2025届高考数学一轮复习专项训练：函数概念与性质（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练函数概念与性质

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知幕函数/（力的图象经过点心,20"卜则”3）=（）

A.-B.9C.BD.、万

23

2.若函数的定义域是[1,9卜则函数的定义域是（）

A[0,2]B.[I,8]C.[I,3]D.[-2,l]

3.若函数/（x）=f+（a—2卜+1为偶函数,g（x）=q?为奇函数，则a+b的值为（）

A.2B.3C.4D.5

4.设/(%)是定义域为R的奇函数，且/(1+%)=/(-%).若g]J,则dl]=()

5115

A.——B.——C.-D

333,3

5.若幕函数=_5〃_5)%一于在(0，+8)上单调递增，则〃=()

A.lB.6C.2D--1

6.函数/(力=^^+(3-刈°的定义域是()

y/x-1

A.[1,3)B.(3,+8)C.(1,3)U(3,4W)D.[1,3)U(3，H

7.如图所示，不能表示“y是x的函数”的是（）.

OY1丫>Q

8.已知函数八力二2'且/(/)=3,则实数X。的值为()

3x9x<0

或—工

A.-lB.lC.-1或1D.-1

3

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.设函数/(x)=:也乃X,贝1K)

X—X+1

A./G)的最大值为:B.|/(x)|<5|x|

C.曲线y=/(x)存在对称轴D.曲线y=/(%)存在对称中心

10.下列各组函数是同一个函数的是()

A./(%)=%2_2%一1与g(s)=§2-2s-1

=与g(x)=-x4-x-

11.下列各组函数中，两个函数为同一函数的是()

A"(x)=|x|和g(x)=G*B./(x)=x3+^g«)=r+]

v2

C./(x)=3x+l和g(x)=3x—2D./(x)=___3和g(%)=x—3

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若幕函数/(%)=加(a,beR)图象经过点@,班卜则/(x)=1

%2+2,x>0

13.已知函数"%)=<厕

x+3,x<0/(/(T)=

14.已知/(X)=X2+2|X|+3，则函数/(力的单调递增区间为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知定义域为R的函数〃x)=公彳是奇函数

(1)求实数a,b的值；

(2)判断的单调性并给出证明；

(3)若存在fe[0,4],使/(左+/)+/(期—2/)<0成立，求实数左的取值范围

纪芝二是定义在R上的奇函数.

16已知/(%)=

3x+t

⑴求/(九)的解析式;

⑵若对于V%e(-oo,l],/()210g,(/-34恒成立，求实数。的取值范围.

x+5『；

17.某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元,

5%2+50%+500,0<%<40,100%eN

每生产X百台这种仪器，需另投入成本/(X)万元，y(x)=<

30lx+———3000,%>40,100%eN

X

假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.

(1)求出利润g(x)(万元)关于产量尤(百台)的函数关系式;

(2)当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.

18.设函数/(x)=K，其图像过点(1,4)

⑴求出/(%)的解析式；

(2)判断函数/■(%)在(0,+00)上的单调性，并用定义证明.

2

19.已知函数/(%)=v」_,xe(2,y).

x-1

(1)判断函数/(X)在(2,+O0)上的单调性，并证明；

(2)若/(2a+l)>/(4—a),求的取值范围.

参考答案

1.答案：D

解析：设/(%)=£,因为幕函数的图象过(8,2血)，

则有2血=8"，所以■，即/(x)=x>

所以/(3)=35=6.

故选:D.

2.答案：A

解析：因为函数/(«)的定义域是［1,91所以4&<3，

所以/(%)的定义域是［1,3］，故对于函数/(%+1卜有1WX+1W3,解得0KxW2,

从而函数/(x+1)的定义域是［0,2］.

故选;A.

3.答案：D

解析：由/(X)=/+(Q—2)X+1为偶函数可得〃—2=0即I=2，

由g(x)=%:为奇函数，可得g(0)=~~~=0，则b=3，则a+b=5・

故选：D.

4.答案：C

XJ

解析：由题知y(_x)=-/(%)-/(l+x)=/(-x)

所以/(2+尤)=/(I+(1+x))=/(-(I+%))=-/(1+%)--/(-x)=/(%))

5.答案：D

解析：因为函数〃同=,2_50_5)/"是累函数，

所以。2一5。一5=1，解得。=-1或。=6・

当a=—1时，/(x)=■在(°，”)上单调递增；

当a=6时，/(x)=二在(0,+8)上单调递减，

所以a=—1.

故选:D.

6.答案：C

解析：令I，解得X>1且％w3,

3—xw0

所以函数/(x)=-^=+(3-x)°的定义域是(1,3)U(3,S)・

故选:C.

7.答案：A

解析：由函数的定义知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，

由选项B,C和D的图象可知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，所以选项B,C和D

错误，

由选项A的图象知，存在x的取值，一个x的取值，有两个y值与之对应，

所以不能表示y是％的函数，

故选：A.

8.答案：C

解析：当％020时，2/+1=3=>玉)=1;

当工<0时，=3n=1n=±1，则％o=—l

综上所述，升的值为一1或1；

故选：C

对于A：因为分子sin7LX£[-l,f|，

分母J—X+l=+*，

44

simu14

・"（x）=x2_x+「W=§，故A正确;

故B正确;

对于C:•.•》=!是丁=51!10：的对称轴，

也是y=f—X+]=（x—g]+j的对称轴,

,x=；是y=/(%)的对称轴,故C正确;

对于D：—%)+/(“+力不可能为常数，故D错误.

故选：ABC

10.答案：ABC

解析：对于选项A:f[x)=X2-2X-1的定义域为R,g(s)=§2_2s-1的定义域为R,

定义域相同，对应关系也相同,是同一个函数，故A正确；

对于选项B"(x)=、=—xQ的定义域为｛x|x<0｝,

g(x)=-的定义域为｛x|xWO｝,

定义域相同对应关系相同,是同一个函数，故B正确；

对于选项C:/(x)=f=1的定义域3%/0｝，8(力=『=1的定义域｛%|*/0｝,

xyx

定义域相同，对应关系也相同,是同一个函数，故C正确；

对于选项D:/("=X的定义域为R,g(X)=正=|%|的定义域为R,

定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误.

故选:ABC.

11.答案：AB

解析：/(无)=国和g(x)=1=W的定义域均为R，值域均为[0,+8)，

解析式一致，A正确.

/■(耳=三+1和g(r)=r+i的定义域和值域均为R,解析式一致，B正确.

“无)=3x+l和g(x)=3x-2的定义域和值域均为R，但解析式不同，C错误.

2

f[x}=---3的定义域为(—8,0)U(。，”)，g(x)=x—3的定义域为R，D错误.

X

故选:AB

12.答案：&

解析：根据塞函数/("=加,则。=1，

又由/("=0?过点0,6卜所以3"=6，

故。所以于(x)=G.

故答案为：、

13.答案:6

/+2Y>0

解析：•.•函数f(x)=5f(-l)=-l+3=2,

x+3,x<0

/(/(-l))=/(2)=4+2=6.

14.答案：(-oo,T)•和(0,1)

(x+1)2+2,x>0

解析：/(X)=X2+2|X|+3=-

(x-1)2+2,x<0

画出函数图象，结合图象得函数/(x)的单调递增区间为(TO,—1〉和(0,1).

15.答案：(l)a=l,b=l

(2)函数/(x)在R上是减函数，证明见解析；

(3)氏〉T

解析：(1)因为函数/(%)是定义在R上的奇函数，

/7—1

所以"0)=0,即——=0,所以。=1,

b+1

又因为/(—X)=-/(幻，

2X-12X-1

将a=1代入，整理得

b-2x+lb+2x

当xwO时，有力2工+1=人+21

即S—1＞（2,—1）=0恒成立，

又因为当xwO时，有2'—I/O,

所以b—1=0,所以6=1.

经检验符合题意，所以a=l,b=l

1-2J-。+吗+2…2

⑵由⑴知：函数/（%）=

1+271+21,1+2X

函数/（x）在R上是减函数

设任意X],x2eR,且％＜%，

贝”/心）一〃々）=一1+合一〔一1+母]

由药＜%2，可得2当一为一1＞0,

又1+2小〉0,1+2也〉0,2国＞0,

则/&）〉/（乙），

则函数/（%）在R上是减函数

（3）因为存在fe[0,4],

使/（左+/）+/（々—2/）＜0成立，

又因为函数/（%）是定义在R上的奇函数，

所以不等式可转化为了（左+/）＜/（2r-4r）,

又因为函数/（%）在R上是减函数，

所以k+产＞2产「4/,所以左＞产一4t,

令g«)=〃—4f=«—2)2—4,Ze[0,4]

由题意可知：问题等价转化为女〉gQLn，

易知当te[0,4],g«)miii=g(2)=—4,所以左〉T.

3-3x+l

16.答案：(1)/(x)=

y+i

⑵卜l,0)U(3,4]

解析：⑴因为"x)=M;是定义在R上的奇函数,

/(。)=*=。b-3=Q

3-13-31+1

W/■⑴,31+?3+1

b=33—3.i

一，，/(x)=

l—13'+1

x+1是定义在上的奇函数，,f(0)="I=0，

法2：.../(x)=b-3R

3x+t')1+t

3-3x+1

:.b=3,/(x)=

y+t

3-3-x+13—3工+1

3-x+t3x+t

x+1

(3-3-).3"3x+1-3

3+)3工—y+t

3x+l-33A+1-3,…

---------------，.=1+/，3—3

i+心y+t

3-3x+l

，/(x)=

3¥+l

5+3x+13-3A+15+3x+18

⑵令g(x)=〃x)+---=----1----=---，xeR

3A+13V+13X+13*+l

易证函数g(x)=g一是上的减函数，

=^(1)=2

VxG(-OO,l]y+———>log2(。2_3〃)怛成立

2

0%£[1,+8),g(X)011n>lOg2(^-3。)恒成立

o2>log2(a?_3〃)恒成立

1

<»log2(a-3tz)<log24

"2

a—3a>0

<

a~-3a<4

a<。或a>3

-l<tz<4,.-.-!<«<0或3<a<4

a的取值范围为[—1,0)U(3,4].

-5x2+250x-1500,0<x<40,100xeN

17.答案：⑴g(x)=](2500、

,，2000-1x+-——Lx>40,100%eN

(2)产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元

解析：(1)由题意知，当0〈尤<40，100xeN时，

g(x)=300x-5x2-50x-500-1000=-5x2+250x-1500,

当x»40，100xeN时，

g(x)=300x-301x^^+3000-1000=2000—+^22)

-5x2+250x-1500,0<x<40,100xeN

综上所述，(2500A

''2000-x+40,100%eN

(2)当o(尤<40，i(xh：eN时，

g(x)=-5x2+2501500=-5(x-25)2+1625,

所以当％=25时，g(x)取得最大值1625,

当x»40，100xeN时，

g(x)=2000—[+<2000-2卜型^=1900,

当且仅当x=50时，g(x)取得最大值1900,

综上，当％=50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.

18.