2025届高考数学专题十等差数列与等比数列精准培优专练理

PAGEPAGE1培优点十等差数列与等比数列一、等差、等比数列的基本运算一、等差、等比数列的基本运算例1：等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得．又，所以，所以，所以，所以，故选B．例2：是公差不为0的等差数列，满意，则该数列的前项和等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，得，即，即，又因为，所以，则该数列的前项和．故选C．例3：已知递增数列对随意均满意，，记，则数列的前项和等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，若，那么冲突；若，那么成立；若，那么冲突，，，又有，，于是得到，即，数列是首项为，公比为的等比数列，所以前项和为，故选D．二、等差、等比数列的性质及应用二、等差、等比数列的性质及应用例4：已知数列，满意，，其中是等差数列，且，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵数列，满意，，其中是等差数列，∴数列是等比数列，由，可得，即，∴，∴．例5：各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则等于（）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】∵数列为等比数列且数列的前项和为，∴，，也构成等比数列，∴，∵，，各项均为正数的等比数列，∴，∴．故选B．例6：等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值之和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意得，．当为奇数时，随着的增大而减小，，随着的增大而增大，；当为偶数时，随着的增大而增大，，随着的增大而增大，．因此的最大值与最小值分别为、，其最大值与最小值之和为，故选C．三、等差、等比数列的综合问题三、等差、等比数列的综合问题例7：已知等差数列的公差为，且．（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来依次恰为等比数列的前项，记的前项和为，若存在，使对随意，总有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，∴，∴，从而．（2）由题意知，，，设等比数列的公比为，则，∴，随增加而递减，∴为递增数列，得．又，故，若存在，使对随意总有，则，得，即实数的取值范围为．四、数列与其他四、数列与其他学问的交汇例8：已知等差数列的项和为，若，且，，三点共线(该直线不过点)，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，、三点共线∴，∴，，又∵，∴，，∴，∴，∴故选B．对点对点增分集训一、选择题1．设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】等差数列的前项和为，∵，，，解得，，∴．故选C．2．等比数列中，，，则数列的前项和等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵等比数列中，，，∴，∴数列的前项和，故选D．3．在正项等比数列中，已知，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正项等比数列中，∵，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为，故选C．4．在等比数列中，是方程的两根，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，是方程的两根，∴，，∵为等比数列，又，，同号，∴，∴，∴．故选A．5．一个等比数列的前三项的积为，最终三项的积为，且全部项的积为，则该数列的项数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列为，其前项积为，由已知得，，可得，，∵，∴，∴．6．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以，，，所以，，所以使前项和成立的最大正整数是，故选C．7．在数列中，若，且对随意正整数，，总有，则的前项和等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意得，即有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，，，故选C．8．记为正项等比数列的前项和，若，且正整数，满意，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是等比数列，设的公比为，∴，，∴，解得(负值舍去)．又，∴，∴，∴，当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值是，故选C．9．数列是以为首项，为公比的等比数列，数列满意，，，数列满意，，，若为等比数列，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，当时，不是等比数列，所以．由，则，得，要使为等比数列，必有，得，，故选B．10．在我国古代闻名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．日 B．日 C．日 D．日【答案】B【解析】由题可知，良马每日行程构成一个首项为，公差的等差数列，驽马每日行程构成一个首项为，公差为的等差数列，则，，则数列与数列的前项和为，又∵数列的前项和为，数列的前项和为，，整理得，即，解得：或(舍)，即九日相逢．故选B．11．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，所以．二、填空题12．数列的通项，其前项和为，则________．【答案】【解析】由题意可知，，若，则；若，则；若，则，∴，，∴．13．已知数列满意，且，，则________．【答案】【解析】由，得，于是，．又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故，∴．14．数列是首项为，公差为的等差数列，其中，且．设，若中的每一项恒小于它后面的项，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】由题意得，则，∴，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，要使对一切恒成立，即对一切恒成立；当时，，对一切恒成立；当时，，对一切恒成立，只需．∵单调递增，∴当时，取得最小值，即，∴，且，∴．综上，．15．艾萨克·牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国闻名物理学家，同时在数学上也有很多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出一个数列满意，我们把该数列称为牛顿数列．假如函数有两个零点，，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式________．【答案】【解析】∵函数有两个零点，，∴，解得，∴，则．则，∴，则数列是以为公比的等比数列，又∵，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，则．三、解答题16．已知数列的前项和为，且．（1）求，，的值；（2）是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值和通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1），，；（2）存在，，．【解析】（1）当时，由，得；当时，由，可得；当时，由，得．（2）令，即，解得，由及，两式相减，得．由以上结论得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，因此存在，使得数列为等比数列，所以，．17．已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满意，若对于随意正整数都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，令，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2）由，得，所以，所