2025届高三数学解三角形十类题型（学生版）

解三角形十类题整乐总

近4年考情(2021-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年/卷第15题，13分

年〃卷第题，分高考对本节的考查不会有大的

20241513(1)正弦定理、余弦定理及其变形

变化，仍将以考查正余弦定理的

2024年甲卷第11题，5分

基本使用、面积公式的应用为(2)三角形的面积公式并能应用

2023年/卷〃卷第17题，10分主.从近五年的全国卷的考查

2023年甲卷第16题，5分情况来看，本节是高考的热点，(3)实际应用

主要以考查正余弦定理的应用

2023年乙卷第18题，12分(4)三角恒等变换

和面积公式为主.

2022年/卷〃卷第18题，12分

2021年/卷〃卷第20题，12分

热点题型解读

题型一拆角与决角.........................................................................2

类型一出现了3个角(拆角).............................................................2

类型二类角............................................................................3

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角...................................................4

类型可通过诱导公式统一语数名.........................................................5

题型二利用余费定理化俺等式..............................................................6

类型一出现了角或边的平方.............................................................6

美型二出现角的余强(正弦走不通).......................................................7

题型三周长与面积相关计算................................................................9

类型一面积相关计算....................................................................9

类型二周长的相关计算................................................................11

题型四倍角关系..........................................................................12

类型一倍角关系的证明和应用..........................................................13

类型二扩角降搴.......................................................................15

类型三圉形中二倍角的处理............................................................15

题型五角平分假相关计算.................................................................16

题型六中畿相关计算.....................................................................19

题型七方得假相关计算....................................................................22

题型人其它中间线........................................................................24

题型九三角形解的个数问题...............................................................27

题型十解三角形的实际应用...............................................................28

类型一距离问题......................................................................28

类型二高度问题......................................................................29

题型汇编

题型一

知织点

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边u>a:b:c=sinA:sinB:sinG

②大边对大角大角对大边

Q>boA>BQsinA>sinBocosA<cosB

而人八卬._____a+6+c_______a+l_b+c_a+c_Q_b_c

口刀・sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsin。

(2)AABC内角和定理(结合诱导公式)：A+B+。=兀

①sinC=sin(A+R)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

ari

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)='人士'an2=tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC

1—tanA-tanB

介.(A+B\C(A+B\.C

④smv2/=cosy；书2)=smy

类型一出现了3个角(拆角)

1.在△4BC中，%一净=仝与，求人的值

V3acosA

2.△48。的内角A8,。的对边分别为a,b,c,且b=2csin(A+(■),求C.

3.（湛江一模）在△ABC中，内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知羽=2cos管—

求4

类型二凑角

4.在△48。中，角A,B,。的对边分别为Q,b,c,已知2Qcosyl・cos_B+bcos2A=，^c—6,求角A

5.（2024届•广州•阶段练习）已知△ABC中角A,B,。的对边分别为a,段c,满足^cosB+2cosc=

aa

3cosC,求sin。的值

6.在△MC中,角43,。所对的边分别为a,b,c,且上+.—g―-+3a,求

cosAcosBcosC

tanBtanC.

7.V^asin=csinA,求角。的大小.

8.已知△4BC的内角4,8,C的对边分别为a,b,c,且mbcos/芋=csinB,求。

9.在△ABC中，内角A,B,。所对边的长分别为a,b,c,且满足bcos°=asin_B,求4

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角

10.(深圳一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b+c=2asin(c+*),求4

11.在△ABC中，J^sinC+cosC=sinB+?nC，求人

sin力

12.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosC+V3csinA=b+c,求4

13.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,。的对边，且QCOSC+，^asinC=b+c,求角A的大小;

类型四通过诱导公式统一函数名

14.在AABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c.已知asinB=6cos（A—求A的值

15.已知△ABC中，角4B,C所对边分别为a,b,c,若满足

a(sin2A—cosBcosC)+bsinylsiiiC=0,求角A的大小.

16.在△48。中，内角AB,。所对的边分别为a,b,c.已知asinB=bcos（A—春），bcosC=ccosB,求A的

值.

题型二利用余弦定理化简等式

余弦定理

公式。2=〃+《2—2bccosA;

b2=c2+a2—2accosB;

c2=a2-bb2—2abeosC.

b2+c2—a2

COSAA=2bc；

“c2+a2-b2

常见变形cosB=门；

2ac

ca2+b2-c2

2ab

类型一出现了角或边的平方

17.已知ZVIB。内角所对的边长分别为a,6,c,2V2a2cosB+62=2abcosC+a2+c?,求B.

18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在△ABC中，内角所对的边分别为.也0,若6=看，〃=

O

?ac,则sinA+sinC=()

4

A29V39门°n3g

A-BR-©亏D-

19.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知底=3/+o2,则也吗=

tanC---------

20.(2023年北京高考数学真题)在△48。中，(Q+c)(sinA—sinC)=&(sinA—sinB),则Z.C=()

A.B.c.娶D.要

464336

21.在AABC中，角4BC的对边分别为a,b,c,已知c=2A/52czsinCCOSB=asinA—fesinB+专~bsinC,

求b；

22.（2024届.湖南四大名校团队模拟冲刺卷（一））在△ABC中，内角所对的边分别为a,b,c,已知

△ABC的面积为S,

且2s（普+需）=（展+的小求。的值i

___________F

23.（2024广东省六校高三第四次联考）已知△ABC的角4B,。的对边分别为a,b,c,且

sinA(ccosB+bcosC)—csinB=csinC+bsinB,求角A

24.记A4BC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c.已知〃—a?=2c?,求更吟的值

tanA

类型二出现角的余弦（正弦走不通）

25.记△48。的内角A>8、。的对边分别为a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c,求4

26.已知a,b,c分别为△ABC三个内角的对边，且sin（A—B）=2sin。,证明:Q2=〃+2C2.

27.在△4B。中，内角ABC的对边分别为a,b,c,°=26,2$i1124=351112。,求5111。.

28.记△48。的内角AB,。的对边分别为a,b,c,B=与'，且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1,求证5a=3c

o

29.已知△48。的内角A>。的对边分别为Q、b、c,sin（已一8）tanC=siriylsiiLB,求°.

b2

30.△48。的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c.已知（b—c）sin8=bsin（A—。），求角A.

题型三周长与面积相关计算

知火点

设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式

_______W

对于完全平方公式：（a+b）2=0?+〃+2ab,其中两边之和Q+b对应周长，两边平方和Q?+〃在余弦定理中，两

边之积ab在面积公式和余弦定理中都会出现

类型一面积相关计算

31.已知△48。中角。的对边分别为a,b,c,sinC=23,a=b+c=,求△ABC的面积.

o

32.（2024新高考一卷•真题）记△48。的内角4夙。的对边分别为a,b,c,已知smC=V2cosB,a2+b2

—c2=V2ab

⑴求B；（2）若△ABC的面积为3+四，求c.

33.记△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,B=冬，且5a=3c,若4ABC的面积为1573,求c

O

34.在△ABC中，内角48,。的对边分别为a,b,c,已知A=亭，△ABC的面积为心£,b=2,求a.

62

35.记△ABC的内角4,8,C的对边分别为a,b,c,已知B=2A,当a=4,b=6时，求△4BC的面积S.

36.（2024届.广东省六校第二次联考）已知△ABC中角A,B,。的对边分别为a,b,c,sinC=23,a=b

o

+2,c=32,求△ABC的面积.

37.记△ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知B=24当a=4,b=6时，求△4BC的面积S.

类型二周长的相关计算

38.已知在AABC中，角AB,。的对边分别是a,b,c,且人=C,若B=AABC的面积为4,求4ABC的

6

周长.

_______________________________~

39.在△4B。中，内角A,B,。所对的边分别为Q,b,c,且(6+c)(sinB+sinC)=asinA+36sinC.

(1)求角A的大小；(2)若a=血,且△48。的面积为V3,求△ABC的周长.

40.(2024.新高考二卷•真题)记△ABC的内角4B,。的对边分别为Q,b,c,已知sinA+V3cosA=2.

⑴求4⑵若a=2,，^bsinC=csin2B,求△ABC的周长.

41.ZVIBC的角A,及C的对边分别为a,b,c,存•/=—1,/VLBC的面积为杳，若a=,求△ABC的周

长.

42.在△ABC中，已知2方•最=4,a=5,NR4C=60°,则△ABC周长为

43.在△ABC中，AB,。所对的边为a,b,c，人=看，a=2,3=手，求△ABC的周长.

O4

44.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC.

(1)求角A的大小；(2)若a=血,且△ABC的面积为V3,求△ABC的周长.

题型四倍角关系

知织点

1、二倍角公式：sin2A=2sinAcosyl,cos2A=2cos2A—1=1—2sin2A=cos2A—sin2A

,a.2C1+cosC.oC1—cosC

2、扩角降拳：cos2--=-----------.,sin2--=------------

忘记了可以用二倍角公式推导：记，=力，则cosC=cos2t=2cos2力—1=1—2sin2t

故cos2t=2cos2右一10cos2t=1+号s2*,cos2力=1—2sin2tosin2t=――苧、"

3、倍角关系证明的方法技巧

解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个角的大

小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性。

__________由

4、圉形中出行二倍角条件时可以考息梅造♦联三角形

类型一倍角关系的证明和应用

45.（黄冈中学•三模）在锐角△A8C中，内角48,。所对的边分别为a,b,c,满足包吟-1=

smC

包尤上迦色，且求证：B=2C.

sin2B

22

46.在△48。中，角A、B、。的对边分别为a、6、c,若A=2B,求证：a-b=6c；

47.（2024.吉林长春模拟预测）ZVIB。的内角4B、。所对的边分别为a.b,c,a=V3,b=1,A=28,则c=

（）

A.2B.V3C.V2D.1

48.（2024•全国•模拟预测）在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c（a,b,c互不相等），且满足bcos。

=（2b—c）cos_B,求证：A=2B；

49.在△ABC中，内角48,。所对的边分别为a,6,,且6=4.若/=2B,且△ABC的边长均为正整数,

求a.

50.（2024•全国.模拟预测）在△ABC中，角A,B,。的对边分别为Q,b,C（Q,b,c互不相等），且满足bcos。

=（26—c）cosB.

（1）求证：A=2B；

（2）若c=A/2a，求cosB.

51.已知Q,b,c分别是△ABC的角AB。的对边，bsinB—asinA=sinG（2bcos2B—c）.

（1）求证：A=28；

（2）求9的取值范围.

a

类型二扩角降塞

52.（2023•重庆八中二模）记A4BC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知acos2-^-+ccos2j^=

证明：sinA+sinC=2sinB

___________F

53.在AABC中，内角A,_B,C所对的边分别a,b,c,且(acos2-^-+ccos2j^(a+c—b)=■|~ac,求角B的

大小;

类型三图形中二倍角的处理

54.（广东省六校2024届第一次联考）在入450中，AB=4,。为AB中点，CD=。，2ZACD,求

AC的长.

55.（2024届.江苏扬州.高三统考）在△4BC中，且反7边上的中线AD长为1.

⑴若BC=248,求△ABC的面积；（2）若乙48。=2/ZMC,求的长.

题型五角平分线相关计算

知织点

△ABC中，AD平分ABAC.

策喀一：角平分线定理：桀=BD

~CD

SABD_BD-hi_AB-hABBD

证法1（等面积法）2=

~AC~~CD

SACDCD,hiAC'h2

注：自为A到BC的距离，殳为。到AB,4。的距离.

证法2（正弦定理）

ABBOAC

如图，，而sinZl=sinZ2,sinZ3=sinZ4

sinZ3sinZl'sinZ4si°n。Z2

整理得靠=BD

~CD

策•喀二:利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理

11A1A

SRABC=S&ABD+LADC了XABxACXsin/1=-xABxADxsin——F-XABxADXsin-^-,

集喀三：角互补：

/.ABD+/.ADC=兀=cosZ.ABD+cosAADC=0,

___________F

在△4BD中，cosZABD=加之于二产

在/\ADC中，

cos/ADC=~2DAXDC

56.（2024•辽宁丹东•二模）在△ABC中，点。在BC边上，入。平分NH4C,NR4C=120°,AB=2四,AD

=含1,则人。=（）

O

A.2B.V3C.3D.2V3

57.已知△ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,a2=3b2+c?,且sinC=2sinB.

（1）求角4的大小；

（2）若b+c=6,点。在边BC上，且AD平分NBA。,求AD的长度.

58.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题-T16角平分线相关计算）在△ABC中，ABAC=^°,AB=2,BC

=V6,NBAC的角平分线交于。，则4D=.

59.（2024.厦门第四次质检）记LABC的内角4BC的对边分别为a,b,c,已知B=冬，若b=。，c=2a,

D是AC上一点,BD为角B的平分线,求BD.

60.已知△ABC的角4,8,。的对边分别为a,b,c,且A=磊兀,若4D平分/R4C交线段8C于点。，且

O

AD=1,BD=2CD,求△ABC的周长.

61.在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,。=3四，4=冷，作角人的平分线与交于点

O

且AD=V3，求b+c.

62.（2024届.云南省昆明市五华区高三上期中）△ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,AO平分NBAC且

交于点。.已知AD=1,ZV1CD的面积为1,若。0=28。,求上@11乙艮4。.

题型六中线相关计算

知飒点

如图，4ABC中，人。为BC的中线，已知AB,AC,及乙4,求中线AD长.

A

A

巢喀一：如图，倍长中线构造全等，再用余弦定理即可

第用二:向量法，AD=y(AB+AC),等式两边再进行平方

策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即cosZADB+cosAADC=0

补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“累=/'也适用，此时需要倍长等分线构造相似

63.在△4BC中，内角A,B,。所对边的长分别为a,b,c,且满足4=冬，a=，瓦，丽•芯=3,AD是

O

△ABC的中线，求4D的长.

64.(2023年新课标全国II卷真题：已知中线长)记AABC的内角C的对边分别为a,b,c,已知4ABC的

面积为为口。中点，且40=1.

(1)若Z.ADC=-T-，求tanB；

O

（2）若〃+=8,求b,c.

65.（2024.安徽滁州.三模）在△ABC中，角的对边分别为a,b,c,2bcosC—c=2a.

（1）求口的大小；（2）若a=3,且人。边上的中线长为平，求△ABC的面积.

66.在△48。中，内角ABC的对边分别为a,b,c,sinG=―-—,2sinA=3sin2a

若△ABC的面积为手，求AB边上的中线CD的长.

67.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=冬，〃—+c?+3c=0,ZVlBC的面积为

o

生应，求边的中线入。的长.

4

___________团

68.△4BC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,a=2,。为AB的中点，且CD=2.

(1)证明：c=⑵若乙4cB=£,求△ABC的面积.

69.记△ABC的内角A,8,。的对边分别为a,6,c,已知8=卷，若。=3a，。为人。中点，60=，*,求

O

△4BC的周长.

70.448。的内角人，8,C的对边分别为a,b,c.已知8=粤，c=2,。为AC的中点，BZA=弓反7,求

O4

△ABC的面积.

题型七高线线相关计算

知识点

A

策略一：等面积法：A。•BC=AB♦4。sinZBAG

策略二：AD=AB-sinAABD=AC-sinZAGD

策略三：a=c-COSB+b-COSC

71.（2024.山东青岛.三模）设三角形4BC的内角A、B、。的对边分别为a、、c且sin(B+C)=

2V3sin2j^-.

（1）求角4的大小；

（2）若b=3,3。边上的高为手匚，求三角形ABC的周长.

72.已知△4BC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,a=6,6sin2A=4V5sinB.

(1)若b=L证明:C=A+^-；

（2）若边上的高为手，求△A8C的周长.

O

73.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c—V3bsinA=稼+广”_b

2c

⑴求4

（2）若b=：c,且边上的高为2通，求a.

题型八其它中间线

74.如图，在△ABC中，角AB,。的对边分别为a,b,c.已知A=（■.若。为线段延长线上一点，且

O

2021新ili考一卷T20:三等分畿相关计算

75.记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知〃=加,点。在边AC±,BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

（2）若人。=2DC,求cos/ABC.

76.如图，在△ABC中，若AB=AC,D为边BC上一点、，BD=2DC,AD=2,‘叱叱？=总则口。=

smAACD

77.(2024•安徽芜湖■三模)已知a,b,c分别为△4BC三个内角ABC的对边，且bcosA+V3bsinA=a+c

⑴求8；

⑵若b=2AABC的面积为，。为AC边上一点，满足CD=2AD,求BD的长.

78.记AABC的内角A、8、C的对边分别为或6、o,已知人=看，点。在BC边上，且CD=2BD,cosB=

o

W，求tan/RAD

o

79.已知△ABC的三内角A,B,。所对边分别是a,b,c,且满足a=b，若点。是边AC上一点，动=

(/+卷说”=，访，|丽|=2四,求边&的大小.

oo

80.已知△ABC的内角对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积为sinA=3sinB,点。在边BC上，若

DC=DA=-^-BC,求cosA.

o

81.如图，在△48。中，若=。为边8C上一点，口。=2。。，AD=2,乙”?="，则口。=

smZAGD

82.已知&,6,。分别为448。三个内角4口,。的对边，且（12=〃+202,若4=冬，£1=3,万方=3血,求

O

人又的长度.

83.在△ABC中，内角A8,。所对的边分别为a,b,c.已知A=看，若点。为边上的一个点，且满足

O

cosABAD==，求AABD与△ACD的面积之比.

5

题型九三角形解的个数问题

知织点

三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形

具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

解三角好多解情况

在4ABC中，已知a,b和人时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

C

ccc

Mx-AX

图形

AB；---BA''……-BAB

AB

关系式a=bsinA5sinA<.a<.ba>ba&b

解的个数一解两解一解一解无解

84.在AABC中,c=2,acosC=csinl,若当a=g时的A4BC有两解，则x0的取值范围是.

85.设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若满足a=四,6=巾,6=《的△ABC不唯一，则

7n的取值范围为()

A.B.(O,V3)C.D.

86.若满足AABC=誉，AC=3,BC=巾的A4BC恰有一解，则实数小的取值范围是

O

87.△ABC中，已知AABC=-^,AC=3,BC=m(m>0).

o

(1)若△ABC恰有一解，则实数小的取值范围是；

(2)若△4BC有两解，则实数小的取值范围是；

(3)若△ABC无解,则实数m的取值范围是；

88.在4ABC中，a,b,c分别为角的对边，若b=10,A=《，且/\ABC有唯一解，则a的取值范围

6

是.

89.在△ABC中，已知=及7=22，。=与，若存在两个这样的三角形ABC,则①的取值范围是

4

90.已知A4BC的内角4口、。所对的边分别是a,b,c,人=60°,若a=v^,b=m(ni>0),当AABC有且

只有一解时，求实数小的范围及AABC面积S的最大值.

题型十解三角形的实际应用

知织点

（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图

①）.

⑵方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如口点的方位角为&（如图②）.

⑶方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.北偏西

a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度:坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.坡度指坡面的铅直高度与水平

长度之比（如图④，i为坡度，i=tan6*）.坡度又称