2025高考数学一轮复习：二项分布、超几何分布与正态分布【含答案】

对点练77二项分布、超几何分布与正态

分布

【A级基础巩固】

1.若随机变量X〜5(5,1

则P(X=3)等于()

c40

A3B-243

D-t

C-27

2.(2024・湖州质检)设随机变量X〜N〃，cr),且「(X2a)=0.5,P(X<b)=3P(X2b),

则P(XW2a—b)=()

A.0.25B.0.3

C.0.5D.0.75

3.(2024・长沙调研)已知随机变量X,¥分别满足X〜3(8,p),Y〜N",『)，且E(X)

=E(Y)，若Pg3)=T，则p=()

11

B-

A.4-3

C.oQD.TZ

4.(多选)(2024.张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随

机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X,则()

A.X〜耳4,于B.P(X=2)=配

88

C.E(X)=^D.D(X)=g

5.若随机变量X〜N(l,/)，且正态分布NQ,/)的正态密度曲线如图所示，则

下列选项中不可以表示图中阴影部分面积的是()

A<—P（XWO）B$—P（XN2）

C.1P（X^2）-1P（X<0）D.g—P（1WXW2）

6.（多选）（2024.成都段测）袋中有6个大小相同的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,

6,还有4个同样大小的白球，编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球，则下

列结论中正确的是（）

A.取出的最大号码X服从超几何分布

B.取出的黑球个数y服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为上

D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为七

7.（多选）（2024.厦门模拟）李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时

骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：

坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36,骑自行车平均用时34分钟，样本方

差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，贝女）

A.P（X>32）>P（y>32）

B.P（XW36）=P（VW36）

C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车

D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

8.小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X,若P（X>0）=3P（XW0）,

则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为..

9.（2024•苏北四市调研）某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统

计分析，学生的平均成绩1=80,方差$2=25.学校要对成绩高于90分的学生进行

表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N",/）（其中〃近似为平均数口

，近似为方差§2）,则估计获表彰的学生人数为.（四舍五入，保留整数）

参考数据：随机变量X服从正态分布N（〃，cr2）,则'。・乂忘〃+（7）Q0.6827,

2aWXW〃+2㈤心0.9545,P（//—3（7WXW〃+3㈤心0.9973.

10.一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任

意取出3个球，有黄球的概率是,若1f表示取到黄球的个数，则E（0=

11.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空

发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.

规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中

随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确

即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个

程序的概率均为热每位选手每次编程都互不影响.

(1)求乙闯关成功的概率；

(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能

性更大.

12.(2024.九江模拟)为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康

发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的

通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研究型学习调查研究

“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统

计表：

时间

[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

t/min

人数1038321073

⑴估计该校学生每日使用手机的时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值

作代表)；

(2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时

间在［48,72］的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X).

【B级能力提升】

13.（多选）（2024.武汉调研）已知离散型随机变量X服从二项分布3（〃,p）,其中“GN*,

0<p<L记X为奇数的概率为a,X为偶数的概率为。，则下列说法中正确的有（）

A.Q+1

B.当p=；时，a=b

C.当0<°<3时，a随着n的增大而增大

D.当3<p<l时，a随着〃的增大而减小

14.（2024.济南模拟）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养

成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体

⑴求X；

（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测

试成绩不合格的人数为X,求X的分布列；

（3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N〃，/），用；，§2的值分别作

为〃，『的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记

这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间［30,82］的人数为匕求Y的数学

期望E（Y）.

附：若己〜NQi,，），则尸（//一〃+（7）^0.6827,P〃一2（7W/W〃+2。）心

0.9545,尸〃一3后£〃+3。）=0.9973.

对点练77二项分布、超几何分布与正态分布答案

1.B［随机变量X〜3(5,1

3’2『_40

则P(X=3)=Cg|—243」

2.A［由已知得。=〃，P(X<b)=l—P(X》b),P(X2)=0.25,

故由正态曲线的对称性可得

尸(XW2a—0)=P(XN0)=0.25.］

3.C［由¥〜N〃，，)和尸(丫三3)=；得〃=3,

所以E(X)=E(Y)=3,

又X〜8(8,p),

所以E(X)=8p=3,

3

所以"=目］

4.ACD［从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取

到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个

数，所以随机变量X服从二项分布，即X〜3(4,D，故A正确；

尸(X=2)=C暇g=探故B错误；

因为X〜3(4,所以E(X)=4x|=|,故C正确；

2］8

D(X)=4X^X^=~,故D正确.］

5.D［根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线x=l对称，所以题图

中阴影部分的面积为义一P(XWO),A正确；

根据对称性，尸(XW0)=P(XN2),B正确;

阴影部分的面积也可以表示为

阴影部分的面积也可以表示为尸(0WXW1),

而P(OWXW1)=P(1WXW2),D不正确.］

6.BD［对于A,根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，

由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学

模型计算概率，故A错误；

对于B,取出的黑球个数y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视

作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；

对于C,取出2个白球的概率为富=点故C错误；

对于D,若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，

Ci1

则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为卷=方，故D正确.]

7.BCD[对于A,由条件可知X〜N(30,62),Y〜N(34,22),根据正态曲线的

对称性可知P(K>32)>0.5>P(X>32),故A错误；

对于B,P(XW36)=P(XW30+6),尸(YW36)=尸(YW34+2),所以P(XW36)=

产(YW36),故B正确；

对于C,P(XW34)>0.5=P(YW34),

所以P(XW34)>P(y<34),故C正确；

对于D,P(XW40)<P(X<42)=P(X<30+12),

P(yW40)=P(YW34+6),

所以P(XW40)<P(YW40),故D正确.]

8不27,[由题可知该产品每年为正收益的概率为3宗则小赵购买该产品4年，恰好

IZo4

有2年是正收益的概率为C4|jx[l—1]2=忘.]

9.27[由题意得〃=80,(7=5,〃+20=90,

故P(X>90)=尸(X>〃+2QQ；一；X0.9545=0.02275,

所以1200X0.02275=27.3^27.]

96

10.记5[从中任意取出3个球，样本点总数〃=N=10,

其中有黄球包含的样本点个数

m=◎&+©&=9.

所以有黄球的概率是。=彳=卷

1f表示取到黄球的个数，

则。的所有可能取值为0,1,2,

p(0=o)*d，

36

尸J)=

3

PC=2)=

10,

所以£©=0X^+1X^+2X^=1.］

11.解(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件

A,

则P(A)=C(|)2X|+[|)3=^

(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

「(x=o)=品』，P(x=D=普$，

"=2)=普H，尸(X=3)=急$

Q19

因为壬

所以甲闯关成功的可能性更大.

12.解(1)由题意得，该校100名学生每日使用手机的时间的平均数为

1Q383210732700

x=(,xioo+18XToo+3OXToo+42XToo+54Xioo+66XToo=nw-=27^min),

所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27min.

(2)由题意知该校学生每日使用手机的时间在［48,72］内的概率估计为芸=4，

则X〜3(3,Q

所以p(x=0)=C(l—+)3=焉，

2

p(x=i)=Cx忘1x(1-吉I_243

10厂一1000,

1127

P(X=2)=CgX二1000'

尸(X=3)=

W,

所以X的分布列为

X0123

729243271

P

1000100010001000

所以E(X)=OX1ooo+1X1000+2X1000+3X1000=10

(或E(X)=3X0=>.

13.ABC［对于A,由概率的基本性质可知

a-\~b=1,故A正确；

对于B,当p=T时，离散型随机变量X服从二项分布3%,|

则P(X=L)=a&(1一习“1,2,3,…，〃),

所以a=gy(dI+C^+C^+…)

=8%2y

6=&"(C计或十―•••)

出X2n-1=1,

所以a=b,故B正确；

对于C,D,a=C”(l—p)『i+C触3(1—p)，「3+…

[(1-p)+p]”—[(l—p)-p]"1一(1—22)"

=2