2025高考数学二轮复习 空间几何体 专项训练【附答案】

H专题突破

专题四立体几何

第1讲空间几何体

［考情分析］空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考

的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.

考点一空间几何体的折展问题

【核心提炼】

空间几何体的侧面展开图

（1）圆柱的侧面展开图是矩形.

（2）圆锥的侧面展开图是扇形.

（3）圆台的侧面展开图是扇环.

例1⑴（2023・南宁模拟）如图，已知圆锥的底面半径为1,母线长SA=3,一只蚂蚁从A点

出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A,则蚂蚁爬行的最短距离为（）

A.2小B.3小

C.6D.2兀

答案B

解析已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，如图，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧

面爬行一圈回到点A的最短距离为A4',

s,A

4

设NASA'=a,

圆锥底面周长为2兀，所以A4'=aX3=2兀，

2兀

所以a=《~,

在△S44'中，由SA=SA'=3和余弦定理，得

AA'^S^+SA'2-2SA-SA'•cosa

=^32+32—2X3X3X（—£）=35.

（2）（2023•深圳模拟）如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=yf3,AB=1,AD=l,

ABA.AC,AB1AD,ZCAE=3Q°,贝！Jcos/FCB等于（）

1133

A，2BgC.gD，

答案D

解析由题意知，AE—AD—AB—1,BC=2,

在中，由余弦定理得

CE2=A序+叱-2AE-AC-cosZCAE

n

=1+3-2*1义小乂苧=1,

：.CE=CF=1,而BF=BD=巾,BC=2,

...在△8CF中，由余弦定理的推论得，

BC2+CF2—BF24+1—23

cos/FCB=2BCCF=2X2X1，

规律方法空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面

中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.

跟踪演练1（1）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中

正确的是（）

A.CGGH

B.C£）与EF是共面直线

C.AB//EF

D.GH与E尸是异面直线

答案ABD

解析由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即CGGH,又可知C。与EF是平行直线,

即CZ）与EP是共面直线，48与斯是相交直线（点2与点尸重合），GH与EF是异面直线,

故A,B,D正确，C错误.

（2）（2023•鞍山模拟）如图，在三棱锥V—A8C中，VA=VB=VC=8,ZAVB=ZAVC=ZBVC

=30。，过点A作截面AEF则△AEP周长的最小值为（）

A.6^2B.6^3C.8^2D.8小

答案C

解析沿侧棱侬把正三棱锥V—ABC展开在一个平面内，如图所示，贝ijA4'即为△AEF周

长的最小值，又因为VC=ZBVC=30°,

所以乙外么'=3X30°=90°,在△侬'中，以1=四'=8,由勾股定理得44'=

yjv^+VA'2=^82+82=8^2.

考点二表面积与体积

【核心提炼】

1.旋转体的侧面积和表面积

（1）5圆柱侧=2兀4S圆柱表=2兀/（r+/）（r为底面半径，I为母线长）.

（2）5圆锥侧=兀〃,S圆锥表=7ir（r+Z）（r为底面半径，I为母线长）.

（3）S叱=4兀7?2（R为球的半径）.

2.空间几何体的体积公式

（1）V桂=W?（S为底面面积，〃为高）.

（2）V""=；S/?（S为底面面积，h为高）.

（3）V台=g（S上+、5上6下+5下）/?（5上,S下分别为上、下底面面积，刀为高）.

4

（4）V球=］兀尺3（R为球的半径）.

例2（1）（2023・潍坊模拟）如图，圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为生的扇形.把

该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为由则圆台的

侧面积为（）

A8兀c兀-16兀—c

A.-B.2—C。―D・8兀

答案c

解析假设圆锥的底面半径为R,母线长为/,则R=1.设圆台上底面半径为r,母线长为/1,

则r=|.

由已知可得\平=笔解得/=6.

如图，作出圆锥、圆台的轴截面，

则有匕4=±=_L

川洞IR3,

所以Zi=4.

所以圆台的侧面积为无（n+r）/1=4义。+?兀=号.

（2）（2023•全国甲卷）在三棱锥P—A3C中，ZVIBC是边长为2的等边三角形，E4=PB=2,PC

=乖,则该棱锥的体积为（）

A.1B.小C.2D.3

答案A

解析如图，取AB的中点£>,连接尸£>,CD,

因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,

所以PD_L48,CDLAB,所以尸。=8=/,又PC=乖,

所以所以P/)_LCD,

又A2CC£>=。，AB,C£)u平面ABC,

所以平面ABC,

所以VP-ABC—^^SAABC^PD

=马义豆义2义小义小=L

规律方法空间几何体的表面积与体积的求法

(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解.

(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不

熟悉的几何体补成熟悉的几何体.

(3)等体积法：选择合适的底面来求体积.

跟踪演练2⑴(2023•贵阳统考)如图，在棱长为2的正方体ABC。一A向GA中，E,尸分别

为棱AB,8C的中点，则四棱锥8—4EFC1的体积为()

247

A.qB.1CqD.g

答案B

解析方法一%-4£/孰="破尸FMG_%-4用6=§(，+2+^\^^^)乂2—gX2X2=l.

方法二^B-AEFC~^B-AFC=^A-EBF~^~KA-BFC2+QX

DriiL-,rv.1DnrD/iirc-i/iiL-,Dr/iiQrj-s/-s1X2=1.

(2)(2023・连云港调研)折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意

“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千

里，大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个

兀.

圆弧所在圆的半径分别是1和3,且竽2，则该圆台的表面积为.

B

图1图2

解析设圆台的上底面半径为r,下底面半径为K,

127t7=冬1,f1

叫解得j31

12兀R=£・3,、H=1,

且圆台的母线长为3-1=2,

所以圆台的上底面面积为7T余下底面面积为无，

侧面积为nX(j+l^X2=y,

所以圆台的表面积5=1+7t+y=^.

考点三多面体与球

t核心提炼】

求空间多面体的外接球半径的常用方法

(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长

方体中去求解；

(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，

找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可.

例3(1)(2023•聊城模拟)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的边长分别为媳cm,2^2cm,

高为3cm,则该模型的外接球的表面积为()

A.20Kcm2B.10兀cm2

)5兀

C.5兀cmD•亍cm

答案A

解析如图，取上底面EFGH的中心M,下底面ABC。的中心N,则MN=3cm,

HG

故该模型的外接球的球心在MN上，设为点。，连接ME,NA,OE,OA,

故EM=lcm,NA=2cm,

设ON=ycm,则OM=(3—y)cm,

由勾股定理得EO1=OM2+EM2=(3-y)2+1,

AO1=ON2+AN2=y2+4,

故(3—y>+l=y2+4,解得>=i,

故外接球半径为Ny2+4=4(cm),该模型的外接球的表面积为4n-(^/5)2=20n(cm2).

(2)(2023•全国甲卷)在正方体ABC。-4SGD1中，E,歹分别为42,GA的中点.以EF为

直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

答案12

解析如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的

半径为号，而正方体的中心到每一条棱的距离均为竽，所以以Ef•为直径的球与每一条棱均

相切，所以共有12个公共点.

规律方法(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解.

(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径.

跟踪演练3(1)已知三棱锥P—ABC的外接球O,PC为球0的直径，且PC=2,PA=PB=y[3,

AB=1,那么三棱锥P—ABC的体积为()

答案D

解析由尸C为球。的直径可知，

PA±AC,PBLBC,BPAC=BC=1,又A8=l,

所以AABC为等边三角形，则AABC外接圆的半径7=手，

因为球。的半径R=l,所以点。到平面ABC的距离d=>R2—面=坐,

故顶点尸到平面48c的距离为24=坐,

（2）（2023・潍坊模拟）在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为

宏案

u木3

解析设圆柱的底面半径为r,球心到圆柱底面的距离为九则圆柱的母线长为2九

由球截面的性质得户+序=1,

则1—Zz2（0</i<l）,

圆柱的体积V=2jir2h=2K/Z（l-h2）=2nh—2TI/Z3,

Vr=2兀一6兀入2=——6兀。+^^,一

当〃e（o,用时，->0,

当〃e宵，1）时，『<0,

所以函数在区间（0,空）上单调递增，

在区间停，1）上单调递减，

所以当人=乎时，v取得最大值中，此时圆柱的母线长为

2&=¥.专题强化练

一、单项选择题

1.（2023・唐山模拟）若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的

比为（）

A.1：B.1：2

C.2:D.2：3

答案A

解析设球的半径为r,依题意知圆柱的底面半径也是r,高是2厂，圆柱的侧面积为2什2r

=4nr2,球的表面积为4兀凡其比为1：1.

2.（2023•锦州模拟）已知正方体AB。一A/1GA的棱长为4,P,。是棱。A的两个三等分

点，则三棱锥。一P2C的体积为（）

A.|B.f

c16c16

C.gDq

答案B

解析如图所示.

VQ-PBC=VB-PQC=^SAPQC'BC

11432

义]X4X4=W".

3.（2023・石家庄模拟）一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积

为崎兀，则该圆锥的母线长为（）

A.3B.3小C.6D.6小

答案C

解析设圆锥的底面圆半径为广，高为九母线长为/,则圆锥侧面展开的扇形面积为兀儿底

面圆面积为兀片，

因为兀〃=2兀户，所以/=2r,

得h=yll2—t2=y[3r,

所以圆锥的体积丫=；%修/7=；无产•小厂=9\。兀，解得厂=3,所以/=6,即圆锥的母线长为6.

4.已知一个直三棱柱的高为2,如图，其底面AABC水平放置的直观图（斜二测画法）为

△A'B'C,其中。A'=0,B'=0,C=1,则此三棱柱的表面积为（）

A.4+4^2B.8+4啜

C.4+4小D.8+4小

答案D

解析由斜二测画法还原底面△ABC的平面图如图所示,

因为O,A'=O'B'=O'C=1,

所以04=2,08=0C=l,

所以A8=AC=小，

所以此直三棱柱的底面积为^义2X2=2,

因为直三棱柱的高为2,故直三棱柱表面积为

S=2X2+（2+2小）X2=8+4下.

5.（2023•长沙模拟）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该

书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测

雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收

集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积

水深九寸时，平地的降雨量是（）

（注：一尺=10寸，平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）

A.9寸B.6寸

C.4寸D.3寸

答案D

解析如图所示，由题意知天池盆盆口半径是14寸，盆底半径是6寸，高为18寸,

由积水深9寸知水面半径为

9（14+6）=10（寸），

则盆中水体积为%><9><（62+102+6X10）=588兀（立方寸），所以平地降雨量为黄*=3（寸）.

6.（2023•日照模拟）红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征

美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，

上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如

图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为//,则球冠的面积S=2兀如图1,已知该灯笼的高

为58cm,上、下圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部

分所需布料的面积为（）

A.1940兀cm2B.235071cm2

C.2400?rcm2D.2540TTcm2

答案C

解析由题意得配一

所以R—25cm,

58-10

所以h=25-5-=l(cm),

所以两个球冠的面积为25=2X2nRh=2X2X7TX25X1=1OO7t（cm2）,

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为

4nRi—2S—4XnX252—100兀=2400n（cm2）.

7.（2023・广西联考）已知在一个表面积为24的正方体ABC。一AiBCQi中，点E在修。上运

动，则当BE+AiE取得最小值时，AE等于（）

A.2B.乎CmD.乎

答案A

解析作出图形，如图所示.

4£>,

B

依题意6AB2=24,故A8=2,

将平面A\B\D翻折至与平面BB\D共面，

易得AAiBiD丝ABBiD,

故当时，BE+4E有最小值，此时萼=],过点E作平面ABCD的垂线，垂足为

Un.Z

则BF=^BD=^~^,EF=^BBI=^9

由余弦定理得

AF2=AB2+BF2-2ABBFcos45°

=4+5—23乎X乎号

则7+E尸=4岑+$=2.

8.已知球。的半径为2,三棱锥P—ABC的四个顶点均在球面上，aABC为等边三角形，

且边长为3,则三棱锥P—ABC的最大体积为（）

27^1B至

aA4n,4

空3^3

J42

答案B

解析如图所示，设△ABC的中心为。1,连接OP,OC,OQ,OiC,ZsABC为等边三角形,

边长为3,

P

•01、-、9V§

,,^AABC2yx'Jx3x24，

01c=3X坐X,=W，

又0C=R=2,

.•.。。严正―（$）2=1,

当尸为射线。1。与球的交点时，VP—ABC最大，

（Vp-ABC）max=；用"仁（尸。+。。1）

=lx^3=9^3

X

~34/3—4-

二、多项选择题

9.有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则

此正四棱柱的体对角线的长度为（）

A.2^2B.2^6C.4邓D.y/66

答案BD

解析分两种情况求解：

①若正四棱柱的高为8,则底面边长为1,此时体对角线的长度为-82+1+1=强;

②若正四棱柱的高为4,则底面边长为2,此时体对角线的长度为声加.

10.（2023・新高考全国II）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=120°,

E4=2,点C在底面圆周上，且二面角产一AC—。为45。，则（）

A.该圆锥的体积为兀

B.该圆锥的侧面积为4小兀

C.AC=2P

D.AB4c的面积为《

答案AC

解析依题意，ZAPB=120°,E4=2,

所以。尸=1,0A=0B=p

A项，圆锥的体积为上X兀乂（/）2><1=%，

故A正确；

B项，圆锥的侧面积为兀x/><2=2小兀，故B错误；

C项，取AC的中点。，连接。£）,PD,如图所示，

则AC_L。。，ACLPD,所以NPDO是二面角尸一AC—O的平面角，

则/PZ）O=45°,

所以。尸=0£）=1,故AD=CD=、3—l=p,

则AC=2吸，故C正确；

D项，PD=y/"i2=①

所以Sc=｝义故D错误.

11.（2023•辽阳统考）若正三棱锥尸一A8C的底面边长为3,高为乖,则该正三棱锥（）

A.体积为，g

B.表面积为人片

C.外接球的表面积为27兀

3冗

D.内切球的表面积为早

答案ABD

解析如图，三棱锥P—ABC的体积故A正确；

p

取AB的中点。，连接CO,PD,

则在正三棱锥P—ABC中，ABLCD,AB±PD.

作平面ABC,垂足为H,则PH=y[6.

由正三棱锥的性质可知X在C£）上，

且CH=2DH.

因为A8=3,所以CZ）=平，则CH=/.

因为PH=#,所以PC=13+6=3,

则三棱锥P—ABC的表面积为乎X4=”2，

故B正确；

设三棱锥尸一A5C的外接球的球心为O,半径为R,则。在PH上，

连接0C,则片=CH2+O”2=（PH—0切2,

即尺2=3+0〃2=（爬一0^2,解得0〃=坐，

•327

所以R2=3+R=W，

oo

则三棱锥P—ABC的外接球的表面积为4%/?2=等277r，故C错误；

设三棱锥产一A8C的内切球的半径为r,

则g><”/§「=乎，

解得厂=坐，从而三棱锥P—ABC的内切球的表面积为4兀，=争，故D正确.

12.（2023・白银模拟）甲工程师计划将一块边长为6m的正方形铁片加工成一个无盖正四棱台,

其工程平面设计图如图1所示，正方形EFGH和正方形A8C。的中心重合，1,J,K,L,M,

N,0,尸分别是边AB,BC,CD,D4上的三等分点，且所〃AB,IJ<EF<AB,将图中的四

块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形EEG8加工成一个无盖正四棱台,

如图2所示，则（）

A.甲工程师可以加工出一个底面周长为8m的正四棱台

B.甲工程师可以加工出一个底面面积为8m2的正四棱台

C.甲工程师可以加工出一个高为1.5m的正四棱台

D.甲工程师可以加工出一个侧棱长为1.5m的正四棱台

答案BCD

解析令正四棱台的底面边长EE=2am,高为〃m,侧棱长为/m,等腰梯形EE//的高为

h\m,

则由题意可知，IJ—^AB—2m,2a+2hi—AB,

即hi=(3—a)m.

对于A,当正四棱台的底面周长为8m时，

EF=2m,不满足故A错误；

对于B,当正四棱台的底面面积为8m2时，

EF=2y[2m,满足故B正确；

对于C,如图，当正四棱台的高为1.5m时，

记正四棱台的上、下底面的中心分别为5,。2,取〃，EG的中点Q,R,连接。1。2,O1。,

O2R,QR,过点。作。5，。2尺于点s,则QS=L5m,QR=(3—a)m,RS=(a-l)m,

所以iS+g—1)2=(3—a)2,

解得a=v|,则EF=^m,

满足IJ<EF<AB,故C正确；

MO)UM)

对于D,如图，当正四棱台的侧棱长为1.5m时,

1=1.5m,

过点/作/UbG于点T,则"=L5m,

JT=(3—(2)m,FT—(«—l)m,

所以1.52=(«—1)2+(3—<2)2,

即8a2—32a+31=0,解得a=左区，

则EF=卓回m,满足IJ<EF<AB,故D正确.

三、填空题

13.（2023•郑州模拟）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角

攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它

的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面的等腰三角形的顶角为60°,

则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为.

答案事

解析设底面棱长为2am