久2e\-,e],使得9—aWgOi)成立，求实数a的取值范围.

LeJ%2

【题型7双变量的不等式证明问题】

[例7](2024・河北保定•二模)已知函数/(%)=ax—%ln阳((%)为其导函数.

(1)若f(%)41恒成立，求a的取值范围；

(2)若存在两个不同的正数%1，型，使得/(%1)=/(%2)，证明：尸(后石)＞。,

【变式7-1](2024•全国•模拟预测)设函数/(%)=%ln%

⑴分析/(%)的单调性和极值；

(2)设g(x)=/(%+，)+5若对任意的汽20,都有g(%)2血%成立，求实数机的取值范围;

x

(3)若%1。&，且满足/(%1)+/(%2)=|(好+2)-1时，证明：%i+%2＞2.

【变式7-2](2024.安徽合肥.模拟预测)已知函数/(%)=a(l-21nx)+4x6(aGR).

(1)讨论/(%)的单调性；

x4

(2)若久i，%2(i。X2)为函数0(%)=kx?+妥-In%的两个零点，求证：(/冷尸＞12e.

【变式7-3](2024・四川成都•模拟预测)已知函数/(%)=詈一皿％€(0m).

⑴求函数/(%)的单调区间；

(2)若%1<%2，满足/(%1)=/(%2)=。.

(i)求租的取值范围；

(ii)证明：/%2V1T.

【题型8双变量的新定义问题】

mx1x

【例8】(2024.四川成都.模拟预测)定义运算:=mq-np,已知函数/(无)=~|,5()

P

X

(1)若函数/(©的最大值为0,求实数。的值；

(2)证明:(1+5)(1+!)(1+*)…(1+5)<e.

(3)若函数h(x)=/0)+90)存在两个极值点%1，右，证明：ft(X1)-ft(X2)-a+2<0.

%1一%2

【变式8-1](2024.浙江绍兴.三模)若函数a(%)有且仅有一个极值点zn,函数夕(%)有且仅有一个极值点九,

且m>n,则称a(%)与/?(%)具有性质a—/3//m>n.

x

(1)函数Wi(%)=sinx-/与02(%)=e-%是否具有性质%-(p2//x0>0?并说明理由.

xx

(2)已知函数/(汽)=ae-ln(x+1)与g(%)=In(%+a)-e+1具有性质/-g//xr>x2-

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：1goi)|>\x2\.

【变式8-2](2024•浙江温州•二模)如图，对于曲线「，存在圆C满足如下条件:

①圆c与曲线「有公共点4且圆心在曲线r凹的一侧；

②圆c与曲线「在点a处有相同的切线；

③曲线r的导函数在点a处的导数(即曲线r的二阶导数)等于圆c在点a处的二阶导数(已知圆0-。)2+

(y一力)2=N在点A(%o，yo)处的二阶导数等于益-)；

v^-yo)

则称圆C为曲线r在4点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.

(1)求抛物线y=/在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线y=5的曲率半径的最小值；

(3)若曲线y=e*在(X],e%)和(上,e*z)(xi丰町)处有相同的曲率半径，求证：xr+x2<-ln2.

【变式8-3](2024•上海徐汇.二模)己知常数k为非零整数，若函数y=/(x),xe[0,1]满足：对任意均用2G

kk

[0,1],|/(%!)<|(%1+l)-(x2+l)|,则称函数y=/(*)为L(k)函数.

(1)函数y=2x,xe[0,1]是否为L(2)函数？请说明理由；

(2)若y=f(x)为L(l)函数，图像在x€[0,1]是一条连续的曲线，f(0)=0,/(I)=|,且/(久)在区间(0,1)上

仅存在一个极值点，分别记f(x)max、/0)1^为函数了=/(行的最大、小值，求/(久)max-f(x)min的取值范

围；

(3)若a>0,/(%)=0.05/+o.lx+aln(x+1),且y=/(久)为>—1)函数,g(x)=对任意％,yE[0,1],

恒有lg(x)—g(y)lWM，记M的最小值为M(a),求a的取值范围及M(a)关于a的表达式.

►课后提升练(19题

一、单选题

1.(2024.吉林长春.模拟预测)已知a,6满足e&=—ae-2,b(lnb—2)=e3其中e是自然对数的底数，

则ab的值为()

A.-eB.—e?C.-e?D.—e4

2.(24-25高三上•山西大同•开学考试)已知汽1，久2是函数/(%)=[a/-2%+In%的两个极值点，若不等式

m>/(%i)+/(x2)+%i%2恒成立，则实数血的取值范围是()

A.(—3,+oo)B.[—2,+oo)C.(2,+8)D.[e,+oo)

3.(23-24高三上•山东•阶段练习)已知函数f(%)=e2%,g(%)=%—1,对任意久】ER,存在久2^(0,+8),

使/(%i)=0(%2)，则久2-％1的最小值为().

A.1B.V2

Q1

C.2+ln2D.-+-ln2

22

4.(2024•江苏南通•模拟预测)已知直线y=fcx+t与函数y=/sin(3%+0)Q4>0,3>0)的图象恰有两个

切点，设满足条件的人所有可能取值中最大的两个值分别为七和七，且七>的，则()

A.-<^<-B.-<^<-C.-<^<-D.-<^<-

5心75B33k235%3

x

5.(2024•山西晋中•模拟预测)已知函数/(%)=xlnx,g(久)=xe,若存在式1E(0,+oo),%2eR,使得/Qq)=

g(%2)>0成立，则这的最大值为()

xi

A.-1B.1C.7-D.14

eeez

2

6.(23-24高三上•广东江门•阶段练习)已知f(x)=alnx+jx(a>0)若对于任意两个不等的正实数与、%2,

都有八七>八②>2恒成立，则a的取值范围是()

xr-x2

A.(0,1]B.[1,+co)C.(0,3]D.[l,2e)

7.(23-24高三上•河北沧州•阶段练习)己知函数/(%)=眇―a婷的定义域为&2),且对以i，%2£(1-2),%!丰

久2，"巧)-/3)<多+久?恒成立，则实数a的取值范围为()

A.存-1,+8)B.[Ve—1,+oo)C.(-D.

x

8.(23-24高二下•福建福州・期中)已知函数/(%)=(%-2)e,若/(/)=/(%2)»且%i。如xr-x2>0,

贝IJ()

13

A.>-B.x2<-C.%i%2>1D./+冷<2

二、多选题

9.(2024・重庆万州・模拟预测)若函数f(x)=ln(ax)-1,g(久)=6*-匕，满足对以€(0,+8)均有/(久)g(x)>

0,则ab的取值不可能为()

25r

A.eB.—C.e2D.9

4

10.(2024•广东广州•一模)已知直线y=々％与曲线y=In%相交于不同两点可(%2，力)，曲线y=Inx

在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P(%o，y°),则()

1

A.0<fc<-B.xrx2=ex0c.yi+y2=i+y。D.y，2Vl

11.(2024.海南海口.模拟预测)设函数/(%)=%ln%+(l—%)ln(l—X),则()

A./(x)=/(I