2025届高考数学一轮复习专练：立体几何初步（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练立体几何初步

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.如图所示，矩形O'A!B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A=6cm，CO=2cm，则原

图形Q43c的面积是cm2（）

D-24V2

2.如图，正方体4片££＞］中，直线5,与平面ABCD所成角的正切值为（）

c正县

,23

3.已知某圆锥的底面半径为正，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（）

A.20兀B.4兀C,47271D.8兀

4.已知Nfi4c=30°,AB//AB',AC〃AC'则NB'AC'=()

A.30°B.150°C.30。或150。D.大小无法确定

5.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的

比值为（）

AFRFDH

6.如图，在长方体ABCD—a4Gq中,*=£工=上上='巴=2,则下列说法错误的是（）

EB[FB]GC、HC[

A.BD'HGH

BBD与EF异面

C.£H〃平面ABCD

D.平面EFGH〃平面\BCDX

7.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为兀的半圆，则该圆锥的高为（）

A逅B君1

cBD.-

22.22

8.球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段为球缺的高.设球

的半径为R,球缺的高为〃，则球缺的体积V=7r/[R—g].已知一圆锥的高为2,底面半径为1,则

以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为（）

64兀62兀2171237r

A.------B.------C.------D.——

75752525

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.如图①，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,EF-LAB,CF=EF=2DF=2,AE-3,EB=4,

现将四边形AEFD沿所进行折叠,使AD到达AU的位置,且平面AD'FE±平面BCFE,连接A3,

D'C,如图②，贝1（）

B.平面4£B〃平面D'FC

C.多面体AEBCDF为三棱台

D.直线AH与平面BCFE所成的角为上

4

10.如图，在棱长为2的正方体ABC。—4与。1。中，E为棱BC的中点，F为底面ABC。内一动点

（含边界），则下列说法正确的是（）

A.过点4,E,G的平面截正方体所得的截面周长为3忘+2百

B.存在点F,使得平面AE*G

C.若D.FH平面AEG，则动点F的轨迹长度为3

D.当三棱锥F-AEG的体积最大时，三棱锥F-4EC］外接球的表面积为1171

11.如图,正方体ABCD-棱长为2,P是直线4。上的一个动点，则下列结论中正

确的是（）

A.BP的最小值为"

B.PA+PC的最小值为2也—0

C.三棱锥4-ACP的体积不变

D.以点3为球心,0为半径的球面与面AB。的交线长半兀

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.图,水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧

面有一个小孔E,E点到的距离为3,若该正方体水槽绕Q）倾斜（C£）始终在桌面上），

则当水恰好流出时，侧面CDD©与桌面所成的角正切值为.

13.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们

分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点耳，过椭圆上一点P作圆锥的母

线，分别与两个球相切于点N.由球和圆的几何性质可知，PN=PF\,.已知两球半径

分为别1和3,椭圆的离心率为，，则两球的球心距离为.

2

14.如图所示的五面体ABCD跖为《九章算术》中记载的羡除，它指的是墓道或隧道.其中

EFHADHBC,四边形AD石尸，ADCB,EKBC均为等腰梯形，平面ADEF平面ADCB,

EF=2,BC=3,AD=4,和A。间的距离为2,所和A。间的距离为4,则该羡除的体

积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图1,在矩形ABC。中，AB=1,BCM,将△BCD沿着5。翻折到△P5D的位置,

得到三棱锥P—A3。，且平面A5P,如图2所示.

(1)求证:平面APOJ_平面ABD

(2)求直线AB与平面5PD所成角的正弦值.

16.如图，在四棱锥P—ABC。中，平面PC。内存在一条直线EF与A8平行，上4_L平面ABCD,

直线尸。与平面A8CD所成角的正切值为且，PA=BC=20CD=2AB=4.

2

p

(1)证明：四边形ABCD是直角梯形.

(2)若点E满足PE=2EQ,求二面角P—石尸―5的正弦值.

17.如图,在平面四边形ABCD中，A5=AO=1，BC=CD=变，且BC'CD，以BD为折痕把

2

△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且E,F不重合•

E

D

(1)求证：EFLBD，

⑵若点G为△ABZ)的重心(三条中线的交点)，EGL平面A22求直线50与平面ABE所成角的

余弦值.

18.如图，四面体ABC。中，AD1CD-AD=CD，ZADB=ZBDC>E为AC的中点.

D

(1)证明：平面5ED_L平面ACZ)；

⑵设AB=6£)=2，NACB=60°，点尸在5£>上，当△AEC的面积最小时，求CF与平面A3。

所成的角的正弦值.

19.在四棱锥P—ABCD中，底面A2CD为直角梯形，AD//BC,AB±AD,QA，平面ABC£>,

AP=AD=2AB=4BC.

(1)求证：平面K4cl,平面尸8。；

(2)AM_L平面PC。于点M,求二面角M—AD—P的余弦值.

参考答案

1.答案：D

解析：因为CD=2cm，由斜二测画法可知ZD'O'A=45°，

则ZC'O'D'=45°，故△O'C'D'为等腰直角三角形，故O'C'=2cm，

故矩形O'AB'C的面积为S=O'A'xO'C'=6x2=12(cm2)，

-

匚匚I、Irs用皿MTsrin曰S=-7==2-\/2x12=24*\/2(cm)

所以原图形Q4BC的面积是72、',

~4~

故选：D.

2.答案：C

解析：如图所示：连接5。，因为。平面

故NDBD］线BDX与平面ABCD所成角，

设正方体棱长为1,则。2=1,DB=0

•,MDBDL嗡泻.

故选：C

3.答案：B

解析：设圆锥的母线长为/,

则由题意有兀/=2后兀，得/=2后，

所以侧面积为兀〃=?ixJ^x20=4兀.

故选：B

4.答案：C

解析：已知N£L4C=30°,AB//AB',AC/ZAC,

当角的方向相同时，NB'AC'=30°,

当角的方向相反时，NB'AC'=150。，

故选：C

5.答案：D

解析：如图所示,截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的工,

剩余部分体积是正方体体积的-，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为

65

故选：D.

6.答案：A

解析：如下图所示，连接

\E_BFcinEFB.FB.E1

根据题意，由=2可得,EF//AB,且——=_^=J_=—

乜A,BBB1443

GH]_

同理可得G//〃CD],FGHBC，&

而3

由G//〃CR,而=A，所以不可能平行于GH，即A错误；

易知BD与石尸不平行，且不相交,由异面直线定义可知,5。与所异面，即B正确;

在长方体ABCD-4耳£2中AlB//CDl,=CD「

所以EF//GH，EF=GH，即四边形EFGH为平行四边形;

所以EHIIFG，又BCIIFG，所以EF//BC；

EHU平面ABCD，8CU平面ABCD，

所以EH〃平面ABCD^C正确;

由EFIAB,EFz平面ABC。］,43u平面ABCR,所以EFH平面\BCDy;

又BC〃FG，FG(Z平面ABCD］，BCu平面4BCR,所以FG//平面ABCD,,

又EgFG=F，且FG，EFu平面EFGH，

所以平面EFGH//平面A^BCDX，即D正确.

故选：A.

7.答案：A

解析：

设圆锥的母线长为/,圆锥的底面半径为r,

因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，

圆锥的侧面展开图是一个面积为兀的半圆，

Til=271r

则h,，

—lx2nr-n

12

解得一巫，if

2

则该圆锥的高为h=J/?—尸=逅.

2

故选：A.

8.答案：A

解析：根据题意，以圆锥的高为直径的球的半径为1,且与圆锥底面相切于底面圆心，如图，作出圆

锥POX的轴截面PAB,所求体积即为球缺P-402用与内接圆锥PO2的体积之差.

p

面顶角为a则

21_4

sina=sin（兀-2NPAB）=sin2NPAB=2sinNPABcosZPAB=2x设圆锥PO2

2r4

的底面半径为r,则2二——，即〃=—,得。。2=—，则圆锥P2的高为2，则

sina5255

1/4丫8128兀8则％缺=兀(|,『［］=膘，则所求体

圆锥尸。23(5J53755

64兀

积V=匕求缺_/锥P02=•故选A.

9.答案：ABD

解析:对于A,因为平面A'DFE，平面BCFE,平面A:D'FE\平面BCFE=EF,BE1,EF,BEu

平面8CFE,所以BE,平面AD'EE,又A'。'u平面A'ZXFE,所以5E，A。'，故A正确;

对于B,因为A石〃Z/F,4宏仁平面。'歹。，ZXFu平面ZXFC,所以A'E〃平面。伊C,因为

BEHCF,8石仁平面ZXFC,Cbu平面Z/FC,所以6E〃平面Z/FC,又A'EBE=E,

A'EBEu平面A班，所以平面4EB〃平面。'FC,故B正确；

r)'F1FC1D'FFC

对于C,因为——=-,—则——7,，所以多面体AEBCDT不是三棱台，故C错

AE3EB2A!EEB

误；

对于D,延长AD',石尸相交于点G,因为平面A7XFE_L平面BCFE,平面A7XFE-'平面

BCFE=EF,AE±EF,4'£匚平面川。'在，所以平面BCFE,则NA'GE为直线A。'

与平面BCTE所成的角.

D'FGF即］标

因为A石〃ZXF,所以

A'EGF+FE

A'E

解得Gb=l，则GE=3,所以tanNA'GE=——=1,

GE

jr

则ZA'GE=—，故D正确.故选ABD.

4

10.答案：ACD

解析：A选项，如图①，取的中点G,连接GE,Afi,因为E为的中点，所以AG〃GE,

4£=2GE,所以过点4，E,G的平面截正方体所得的截面为梯形AGEG,其周长为

2+sfs+y/2,+y/5—3A/2+2-\/5,故A选项正确；

D

图①图②

B选项，假设存在点F,使得£>尸，平面AEG，由得F只能在线段BD上，再由

DF1C.E,得尸只能在线段CD上，即尸与D重合，不符合题意，故B选项错误；C选项，如图

②，取的中点M,CD的中点N,连接MA,MN,ND、,可得MOJ/qE,MN/Z^Q,又M»仁

平面AEG，A/N仁平面AEG，GEu平面AEC],AGu平面,所以〃平面AEG，

MV〃平面AEG，又MDIMN=M,M。l，MNu平面Z)lMN,所以平面QMN〃平面A]E£,

所以动点尸的轨迹为线段MN,其长度为夜，故C选项正确；

D选项，由A,C选项可得，平面4GEG〃平面,所以当尸在点。时，尸到平面的距

离最大，此时AE41cl为等边三角形，连接BD-易证52,平面％C「所以三棱锥尸-4EC]的

外接球球心一定在直线5,上，以8为坐标原点,建立如图③所示的空间直角坐标系,则E(O,1,O),

£>(2,2,0),设Oj(x,x,x),由OjE=a。得，%2+(x-l)2+%2=(x-2)2+(x-2)2+x2,解得

x=\,所以夫2=[]+[、—1]+[]='，所以三棱锥P—AEG外接球的表面积为

4兀J*=4TTx—=1ITI,故D选项正确.故选ACD.

11.答案：ACD

解析：对于A,在中,45=或＞=40=2夜,即AB^D是边长为20的等边三角

形,.•.3。的最小值为△%。的高,二台印「=J8—2=几人正确;

对于B,将△A41D与矩形AB]CD沿4。翻折到一个平面内，如图所示,

则PA+PC的最小值为AC;又AD=CD=2,ZADAl=:,A\DC="|，：•在^ACD中,由余弦

定理得:AC?=4+4—8cosB=8+4亚，,AC=2也+夜，即（PA+PC）.=2也+后3错

误;对于C,4片，平面ADD[A，AD]u平面AD2A，，4用LAQ]；四边形ADRA为正

方形,二。，又月。=耳,。u平面平面

ADX±44।14AP4aAB。,：.AD11

A^B^CD；/.VD_—^A-BCP=—S^RCP,—~—SA,RCD,—=—x2x2^2xy/2=—,

11Dj一/IACC-iP/i—Z5|Cr3ZA£>]Cr21$/ij巧。〃216

即三棱锥4—ACP的体积不变,C正确;对于D,设点B到平面A3。的距离为

"，V"=!…・.£"小△板・叫，吗x2应x2夜x¥d=8x2x2,解

得:8=孚,.•・以点3为球心,0为半径的球面与平面AB。的交线是以收即^二当为半

径的圆，，交线长为2兀义迈=或兀》正确.

33

故选:ACD.

12.答案：2

解析：由题意知，水的体积为4x4x2=32,

如图所示，设正方体水槽倾斜后,水面分别与棱AA],BB「CCi，DDX交于MNP,。,则PC=3,

水的体积为SBCPN-CD=32,

BN+CPBN+3

,BC,CD=32,^X4X4=32,：,BN^1-

22

在平面BCC[Bi内，过点G作C\HHNP亥BB[于",则四边形NPC.H是平行四边形,NH==1,

:.BiH=BB「NH—BN=4—]-l=2,

侧面CDD£与桌面所成的角即侧面CDD©与水面MNPQ所成的角,即侧面CDD©与平面

所成的角，

ZHQC即为所求，而ZHQC=NBiHCy

用G

在RtABjHQ中,tanZB.HQ=2,

B]H9=

侧面CDDG与桌面所成角的正切值为2.

故答案为：2.

13.答案：2币

解析：作出圆锥的轴截面如图所示，

圆锥面与两球。1，。2相切于8,A两点，则。田，45,02A1AB,

过。i作OQLQA,垂足为，连接。]鸟，。2耳，设耳心与。交于点C,

4

在RtAO02。中，DQ=3T=2,：.0]。=夜2—4,.-.cosZDO^=，八

d

CO2cox

J-16

L解得：c«=5，...5=75^1=

co,=d-coY,=£2；

4

cosZQCE,=工=RdT6

12QCd

由已知条件PN=P£,知：PM+PN=PF"PF2=2a,即轴截面中AB=2a,

VJ2-16

F{F2_21cosNQ5二—二坐,解得：d=25,

AB|aQ|cosNDO02,屋42〜

d

即两球的球心距离为2

故答案为：2币.

14.答案：12

解析：如图：连接ED、FC,

119211Q

则/ABCD=—x—x（3+4）x2x4=—，V=—x—x2x4x2=—,

r-ADCZJ32\/3C—L/iLcrDEF3?3

所以该羡除的体积为：-+-=—=12.

333

故答案为：12.

15.答案：（1）证明见解析；

⑵平

解析：⑴证明:因为平面ABP,ABu平面所以ABLPZ),

又A5LAD,ADPD=D,AD,P£>u平面AP£）,所以AB,平面AP£）,

因为A5u平面ABD,所以平面A3Z)_L平面API).

(2)以点A为坐标原点，AB,A。所在直线分别为x轴，y轴，过点A且垂直于平面A3。的直线为

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知z轴在平面内.

因为平面A5P,APu平面A3P,所以

又PD=1,AD=y/3,所以AP=0,所以p[o,2叵，逅

33

又A（o,o,o）,8（1,o,o）,D（O,AO）,

所以团（1,。,。），即卜,半圻曲T"。）.

-+毡y+迈z=。,

m-BP=0,

设平面BPZ）的法向量是帆=（x,y,z）,贝卜即《33

m-BD=0,

—x+=0,

令X=6,则y=l,z=等，所以平面的一个法向量为血=

设直线AB与平面BPD所成角为氏

制.A।\!\ABm\6瓜

则sin0=cos</A4BR,m）\=---------=.=——

\AB\\m\r~~T3

f+1+2

即直线AB与平面BPD所成角的正弦值是.

16.答案：（1）见解析

⑵巫

10

解析：（1）证明：因为ABHEF,EFu平面PCD,ABC平面PC。，所以A6〃平面PCD

因为A3u平面ABC。，平面ABCDi）平面PCD=CD,所以AB〃CD.

连接AC,因为QA,平面A8CD,所以NPC4是PC与平面A8CD所成的角，

则tanNPCA=2=2^=苴，解得AC=4.

ACAC2

因为AB=2,BC=26，所以452+502=人。2,所以AB,6c.

又ABWCD,所以四边形A3。是直角梯形.

(2)取C。的中点连接AM,则以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),P(0,0,2g),D(26,-2,0),CQ52,0),8(0,2,0),

所以AB=(0,2,0),PC=Q52,-2亚,PD=(2乖＞,-2,-2也),

设平面PCD的法向量为n-(x,y,z),

n-PC=2y/3x+2y-2y/3z=Q,

取x=l,得y=0,z=l,即〃=(1,0,1).

n-PD=2s/3x-2y-2j3z=0,

连接4E,由A5〃EF可知A,B,E,尸四点共面，设平面ABE的法向量为加=(a,b,c),

m-AB=2Z?=0,

则c=-2,即6=(1,0,—2).

DI747310,2A/3取a=L得"

m-BE=-----a-----b-\-------c=。，

333

设二面角P—印—6的平面角为0,

\n-m\_y/10

则|cos01=|cos(n,m)|二

\n\\m\10

故二面角P-EF-B的正弦值为上叵.

10

17.答案：(1)证明见解析

⑵走

3

解析：(1)由题知ER=Er>=、，RF=DF=昱,

2

设2。的中点为X,连接EH,FH,因为EB=ED，所以EH±BD，

又因为BF=DF，所以FH上BD，且EH,FHu平面EFH,EH,FH=H,

所以平面EFH，又EFu平面EFH,所以BD±EF

⑵△BCD中,由勾股定理得5£>=1，所以△ABD为等边三角形•

连接AG并延长交2。于旦•过G作GxUBD-

以G为原点，如图所示建立空间直角坐标系.

在△AB。中,AG=2A〃=&GH^-AH=立,

3336

Afo,—,OTE[O,O,—,0

BD=(l,0,0)，BA=[-,—,o\BE=f-,—\

I'I22JU63J

设平面ABE的法向量为加=(x,y,z)，

由3A=L+旦=。，呷=L+-。，不妨取m=[—6』,受]

22-26-3I2J

设3。与平面ABE所成角为a,

18.答案：（1）证明过程见解析;

⑵c厂与平面ABD所成的角的正弦值为逑

7

解析：（1）因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC_）_£）£；

在△AB£）和△C6Z）中，因为AZ）=CD，ZADB=ZCDB>DB=DB，

所以AAB恒△CBD，所以AB=Cfi，

又因为E为AC的中点，所以AC_L5E；

又因为Z>E,5Eu平面3瓦>，DEBE=E，所以AC,平面BE。，

因为ACu平面AC。，所以平面5石。，平面ACZ>

（2）连接所，由（1）知，|平面RED，因为EFU平面BED，

所以ACLM，所以S^“=gACEF，

当灰皮）时，EE最小，即△AFC的面积最小.

因为△AB恒△CBD，所以CB=AB=2，

又因为/ACS=60°，所以△ABC是等边三角形，

因为E为AC